تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الخطوة 2 ارسم منحنى التوزيع الطبيعي، وحدد عليه المتوسط 34 = μ والقيم السابقة. الخطوة 3 ظلل المنطقة التي تمثل الاحتمال المطلوب. الخطوة 4 احسب الاحتمال المطلوب: P(X > 24) = (13.5 + 34 + 34 + 13.5 + 2 + 0.5)% = 97.5% إذن: P(X > 24) ≈ 97.5%

2) أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائيًا في التوزيع الوارد في المثال 2 أقل من 49.

تُمثَّل العينة التي يكون توزيعها توزيعًا طبيعيًا بمنحنى طبيعي، وكأنها مجتمعًا.

أطوال: توزَّع أطوال 1800 يافع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 66 in، وانحراف معياري يساوي 2 in.

a) ما العدد التقريبي لليافعين الذين تتراوح أطوالهم بين 62 in و 70 in ؟ ارسم منحنى التوزيع الطبيعي. تبعد كل من 62, 70 عن المتوسط الحسابي انحرافين معياريين؛ لذا فإن 95% من البيانات واقعة بين الطولين 62, 70. ولأن 1710 = 95% × 1800، لذا يوجد 1710 يافعين تقريبًا تقع أطوالهم بين 62 in و 70 in.

b) ما احتمال أن يتم اختيار أحد اليافعين عشوائيًا، بحيث يزيد طوله على 68 in؟ من الشكل المجاور، القيمة الأكبر من 68 تبعد أكثر من انحراف معياري واحد عن المتوسط الحسابي، وتتوزع الأطوال على النحو الآتي: 13.5% بين انحراف معياري واحد وانحرافين معياريين، 2% بين انحرافين معياريين وثلاثة انحرافات معيارية، 0.5% فوق 3 انحرافات معيارية. لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من 68 in (13.5 + 2 + 0.5)% = 16% إذن الاحتمال المطلوب يساوي 16% تقريبًا

تحقق من فهمك

درجات: إذا علمت أن كتل 100 موظف في شركة تتوزَّع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي مقداره 70 كيلوجرامًا، وانحراف معياري 10 كيلوجرامات، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين:

3A) ما العدد التقريبي للموظفين الذين تقع كتلهم بين 80, 60 كيلوجرامًا؟

3B) ما احتمال أن يتم اختيار موظف بصورة عشوائية، وتكون كتلته أقل من 90 كيلوجرامًا؟

110 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الخطوة 2 ارسم منحنى التوزيع الطبيعي، وحدد عليه المتوسط 34 = μ والقيم السابقة. الخطوة 3 ظلل المنطقة التي تمثل الاحتمال المطلوب. الخطوة 4 احسب الاحتمال المطلوب: P(X > 24) = (13.5 + 34 + 34 + 13.5 + 2 + 0.5)% = 97.5% إذن: P(X > 24) ≈ 97.5% --- SECTION: تحقق من فهمك --- 2) أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائيًا في التوزيع الوارد في المثال 2 أقل من 49. تُمثَّل العينة التي يكون توزيعها توزيعًا طبيعيًا بمنحنى طبيعي، وكأنها مجتمعًا. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة: عينة موزعة توزيعًا طبيعيًا --- أطوال: توزَّع أطوال 1800 يافع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 66 in، وانحراف معياري يساوي 2 in. a) ما العدد التقريبي لليافعين الذين تتراوح أطوالهم بين 62 in و 70 in ؟ ارسم منحنى التوزيع الطبيعي. تبعد كل من 62, 70 عن المتوسط الحسابي انحرافين معياريين؛ لذا فإن 95% من البيانات واقعة بين الطولين 62, 70. ولأن 1710 = 95% × 1800، لذا يوجد 1710 يافعين تقريبًا تقع أطوالهم بين 62 in و 70 in. b) ما احتمال أن يتم اختيار أحد اليافعين عشوائيًا، بحيث يزيد طوله على 68 in؟ من الشكل المجاور، القيمة الأكبر من 68 تبعد أكثر من انحراف معياري واحد عن المتوسط الحسابي، وتتوزع الأطوال على النحو الآتي: 13.5% بين انحراف معياري واحد وانحرافين معياريين، 2% بين انحرافين معياريين وثلاثة انحرافات معيارية، 0.5% فوق 3 انحرافات معيارية. لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من 68 in (13.5 + 2 + 0.5)% = 16% إذن الاحتمال المطلوب يساوي 16% تقريبًا تحقق من فهمك درجات: إذا علمت أن كتل 100 موظف في شركة تتوزَّع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي مقداره 70 كيلوجرامًا، وانحراف معياري 10 كيلوجرامات، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين: 3A) ما العدد التقريبي للموظفين الذين تقع كتلهم بين 80, 60 كيلوجرامًا؟ 3B) ما احتمال أن يتم اختيار موظف بصورة عشوائية، وتكون كتلته أقل من 90 كيلوجرامًا؟ 110 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A normal distribution curve with mean μ = 34 and standard deviation σ = 5. The x-axis is labeled with values 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49. The areas under the curve are divided by vertical lines at each standard deviation, labeled with percentages: 0.5%, 2%, 13.5%, 34%, 34%, 13.5%, 2%, 0.5%. X-axis: Values (μ-3σ to μ+3σ) Y-axis: Probability density (implied) Data: The area from x = 24 to the right is shaded in light blue, representing P(X > 24). Context: Visual representation of the Empirical Rule (68-95-99.7) for a normal distribution. **GRAPH**: Untitled Description: A normal distribution curve for heights with mean μ = 66 and standard deviation σ = 2. The x-axis is labeled with values 62, 64, 66, 68, 70. The areas are labeled with standard percentages: 0.5%, 2%, 13.5%, 34%, 34%, 13.5%, 2%, 0.5%. X-axis: Height (in) Y-axis: Probability density Data: The area between x = 62 and x = 70 is shaded in light blue, representing the middle 95% of the distribution. Context: Illustrates the percentage of data within two standard deviations of the mean. **GRAPH**: Untitled Description: The same normal distribution curve as Visual 1 (μ = 66, σ = 2), but with a different shaded region. X-axis: Height (in) Y-axis: Probability density Data: The area to the right of x = 68 is shaded in light blue, representing P(X > 68). This includes the regions labeled 13.5%, 2%, and 0.5%. Context: Used to calculate the probability of a value being greater than one standard deviation above the mean.