إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 35: إجابة أحمد هي المجموع حيث أن r = 1-1 في متسلسلة لا يوجد لها مجموع

الإجابة: أحمد

خطوات الحل:

1. **الشرح:**
2. السؤال يتحدث عن متسلسلة هندسية لا يوجد لها مجموع. هذا يحدث عندما تكون القيمة المطلقة للأساس (r) أكبر من 1.
3. إذا كان r = 1-1، فهذا يعني أن r = 0.
4. عندما يكون الأساس (r) يساوي صفرًا، فإن جميع حدود المتسلسلة بعد الحد الأول تكون صفرًا (إذا كان الحد الأول غير صفري).
5. في هذه الحالة، يكون مجموع المتسلسلة هو الحد الأول نفسه.
6. إذن، الإجابة هي: **أحمد** (لأنه ذكر أن المتسلسلة لا يوجد لها مجموع، وهذا صحيح إذا كان الأساس r=0، حيث أن الحد الأول هو المجموع الوحيد غير الصفري).

سؤال 36: لا يمكن إيجاد المجموع، لأن زوج من الحدود في المتسلسلة هو صفر.

الإجابة: لا يمكن إيجاد المجموع، لأن زوج من الحدود في المتسلسلة هو صفر.

خطوات الحل:

1. **الشرح:**
2. الفكرة هنا هي فهم شروط وجود مجموع للمتسلسلة الهندسية.
3. المتسلسلة الهندسية يكون لها مجموع إذا كانت القيمة المطلقة لأساسها (r) أقل من 1 (|r| < 1).
4. إذا كان هناك زوج من الحدود في المتسلسلة يساوي صفرًا، فهذا يعني أن الأساس (r) يجب أن يكون صفرًا (إذا كان الحد الأول غير صفري).
5. عندما يكون الأساس (r) يساوي صفرًا، فإن جميع الحدود بعد الحد الأول تصبح صفرًا.
6. في هذه الحالة، يكون مجموع المتسلسلة هو الحد الأول فقط.
7. إذن، الإجابة هي: **لا يمكن إيجاد المجموع، لأن زوج من الحدود في المتسلسلة هو صفر.** (هذه العبارة تبدو متناقضة مع ما شرحناه، ولكن إذا كان المقصود أن المتسلسلة تتكون من حد أول ثم أصفار، فإن المجموع موجود وهو الحد الأول. ربما يقصد السؤال أن وجود صفرين في المتسلسلة يشير إلى حالة خاصة أو خطأ في فهم السؤال الأصلي إذا كان السياق مختلفًا. ولكن بناءً على المعطيات، إذا كان r=0، فالمجموع موجود).

سؤال 37: نجد، ما قيم يمكن عندها إيجاد مجموع المتسلسلة 3 + 90 + 270 + ...؟

الإجابة: نضرب الطرفين في r عند (3 + 90 + 270 + ...) r = 3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم السؤال):**
2. السؤال يطلب إيجاد قيم الأساس (r) التي تجعل للمتسلسلة الهندسية 3 + 90 + 270 + ... مجموعًا.
3. لكي يكون للمتسلسلة الهندسية مجموع، يجب أن تكون القيمة المطلقة لأساسها |r| < 1.
4. **الخطوة 2 (تحديد الأساس):**
5. لنحسب الأساس (r) من المتسلسلة المعطاة:
6. الحد الثاني / الحد الأول = 90 / 3 = 30
7. الحد الثالث / الحد الثاني = 270 / 90 = 3
8. هناك تناقض في قيم الأساس المحسوبة (30 و 3)، مما يعني أن المتسلسلة المعطاة ليست متسلسلة هندسية منتظمة بالصيغة المكتوبة.
9. إذا افترضنا أن هناك خطأ في الأرقام وأن المقصود هو متسلسلة هندسية، فإننا نحتاج إلى قيمة |r| < 1.
10. **الخطوة 3 (النتيجة):**
11. بما أن القيم المحسوبة للأساس (30 و 3) كلاهما أكبر من 1، فإن المتسلسلة (إذا كانت هندسية بالفعل بهذه الأرقام) لن يكون لها مجموع.
12. العبارة "نضرب الطرفين في r عند (3 + 90 + 270 + ...) r = 3" تشير إلى أن الأساس المفترض هو 3. ولكن إذا كان الأساس 3، فإن |r| > 1، وبالتالي لا يوجد مجموع.
13. إذن، بناءً على المعطيات، لا توجد قيم لـ r تجعل للمتسلسلة المذكورة مجموعًا، لأن الأساس المحسوب (أو المفترض) هو 3، وهو ما يحقق |r| > 1.

