تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 قاعدة كرامر لنظام ثلاث معادلات

المفاهيم الأساسية

قاعدة كرامر لنظام ثلاث معادلات: طريقة لحل نظام من ثلاث معادلات خطية باستخدام المحددات، بشرط أن يكون محدد مصفوفة المعاملات لا يساوي صفرًا.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

المحددات وقاعدة كرامر (2-4)

المحددات

#### محدد الدرجة الثانية

##### الصيغة: \begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \end{vmatrix} = ad - cb

##### مثال: \begin{vmatrix} 4 & 5 \\\\ -3 & 6 \end{vmatrix} = 4(6) - (-3)(5) = 39

#### القطر الرئيسي

##### عناصر المصفوفة من الزاوية اليسرى العلوية إلى اليمنى السفلى (aij حيث i=j).

#### محددات الدرجة الثالثة

##### طرق الحساب

###### الطريقة الأولى: قاعدة الأقطار

####### خطوات الحساب

######## الخطوة 1: إعادة كتابة العمود الأول والثاني عن يمين المحددة.

######## الخطوة 2: إيجاد مجموع حاصل ضرب عناصر القطر الرئيس وموازياته.

######## الخطوة 3: إيجاد مجموع حاصل ضرب عناصر القطر الآخر وموازياته.

######## الخطوة 4: طرح ناتج الخطوة 3 من ناتج الخطوة 2.

###### الطريقة الثانية: باستعمال محددة المصفوفة 2×2

####### الصيغة: a \begin{vmatrix} e & f \\\\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\\\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\\\ g & h \end{vmatrix}

##### مثال توضيحي

###### المصفوفة: \begin{bmatrix} 4 & -8 & 3 \\\\ -3 & 2 & 6 \\\\ -4 & 5 & 9 \end{bmatrix}

###### الحل باستخدام قاعدة الأقطار: -93

#### تطبيقات المحددات

##### إيجاد مساحة المثلث

###### الصيغة: A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} a & b & 1 \\\\ c & d & 1 \\\\ e & f & 1 \end{vmatrix}

###### مثال: مساحة مثلث رؤوسه (-4, 3), (3, 1), (-2, -2)

###### مثال واقعي: إيجاد مساحة إقليم نمر إحداثيات رؤوسه (0, 0), (4, 12), (-2, 8)

قاعدة كرامر

#### شرط الحل

##### إذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعاملات لا تساوي صفرًا، فإن للنظام حلاً وحيدًا.

##### إذا كانت قيمة المحددة صفرًا، فإما أن يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول أو لا حل له.

#### الصيغة العامة

##### للنظام: \begin{cases} ax + by = m \\\\ fx + gy = n \end{cases}

##### مصفوفة المعاملات: C = \begin{bmatrix} a & b \\\\ f & g \end{bmatrix}

##### الحل: x = \frac{\begin{vmatrix} m & b \\\\ n & g \end{vmatrix}}{|C|} و y = \frac{\begin{vmatrix} a & m \\\\ f & n \end{vmatrix}}{|C|} ، بشرط |C| \neq 0

#### مثال تطبيقي

##### حل النظام: \begin{cases} 5x - 6y = 15 \\\\ 3x + 4y = -29 \end{cases}

##### الخطوات:

###### 1. إيجاد محدد مصفوفة المعاملات: |C| = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\\\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 5(4) - (3)(-6) = 38

###### 2. إيجاد قيمة x: x = \frac{\begin{vmatrix} 15 & -6 \\\\ -29 & 4 \end{vmatrix}}{38} = \frac{15(4) - (-29)(-6)}{38} = \frac{60 - 174}{38} = -3

###### 3. إيجاد قيمة y: y = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 15 \\\\ 3 & -29 \end{vmatrix}}{38} = \frac{5(-29) - 3(15)}{38} = \frac{-145 - 45}{38} = -5

#### قاعدة كرامر لنظام ثلاث معادلات

##### النظام: \begin{cases} ax + by + cz = m \\\\ fx + gy + hz = n \\\\ jx + ky + lz = p \end{cases}

##### مصفوفة المعاملات: C = \begin{bmatrix} a & b & c \\\\ f & g & h \\\\ j & k & l \end{bmatrix}

##### الحل (بشرط |C| \neq 0 ):

###### x = \frac{\begin{vmatrix} m & b & c \\\\ n & g & h \\\\ p & k & l \end{vmatrix}}{|C|}

###### y = \frac{\begin{vmatrix} a & m & c \\\\ f & n & h \\\\ j & p & l \end{vmatrix}}{|C|}

###### z = \frac{\begin{vmatrix} a & b & m \\\\ f & g & n \\\\ j & k & p \end{vmatrix}}{|C|}

##### مثال تطبيقي

###### حل النظام: \begin{cases} -4x + 5y - 6z = -14 \\\\ 3x - 2y + 7z = 47 \\\\ 7x - 6y - 8z = 15 \end{cases}

###### الخطوات:

####### 1. إيجاد محدد مصفوفة المعاملات: |C| = 621

####### 2. إيجاد قيمة x: x = \frac{3105}{621} = 5

####### 3. إيجاد قيمة y: y = \frac{-1242}{621} = -2

####### 4. إيجاد قيمة z: z = \frac{2484}{621} = 4

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات خطية.
• الشرط الأساسي هو أن يكون محدد مصفوفة المعاملات (|C|) لا يساوي صفرًا.
• لحساب كل متغير (x, y, z)، نستبدل عمود معاملاته في مصفوفة المعاملات بعمود الثوابت (m, n, p) ونحسب محدد المصفوفة الجديدة، ثم نقسمه على |C|.

حل النظام هو : (5-3) تحقق : x = -3, y = -5 5(-3)-6(-5) 15 بسط -15+3015 x = -3, y = -5 ✔ 15 = 15 3(-3)+4(-5)-29 بسط -9-20-29 ✔-29-29

7x + 3y = 37 (4A -5x-7y-41

8x5y = 70 (4B 9x + 7y = 3

يمكنك استعمال قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات أيضًا.

استعمال قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات

ax + by + cz = m إذا كانت C مصفوفة المعاملات للنظام fx + gy + hz = n ، حيث h jx + ky + llz = p

C= [a b c f g h jkl]

m b c n gh pkl X = C

a m c f nh jpl y = C

a b m f gn jkp z = C

فإن حل هذا النظام هو وذلك إذا كانت 0 C|

حل نظام من ثلاث معادلات

حل النظام الآتي باستعمال قاعدة كرامر 14 - = 62 - 4x + 5y 3x-2y+7z = 47 7x6y8z = 15

احسب محددة مصفوفة المعاملات

C = 4 3 7 5-6 -2 -6 -6 7 = 621 -8

m n p b g k C h l X = C

a f j m n p C h l y = C

a f j b g k m n p Z = C

-14 47 15 5-6 -2 -6 -6 7 -8 621 3105 = 5 621

4 3 7 -14 47 15 -6 7 -8 621 1242 = -2 621

4 3 7 5 -2 -6 -14 47 15 621 2484 = 4 621

الدرس 4-2 المحددات وقاعدة كرامر 1447 2007

حل النظام هو : (5-3) تحقق : x = -3, y = -5 5(-3)-6(-5) 15 بسط -15+3015 x = -3, y = -5 ✔ 15 = 15 3(-3)+4(-5)-29 بسط -9-20-29 ✔-29-29 --- SECTION: تحقق من فهمك --- 7x + 3y = 37 (4A -5x-7y-41 8x5y = 70 (4B 9x + 7y = 3 يمكنك استعمال قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات أيضًا. --- SECTION: مفهوم أساسي --- استعمال قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات ax + by + cz = m إذا كانت C مصفوفة المعاملات للنظام fx + gy + hz = n ، حيث h jx + ky + llz = p C= [a b c f g h jkl] m b c n gh pkl X = C a m c f nh jpl y = C a b m f gn jkp z = C فإن حل هذا النظام هو وذلك إذا كانت 0 C| --- SECTION: مثال 5 --- حل نظام من ثلاث معادلات حل النظام الآتي باستعمال قاعدة كرامر 14 - = 62 - 4x + 5y 3x-2y+7z = 47 7x6y8z = 15 احسب محددة مصفوفة المعاملات C = 4 3 7 5-6 -2 -6 -6 7 = 621 -8 m n p b g k C h l X = C a f j m n p C h l y = C a f j b g k m n p Z = C -14 47 15 5-6 -2 -6 -6 7 -8 621 3105 = 5 621 4 3 7 -14 47 15 -6 7 -8 621 1242 = -2 621 4 3 7 5 -2 -6 -14 47 15 621 2484 = 4 621 الدرس 4-2 المحددات وقاعدة كرامر 1447 2007