صفحة 91 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

المفاهيم الأساسية

مصفوفة الوحدة (Identity Matrix): مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيس تساوي 1، والباقي أصفار. وهي المصفوفة المحايدة لعملية الضرب.

النظير الضربي للمصفوفة (Inverse Matrix): إذا كانت المصفوفتان A و B مربعتين ولهما الرتبة نفسها، وكان AB = BA = I، فإن B نظير ضربي لـ A، والعكس صحيح. ويرمز له بـ A⁻¹.

المعادلة المصفوفية (Matrix Equation): معادلة تكتب باستخدام المصفوفات.

مصفوفة الثوابت (Constant Matrix): مصفوفة تحتوي على الحدود الثابتة في نظام المعادلات.

مصفوفة المتغيرات (Variable Matrix): مصفوفة تحتوي على متغيرات نظام المعادلات.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

المحددات وقاعدة كرامر (2-4)

تطبيقات المحددات

#### إيجاد مساحة المثلث

##### تمرين 31: بستنة

###### إحداثيات رؤوس الحديقة: (3-, 4), (2, 6), (1-, 7)

###### المطلوب: إيجاد المساحة الحقيقية (كل وحدة = 1 متر)

مسائل مهارات التفكير العليا

#### تمرين 32: محدد مصفوفة 3×3

##### عناصر المصفوفة: aₘₙ = 0 إذا كان m+n زوجياً، aₘₙ = m+n إذا كان فردياً

#### تمرين 33: مسألة مفتوحة

##### أ) مصفوفة 2×2 محدّدتها = 0

##### ب) مصفوفة 2×2 محدّدتها = 25

##### ج) مصفوفة 2×2 جميع عناصرها سالبة ومحدّدتها = 32

#### تمرين 34: تمثيلات بيانية لنظام معادلتين

##### المطلوب: وصف التمثيلات الممكنة إذا كان محدد مصفوفة المعاملات = 0

تدريب على اختبار

#### تمرين 35: مصفوفة 2×2

##### جميع عناصرها سالبة ومحدّدتها = 20

#### تمرين 36: إيجاد مساحة مثلث (اختيار من متعدد)

##### إحداثيات الرؤوس: A(1, 3), B(1, -2), C(-3, 1)

##### الخيارات: 10، 14، 12، 16 وحدة مربعة

مراجعة تراكمية

#### ضرب المصفوفات (الدرس 3-2)

##### تمرين 37: A₄ₓ₂ B₂ₓ₆

##### تمرين 38: C₅ₓ₄ D₅ₓ₃

##### تمرين 39: E₂ₓ₇ F₇ₓ₁

#### حل أنظمة المعادلات (مهارة سابقة)

##### تمرين 40:

\begin{cases} 2x + 5y = -26 \\ 5x + 3y = -34 \end{cases}

##### تمرين 41:

\begin{cases} 4y + 6x = 10 \\ 2x - 7y = 22 \end{cases}

النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)

#### تعريف: مصفوفة مربعة قطرها الرئيس = 1 والباقي = 0

#### رمزها: I

#### خاصية: لأي مصفوفة مربعة A لها نفس رتبة I: A • I = I • A = A

النظير الضربي للمصفوفة

#### تعريف: إذا كانت A و B مصفوفتان مربعتان و AB = BA = I، فإن B نظير ضربي لـ A

#### رمزه: A⁻¹

#### خاصية: A • A⁻¹ = A⁻¹ • A = I

تطبيق: حل أنظمة المعادلات

#### مثال واقعي: تحديد أسعار وجبات الغداء (شطيرة، مقبلات، عصير)

#### الهدف من الدرس:

##### 1. إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2

##### 2. كتابة وحل معادلات مصفوفية لنظام من معادلتين

```

نقاط مهمة

• مصفوفة الوحدة هي العنصر المحايد لعملية ضرب المصفوفات، مثل العدد 1 في ضرب الأعداد.
• النظير الضربي للمصفوفة (A⁻¹) نظير للعدد النظير الضربي للعدد (مثل نظير العدد 5 هو ⅕).
• يمكن استخدام النظير الضربي للمصفوفة لحل أنظمة المعادلات الخطية بكتابتها في صورة معادلة مصفوفية.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية Inverse Matrices and Systems of Linear Equations فيما سبق: درست حل نظام معادلات خطية جبريا. (مهارة سابقة) لماذا ؟ يبين الشكل المجاور أسعار وجبة الغداء في مطعم. ولتحديد سعر كل من الشطيرة، وعلبة المقبلات، وعلبة العصير، يمكنك إيجاد قيم المتغيرات w, s, d التي تحقق المساواة: حيث w تمثل سعر الشطيرة، و تمثل سعر علبة المقبلات، وه تمثل سعر علبة العصير. مصفوفة الوحدة ونظير المصفوفة الضربي تذكّر أن عددين من الأعداد الحقيقية يكون كل منهما نظيرا ضربيًّا للآخر إذا كان حاصل ضربهما هو العنصر المحايد لعملية الضرب. وكذلك الحال في المصفوفات، فإن مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيس تساوي واحدا، والباقي أصفار. مصفوفة وحدة من النوع 2 × 2 مصفوفة وحدة من النوع 3 × 3 أضف إلى مطويتك المصفوفة المحايدة لعملية الضرب التعبير اللفظي المصفوفة المحايدة لعملية الضرب ورمزها I هي مصفوفة الوحدة، والتي إذا ضربت في أي مصفوفة أخرى من الرتبة نفسها كان الناتج هو المصفوفة الأخرى. لأي مصفوفة مربعة A لها رتبة مصفوفة الوحدة I نفسها، فإن A • I = I • A = A. الرموز: إذا كانت A = [ ] ، و I = [ ] فإن مثال : إذا كانت المصفوفتان A, B مربعتين ولهما الرتبة نفسها، وكان AB = BA = I فإن المصفوفة B تُسمى نظيرا ضربيًا للمصفوفة A ، وكذلك تُسمى المصفوفة A نظيرا ضربيًا للمصفوفة .B. وإذا كان للمصفوفة A نظير ضربي فإنه يرمز إليه بالرمز 1-A، حيث A • A-1 = A-1 . A = I والآن: أجد النظير الضربي لمصفوفة من النوع 2 x 2 أكتب معادلات مصفوفية لنظام من معادلتين وأحلها . المفردات : مصفوفة الوحدة identity matrix النظير الضربي للمصفوفة inverse matrix المعادلة المصفوفية matrix equation مصفوفة الثوابت constant matrix مصفوفة المتغيرات variable matrix خيارات وجبة الغداء 10 ريال وجبة عادية شطيرة + علبتي مقبلات 19 ريال وجبة لشخصين شطيرتان + علبتي مقبلات + علبتي عصير 38 ريال وجبة عائلية 4 شطائر + 3 علب مقبلات + 4 علب عصير