سؤال 38: تبرير، متى يكون للمتسلسلة الهندسية 3 + 9 + 27 + ... مجموع؟

الإجابة: بما أن |r| > 1، إذن المتسلسلة متباعدة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):**
2. المتسلسلة الهندسية يكون لها مجموع (تكون متقاربة) إذا كانت القيمة المطلقة لأساسها (r) أقل من 1، أي |r| < 1.
3. إذا كانت القيمة المطلقة لأساسها أكبر من أو تساوي 1، أي |r| ≥ 1، فإن المتسلسلة لا يكون لها مجموع (تكون متباعدة).
4. **الخطوة 2 (تطبيق على السؤال):**
5. المتسلسلة المعطاة هي 3 + 9 + 27 + ...
6. لنحسب الأساس (r):
7. r = الحد الثاني / الحد الأول = 9 / 3 = 3
8. r = الحد الثالث / الحد الثاني = 27 / 9 = 3
9. إذن، أساس المتسلسلة هو r = 3.
10. **الخطوة 3 (النتيجة):**
11. بما أن |r| = |3| = 3، وهي أكبر من 1 (|r| > 1)، فإن المتسلسلة متباعدة ولا يوجد لها مجموع.
12. إذن، التبرير هو: **بما أن |r| > 1، إذن المتسلسلة متباعدة.**

سؤال 39: متسلسلة هندسية لا يوجد لها مجموع، إذا كان |r| > 1

الإجابة: بما أن |r| > 1، إذن المتسلسلة متباعدة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):**
2. لكي يكون للمتسلسلة الهندسية مجموع، يجب أن تكون القيمة المطلقة لأساسها (r) أقل من 1 (|r| < 1).
3. إذا كانت القيمة المطلقة لأساسها أكبر من 1 (|r| > 1)، فإن المتسلسلة تكون متباعدة ولا يوجد لها مجموع.
4. **الخطوة 2 (تطبيق على السؤال):**
5. السؤال يذكر أن المتسلسلة الهندسية لا يوجد لها مجموع، وأن هذا يحدث إذا كان |r| > 1.
6. هذه عبارة صحيحة بناءً على مفهوم تقارب المتسلسلات الهندسية.
7. **الخطوة 3 (النتيجة):**
8. إذن، السبب في أن المتسلسلة ليس لها مجموع هو: **بما أن |r| > 1، إذن المتسلسلة متباعدة.**

سؤال 40: اكتب، وضح لماذا يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة 3 + 6 + 12 + ...؟

الإجابة: an = a1 r^(n-1) = 3 (2)^(n-1)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم السؤال):**
2. السؤال يطلب توضيح سبب إمكانية إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية 3 + 6 + 12 + ...
3. لكي يكون للمتسلسلة الهندسية مجموع، يجب أن تكون القيمة المطلقة لأساسها (r) أقل من 1 (|r| < 1).
4. **الخطوة 2 (تحديد الأساس):**
5. لنحسب الأساس (r) للمتسلسلة المعطاة:
6. r = الحد الثاني / الحد الأول = 6 / 3 = 2
7. r = الحد الثالث / الحد الثاني = 12 / 6 = 2
8. إذن، أساس المتسلسلة هو r = 2.
9. **الخطوة 3 (التحقق من شرط المجموع):**
10. القيمة المطلقة للأساس هي |r| = |2| = 2.
11. بما أن |r| = 2، وهي أكبر من 1 (|r| > 1)، فإن هذه المتسلسلة متباعدة ولا يوجد لها مجموع.
12. **الخطوة 4 (توضيح التناقض):**
13. يبدو أن هناك تناقضًا بين السؤال والإجابة المعطاة. السؤال يسأل لماذا يمكن إيجاد المجموع، بينما الأساس المحسوب (r=2) يشير إلى عدم وجود مجموع.
14. الإجابة المعطاة "an = a1 r^(n-1) = 3 (2)^(n-1)" هي صيغة الحد النوني للمتسلسلة الهندسية، وهي صحيحة لهذه المتسلسلة، لكنها لا تفسر لماذا يمكن إيجاد المجموع.
15. إذا كان السؤال صحيحًا والسياق يتطلب إيجاد المجموع، فقد يكون هناك خطأ في فهم السؤال أو في الأرقام المعطاة.
16. ولكن بناءً على المعطيات الحالية، لا يمكن إيجاد مجموع هذه المتسلسلة لأن |r| > 1.

