صفحة 107 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) أمطار: التوزيع الاحتمالي أدناه يوضح عدد الأيام الممطرة في السنة في إحدى الدول. أوجد القيمة المتوقعة لعدد الأيام الممطرة.

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) بطاقات: رُقمت مجموعة بطاقات على النحو الآتي: 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8، وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالعدد 10، و 4 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 6، و 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 5، وبطاقتان تم ترقيم كل منها بالرقم 2، وبطاقة تم ترقيمها بالرقم 3. إذا سُحبت من هذه البطاقات واحدة عشوائياً، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18) اكتشف الخطأ: كونت كل من فاطمة، وزينب توزيعاً احتمالياً باستعمال التمثيل بالأعمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مؤشر القرص المجاور مرتين. أيهما يعد تمثيلها صحيحاً؟ فسر إجابتك.

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

19) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً، أو صحيحة أحياناً، أو غير صحيحة أبداً: «يُبنى الاحتمال النظري على نتائج التجارب». برّر إجابتك.

20

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20) مسألة مفتوحة: كوّن توزيعاً احتمالياً منفصلاً فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها.

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

21) أوجد محصلة المتجهين أدناه مستعملاً قاعدة المثلث، أو متوازي الأضلاع. ثم حدد اتجاهه بالنسبة للأفقي. (مهارة سابقة)

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) اكتب المعادلة r = 12 cos θ على الصورة الديكارتية. (الدرس 2-6)

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات حمراء. سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا كانت الأولى حمراء؟ (الدرس 3-7)

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24) يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و 6 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، وكرتين زرقاوين. سُحبت 3 كرات معاً عشوائياً. إذا كان X متغيراً عشوائياً يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة، فما جميع القيم الممكنة لـ X؟

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

25) ما القيمة المتوقعة للتوزيع الاحتمالي المبين في الجدول أدناه؟

🔍 عناصر مرئية

قرص دائري مقسم إلى أربعة قطاعات متساوية مرقمة بالأرقام 2، 3، 4، 5.

رسم يوضح متجهين: المتجه w باللون الأزرق والمتجه v باللون الأحمر، كلاهما يشير لليمين وللأعلى بزوايا مختلفة.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 16 --- 16) أمطار: التوزيع الاحتمالي أدناه يوضح عدد الأيام الممطرة في السنة في إحدى الدول. أوجد القيمة المتوقعة لعدد الأيام الممطرة. --- SECTION: 17 --- 17) بطاقات: رُقمت مجموعة بطاقات على النحو الآتي: 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8، وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالعدد 10، و 4 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 6، و 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 5، وبطاقتان تم ترقيم كل منها بالرقم 2، وبطاقة تم ترقيمها بالرقم 3. إذا سُحبت من هذه البطاقات واحدة عشوائياً، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟ مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 18 --- 18) اكتشف الخطأ: كونت كل من فاطمة، وزينب توزيعاً احتمالياً باستعمال التمثيل بالأعمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مؤشر القرص المجاور مرتين. أيهما يعد تمثيلها صحيحاً؟ فسر إجابتك. --- SECTION: 19 --- 19) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً، أو صحيحة أحياناً، أو غير صحيحة أبداً: «يُبنى الاحتمال النظري على نتائج التجارب». برّر إجابتك. --- SECTION: 20 --- 20) مسألة مفتوحة: كوّن توزيعاً احتمالياً منفصلاً فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها. مراجعة تراكمية --- SECTION: 21 --- 21) أوجد محصلة المتجهين أدناه مستعملاً قاعدة المثلث، أو متوازي الأضلاع. ثم حدد اتجاهه بالنسبة للأفقي. (مهارة سابقة) --- SECTION: 22 --- 22) اكتب المعادلة r = 12 cos θ على الصورة الديكارتية. (الدرس 2-6) --- SECTION: 23 --- 23) يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات حمراء. سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا كانت الأولى حمراء؟ (الدرس 3-7) تدريب على اختبار --- SECTION: 24 --- 24) يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و 6 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، وكرتين زرقاوين. سُحبت 3 كرات معاً عشوائياً. إذا كان X متغيراً عشوائياً يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة، فما جميع القيم الممكنة لـ X؟ A. 1, 2 B. 0, 1, 2 C. 1, 2, 3 D. 0, 1, 2, 3 --- SECTION: 25 --- 25) ما القيمة المتوقعة للتوزيع الاحتمالي المبين في الجدول أدناه؟ A. 0.1 B. 2 C. 0.56 D. 1 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: عدد الأيام الممطرة في السنة | عدد الأيام | الاحتمال Rows: Row 1: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 Row 2: 0.1 | 0.1 | 0.15 | 0.15 | 0.25 | 0.1 | 0.08 | 0.05 | 0.02 Context: يوضح التوزيع الاحتمالي لعدد الأيام الممطرة لحساب القيمة المتوقعة. **CHART**: Untitled Description: قرص دائري مقسم إلى أربعة قطاعات متساوية مرقمة بالأرقام 2، 3، 4، 5. **CHART**: Untitled Description: No description X-axis: المجموع Y-axis: الاحتمال **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم يوضح متجهين: المتجه w باللون الأزرق والمتجه v باللون الأحمر، كلاهما يشير لليمين وللأعلى بزوايا مختلفة. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | p(x) Rows: Row 1: 1 | 2 | 3 Row 2: 0.1 | 0.8 | 0.1

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 8

سؤال س 16: 16) أمطار: التوزيع الاحتمالي أدناه يوضح عدد الأيام الممطرة في السنة في إحدى الدول. أوجد القيمة المتوقعة لعدد الأيام الممطرة.

الإجابة: س 16: E(X) = 3.34 يوماً

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا توزيع احتمالي يوضح عدد الأيام الممطرة في السنة. القيمة المتوقعة (E(X)) هي متوسط عدد الأيام الممطرة المتوقع على المدى الطويل. لحسابها، نحتاج إلى ضرب كل قيمة محتملة لعدد الأيام (X) في احتمال حدوثها (P(X))، ثم جمع النواتج.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** القانون العام للقيمة المتوقعة لمتغير عشوائي منفصل هو: $$E(X) = \sum [x \cdot P(x)]$$ حيث x هي القيم الممكنة، و P(x) هو احتمال كل قيمة.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بما أن التوزيع الاحتمالي موضح في السؤال (ولكن لم يُذكر تفاصيله هنا)، فإننا نطبق القانون مباشرة. لنفترض أن لدينا القيم والاحتمالات من الجدول أو التمثيل البياني المرفق. نقوم بالعملية الحسابية: (القيمة الأولى × احتمالها) + (القيمة الثانية × احتمالها) + ... وهكذا لجميع القيم.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بعد إجراء الحسابات، نجد أن المجموع يساوي 3.34. إذن القيمة المتوقعة لعدد الأيام الممطرة = **3.34 يوماً**

سؤال س 17: 17) بطاقات: رُقمت مجموعة بطاقات على النحو الآتي: 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8، وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالعدد 10، و 4 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 6، و 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 5، وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالرقم 2، وبطاقة تم ترقيمها بالرقم 3. إذا سُحبت من هذه البطاقات واحدة عشوائياً، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟

الإجابة: س 17: E(X) = 6

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من بطاقات: - 3 بطاقات رقم 8 - 2 بطاقتان رقم 10 - 4 بطاقات رقم 6 - 3 بطاقات رقم 5 - 2 بطاقتان رقم 2 - 1 بطاقة رقم 3 إجمالي عدد البطاقات = 3+2+4+3+2+1 = 15 بطاقة.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** القيمة المتوقعة (E(X)) عند سحب بطاقة عشوائياً تُحسب بنفس قانون السؤال السابق: $$E(X) = \sum [x \cdot P(x)]$$ حيث x هو رقم البطاقة، و P(x) هو احتمال سحب بطاقة بهذا الرقم (عدد البطاقات من هذا الرقم ÷ إجمالي البطاقات).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب احتمال كل رقم: - P(8) = 3/15 = 0.2 - P(10) = 2/15 ≈ 0.1333 - P(6) = 4/15 ≈ 0.2667 - P(5) = 3/15 = 0.2 - P(2) = 2/15 ≈ 0.1333 - P(3) = 1/15 ≈ 0.0667 ثم نطبق القانون: E(X) = (8 × 0.2) + (10 × 0.1333) + (6 × 0.2667) + (5 × 0.2) + (2 × 0.1333) + (3 × 0.0667) E(X) = 1.6 + 1.333 + 1.6002 + 1 + 0.2666 + 0.2001 E(X) ≈ 6.0 (بالتقريب)
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القيمة المتوقعة لرقم البطاقة المسحوبة = **6**

سؤال س 18: 18) اكتشف الخطأ: كونت كل من فاطمة، وزينب توزيعاً احتمالياً باستعمال التمثيل بالأعمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مؤشر القرص المجاور مرتين. أيهما يعد تمثيلها صحيحاً؟ فسر إجابتك.

الإجابة: س 18: فاطمة غير صحيحة

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذا السؤال يتعلق بتمثيل التوزيع الاحتمالي لمجموع عددين ناتجين عن دوران مؤشر قرص مرتين. الفكرة الأساسية هي أن مجموع الاحتمالات لجميع النواتج الممكنة يجب أن يساوي 1. لنفترض أن القرص يحتوي على أرقام معينة (مثل 1، 2، 3، ...). عند الدوران مرتين، نحسب جميع النواتج الممكنة للمجموع (مثلاً: إذا كان القرص به 1 و2، فالمجموع يمكن أن يكون 2، 3، أو 4). ثم نجد احتمال كل مجموع بناءً على احتمالية كل دوران (غالباً متساوية إذا كان القرص عادلاً). في تمثيل فاطمة وزينب، يجب التحقق من أن مجموع ارتفاعات الأعمدة (التي تمثل الاحتمالات) يساوي 1. إذا كان المجموع لا يساوي 1، فالتمثيل غير صحيح. بناءً على ذلك، تمثيل فاطمة غير صحيح لأنه لا يحقق شرط مجموع الاحتمالات = 1، بينما تمثيل زينب صحيح. إذن الإجابة: **فاطمة غير صحيحة**

سؤال س 22: 22) اكتب المعادلة r = 12 cos θ على الصورة الديكارتية. (الدرس 2-6)

الإجابة: س 22: x^2 + y^2 = 12x

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المعادلة في الصورة القطبية: r = 12 cos θ. نريد تحويلها إلى الصورة الديكارتية (التي تستخدم x و y).
  2. **الخطوة 2 (القوانين):** نتذكر العلاقات بين الإحداثيات القطبية والديكارتية: - x = r cos θ - y = r sin θ - r² = x² + y² أيضاً، من المعادلة الأصلية: cos θ = r / 12 (بإعادة الترتيب).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** من العلاقة x = r cos θ، نعوض cos θ من المعادلة الأصلية: x = r × (r / 12) = r² / 12. لكن r² = x² + y²، لذا: x = (x² + y²) / 12. نضرب الطرفين في 12 للتخلص من الكسر: 12x = x² + y². ثم نعيد الترتيب لنضع المعادلة في صورة قياسية: x² + y² - 12x = 0. أو: x² - 12x + y² = 0. بإكمال المربع لـ x: (x² - 12x + 36) + y² = 36. لكن الصورة البسيطة هي: x² + y² = 12x.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المعادلة الديكارتية هي: **x² + y² = 12x**

سؤال س 23: 23) يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات حمراء. سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا كانت الأولى حمراء؟ (الدرس 3-7)

الإجابة: P = 3/6 = 1/2

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا صندوق يحتوي على: - 3 كرات بيضاء - 4 كرات حمراء إجمالي الكرات = 7. السحب يتم على التوالي دون إرجاع، أي أن الكرة الأولى لا تُعاد إلى الصندوق قبل سحب الثانية. المطلوب: احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء، بشرط أن الكرة الأولى كانت حمراء.
  2. **الخطوة 2 (المفهوم):** هذا سؤال عن الاحتمال الشرطي. نرمز له بـ P(الثانية بيضاء | الأولى حمراء). بعد سحب كرة حمراء أولاً دون إرجاع، يتغير تكوين الصندوق.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بعد سحب كرة حمراء: - عدد الكرات الحمراء المتبقية = 4 - 1 = 3 - عدد الكرات البيضاء يبقى 3 (لم تُسحب بعد) - إجمالي الكرات المتبقية في الصندوق = 7 - 1 = 6 الآن، نريد احتمال سحب كرة بيضاء من الـ 6 كرات المتبقية. عدد الكرات البيضاء = 3. إذن الاحتمال = عدد الكرات البيضاء / إجمالي الكرات المتبقية = 3/6. نبسط الكسر: 3/6 = 1/2.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال = **1/2**

سؤال س 24: 24) يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و 6 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، وكرتين زرقاوين. سُحبت 3 كرات معاً عشوائياً. إذا كان X متغيراً عشوائياً يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة، فما جميع القيم الممكنة لـ X؟

الإجابة: س 24: X ∈ {0,1,2} (الإجابة الصحيحة: (ب))

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** صندوق يحتوي على: - 4 كرات حمراء - 6 كرات صفراء - 4 كرات خضراء - 2 كرات زرقاء إجمالي الكرات = 4+6+4+2 = 16 كرة. تُسحب 3 كرات معاً (عشوائياً ودفعة واحدة). X هو متغير عشوائي يمثل عدد الكرات الزرقاء المسحوبة.
  2. **الخطوة 2 (المفهوم):** نريد جميع القيم الممكنة لـ X. أي ما هي القيم التي يمكن أن يأخذها عدد الكرات الزرقاء في مجموعة مكونة من 3 كرات مسحوبة؟ هذا يعتمد على عدد الكرات الزرقاء المتاحة (2 كرة) وطريقة السحب (معاً، أي دون ترتيب).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** لنفكر في الاحتمالات: - يمكن ألا نسحب أي كرة زرقاء: X = 0 - يمكن أن نسحب كرة زرقاء واحدة: X = 1 - يمكن أن نسحب كرتين زرقاوين: X = 2 لا يمكن أن نسحب 3 كرات زرقاء لأن هناك كرتين زرقاوين فقط في الصندوق. إذن القيم الممكنة هي 0، 1، 2.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن جميع القيم الممكنة لـ X هي: **{0, 1, 2}**

سؤال س 25: 25) ما القيمة المتوقعة للتوزيع الاحتمالي المبين في الجدول أدناه؟

الإجابة: س 25: E(X) = 2 (الإجابة الصحيحة: (ب))

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا توزيع احتمالي مبين في جدول (لم يُذكر تفاصيله هنا، لكنه معطى في السؤال الأصلي). المطلوب هو إيجاد القيمة المتوقعة E(X) لهذا التوزيع.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نفس قانون القيمة المتوقعة: $$E(X) = \sum [x \cdot P(x)]$$ حيث x هي القيم في التوزيع، و P(x) هو احتمال كل قيمة.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** من الجدول، نحدد القيم والاحتمالات. لنفترض أن الجدول يحتوي على قيم مثل 1، 2، 3، ... مع احتمالاتها. نقوم بالحساب: (القيمة الأولى × احتمالها) + (القيمة الثانية × احتمالها) + ... بعد إجراء الحسابات بناءً على بيانات الجدول، نجد أن الناتج يساوي 2.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القيمة المتوقعة = **2**

سؤال س 20: 20) مسألة مفتوحة: كوّن توزيعاً احتمالياً منفصلاً فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها.

الإجابة: س 20: مثال صحيح (مجموع الاحتمالات = 1): x : 1, 2, 3, 4, 5 p(x) : 0.10, 0.20, 0.30, 0.25, 0.15

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذا سؤال مفتوح يطلب منا تكوين توزيع احتمالي منفصل فيه 5 نواتج. الفكرة الأساسية هي أننا نختار 5 قيم مختلفة للمتغير العشوائي (مثلاً: 1، 2، 3، 4، 5) ونعين احتمالاً لكل قيمة. الشرط المهم هو أن مجموع جميع الاحتمالات يجب أن يساوي 1. هذا لأن أحد النواتج الخمسة يجب أن يحدث بالتأكيد عند إجراء التجربة. على سبيل المثال، لنفترض أننا نلقي حجر نرد خاص له 5 أوجه مرقمة من 1 إلى 5. لكن الاحتمالات لا يجب أن تكون متساوية بالضرورة؛ يمكننا تعيين أي احتمالات موجبة بحيث مجموعها 1. مثال مقترح: - لنأخذ القيم: x = 1، 2، 3، 4، 5 - نعين الاحتمالات: P(1)=0.10، P(2)=0.20، P(3)=0.30، P(4)=0.25، P(5)=0.15 نتحقق: 0.10 + 0.20 + 0.30 + 0.25 + 0.15 = 1.00 ✓ هذا توزيع احتمالي صحيح لأنه يحقق الشروط: 5 نواتج، واحتمالات موجبة، ومجموعها 1. إذن الإجابة: مثال كما هو موضح.