📝 ملخص الصفحة
📚 مسائل مهارات التفكير العليا ومراجعة
المفاهيم الأساسية
(لا تحتوي الصفحة على تعريفات جديدة للمفاهيم، بل على تطبيقات وأسئلة)
خريطة المفاهيم
```markmap
الفصل 2: المصفوفات
المحددات وقاعدة كرامر (2-4)
تطبيقات المحددات
#### إيجاد مساحة المثلث
##### تمرين 31: بستنة
###### إحداثيات رؤوس الحديقة: (3-, 4), (2, 6), (1-, 7)
###### المطلوب: إيجاد المساحة الحقيقية (كل وحدة = 1 متر)
مسائل مهارات التفكير العليا
#### تمرين 32: محدد مصفوفة 3×3
##### عناصر المصفوفة: aₘₙ = 0 إذا كان m+n زوجياً، aₘₙ = m+n إذا كان فردياً
#### تمرين 33: مسألة مفتوحة
##### أ) مصفوفة 2×2 محدّدتها = 0
##### ب) مصفوفة 2×2 محدّدتها = 25
##### ج) مصفوفة 2×2 جميع عناصرها سالبة ومحدّدتها = 32
#### تمرين 34: تمثيلات بيانية لنظام معادلتين
##### المطلوب: وصف التمثيلات الممكنة إذا كان محدد مصفوفة المعاملات = 0
تدريب على اختبار
#### تمرين 35: مصفوفة 2×2
##### جميع عناصرها سالبة ومحدّدتها = 20
#### تمرين 36: إيجاد مساحة مثلث (اختيار من متعدد)
##### إحداثيات الرؤوس: A(1, 3), B(1, -2), C(-3, 1)
##### الخيارات: 10، 14، 12، 16 وحدة مربعة
مراجعة تراكمية
#### ضرب المصفوفات (الدرس 3-2)
##### تمرين 37: A₄ₓ₂ B₂ₓ₆
##### تمرين 38: C₅ₓ₄ D₅ₓ₃
##### تمرين 39: E₂ₓ₇ F₇ₓ₁
#### حل أنظمة المعادلات (مهارة سابقة)
##### تمرين 40:
\begin{cases} 2x + 5y = -26 \\ 5x + 3y = -34 \end{cases}
##### تمرين 41:
\begin{cases} 4y + 6x = 10 \\ 2x - 7y = 22 \end{cases}
```
نقاط مهمة
- الصفحة تحتوي على قسمين رئيسيين: مسائل مهارات التفكير العليا و مراجعة تراكمية.
- تركز المسائل على تطبيقات المحددات (حساب المساحة، خصائص المصفوفات، التمثيل البياني).
- قسم المراجعة يتضمن أسئلة عن ضرب المصفوفات و حل أنظمة المعادلات الخطية.
- يوجد سؤال واحد اختيار من متعدد (تمرين 36) مرتبط برسم بياني لمثلث.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
31
نوع: QUESTION_HOMEWORK
بستنة : أراد حمد إنشاء حديقة مثلثية الشكل في فناء منزله، فرسم لها مخططا على المستوى الإحداثي،
فكانت إحداثيات رؤوس الحديقة على المستوى (3-, 4), (2, 6), (1-, 7). جد المساحة الحقيقية للحديقة
إذا كانت كل وحدة على المستوى الإحداثي تمثل مترًا على الأرض.
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
32
نوع: QUESTION_HOMEWORK
تحد أوجد قيمة محدّدة مصفوفة من النوع 3×3 ، على أن تكون عناصرها على النحو الآتي:
إذا كان m + n زوجيا
إذا كان m + n فرديا
33
نوع: QUESTION_HOMEWORK
مسألة مفتوحة : أعط مثالا لمصفوفة من الرتبة 22 تحقق الشرط المذكور في كل مما يأتي:
a) المحددة تساوي صفرًا.
b) المحددة تساوي 25
c) جميع العناصر أعداد سالبة والمحددة تساوي 32
34
نوع: QUESTION_HOMEWORK
اكتب صف التمثيلات البيانية الممكنة لنظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين إذا كانت محددة مصفوفة
المعاملات تساوي صفرًا.
نوع: محتوى تعليمي
تدريب على اختبار
35
نوع: QUESTION_HOMEWORK
إجابة قصيرة: أعط مثالا لمصفوفة من الرتبة 2 × 2 ، بحيث
تكون جميع عناصرها أعدادًا سالبة ومحددتها تساوي 20.
36
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد مساحة المثلث
المبين في الشكل المجاور.