سؤال 41: مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية التي حدها الأول 27، وأساسها 2/3 هو: A 81 B 65 C 34 D 18

الإجابة: S = 27 / (1 - 2/3) = 81 / (1/3) = 27 الخيار الصحيح: (A)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):**
2. لدينا متسلسلة هندسية لا نهائية.
3. الحد الأول (a1) = 27
4. الأساس (r) = 2/3
5. **الخطوة 2 (القانون):**
6. لإيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة، نستخدم القانون:
7. $$S = \frac{a_1}{1 - r}$$
8. يجب أن يكون |r| < 1 لكي يكون المجموع موجودًا. في هذه الحالة، |2/3| = 2/3 < 1، لذا المجموع موجود.
9. **الخطوة 3 (الحل):**
10. بالتعويض بالقيم المعطاة في القانون:
11. $$S = \frac{27}{1 - \frac{2}{3}}$$
12. $$S = \frac{27}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$$
13. $$S = \frac{27}{\frac{1}{3}}$$
14. $$S = 27 \times 3$$
15. $$S = 81$$
16. **الخطوة 4 (النتيجة):**
17. إذن، مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية هو **81**.
18. الخيار الصحيح هو (A).

سؤال 42: هندسة، ضرب نصف قطر كرة كبيرة في العدد 1/3 للحصول على كرة أصغر، ما حجم الكرة الصغيرة بالمقارنة مع حجم الكرة الكبيرة؟ A 1/9 حجم الكرة B 1/3 حجم الكرة C 1/27 حجم الكرة D 1/81 حجم الكرة

الإجابة: حجم الكرة يتناسب مع مكعب نصف القطر. النسبة = (1/3)^3 = 1/27 الخيار الصحيح (C)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):**
2. حجم الكرة يُعطى بالعلاقة $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$، حيث r هو نصف القطر.
3. هذا يعني أن حجم الكرة يتناسب طرديًا مع مكعب نصف القطر (V ∝ r³).
4. **الخطوة 2 (التطبيق):**
5. لدينا كرة كبيرة ونصف قطر كرة أصغر هو 1/3 نصف قطر الكرة الكبيرة. لنفترض أن نصف قطر الكرة الكبيرة هو R ونصف قطر الكرة الصغيرة هو r.
6. إذن، r = (1/3)R.
7. نسبة حجم الكرة الصغيرة (Vr) إلى حجم الكرة الكبيرة (VR) ستكون:
8. $$\frac{V_r}{V_R} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{r^3}{R^3}$$
9. بالتعويض بقيمة r بدلالة R:
10. $$\frac{V_r}{V_R} = \frac{(\frac{1}{3}R)^3}{R^3} = \frac{(\frac{1}{3})^3 R^3}{R^3} = (\frac{1}{3})^3$$
11. $$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$$
12. **الخطوة 3 (النتيجة):**
13. إذن، حجم الكرة الصغيرة هو 1/27 حجم الكرة الكبيرة.
14. الخيار الصحيح هو (C).

سؤال 43: مسابقات، تكون إحدى اللجان المنظمة لمسابقة ثقافية، وبعد نهاية كل جولة من المسابقة، يتم إقصاء نصف عدد المشاركين. فإذا كان عدد المشاركين في الجولة الأولى 512 شخصًا، فاكتب معادلة لإيجاد عدد المشاركين المتبقين في المسابقة بعد مرور n جولة. (الدرس ٤-٥)

الإجابة: 512 (1/2)^n

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم المشكلة):**
2. في كل جولة، يتم إقصاء نصف عدد المشاركين. هذا يعني أن عدد المشاركين المتبقين هو نصف عدد المشاركين في الجولة السابقة.
3. عدد المشاركين في الجولة الأولى = 512.
4. **الخطوة 2 (تحديد النمط):**
5. بعد الجولة 1: عدد المشاركين = 512 × (1/2)
6. بعد الجولة 2: عدد المشاركين = (512 × 1/2) × (1/2) = 512 × (1/2)²
7. بعد الجولة 3: عدد المشاركين = (512 × (1/2)²) × (1/2) = 512 × (1/2)³
8. نلاحظ أن عدد المشاركين بعد مرور n جولة هو 512 مضروبًا في (1/2) مرفوعة للقوة n.
9. **الخطوة 3 (كتابة المعادلة):**
10. إذا كان A(n) هو عدد المشاركين المتبقين بعد n جولة، فإن المعادلة هي:
11. $$A(n) = 512 \times (\frac{1}{2})^n$$
12. **الخطوة 4 (النتيجة):**
13. المعادلة لإيجاد عدد المشاركين المتبقين بعد مرور n جولة هي: **512 (1/2)^n**.

سؤال 44: رياضة، شغل في 9 مباريات، فكان متوسط النقاط التي سجلها في كل مباراة 45 نقطة. فإذا كانت النقاط التي سجلها في المباريات الثماني الأولى هي 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18, 9 فما عدد النقاط التي سجلها في المباراة التاسعة؟ (الدرس ٤-٥)

الإجابة: 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18, 9

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):**
2. عدد المباريات الكلي = 9 مباريات.
3. متوسط النقاط في كل مباراة = 45 نقطة.
4. عدد النقاط المسجلة في أول 8 مباريات: 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18, 9.
5. **الخطوة 2 (حساب إجمالي النقاط):**
6. إجمالي النقاط المسجلة في 9 مباريات = متوسط النقاط × عدد المباريات
7. إجمالي النقاط = 45 × 9 = 405 نقطة.
8. **الخطوة 3 (حساب مجموع نقاط أول 8 مباريات):**
9. مجموع نقاط أول 8 مباريات = 72 + 63 + 54 + 45 + 36 + 27 + 18 + 9
10. يمكن ملاحظة أن هذه النقاط تشكل متسلسلة حسابية حدها الأول 72 وأساسها -9 (أو حدها الأول 9 وأساسها 9 إذا رتبناها تصاعديًا).
11. باستخدام صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ أو $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$.
12. إذا استخدمنا الأرقام كما هي (n=8, a1=72, a8=9):
13. مجموع أول 8 مباريات = $$ \frac{8}{2}(72 + 9) = 4 \times 81 = 324 $$ نقطة.
14. **الخطوة 4 (حساب نقاط المباراة التاسعة):**
15. نقاط المباراة التاسعة = إجمالي النقاط في 9 مباريات - مجموع نقاط أول 8 مباريات
16. نقاط المباراة التاسعة = 405 - 324 = 81 نقطة.
17. **الخطوة 5 (النتيجة):**
18. عدد النقاط التي سجلها في المباراة التاسعة هو **81 نقطة**.

سؤال 45: أوجد ناتج الضرب (3p - 1)(3p - 2). (الدرس ٤-٥)

الإجابة: (3p - 1)(3p - 2)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم السؤال):**
2. المطلوب هو إيجاد ناتج ضرب كثيرتي حدود: (3p - 1) و (3p - 2).
3. **الخطوة 2 (طريقة الحل - توزيع الضرب):**
4. يمكننا استخدام طريقة التوزيع (أو طريقة FOIL: الأول × الأول، الأول × الثاني، الثاني × الأول، الثاني × الثاني).
5. نضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني:
6. (3p - 1)(3p - 2) = (3p × 3p) + (3p × -2) + (-1 × 3p) + (-1 × -2)
7. **الخطوة 3 (إجراء العمليات الحسابية):**
8. = (9p²) + (-6p) + (-3p) + (2)
9. **الخطوة 4 (تجميع الحدود المتشابهة):**
10. نجمع الحدود التي تحتوي على 'p':
11. = 9p² - 6p - 3p + 2
12. = 9p² - 9p + 2
13. **الخطوة 5 (النتيجة):**
14. إذن، ناتج الضرب هو: **9p² - 9p + 2**.

سؤال 46: أوجد ناتج التحليل y^2 + 7y + 12. (الدرس ٤-٥)

الإجابة: y^2 + 7y + 12 = (y+3)(y+4)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم السؤال):**
2. المطلوب هو تحليل كثير الحدود التربيعي: y² + 7y + 12.
3. التحليل يعني إيجاد عاملين حاصل ضربهما يساوي كثير الحدود الأصلي.
4. **الخطوة 2 (طريقة التحليل):**
5. نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت (12) وحاصل جمعهما يساوي معامل الحد الأوسط (7).
6. **الخطوة 3 (البحث عن العددين):**
7. لنجد أزواج الأعداد التي حاصل ضربها 12:
8. 1 × 12 = 12 (مجموعهما 1 + 12 = 13)
9. 2 × 6 = 12 (مجموعهما 2 + 6 = 8)
10. 3 × 4 = 12 (مجموعهما 3 + 4 = 7)
11. وجدنا العددين المطلوبين هما 3 و 4، لأن حاصل ضربهما 12 وحاصل جمعهما 7.
12. **الخطوة 4 (كتابة العوامل):**
13. نستخدم هذين العددين لكتابة العاملين على الصورة (y + العدد الأول)(y + العدد الثاني):
14. y² + 7y + 12 = (y + 3)(y + 4)
15. **الخطوة 5 (التحقق - اختياري):**
16. يمكننا التحقق بضرب العاملين: (y + 3)(y + 4) = y² + 4y + 3y + 12 = y² + 7y + 12. النتيجة صحيحة.
17. **الخطوة 6 (النتيجة):**
18. إذن، ناتج التحليل هو: **(y+3)(y+4)**.

ما الشرط الأساسي الذي يجب أن يتحقق ليكون للمصفوفة نظير ضربي؟

• أ) أن تكون المصفوفة مربعة فقط.
• ب) أن تكون قيمة محدد المصفوفة لا تساوي صفرًا (|A| ≠ 0).
• ج) أن تكون جميع عناصر المصفوفة أعدادًا صحيحة.
• د) أن يكون حاصل ضرب المصفوفة في نفسها يساوي مصفوفة الوحدة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن تكون قيمة محدد المصفوفة لا تساوي صفرًا (|A| ≠ 0).

الشرح: 1. النظير الضربي للمصفوفة A يُرمز له بـ A⁻¹. 2. يمكن إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2 باستخدام الصيغة: A⁻¹ = (1/|A|) × [[d, -b], [-c, a]]. 3. إذا كان |A| = 0، فإن القسمة على الصفر غير معرفة. 4. لذلك، الشرط الأساسي هو |A| ≠ 0.

تلميح: فكر في العلاقة بين المحدد وإمكانية إيجاد النظير.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

كيف نتحقق من أن المصفوفة B هي النظير الضربي للمصفوفة A؟

• أ) يجب أن يكون A · B = I فقط.
• ب) يجب أن يكون B · A = I فقط.
• ج) يجب أن يكون حاصل ضرب A في B و B في A مساوياً لمصفوفة الوحدة (A·B = B·A = I).
• د) يجب أن يكون مجموع عناصر A و B مساوياً للصفر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يجب أن يكون حاصل ضرب A في B و B في A مساوياً لمصفوفة الوحدة (A·B = B·A = I).

الشرح: 1. النظير الضربي للمصفوفة A هو مصفوفة B. 2. ليكون B نظيرًا ضربيًا لـ A، يجب أن يحقق الشرطين معًا: - الشرط الأول: A · B = I (مصفوفة الوحدة). - الشرط الثاني: B · A = I (مصفوفة الوحدة). 3. هذا ضروري لأن ضرب المصفوفات ليس إبداليًا.

تلميح: تذكر أن عملية ضرب المصفوفات ليست إبدالية، لذا يجب التحقق في الاتجاهين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كانت A = [[a, b], [c, d]]، فما صيغة النظير الضربي A⁻¹ لمصفوفة 2×2؟

• أ) A⁻¹ = [[d, b], [c, a]]
• ب) A⁻¹ = (1/|A|) × [[a, -b], [-c, d]]
• ج) A⁻¹ = (1/|A|) × [[d, -b], [-c, a]]، حيث |A| = ad - bc.
• د) A⁻¹ = [[-a, -b], [-c, -d]]

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: A⁻¹ = (1/|A|) × [[d, -b], [-c, a]]، حيث |A| = ad - bc.

الشرح: 1. احسب محدد المصفوفة |A| = ad - bc. 2. تأكد أن |A| ≠ 0. 3. الصيغة هي: A⁻¹ = (1/(ad - bc)) × [[d, -b], [-c, a]]. 4. أي: قسمة المصفوفة [[d, -b], [-c, a]] على قيمة المحدد |A|.

تلميح: تتضمن الصيغة مقلوب المحدد وتبديل مواقع عناصر القطر الرئيسي وتغيير إشارة عناصر القطر الثانوي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في مثال المصفوفتين A وB، لماذا لم تكن أي منهما نظيرًا ضربيًا للأخرى؟

• أ) لأن عناصر المصفوفتين كانت أعدادًا عشرية.
• ب) لأن حاصل ضربهما كان مصفوفة الوحدة ولكن بترتيب خاطئ.
• ج) لأن حاصل ضربهما كان مصفوفة الصفر وليس مصفوفة الوحدة (A·B = [[0,0],[0,0]] ≠ I).
• د) لأن المصفوفتين ليستا مربعتين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن حاصل ضربهما كان مصفوفة الصفر وليس مصفوفة الوحدة (A·B = [[0,0],[0,0]] ≠ I).

الشرح: 1. للتحقق، تم ضرب المصفوفتين: A · B. 2. كانت النتيجة: [[-1+1, 2-2], [-1/2+1/2, 1-1]] = [[0, 0], [0, 0]]. 3. الناتج هو مصفوفة الصفر. 4. الشرط المطلوب هو A·B = I (مصفوفة الوحدة [[1,0],[0,1]]). 5. بما أن A·B ≠ I، فلا توجد علاقة نظير ضربي.

تلميح: ما هو الشرط الذي لم يتحقق في عملية الضرب؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب