مثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المحددات وقاعدة كرامر (تمارين)

المفاهيم الأساسية

* قاعدة كرامر: طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحددات.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

المحددات وقاعدة كرامر (2-4)

قاعدة كرامر لنظام ثلاث معادلات

#### مثال تطبيقي

##### حل النظام:

\begin{cases} -4x + 5y - 6z = -14 \\\\ 3x - 2y + 7z = 47 \\\\ 7x - 6y - 8z = 15 \end{cases}

##### الحل: (5, -2, 4)

##### التحقق من الحل

###### عوض القيم في المعادلات الأصلية:

4(5) + 5(-2) - 6(4) = -14

7(5) - 6(-2) - 8(4) = 15

3(5) - 2(-2) + 7(4) = 47

تطبيقات المحددات

#### إيجاد مساحة المثلث

##### مثال واقعي: مثلث برمودا

###### منطقة جغرافية في المحيط الأطلسي على شكل مثلث متساوي الأضلاع.

###### مساحته الحقيقية: حوالي 1,000,000 كم².

###### طول كل ضلع: نحو 1500 كم.

##### مثال 3: جغرافيا

###### استعمال خريطة إحداثية لحساب مساحة مثلث برمودا.

###### إذا كان طول كل وحدة على الخريطة يمثل 175 ميلاً في الواقع، فأوجد المساحة الحقيقية.

تمارين

#### تأكد

##### أوجد قيمة كل محددة (تمارين 1-10).

#### تحقق من فهمك

##### حل أنظمة معادلات باستخدام قاعدة كرامر (تمارين 5A, 5B, 13).

#### تدرب وحل المسائل

##### إيجاد قيمة المحددات (تمارين 16-21)

###### محددات 2×2 (16، 17، 18)

###### محددات 3×3 (19، 20، 21)

##### تطبيق: إيجاد مساحة مثلث (تمرين 22)

###### علم الآثار: إحداثيات عظام حوت (9,5), (4,7), (0,3)

##### حل أنظمة باستخدام قاعدة كرامر (تمارين 23-29)

###### نظامان بمجهولين (23، 24)

###### أنظمة بثلاثة مجاهيل (25، 26، 28، 29)

##### تطبيقات واقعية

###### رحلة مدرسية (تمرين 27)

* المسافة الكلية: 615 كم

* السرعة على الطريق السريع: 105 كم/س

* السرعة داخل المدن: 45 كم/س

* الزمن الكلي: 7 ساعات

* المطلوب: إيجاد زمن السير في كل حالة.

###### صناعة (تمرين 30)

* تكلفة علب الطلاء: صغير (1.15 ر.س)، متوسط (1.75 ر.س)، كبير (2.25 ر.س).

* العلاقات: عدد الصغير = 2 × عدد المتوسط.

* الإجمالي: 1385 علبة، بتكلفة 2238.75 ر.س.