A 10 وحدات مربعة
B 14 وحدة مربعة
C 12 وحدة مربعة
D 16 وحدة مربعة
نوع: محتوى تعليمي
مراجعة تراكمية
37
نوع: QUESTION_HOMEWORK
حدد إذا كانت مصفوفة الضرب معرفة في كل مما يأتي أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة: (الدرس (3-2)
38
نوع: QUESTION_HOMEWORK
C5x4D5×3
39
نوع: QUESTION_HOMEWORK
E2x7 F7x1
40
نوع: QUESTION_HOMEWORK
حل كل نظام مما يأتي: (مهارة سابقة)
2x5y=-26
5x + 3y = -34
41
نوع: QUESTION_HOMEWORK
4y+6x10
2x - 7y = 22
🔍 عناصر مرئية
Triangle in the coordinate plane
A triangle ABC is plotted on a Cartesian coordinate plane. The vertices are A, B, and C. The origin O is inside the triangle.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 7 بطاقة لهذه الصفحة
ما صيغة حساب مساحة مثلث باستخدام إحداثيات رؤوسه (a, b), (c, d), (e, f)؟
- أ) المساحة = |a(d - f) + c(f - b) + e(b - d)|
- ب) المساحة = ½ |a(d - f) + c(f - b) + e(b - d)|
- ج) المساحة = |a(d + f) + c(f + b) + e(b + d)|
- د) المساحة = ½ (a*d + c*f + e*b)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: المساحة = ½ |a(d - f) + c(f - b) + e(b - d)|
الشرح: 1. تُستخدم الصيغة: المساحة = ½ |a(d - f) + c(f - b) + e(b - d)|. 2. تُعوض إحداثيات الرؤوس مكان a,b,c,d,e,f. 3. تُحسب القيمة داخل القوس المطلق. 4. تُضرب النتيجة في ½ للحصول على المساحة.
تلميح: تتضمن الصيغة استخدام المحددات أو صيغة مشتقة منها.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
ما الشرط الذي يجب أن يتحقق في نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين حتى تكون محددة مصفوفة المعاملات له تساوي صفرًا؟
- أ) أن يكون للمعادلتين نفس الحد المطلق (e و f).
- ب) أن تكون إحدى المعادلتين مضاعفة للأخرى.
- ج) أن تكون معاملات المتغيرات في المعادلتين متناسبة (أي أن المستقيمين متوازيان أو متطابقان).
- د) أن يكون ميلا المستقيمين حاصل ضربهما يساوي -1.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: أن تكون معاملات المتغيرات في المعادلتين متناسبة (أي أن المستقيمين متوازيان أو متطابقان).
الشرح: 1. لمصفوفة معاملات نظام معادلتين خطيتين (ax+by=e, cx+dy=f) محدد يساوي ad - bc. 2. إذا كان المحدد = 0، فهذا يعني ad = bc. 3. هذه العلاقة تعني أن النسبة a/c = b/d (إذا كانت c و d ≠ 0). 4. هذه التناسب تعني أن معاملات المتغيرات في المعادلتين متناسبة، وبالتالي فإن المستقيمين الممثلين للمعادلتين إما متوازيان (لا حل) أو متطابقان (عدد لا نهائي من الحلول).
تلميح: فكر في العلاقة بين ميلي المستقيمين الممثلين للمعادلتين عندما يكون المحدد صفراً.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
أي مما يلي يمثل مثالاً لمصفوفة 2×2 جميع عناصرها سالبة ومحددتها تساوي 20؟
- أ) [[-4, -5], [-5, -4]]
- ب) [[-10, -5], [-4, -4]]
- ج) [[-2, -10], [-10, -2]]
- د) [[-6, -3], [-8, -4]]
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: [[-10, -5], [-4, -4]]
الشرح: 1. محدد المصفوفة [[a, b], [c, d]] = a*d - b*c. 2. الشرط: a, b, c, d < 0 و a*d - b*c = 20. 3. اختيار a=-5, d=-4 يعطي a*d = 20. 4. لجعل a*d - b*c = 20، يجب أن يكون b*c = 0. نختار b=-2, c=-10، فيكون b*c = 20. 5. الناتج: (-5)*(-4) - (-2)*(-10) = 20 - 20 = 0 (خطأ). 6. التصحيح: نريد a*d - b*c = 20. إذا جعلنا a*d = 40 و b*c = 20. مثال: a=-10, d=-4 (حاصل ضربهم 40)، b=-5, c=-4 (حاصل ضربهم 20). الناتج: 40 - 20 = 20. إذن المصفوفة هي [[-10, -5], [-4, -4]].
تلميح: تذكر أن محدد المصفوفة [[a, b], [c, d]] = ad - bc. جرب خيارات تحقق ad - bc = 20 مع كون a, b, c, d أعداداً سالبة.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
عند ضرب مصفوفتين A و B، متى تكون عملية الضرب معرفة؟
- أ) عندما يكون عدد صفوف المصفوفتين متساوياً.
- ب) عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
- ج) عندما تكون رتبتا المصفوفتين متساويتين.
- د) عندما يكون عدد عناصر المصفوفتين متساوياً.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
الشرح: 1. ليكن للمصفوفة A رتبة m×n (m صف، n عمود). 2. ولتكن للمصفوفة B رتبة p×q (p صف، q عمود). 3. عملية ضرب المصفوفة A في المصفوفة B (A × B) تكون معرفة فقط إذا كان عدد أعمدة A (وهو n) مساوياً لعدد صفوف B (وهو p). 4. أي يجب أن يكون n = p. 5. إذا تحقق هذا الشرط، فإن رتبة المصفوفة الناتجة A×B ستكون m×q.
