صفحة 111 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) درجات: يوضح الجدول أدناه نتائج أحد الاختبارات (النهاية العظمى للاختبار 40). حدد ما إذا كانت البيانات تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا. (مثال 1)

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا:

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) تتوزع مجموعة بيانات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 161، وانحراف معياري 12، أوجد أن يتم اختيار قيمة لـ X عشوائيًا من هذا التوزيع، بحيث تكون أقل من 149، أي أوجد P(X < 149). (مثال 2)

نوع: محتوى تعليمي

إذا توزعت البيانات في الأسئلة 4-7 توزيعًا طبيعيًا، وكان المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لكل منها كما هو موضح، فأوجد الاحتمال المطلوب.

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) μ = 74, σ = 6, P(X > 86)

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) μ = 13, σ = 0.4, P(X < 12.6)

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) μ = 63, σ = 4, P(59 < X < 71)

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) μ = 91, σ = 6, P(73 < X < 103)

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) مدارس: أعطى عمران اختبارًا قصيرًا لطلبته البالغ عددهم (50) طالبًا، وكانت الدرجات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 21، وانحراف معياري 2. (مثال 3)

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9) بطاريات السيارة: إذا حُدّد عمر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية، وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوزع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 100000 km، وانحراف معياري 10000 km. وتنتج إحدى الشركات 20000 بطارية في الشهر، فأجب عما يأتي:

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10) صحة: يتوزع مستوى الدهنيات (الكولسترول) في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 158.3، وانحراف معياري 6.6

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) طعام: تتوزع مدة صلاحية نوع معين من البطاطس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 180 يومًا، وانحراف معياري 30 يومًا.

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

12) طول: تتوزع أطوال 880 طالبًا في إحدى الجامعات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي مقداره 67 in، وانحراف معياري مقداره 2.5 in

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13) صناعة: تُستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية، وتختلف كمية الماء اختلافًا ضئيلاً بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 120 عبوة يتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 1.1 L، وانحراف معياري 0.02 L، فأجب عما يأتي:

نوع: METADATA

الدرس 5-7 التوزيع الطبيعي 111

🔍 عناصر مرئية

فئات الدرجات وعدد الطلاب

عدد زوار المتنزهات

📄 النص الكامل للصفحة

تدرب وحل المسائل --- SECTION: 1 --- 1) درجات: يوضح الجدول أدناه نتائج أحد الاختبارات (النهاية العظمى للاختبار 40). حدد ما إذا كانت البيانات تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا. (مثال 1) --- SECTION: 2 --- 2) حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا: --- SECTION: 3 --- 3) تتوزع مجموعة بيانات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 161، وانحراف معياري 12، أوجد أن يتم اختيار قيمة لـ X عشوائيًا من هذا التوزيع، بحيث تكون أقل من 149، أي أوجد P(X < 149). (مثال 2) إذا توزعت البيانات في الأسئلة 4-7 توزيعًا طبيعيًا، وكان المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لكل منها كما هو موضح، فأوجد الاحتمال المطلوب. --- SECTION: 4 --- 4) μ = 74, σ = 6, P(X > 86) --- SECTION: 5 --- 5) μ = 13, σ = 0.4, P(X < 12.6) --- SECTION: 6 --- 6) μ = 63, σ = 4, P(59 < X < 71) --- SECTION: 7 --- 7) μ = 91, σ = 6, P(73 < X < 103) --- SECTION: 8 --- 8) مدارس: أعطى عمران اختبارًا قصيرًا لطلبته البالغ عددهم (50) طالبًا، وكانت الدرجات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 21، وانحراف معياري 2. (مثال 3) a. ما العدد التقريبي للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 23, 19؟ b. ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلاب بين 17 و 25 ؟ --- SECTION: 9 --- 9) بطاريات السيارة: إذا حُدّد عمر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية، وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوزع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 100000 km، وانحراف معياري 10000 km. وتنتج إحدى الشركات 20000 بطارية في الشهر، فأجب عما يأتي: a. ما العدد التقريبي للبطاريات التي يتراوح عمرها بين 90000 km - 110000 km؟ b. ما العدد التقريبي للبطاريات التي يزيد عمرها على 120000 km؟ c. ما العدد التقريبي للبطاريات التي يقل عمرها عن 90000 km؟ d. ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائيًا، ويتراوح عمرها بين 80000 km - 110000 km؟ --- SECTION: 10 --- 10) صحة: يتوزع مستوى الدهنيات (الكولسترول) في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 158.3، وانحراف معياري 6.6 a. ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول عند الشباب الذكور عن 151.7؟ b. كم شخصًا تقريبًا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين 171.5 - 145.1؟ --- SECTION: 11 --- 11) طعام: تتوزع مدة صلاحية نوع معين من البطاطس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 180 يومًا، وانحراف معياري 30 يومًا. a. ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 150 يومًا، 210 أيام؟ b. ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 180 يومًا، 210 أيام؟ c. ما احتمال أن تقل مدة صلاحية المنتج عن 90 يومًا؟ d. ما احتمال أن تزيد مدة صلاحية المنتج على 210 أيام؟ --- SECTION: 12 --- 12) طول: تتوزع أطوال 880 طالبًا في إحدى الجامعات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي مقداره 67 in، وانحراف معياري مقداره 2.5 in a. كم طالبًا تقريبًا يزيد طوله على 72 in؟ b. ما احتمال أن تقع أطوال الطلاب بين 59.5 in و 69.5 in؟ --- SECTION: 13 --- 13) صناعة: تُستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية، وتختلف كمية الماء اختلافًا ضئيلاً بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 120 عبوة يتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 1.1 L، وانحراف معياري 0.02 L، فأجب عما يأتي: a. كم عبوة تقريبًا يكون حجم الماء فيها أقل من 1.06 L؟ b. ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين 1.08 L و 1.14 L؟ الدرس 5-7 التوزيع الطبيعي 111 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: فئات الدرجات وعدد الطلاب Description: No description Table Structure: Headers: فئات الدرجات | عدد الطلاب Rows: Row 1: 13-15 | 12 Row 2: 16-18 | 27 Row 3: 19-21 | 29 Row 4: 22-24 | 19 Row 5: 25-27 | 8 Row 6: 28-31 | 1 Row 7: 32-35 | 1 Context: بيانات درجات طلاب في اختبار لتحديد نوع الالتواء في التوزيع. **TABLE**: عدد زوار المتنزهات Description: No description Table Structure: Headers: عدد الزوار بالآلاف | عدد المتنزهات Rows: Row 1: 3-4 | 10 Row 2: 5-6 | 2 Row 3: 7-8 | 2 Row 4: 9-10 | 1 Row 5: 11-12 | 1 Row 6: 13 فأكثر | 4 Context: بيانات عدد زوار المتنزهات بالآلاف لتحديد نوع الالتواء في التوزيع.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 13

سؤال 1: 1) درجات: يوضح الجدول أدناه نتائج أحد الاختبارات (النهاية العظمى للاختبار 40). حدد ما إذا كانت البيانات تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا. (مثال 1) فئات الدرجات: 13-15، 16-18، 19-21، 22-24، 25-27، 28-31، 32-35 عدد الطلاب: 12، 27، 29، 19، 8، 1، 1

الإجابة: س1: التواء موجب (يميل لليمين).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لننظر إلى توزيع البيانات في الجدول. نلاحظ أن تكرار الدرجات يتركز في الفئات الأولى (الدرجات المنخفضة) مثل 13-15 و16-18 و19-21، حيث يوجد بها أكبر عدد من الطلاب (12، 27، 29).
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بينما نلاحظ أن التكرارات تتناقص بشكل كبير كلما زادت الدرجات، حيث نجد طالباً واحداً فقط في الفئات العليا. هذا يعني أن معظم البيانات تتجمع في اليسار، بينما يمتد "الذيل" نحو اليمين (القيم الكبرى).
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الذيل يمتد جهة اليمين، فإن البيانات تُظهر: **التواءً موجبًا (يميل لليمين)**

سؤال 2: 2) حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه تُظهر التواءً موجبًا، أو التواءً سالبًا، أو موزعة توزيعًا طبيعيًا: عدد الزوار بالآلاف: 3-4، 5-6، 7-8، 9-10، 11-12، 13 فأكثر عدد المتنزهات: 10، 2، 2، 1، 1، 4

الإجابة: س2: التواء موجب (يميل لليمين).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** بملاحظة تكرار عدد المتنزهات مقابل عدد الزوار، نجد أن أعلى تكرار (10) موجود في الفئة الأولى (3-4 آلاف زائر).
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بعد ذلك، تنخفض التكرارات بشكل حاد (2، 2، 1، 1) ثم ترتفع قليلاً في النهاية، لكن الكتلة العظمى من البيانات تقع في البداية (اليسار) والذيل يمتد نحو القيم الأكبر.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذا النمط من التوزيع الذي يمتد ذيله نحو اليمين يُسمى: **التواءً موجبًا (يميل لليمين)**

سؤال 3: 3) تتوزع مجموعة بيانات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 161، وانحراف معياري 12، أوجد أن يتم اختيار قيمة لـ X عشوائيًا من هذا التوزيع، بحيث تكون أقل من 149، أي أوجد P(X < 149). (مثال 2)

الإجابة: س3: $z = \frac{149-161}{12} = -1 \Rightarrow P(X < 149) \approx 0.1587$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد القيم المعطاة: - المتوسط الحسابي: $\mu = 161$ - الانحراف المعياري: $\sigma = 12$ - القيمة المطلوبة: $X < 149$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحسب القيمة المعيارية (z-score) باستخدام القانون: $$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$z = \frac{149 - 161}{12} = \frac{-12}{12} = -1$$ من خصائص التوزيع الطبيعي، المساحة تحت المنحنى لـ $z < -1$ تساوي تقريباً $0.1587$ (أو $15.87\%$ حسب القانون التجريبي).
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **$P(X < 149) \approx 0.1587$**

سؤال 4: 4) μ = 74, σ = 6, P(X > 86)

الإجابة: س4: $z = \frac{86-74}{6} = 2 \Rightarrow P(X > 86) \approx 0.0228$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات هي: - $\mu = 74$ - $\sigma = 6$ - المطلوب إيجاد الاحتمال لـ $X > 86$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحول القيمة $X$ إلى القيمة المعيارية $z$: $$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$z = \frac{86 - 74}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ نبحث عن المساحة التي تزيد عن $z = 2$. بما أن المساحة الكلية هي $1$ والمساحة تحت $z=2$ هي $0.9772$ تقريباً، فإن المساحة المطلوبة هي $1 - 0.9772 = 0.0228$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **$P(X > 86) \approx 0.0228$**

سؤال 5: 5) μ = 13, σ = 0.4, P(X < 12.6)

الإجابة: س5: $z = \frac{12.6-13}{0.4} = -1 \Rightarrow P(X < 12.6) \approx 0.1587$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا: - المتوسط $\mu = 13$ - الانحراف المعياري $\sigma = 0.4$ - المطلوب $P(X < 12.6)$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحسب قيمة $z$: $$z = \frac{12.6 - 13}{0.4}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالحساب: $$z = \frac{-0.4}{0.4} = -1$$ المساحة التي تقل عن انحراف معياري واحد تحت المتوسط ($z < -1$) في التوزيع الطبيعي تساوي تقريباً $0.1587$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **$P(X < 12.6) \approx 0.1587$**

سؤال 6: 6) μ = 63, σ = 4, P(59 < X < 71)

الإجابة: س6: $z_1 = -1, z_2 = 2 \Rightarrow P(59 < X < 71) \approx 0.8185$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات: - $\mu = 63$ - $\sigma = 4$ - المطلوب الاحتمال بين القيمة $59$ و $71$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحول القيمتين إلى قيم معيارية: $$z_1 = \frac{59 - 63}{4} = -1$$ $$z_2 = \frac{71 - 63}{4} = 2$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب المساحة المحصورة بين $z = -1$ و $z = 2$. من القانون التجريبي: المساحة بين $-1$ و $1$ هي $68.26\%$، والمساحة بين $1$ و $2$ هي $13.59\%$. بجمع المساحات: $P(-1 < z < 2) \approx 0.8185$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **$P(59 < X < 71) \approx 0.8185$**

سؤال 7: 7) μ = 91, σ = 6, P(73 < X < 103)

الإجابة: س7: $z_1 = -3, z_2 = 2 \Rightarrow P(73 < X < 103) \approx 0.9759$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعطيات: - $\mu = 91$ - $\sigma = 6$ - المطلوب $P(73 < X < 103)$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحسب قيم $z$ للطرفين: $$z_1 = \frac{73 - 91}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$z_2 = \frac{103 - 91}{6} = \frac{12}{6} = 2$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نبحث عن المساحة بين $z = -3$ و $z = 2$. هذه المساحة تشمل معظم المنحنى ما عدا الأطراف البعيدة جداً، وتساوي تقريباً $0.9759$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الاحتمال هو: **$P(73 < X < 103) \approx 0.9759$**

سؤال 8: 8) مدارس: أعطى عمران اختبارًا قصيرًا لطلبته البالغ عددهم (50) طالبًا، وكانت الدرجات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 21، وانحراف معياري 2. (مثال 3) a) ما العدد التقريبي للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 23, 19؟ b) ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلاب بين 17 و 25 ؟

الإجابة: س8: (أ) $z = \pm 1 \Rightarrow P \approx 0.6826 \Rightarrow \text{العدد} \approx 34 \text{ طالباً.}$ س8: (ب) $z = \pm 2 \Rightarrow P \approx 0.9544$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - عدد الطلاب $N = 50$ - المتوسط $\mu = 21$ - الانحراف المعياري $\sigma = 2$
  2. **الخطوة 2 (حل الفقرة a):** الدرجات بين 19 و 23 تمثل انحرافاً معيارياً واحداً حول المتوسط ($21 \pm 2$). هذا يعني $z$ بين $-1$ و $1$. الاحتمال هو $0.6826$. العدد التقريبي = $50 \times 0.6826 \approx 34$ طالباً.
  3. **الخطوة 3 (حل الفقرة b):** الدرجات بين 17 و 25 تمثل انحرافين معياريين حول المتوسط ($21 \pm 4$). هذا يعني $z$ بين $-2$ و $2$. الاحتمال في التوزيع الطبيعي لهذه المنطقة هو تقريباً $0.9544$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: (أ) **34 طالباً**، (ب) **0.9544**

سؤال 9: 9) بطاريات السيارة: إذا حُدّد عمر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية، وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوزع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 100000 km، وانحراف معياري 10000 km. وتنتج إحدى الشركات 20000 بطارية في الشهر، فأجب عما يأتي: a) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يتراوح عمرها بين 90000 km - 110000 km؟ b) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يزيد عمرها على 120000 km؟ c) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يقل عمرها عن 90000 km؟ d) ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائيًا، ويتراوح عمرها بين 80000 km - 110000 km؟

الإجابة: س9: (أ) $z = \pm 1 \Rightarrow P \approx 0.6826 \Rightarrow \text{العدد} \approx 13652 \text{ بطارية}$ س9: (ب) $z = 2 \Rightarrow P \approx 0.0228 \Rightarrow \text{العدد} \approx 456 \text{ بطارية.}$ س9: (ج) $z = -1 \Rightarrow P \approx 0.1587 \Rightarrow \text{العدد} \approx 3174 \text{ بطارية.}$ س9: (د) $z_1 = -2, z_2 = 1 \Rightarrow P \approx 0.8185$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $\mu = 100,000$ - $\sigma = 10,000$ - الإنتاج الشهري $N = 20,000$
  2. **الخطوة 2 (الحل أ و ب):** (أ) بين 90k و 110k تعني $z$ بين $-1$ و $1$. الاحتمال $0.6826$. العدد = $20,000 \times 0.6826 \approx 13,652$. (ب) يزيد عن 120k تعني $z > 2$. الاحتمال $0.0228$. العدد = $20,000 \times 0.0228 \approx 456$.
  3. **الخطوة 3 (الحل ج و د):** (ج) يقل عن 90k تعني $z < -1$. الاحتمال $0.1587$. العدد = $20,000 \times 0.1587 \approx 3,174$. (د) بين 80k و 110k تعني $z$ بين $-2$ و $1$. الاحتمال هو مجموع المساحات الموافقة ويساوي $0.8185$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** النتائج هي: (أ) **13,652**، (ب) **456**، (ج) **3,174**، (د) **0.8185**

سؤال 10: 10) صحة: يتوزع مستوى الدهنيات (الكولسترول) في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 158.3، وانحراف معياري 6.6 a) ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول عند الشباب الذكور عن 151.7؟ b) كم شخصًا تقريبًا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين 171.5 - 145.1؟

الإجابة: س10: (أ) $z = -1 \Rightarrow P \approx 0.1587$ س10: (ب) $z = \pm 2 \Rightarrow P \approx 0.9544 \Rightarrow \text{العدد} \approx 859 \text{ شخصاً.}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $\mu = 158.3$ - $\sigma = 6.6$ - العدد الكلي $N = 900$
  2. **الخطوة 2 (حل الفقرة a):** نحسب $z$ لـ $151.7$: $z = (151.7 - 158.3) / 6.6 = -1$. الاحتمال لـ $z < -1$ هو تقريباً **0.1587**.
  3. **الخطوة 3 (حل الفقرة b):** نحسب $z$ للقيمتين: $z_1 = (145.1 - 158.3) / 6.6 = -2$ $z_2 = (171.5 - 158.3) / 6.6 = 2$ المساحة بين $z = \pm 2$ هي $0.9544$. العدد = $900 \times 0.9544 \approx 859$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: (أ) **0.1587**، (ب) **859 شخصاً**

سؤال 11: 11) طعام: تتوزع مدة صلاحية نوع معين من البطاطس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 180 يومًا، وانحراف معياري 30 يومًا. a) ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 150 يومًا، 210 أيام؟ b) ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 180 يومًا، 210 أيام؟ c) ما احتمال أن تقل مدة صلاحية المنتج عن 90 يومًا؟ d) ما احتمال أن تزيد مدة صلاحية المنتج على 210 أيام؟

الإجابة: س11: (أ) $z = \pm 1 \Rightarrow P \approx 0.6826$ س11: (ب) $z_1 = 0, z_2 = 1 \Rightarrow P \approx 0.3413$ س11: (ج) $z = -3 \Rightarrow P \approx 0.0013$ س11: (د) $z = 1 \Rightarrow P \approx 0.1587$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $\mu = 180$ - $\sigma = 30$
  2. **الخطوة 2 (تحليل الاحتمالات):** (أ) بين 150 و 210 ($180 \pm 30$) تعني $z = \pm 1$، الاحتمال **0.6826**. (ب) بين 180 و 210 تعني من المتوسط إلى انحراف واحد ($z$ من $0$ إلى $1$)، الاحتمال نصف الـ $68\%$ وهو **0.3413**.
  3. **الخطوة 3 (تكملة الاحتمالات):** (ج) أقل من 90 تعني $z < (90-180)/30 = -3$. الاحتمال ضئيل جداً وهو **0.0013**. (د) تزيد عن 210 تعني $z > 1$. الاحتمال هو $0.5 - 0.3413 = 0.1587$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** النتائج: (أ) **0.6826**، (ب) **0.3413**، (ج) **0.0013**، (د) **0.1587**

سؤال 12: 12) طول: تتوزع أطوال 880 طالبًا في إحدى الجامعات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي مقداره 67 in، وانحراف معياري مقداره 2.5 in a) كم طالبًا تقريبًا يزيد طوله على 72 in؟ b) ما احتمال أن تقع أطوال الطلاب بين 59.5 in و 69.5 in؟

الإجابة: س12: (أ) $z = 2 \Rightarrow P \approx 0.0228 \Rightarrow \text{العدد} \approx 20 \text{ طالباً.}$ س12: (ب) $z_1 = -3, z_2 = 1 \Rightarrow P \approx 0.84$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $N = 880$ - $\mu = 67$ - $\sigma = 2.5$
  2. **الخطوة 2 (حل الفقرة a):** نحسب $z$ لـ 72: $z = (72 - 67) / 2.5 = 2$. الاحتمال لـ $z > 2$ هو $0.0228$. العدد = $880 \times 0.0228 \approx 20$ طالباً.
  3. **الخطوة 3 (حل الفقرة b):** نحسب $z$ للقيمتين: $z_1 = (59.5 - 67) / 2.5 = -3$ $z_2 = (69.5 - 67) / 2.5 = 1$ المساحة بين $z = -3$ و $z = 1$ تساوي تقريباً **0.84**.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: (أ) **20 طالباً**، (ب) **0.84**

سؤال 13: 13) صناعة: تُستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية، وتختلف كمية الماء اختلافًا ضئيلاً بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 120 عبوة يتبع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط حسابي 1.1 L، وانحراف معياري 0.02 L، فأجب عما يأتي: a) كم عبوة تقريبًا يكون حجم الماء فيها أقل من 1.06 L؟ b) ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين 1.08 L و 1.14 L؟

الإجابة: س13: (أ) $z = -2 \Rightarrow P \approx 0.0228 \Rightarrow \text{العدد} \approx 3 \text{ عبوات.}$ س13: (ب) $z_1 = -1, z_2 = 2 \Rightarrow P \approx 0.8185$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $N = 120$ - $\mu = 1.1$ - $\sigma = 0.02$
  2. **الخطوة 2 (حل الفقرة a):** نحسب $z$ لـ 1.06: $z = (1.06 - 1.1) / 0.02 = -2$. الاحتمال لـ $z < -2$ هو $0.0228$. العدد = $120 \times 0.0228 \approx 2.73$، وبالتقريب **3 عبوات**.
  3. **الخطوة 3 (حل الفقرة b):** نحسب $z$ للقيمتين: $z_1 = (1.08 - 1.1) / 0.02 = -1$ $z_2 = (1.14 - 1.1) / 0.02 = 2$ المساحة المحصورة بين $z = -1$ و $z = 2$ هي **0.8185**.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: (أ) **3 عبوات**، (ب) **0.8185**