* المطلوب: إيجاد عدد العلب من كل حجم.

```

نقاط مهمة

* تتضمن الصفحة قسم "تدرب وحل المسائل" الذي يجمع بين حساب المحددات وحل الأنظمة باستخدام قاعدة كرامر.

* تتنوع التمارين بين حسابية بحتة (إيجاد قيمة محدد) وتطبيقية على مسائل واقعية (علم الآثار، الرحلات، الصناعة).

* تحتوي المسائل التطبيقية على بيانات إضافية (مسافات، سرعات، تكاليف) يجب استخلاص المعادلات منها قبل تطبيق قاعدة كرامر.

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي:

4x-2y+7z = 26

5x+3y-5z = -50

-7x-8y-3z = 49

تدرب وحل المسائل

المثالان 1, 2 أوجد قيمة كل محددة مما يأتي:

| -7 12 | | 5 6 |

| -8 -9 | | 11 12 |

| -5 8 | | -6 -7 |

| 3 5 -2 | | -1 -4 6 | | -6 -2 5 |

| 2 0 -6 | | -3 -4 -5 | | -2 5 8 |

| -5 -1 -2 | | 1 8 4 | | 0 -6 9 |

(22) علم الآثار: وجد عالم آثار عظام حوت عند الإحداثيات (9, 5), (4, 7), (0, 3) على الخريطة. فإذا كانت الإحداثيات بالأمتار . فجد مساحة المثلث الذي رؤوسه تلك النقاط .

المثالان 4, 5 استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي:

6x - 5y = 73 -7x + 3y = -71

10a - 3b = -34 3a + 8b = -28

5x - 4y + 6z = 58 -4x + 6y + 3z = -13 6x + 3y + 7z = 53

8x - 4y + 7z = 34 5x + 6y + 3z = -21 3x + 7y - 8z = -85

(27) رحلة مدرسية : نظمت مدرسة ثانوية رحلة إلى المدينة المنورة التي تبعد 615 km عن المدرسة. فإذا كان معدل سرعة الحافلة على الطريق السريع 105km/h ، ومعدل سرعتها داخل المدن 45 km/h ، وكان زمن سير الحافلة 7 ساعات. فاستعمل قاعدة كرامر لإيجاد عدد ساعات سيرها على الطريق السريع، وعدد ساعات سيرها داخل المدن.

عثر الباحثون أثناء التنقيب في أحد الكهوف على بقايا بشرية،

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: 3a - 5b - 9c = 17 4a - 3c = 31 -5a - 4b - 2c = -42

وقدروا أنها ترجع إلى ما قبل 200000 سنة.

استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: 7x+8y +9z = -149 -6x+7y-5z = 54 4x+5y-2z = -44

(30) صناعة : ينتج مصنع 3 أحجام من علب الطلاء الفارغة، حجم صغير بتكلفة 1.15 ريال للعلبة، وحجم متوسط بتكلفة 1.75 ريال للعلبة، وحجم كبير بتكلفة 2.25 ريال للعلبة، وفي أحد الأيام أنتج من علب الحجم الصغير ضعف ما أنتجه من علب الحجم المتوسط، وكان مجموع ما أنتجه في ذلك اليوم 1385 علبة من جميع الأحجام، بتكلفة إجمالية قدرها 2238.75 ريالا.

a) استعمل قاعدة كرامر لإيجاد عدد العلب التي أنتجها المصنع من كل حجم في ذلك اليوم.

إذا زادت تكلفة إنتاج علب الحجم الصغير فقط في اليوم التالي لتصبح 1.25 ريال بعد زيادة قليلة في الحجم، فأوجد تكلفة الإنتاج في اليوم التالي إذا كان إنتاج المصنع مقارنة باليوم السابق أقل بـ 140 علبة ... من الحجم الصغير، وأكثر بـ 125 علبة من الحجم المتوسط، وأكثر بـ 35 علبة من الحجم الكبير ...

--- SECTION: مثال 5 --- استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: --- SECTION: 14 --- 4x-2y+7z = 26 5x+3y-5z = -50 -7x-8y-3z = 49 تدرب وحل المسائل المثالان 1, 2 أوجد قيمة كل محددة مما يأتي: --- SECTION: 16 --- | -7 12 | | 5 6 | --- SECTION: 17 --- | -8 -9 | | 11 12 | --- SECTION: 18 --- | -5 8 | | -6 -7 | --- SECTION: 19 --- | 3 5 -2 | | -1 -4 6 | | -6 -2 5 | --- SECTION: 20 --- | 2 0 -6 | | -3 -4 -5 | | -2 5 8 | --- SECTION: 21 --- | -5 -1 -2 | | 1 8 4 | | 0 -6 9 | --- SECTION: مثال 3 --- (22) علم الآثار: وجد عالم آثار عظام حوت عند الإحداثيات (9, 5), (4, 7), (0, 3) على الخريطة. فإذا كانت الإحداثيات بالأمتار . فجد مساحة المثلث الذي رؤوسه تلك النقاط . المثالان 4, 5 استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: --- SECTION: 23 --- 6x - 5y = 73 -7x + 3y = -71 --- SECTION: 24 --- 10a - 3b = -34 3a + 8b = -28 --- SECTION: 25 --- 5x - 4y + 6z = 58 -4x + 6y + 3z = -13 6x + 3y + 7z = 53 --- SECTION: 26 --- 8x - 4y + 7z = 34 5x + 6y + 3z = -21 3x + 7y - 8z = -85 --- SECTION: رحلة مدرسية --- (27) رحلة مدرسية : نظمت مدرسة ثانوية رحلة إلى المدينة المنورة التي تبعد 615 km عن المدرسة. فإذا كان معدل سرعة الحافلة على الطريق السريع 105km/h ، ومعدل سرعتها داخل المدن 45 km/h ، وكان زمن سير الحافلة 7 ساعات. فاستعمل قاعدة كرامر لإيجاد عدد ساعات سيرها على الطريق السريع، وعدد ساعات سيرها داخل المدن. عثر الباحثون أثناء التنقيب في أحد الكهوف على بقايا بشرية، --- SECTION: 28 --- استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: 3a - 5b - 9c = 17 4a - 3c = 31 -5a - 4b - 2c = -42 وقدروا أنها ترجع إلى ما قبل 200000 سنة. --- SECTION: 29 --- استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: 7x+8y +9z = -149 -6x+7y-5z = 54 4x+5y-2z = -44 --- SECTION: صناعة --- (30) صناعة : ينتج مصنع 3 أحجام من علب الطلاء الفارغة، حجم صغير بتكلفة 1.15 ريال للعلبة، وحجم متوسط بتكلفة 1.75 ريال للعلبة، وحجم كبير بتكلفة 2.25 ريال للعلبة، وفي أحد الأيام أنتج من علب الحجم الصغير ضعف ما أنتجه من علب الحجم المتوسط، وكان مجموع ما أنتجه في ذلك اليوم 1385 علبة من جميع الأحجام، بتكلفة إجمالية قدرها 2238.75 ريالا. a) استعمل قاعدة كرامر لإيجاد عدد العلب التي أنتجها المصنع من كل حجم في ذلك اليوم. إذا زادت تكلفة إنتاج علب الحجم الصغير فقط في اليوم التالي لتصبح 1.25 ريال بعد زيادة قليلة في الحجم، فأوجد تكلفة الإنتاج في اليوم التالي إذا كان إنتاج المصنع مقارنة باليوم السابق أقل بـ 140 علبة ... من الحجم الصغير، وأكثر بـ 125 علبة من الحجم المتوسط، وأكثر بـ 35 علبة من الحجم الكبير ...