فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

7-5 التوزيع الطبيعي The Normal Distribution

درست التوزيعات الاحتمالية. (الدرس 4-7)

• أحدد ما إذا كانت مجموعة بيانات تبدو موزعة طبيعيًا أو ملتوية. • أستعمل القانون التجريبي لأجد الاحتمالات.

التوزيع الاحتمالي المتصل continuous probability distribution التوزيع الطبيعي normal distribution التوزيع الملتوي skewed distribution

مثّل المعلم عبدالعزيز درجات طلاب مدرسته في مادة الرياضيات بيانيًا كما هو مبين في الشكل المجاور. لاحظ أن هناك تجمعًا لدرجات الطلاب في المنتصف، كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع الدرجات يشبه الجرس تقريبًا. إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيعًا طبيعيًا.

التوزيعات الطبيعية والملتوية في التوزيع الاحتمالي المتصل والذي هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي متصل، يمكن للنواتج أن تأخذ أي قيمة في فترة من الأعداد الحقيقية، ومثال ذلك أطوال أشخاص وأوزانهم، ومستوى الدهنيات عند الأشخاص البالغين. وأفضل مثال على التوزيعات الاحتمالية المتصلة هو التوزيع الطبيعي.

• التمثيل البياني له منحنى يشبه الجرس، ومتماثل حول المستقيم الرأسي المار بالمتوسط. • يتساوى فيه المتوسط والوسيط والمنوال. • المنحنى متصل. • يقترب المنحنى من المحور x في جزأيه الموجب والسالب، ولكنه لا يمسه.

على الرغم من أن التوزيع الطبيعي متصل، فإن التوزيعات المنفصلة أيضًا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. ويمكن للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى تُسمى توزيعات ملتوية.

مثال 1: تصنيف بيانات التوزيع

حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا:

استعمل الجدول التكراري أعلاه؛ لتمثيل البيانات بالأعمدة. وبما أن التمثيل عالٍ في الوسط، ويبدو كأنه إلى حد ما متماثل حول المتوسط، فإن البيانات تُعتبر موزعة توزيعًا طبيعيًا.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 7-5 التوزيع الطبيعي The Normal Distribution --- SECTION: فيما سبق --- درست التوزيعات الاحتمالية. (الدرس 4-7) --- SECTION: والآن --- • أحدد ما إذا كانت مجموعة بيانات تبدو موزعة طبيعيًا أو ملتوية. • أستعمل القانون التجريبي لأجد الاحتمالات. --- SECTION: المفردات --- التوزيع الاحتمالي المتصل continuous probability distribution التوزيع الطبيعي normal distribution التوزيع الملتوي skewed distribution --- SECTION: لماذا؟ --- مثّل المعلم عبدالعزيز درجات طلاب مدرسته في مادة الرياضيات بيانيًا كما هو مبين في الشكل المجاور. لاحظ أن هناك تجمعًا لدرجات الطلاب في المنتصف، كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع الدرجات يشبه الجرس تقريبًا. إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيعًا طبيعيًا. --- SECTION: التوزيعات الطبيعية والملتوية --- التوزيعات الطبيعية والملتوية في التوزيع الاحتمالي المتصل والذي هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي متصل، يمكن للنواتج أن تأخذ أي قيمة في فترة من الأعداد الحقيقية، ومثال ذلك أطوال أشخاص وأوزانهم، ومستوى الدهنيات عند الأشخاص البالغين. وأفضل مثال على التوزيعات الاحتمالية المتصلة هو التوزيع الطبيعي. --- SECTION: مفهوم أساسي: خصائص التوزيع الطبيعي --- • التمثيل البياني له منحنى يشبه الجرس، ومتماثل حول المستقيم الرأسي المار بالمتوسط. • يتساوى فيه المتوسط والوسيط والمنوال. • المنحنى متصل. • يقترب المنحنى من المحور x في جزأيه الموجب والسالب، ولكنه لا يمسه. على الرغم من أن التوزيع الطبيعي متصل، فإن التوزيعات المنفصلة أيضًا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. ويمكن للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى تُسمى توزيعات ملتوية. --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1: تصنيف بيانات التوزيع --- SECTION: a --- حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا: استعمل الجدول التكراري أعلاه؛ لتمثيل البيانات بالأعمدة. وبما أن التمثيل عالٍ في الوسط، ويبدو كأنه إلى حد ما متماثل حول المتوسط، فإن البيانات تُعتبر موزعة توزيعًا طبيعيًا. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A histogram showing student grades grouped in intervals (41-45, 46-50, ..., 96-100). A smooth green bell-shaped curve is superimposed over the bars, showing a peak in the middle intervals (66-70, 71-75). X-axis: الدرجات Y-axis: عدد الطلاب Context: Introductory example of a normal distribution in real-world data (grades). **DIAGRAM**: Untitled Description: A blue bell-shaped curve symmetric about a central vertical dashed line. The center is labeled 'المتوسط = الوسيط = المنوال'. Arrows at the ends of the curve indicate it approaches the x-axis asymptotically. Context: Visualizing the theoretical properties of a normal distribution. **DIAGRAM**: التواء موجب (ملتوٍ إلى اليمين) Description: A probability curve where the peak is shifted to the left side of the graph, and the tail extends significantly to the right. Text below states: 'معظم البيانات تتركز في اليسار وقليل منها في اليمين'. Context: Illustrating positive skewness. **DIAGRAM**: التواء سالب (ملتوٍ إلى اليسار) Description: A probability curve where the peak is shifted to the right side of the graph, and the tail extends significantly to the left. Text below states: 'معظم البيانات تتركز في اليمين وقليل منها في اليسار'. Context: Illustrating negative skewness. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: البيانات | التكرار Rows: Row 1: 10 | 1 Row 2: 11 | 1 Row 3: 12 | 1 Row 4: 13 | 4 Row 5: 14 | 6 Row 6: 15 | 8 Row 7: 16 | 5 Row 8: 17 | 3 Row 9: 18 | 4 Row 10: 19 | 2 Row 11: 21 | 1 Context: Data provided for classification in Example 1. **GRAPH**: Untitled Description: A histogram representing the data from the table in Example 1. The bars are highest at the value 15 (frequency 8) and taper off on both sides, resembling a normal distribution. X-axis: البيانات Y-axis: التكرار Context: Visual solution for Example 1 showing a normal distribution.