تلميح: فكر في أبعاد المصفوفات: A من رتبة m×n، و B من رتبة p×q.
التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط
إذا كانت محددة مصفوفة معاملات نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين تساوي صفرًا، فما التمثيلات البيانية الممكنة للمعادلتين؟
- أ) إما المستقيمان متقاطعان أو متطابقان.
- ب) إما المستقيمان متوازيان أو متطابقان.
- ج) المستقيمان متقاطعان دائمًا.
- د) المستقيمان متعامدان دائمًا.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: إما المستقيمان متوازيان أو متطابقان.
الشرح: 1. عندما يكون محدد مصفوفة المعاملات صفرًا، فإن معادلتا المستقيمين غير مستقلتين خطيًا. 2. هذا يعني أن ميليهما متساويان. 3. إذا كان الحدان المطلقان مختلفان، يكون المستقيمان متوازيين (لا حل). 4. إذا كان الحدان المطلقان متساويين، يكون المستقيمان متطابقين (عدد لا نهائي من الحلول).
تلميح: محدد مصفوفة المعاملات يساوي صفرًا يعني أن معادلتا المستقيمين غير مستقلتين خطيًا.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
أي مما يلي يمثل مصفوفة من الرتبة 2×2 جميع عناصرها سالبة ومحددتها تساوي 20؟
- أ) [[-2, -5], [-4, -6]]
- ب) [[-4, -2], [-3, -4]]
- ج) [[-6, -2], [-2, -4]]
- د) [[-5, -3], [-3, -5]]
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: [[-6, -2], [-2, -4]]
الشرح: 1. محدد المصفوفة [[a, b], [c, d]] = a*d - b*c. 2. يجب أن تكون a, b, c, d سالبة. 3. للخيار [[-2, -5], [-4, -6]]: (-2)*(-6) - (-5)*(-4) = 12 - 20 = -8 (خطأ). 4. للخيار [[-4, -2], [-5, -6]]: (-4)*(-6) - (-2)*(-5) = 24 - 10 = 14 (خطأ). 5. للخيار [[-5, -2], [-4, -6]]: (-5)*(-6) - (-2)*(-4) = 30 - 8 = 22 (خطأ). 6. للخيار [[-5, -4], [-2, -6]]: (-5)*(-6) - (-4)*(-2) = 30 - 8 = 22 (خطأ). (ملاحظة: تم تعديل الخيارات لضمان وجود إجابة واحدة صحيحة. الإجابة الصحيحة هي [[-5, -2], [-4, -6]] بعد التعديل، لكنها تعطي 22. سنعدل الخيارات لتعكس مثالاً صحيحاً). لنفترض المصفوفة [[-10, -1], [-2, -2]]: (-10)*(-2) - (-1)*(-2) = 20 - 2 = 18 (خطأ). مثال صحيح: [[-4, -1], [-2, -6]]: (-4)*(-6) - (-1)*(-2) = 24 - 2 = 22 (خطأ). لتكون الإجابة 20، يمكن أن تكون [[-5, -1], [-2, -6]]: 30 - 2 = 28 (خطأ). سنختار مثالاً صحيحاً من الخيارات المعدلة: الخيار ب: [[-4, -2], [-3, -4]]: (-4)*(-4) - (-2)*(-3) = 16 - 6 = 10 (خطأ). سنقدم مثالاً صحيحاً في الإجابة: [[-5, -2], [-2, -6]]: (-5)*(-6) - (-2)*(-2) = 30 - 4 = 26 (خطأ). بعد المراجعة، مثال صحيح هو [[-10, 0], [0, -2]] لكنه يحتوي على صفر. مثال صحيح مع عناصر سالبة كلها: [[-6, -2], [-2, -4]]: (-6)*(-4) - (-2)*(-2) = 24 - 4 = 20. إذن الإجابة الصحيحة هي [[-6, -2], [-2, -4]].
تلميح: تذكر أن محدد المصفوفة [[a, b], [c, d]] = ad - bc. يجب أن تكون a, b, c, d أعدادًا سالبة و ad - bc = 20.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب
ما شرط تعريف ضرب المصفوفتين A_{m×n} و B_{p×q}؟
- أ) يجب أن يكون عدد صفوف المصفوفة الأولى مساويًا لعدد أعمدة المصفوفة الثانية.
- ب) يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
- ج) يجب أن يكون عدد صفوف المصفوفتين متساويًا.
- د) يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفتين متساويًا.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
الشرح: 1. لضرب مصفوفتين، يجب أن يتطابق عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. 2. إذا كانت A من الرتبة m×n و B من الرتبة p×q، فإن الشرط هو n = p. 3. إذا تحقق الشرط، تكون رتبة المصفوفة الناتجة C هي m×q.
تلميح: تذكر أبعاد المصفوفات: A لها m صف و n عمود، B لها p صف و q عمود.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل