إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

b) حدّد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزّعة توزيعًا طبيعيًا:

«منفصل» مقابل «متصل» يأخذ التوزيع الاحتمالي المنفصل عددًا محدودًا من القيم، وغالبًا ما تكون أعدادًا صحيحة. أما التوزيع الاحتمالي المتصل، فيأخذ عددًا غير محدد من القيم تنتمي إلى فترة متصلة. وفي حالة التوزيع الاحتمالي المتصل يكون احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة واحدة فقط مساويًا للصفر.

استعمل الجدول التكراري أعلاه؛ لتمثيل البيانات بالأعمدة. وبما أن التمثيل عالٍ في جهة اليسار ومنخفض في كل من الوسط وعلى اليمين، فإن التوزيع يبدو كأنه ملتوٍ إلى اليمين (التواء موجب).

تحقق من فهمك

1) حدّد ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزّعة توزيعًا طبيعيًا.

القانون التجريبي إن المساحة بين قيمتين من البيانات تمثّل نسبة البيانات التي تقع بين هاتين القيمتين. ويمكن أن يستعمل القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي، والتي تقع ضمن انحراف أو انحرافين أو ثلاثة انحرافات معيارية من المتوسط.

يتصف التوزيع الطبيعي الذي متوسطه μ وانحرافه المعياري σ بالخصائص الآتية: • يقع %68 تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ - σ, μ + σ). وهذا يعني أن %68 من البيانات لا يتجاوز بعدها عن المتوسط قيمة الانحراف المعياري. • يقع %95 تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ - 2σ, μ + 2σ). وهذا يعني أن الغالبية العظمى من البيانات (%95) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ضعف قيمة الانحراف المعياري. • يقع %99 تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ - 3σ, μ + 3σ). وهذا يعني أن جميع البيانات تقريبًا (%99) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ثلاثة أمثال الانحراف المعياري.

المتوسط لتوزيع طبيعي 34، وانحرافه المعياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة لـ X تم اختيارها عشوائيًا في هذا التوزيع عن 24، (أي أوجد P(X > 24)). الحل: μ = 34, σ = 5 الخطوة 1 أوجد القيم μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ (وهي المتوسط مضافًا إليه أو مطروحًا منه المضاعفات الثلاثة الأولى للانحراف المعياري). μ ± σ = 34 ± 5 = 29, 39 μ ± 2σ = 34 ± 10 = 24, 44 μ ± 3σ = 34 ± 15 = 19, 49

التوزيع الطبيعي في الحالات جميعها يجب أن يكون عدد البيانات كبيرًا ليكون التوزيع طبيعيًا تقريبًا.

الدرس 5-7 التوزيع الطبيعي 109

--- SECTION: b --- b) حدّد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزّعة توزيعًا طبيعيًا: --- SECTION: إرشادات للدراسة --- «منفصل» مقابل «متصل» يأخذ التوزيع الاحتمالي المنفصل عددًا محدودًا من القيم، وغالبًا ما تكون أعدادًا صحيحة. أما التوزيع الاحتمالي المتصل، فيأخذ عددًا غير محدد من القيم تنتمي إلى فترة متصلة. وفي حالة التوزيع الاحتمالي المتصل يكون احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة واحدة فقط مساويًا للصفر. استعمل الجدول التكراري أعلاه؛ لتمثيل البيانات بالأعمدة. وبما أن التمثيل عالٍ في جهة اليسار ومنخفض في كل من الوسط وعلى اليمين، فإن التوزيع يبدو كأنه ملتوٍ إلى اليمين (التواء موجب). تحقق من فهمك --- SECTION: 1 --- 1) حدّد ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزّعة توزيعًا طبيعيًا. --- SECTION: القانون التجريبي --- القانون التجريبي إن المساحة بين قيمتين من البيانات تمثّل نسبة البيانات التي تقع بين هاتين القيمتين. ويمكن أن يستعمل القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي، والتي تقع ضمن انحراف أو انحرافين أو ثلاثة انحرافات معيارية من المتوسط. --- SECTION: مفهوم أساسي: القانون التجريبي --- يتصف التوزيع الطبيعي الذي متوسطه μ وانحرافه المعياري σ بالخصائص الآتية: • يقع %68 تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ - σ, μ + σ). وهذا يعني أن %68 من البيانات لا يتجاوز بعدها عن المتوسط قيمة الانحراف المعياري. • يقع %95 تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ - 2σ, μ + 2σ). وهذا يعني أن الغالبية العظمى من البيانات (%95) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ضعف قيمة الانحراف المعياري. • يقع %99 تقريبًا من البيانات ضمن الفترة (μ - 3σ, μ + 3σ). وهذا يعني أن جميع البيانات تقريبًا (%99) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ثلاثة أمثال الانحراف المعياري. --- SECTION: مثال 2: التوزيع الطبيعي --- المتوسط لتوزيع طبيعي 34، وانحرافه المعياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة لـ X تم اختيارها عشوائيًا في هذا التوزيع عن 24، (أي أوجد P(X > 24)). الحل: μ = 34, σ = 5 الخطوة 1 أوجد القيم μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ (وهي المتوسط مضافًا إليه أو مطروحًا منه المضاعفات الثلاثة الأولى للانحراف المعياري). μ ± σ = 34 ± 5 = 29, 39 μ ± 2σ = 34 ± 10 = 24, 44 μ ± 3σ = 34 ± 15 = 19, 49 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التوزيع الطبيعي في الحالات جميعها يجب أن يكون عدد البيانات كبيرًا ليكون التوزيع طبيعيًا تقريبًا. الدرس 5-7 التوزيع الطبيعي 109 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: البيانات | التكرار Rows: Row 1: 24 | 4 Row 2: 25 | 6 Row 3: 26 | 6 Row 4: 27 | 5 Row 5: 28 | 4 Row 6: 29 | 2 Row 7: 30 | 1 Row 8: 31 | 2 Row 9: 32 | 2 Row 10: 33 | 1 Row 11: 34 | 1 Row 12: 35 | 2 Context: بيانات تكرارية تستخدم لتحديد نوع الالتواء في التوزيع. **GRAPH**: Untitled Description: No description X-axis: البيانات Y-axis: التكرار Data: تمثيل بالأعمدة للبيانات في الجدول (b). يظهر التكرار الأعلى عند القيم الصغرى (25، 26) ثم يتناقص تدريجيًا نحو اليمين، مما يشير إلى التواء موجب. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: قياس الحذاء | التكرار Rows: Row 1: 38 | 6 Row 2: 39 | 8 Row 3: 40 | 9 Row 4: 41 | 7 Row 5: 42 | 4 Row 6: 43 | 2 Row 7: 44 | 3 Row 8: 45 | 1 Context: بيانات تكرارية لقياسات أحذية تستخدم في سؤال 'تحقق من فهمك' لتحديد نوع التوزيع. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لمنحنى التوزيع الطبيعي يوضح تقسيم المساحات تحت المنحنى وفقًا للقانون التجريبي. Key Values: المتوسط μ في المركز, 34% بين μ و μ±σ, 13.5% بين μ±σ و μ±2σ, 2% بين μ±2σ و μ±3σ, 0.5% في الأطراف بعد μ±3σ Context: يوضح النسب المئوية للبيانات التي تقع ضمن الانحرافات المعيارية المختلفة عن المتوسط في التوزيع الطبيعي.