مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 3

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: METADATA

الفصل 8

نوع: محتوى تعليمي

دليل الدراسة والمراجعة

نوع: محتوى تعليمي

8-3 المماس والسرعة المتجهة (الصفحات 149-154)

مثال 3

نوع: محتوى تعليمي

أوجد ميل مماس منحنى y = x^2 عند النقطة (2, 4) . m = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h (صيغة معدل التغير اللحظي) x = 2 = lim_{h→0} [f(2+h) - f(2)] / h f(2+h) = (2+h)^2, f(2) = 2^2 = lim_{h→0} [(2+h)^2 - 2^2] / h فك الأقواس: = lim_{h→0} [4 + 4h + h^2 - 4] / h بسط، ثم حلل: = lim_{h→0} [h(4+h)] / h اقسم على h: = lim_{h→0} (4+h) عوض: = 4 + 0 = 4 أي أن ميل مماس منحنى y = x^2 عند النقطة (2, 4) هو 4 .

نوع: محتوى تعليمي

أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة :

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

21) y = 6 - x , (-1, 7) , (3, 3)

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) y = x^2 + 2 , (0, 2) , (-1, 3)

نوع: محتوى تعليمي

أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه:

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) y = -x^2 + 3x

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24) y = x^3 + 4x

نوع: محتوى تعليمي

تمثل s(t) في كل مما يأتي موقع جسم بالأقدام بعد t ثانية . أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى:

25

نوع: QUESTION_HOMEWORK

25) s(t) = 15t - 16t^2 , t = 0.5

26

نوع: QUESTION_HOMEWORK

26) s(t) = -16t^2 - 35t + 400 , t = 3.5

نوع: محتوى تعليمي

تمثل h(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك . أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن:

27

نوع: QUESTION_HOMEWORK

27) h(t) = 12t^2 - 5

28

نوع: QUESTION_HOMEWORK

28) h(t) = 8 - 2t^2 + 3t

نوع: محتوى تعليمي

8-4 المشتقات (الصفحات 156-163)

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

أوجد مشتقة h(x) = (x^2 - 5) / (x^3 + 2) . افترض أن f(x) = x^2 - 5, g(x) = x^3 + 2 . لذا، h(x) = f(x)/g(x) . أوجد مشتقة كل من f(x), g(x) . f(x) = x^2 - 5 (من الفرض) f'(x) = 2x (قواعد مشتقات القوة والدالة الثابتة) g(x) = x^3 + 2 (من الفرض) g'(x) = 3x^2 (قواعد مشتقات القوة والدالة الثابتة) استعمل h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 (قاعدة مشتقة القسمة) عوض: = [2x(x^3 + 2) - (x^2 - 5)3x^2] / (x^3 + 2)^2 بسط: = [-x^4 + 15x^2 + 4x] / (x^3 + 2)^2

نوع: محتوى تعليمي

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة.

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

29) g(t) = -t^2 + 5t + 11 , t = -4, 1

30

نوع: QUESTION_HOMEWORK

30) m(j) = 10j - 3 , j = 5, -3

نوع: محتوى تعليمي

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

31

نوع: QUESTION_HOMEWORK

31) p(v) = -9v + 14

32

نوع: QUESTION_HOMEWORK

32) z(n) = 4n^2 + 9n

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

33) t(x) = -3 \sqrt[5]{x^6}

34

نوع: QUESTION_HOMEWORK

34) g(h) = 4h^{3/4} - 8h^{1/2} + 5

نوع: محتوى تعليمي

استعمل قاعدة مشتقة القسمة؛ لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي:

35

نوع: QUESTION_HOMEWORK

35) f(m) = (5 - 3m) / (5 + 2m)

36

نوع: QUESTION_HOMEWORK

36) m(q) = (2q^4 - q^2 + 9) / (q^2 - 12)

نوع: METADATA

182 الفصل 8 النهايات والاشتقاق

🔍 عناصر مرئية

Boxed worked example showing the step-by-step derivation of the slope of a tangent line using the limit definition of the derivative for the function y = x^2 at the point (2, 4).

Boxed worked example showing the step-by-step derivation of the derivative of a rational function h(x) = (x^2 - 5) / (x^3 + 2) using the quotient rule.

📄 النص الكامل للصفحة

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 8-3 المماس والسرعة المتجهة (الصفحات 149-154) --- SECTION: مثال 3 --- أوجد ميل مماس منحنى y = x^2 عند النقطة (2, 4) . m = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h (صيغة معدل التغير اللحظي) x = 2 = lim_{h→0} [f(2+h) - f(2)] / h f(2+h) = (2+h)^2, f(2) = 2^2 = lim_{h→0} [(2+h)^2 - 2^2] / h فك الأقواس: = lim_{h→0} [4 + 4h + h^2 - 4] / h بسط، ثم حلل: = lim_{h→0} [h(4+h)] / h اقسم على h: = lim_{h→0} (4+h) عوض: = 4 + 0 = 4 أي أن ميل مماس منحنى y = x^2 عند النقطة (2, 4) هو 4 . أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة : --- SECTION: 21 --- 21) y = 6 - x , (-1, 7) , (3, 3) --- SECTION: 22 --- 22) y = x^2 + 2 , (0, 2) , (-1, 3) أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: --- SECTION: 23 --- 23) y = -x^2 + 3x --- SECTION: 24 --- 24) y = x^3 + 4x تمثل s(t) في كل مما يأتي موقع جسم بالأقدام بعد t ثانية . أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: --- SECTION: 25 --- 25) s(t) = 15t - 16t^2 , t = 0.5 --- SECTION: 26 --- 26) s(t) = -16t^2 - 35t + 400 , t = 3.5 تمثل h(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك . أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن: --- SECTION: 27 --- 27) h(t) = 12t^2 - 5 --- SECTION: 28 --- 28) h(t) = 8 - 2t^2 + 3t 8-4 المشتقات (الصفحات 156-163) --- SECTION: مثال 4 --- أوجد مشتقة h(x) = (x^2 - 5) / (x^3 + 2) . افترض أن f(x) = x^2 - 5, g(x) = x^3 + 2 . لذا، h(x) = f(x)/g(x) . أوجد مشتقة كل من f(x), g(x) . f(x) = x^2 - 5 (من الفرض) f'(x) = 2x (قواعد مشتقات القوة والدالة الثابتة) g(x) = x^3 + 2 (من الفرض) g'(x) = 3x^2 (قواعد مشتقات القوة والدالة الثابتة) استعمل h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 (قاعدة مشتقة القسمة) عوض: = [2x(x^3 + 2) - (x^2 - 5)3x^2] / (x^3 + 2)^2 بسط: = [-x^4 + 15x^2 + 4x] / (x^3 + 2)^2 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. --- SECTION: 29 --- 29) g(t) = -t^2 + 5t + 11 , t = -4, 1 --- SECTION: 30 --- 30) m(j) = 10j - 3 , j = 5, -3 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: --- SECTION: 31 --- 31) p(v) = -9v + 14 --- SECTION: 32 --- 32) z(n) = 4n^2 + 9n --- SECTION: 33 --- 33) t(x) = -3 \sqrt[5]{x^6} --- SECTION: 34 --- 34) g(h) = 4h^{3/4} - 8h^{1/2} + 5 استعمل قاعدة مشتقة القسمة؛ لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: --- SECTION: 35 --- 35) f(m) = (5 - 3m) / (5 + 2m) --- SECTION: 36 --- 36) m(q) = (2q^4 - q^2 + 9) / (q^2 - 12) 182 الفصل 8 النهايات والاشتقاق --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: Boxed worked example showing the step-by-step derivation of the slope of a tangent line using the limit definition of the derivative for the function y = x^2 at the point (2, 4). Context: Worked example demonstrating the application of the limit definition of the derivative. **FIGURE**: Untitled Description: Boxed worked example showing the step-by-step derivation of the derivative of a rational function h(x) = (x^2 - 5) / (x^3 + 2) using the quotient rule. Context: Worked example demonstrating the application of the quotient rule for derivatives.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 16

سؤال 21: أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة : 21) y = 6 - x , (-1, 7) , (3, 3)

الإجابة: س21: الميل ثابت (m = -1) عند النقطتين.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة $y = 6 - x$ ونريد إيجاد ميل المماس عند النقطتين $(-1, 7)$ و $(3, 3)$. نلاحظ أن هذه الدالة خطية (من الدرجة الأولى).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** ميل مماس المنحنى عند أي نقطة هو المشتقة الأولى للدالة $y'$. في الدوال الخطية، يكون الميل ثابتاً ويساوي معامل $x$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بإيجاد المشتقة: $$y' = \frac{d}{dx}(6) - \frac{d}{dx}(x) = 0 - 1 = -1$$ بما أن المشتقة قيمة ثابتة $(-1)$، فإن الميل لا يتغير بتغير قيمة $x$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الميل ثابت وهو **$m = -1$** عند النقطتين المعطاتين.

سؤال 22: أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة : 22) y = x^2 + 2 , (0, 2) , (-1, 3)

الإجابة: س22: m = 0 عند (0, 2)؛ m = -2 عند (-1, 3)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الدالة هي $y = x^2 + 2$ والمطلوب إيجاد الميل عند النقاط $(0, 2)$ و $(-1, 3)$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** ميل المماس هو المشتقة الأولى للدالة: $$y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 2)$$ باستخدام قاعدة القوة: $y' = 2x$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** - عند النقطة $(0, 2)$، نعوض $x = 0$: $$m = 2(0) = 0$$ - عند النقطة $(-1, 3)$، نعوض $x = -1$: $$m = 2(-1) = -2$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الميل هو **$m = 0$** عند النقطة الأولى، و **$m = -2$** عند النقطة الثانية.

سؤال 23: أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: 23) y = -x^2 + 3x

الإجابة: y' = -2x + 3 :س23

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** معادلة ميل المنحنى عند أي نقطة تعني إيجاد المشتقة العامة للدالة $y = -x^2 + 3x$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نشتق كل حد على حدة باستخدام قاعدة القوة: - مشتقة $-x^2$ هي $-2x$. - مشتقة $3x$ هي $3$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بجمع المشتقات، نجد أن معادلة الميل هي: **$y' = -2x + 3$**

سؤال 24: أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: 24) y = x^3 + 4x

الإجابة: y' = 3x^2 + 4 :س24

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد معادلة ميل المنحنى للدالة $y = x^3 + 4x$ عند أي نقطة، نحتاج لحساب المشتقة الأولى $y'$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نطبق قواعد الاشتقاق: - مشتقة $x^3$ هي $3x^2$. - مشتقة $4x$ هي $4$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن معادلة الميل هي: **$y' = 3x^2 + 4$**

سؤال 25: تمثل s(t) في كل مما يأتي موقع جسم بالأقدام بعد t ثانية . أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: 25) s(t) = 15t - 16t^2 , t = 0.5

الإجابة: v(t) = 15 - 32t :س25 v(0.5) = -1

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا دالة الموقع $s(t) = 15t - 16t^2$ والمطلوب السرعة المتجهة اللحظية عند $t = 0.5$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** السرعة المتجهة اللحظية $v(t)$ هي مشتقة دالة الموقع بالنسبة للزمن: $$v(t) = s'(t)$$ بالاشتقاق: $v(t) = 15 - 32t$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نعوض بالزمن المعطى $t = 0.5$ في معادلة السرعة: $$v(0.5) = 15 - 32(0.5) = 15 - 16 = -1$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن السرعة المتجهة اللحظية هي **$-1$** قدم/ثانية.

سؤال 26: تمثل s(t) في كل مما يأتي موقع جسم بالأقدام بعد t ثانية . أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: 26) s(t) = -16t^2 - 35t + 400 , t = 3.5

الإجابة: v(t) = -32t - 35 :س26 v(3.5) = -147

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** دالة الموقع هي $s(t) = -16t^2 - 35t + 400$ والزمن المطلوب هو $t = 3.5$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نشتق دالة الموقع للحصول على دالة السرعة $v(t)$: $$v(t) = s'(t) = -32t - 35$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $t = 3.5$: $$v(3.5) = -32(3.5) - 35 = -112 - 35 = -147$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن السرعة المتجهة اللحظية هي **$-147$** قدم/ثانية.

سؤال 27: تمثل h(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك . أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن: 27) h(t) = 12t^2 - 5

الإجابة: v(t) = 24t :س27

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد السرعة المتجهة اللحظية $v(t)$ من دالة المسار $h(t) = 12t^2 - 5$، نقوم بعملية الاشتقاق.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نشتق الدالة بالنسبة لـ $t$: - مشتقة $12t^2$ هي $24t$. - مشتقة الثابت $(-5)$ هي $0$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن السرعة المتجهة اللحظية هي: **$v(t) = 24t$**

سؤال 28: تمثل h(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك . أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن: 28) h(t) = 8 - 2t^2 + 3t

الإجابة: v(t) = -4t + 3 :س28

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المطلوب هو السرعة المتجهة اللحظية $v(t)$ للدالة $h(t) = 8 - 2t^2 + 3t$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نشتق الدالة $h(t)$ حداً بحداً: - مشتقة $8$ هي $0$. - مشتقة $-2t^2$ هي $-4t$. - مشتقة $3t$ هي $3$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بجمع النتائج، نجد أن: **$v(t) = -4t + 3$**

سؤال 29: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. 29) g(t) = -t^2 + 5t + 11 , t = -4, 1

الإجابة: g'(t) = -2t + 5 :س29 g'(-4) = 13, g'(1) = 3

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المطلوب إيجاد المشتقة باستعمال النهايات للدالة $g(t) = -t^2 + 5t + 11$. تعريف المشتقة هو: $$g'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{g(t+h) - g(t)}{h}$$
  2. **الخطوة 2 (الحل الجبري):** بعد فك الأقواس وتبسيط النهاية، نصل إلى المشتقة العامة: $$g'(t) = -2t + 5$$
  3. **الخطوة 3 (التعويض):** - عند $t = -4$: $g'(-4) = -2(-4) + 5 = 8 + 5 = 13$. - عند $t = 1$: $g'(1) = -2(1) + 5 = -2 + 5 = 3$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المشتقة هي **$g'(t) = -2t + 5$**، وقيمها هي **$13$** و **$3$** على التوالي.

سؤال 30: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. 30) m(j) = 10j - 3 , j = 5, -3

الإجابة: m'(j) = 10 :س30 m'(5) = 10, m'(-3) = 10

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نستخدم تعريف النهاية لإيجاد مشتقة $m(j) = 10j - 3$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن الدالة خطية، فإن معدل التغير (المشتقة) سيكون ثابتاً ويساوي معامل المتغير $j$. بالاشتقاق المباشر أو بالنهايات: $$m'(j) = 10$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن المشتقة ثابتة، فإن قيمتها عند أي نقطة ستكون نفسها: - عند $j = 5$: **$m'(5) = 10$** - عند $j = -3$: **$m'(-3) = 10$**

سؤال 31: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 31) p(v) = -9v + 14

الإجابة: p'(v) = -9 :س31

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد مشتقة الدالة $p(v) = -9v + 14$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** هذه دالة خطية من الدرجة الأولى. مشتقة الحد $-9v$ هي $-9$، ومشتقة الثابت $14$ هي $0$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المشتقة هي: **$p'(v) = -9$**

سؤال 32: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 32) z(n) = 4n^2 + 9n

الإجابة: z'(n) = 8n + 9 :س32

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نشتق الدالة $z(n) = 4n^2 + 9n$ باستخدام قاعدة القوة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** - مشتقة $4n^2$ هي $2 \times 4n = 8n$. - مشتقة $9n$ هي $9$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المشتقة النهائية هي: **$z'(n) = 8n + 9$**

سؤال 33: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 33) t(x) = -3 \sqrt[5]{x^6}

الإجابة: س33: t'(x) = -\frac{18}{5} \sqrt[5]{x}

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (التبسيط):** أولاً، نحول الصورة الجذرية للدالة $t(x) = -3 \sqrt[5]{x^6}$ إلى صورة أسية: $$t(x) = -3 x^{\frac{6}{5}}$$
  2. **الخطوة 2 (الاشتقاق):** نطبق قاعدة القوة (نضرب الأس في المعامل ونطرح من الأس 1): $$t'(x) = -3 \times \frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1} = -\frac{18}{5} x^{\frac{1}{5}}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** نعيدها للصورة الجذرية: **$t'(x) = -\frac{18}{5} \sqrt[5]{x}$**

سؤال 34: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 34) g(h) = 4h^{\frac{3}{4}} - 8h^{\frac{1}{2}} + 5

الإجابة: س34: g'(h) = 3h^{-\frac{1}{4}} - 4h^{-\frac{1}{2}}

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نشتق الدالة $g(h) = 4h^{\frac{3}{4}} - 8h^{\frac{1}{2}} + 5$ باستخدام قاعدة القوة لكل حد.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** - للحد الأول: $4 \times \frac{3}{4} h^{\frac{3}{4}-1} = 3h^{-\frac{1}{4}}$ - للحد الثاني: $-8 \times \frac{1}{2} h^{\frac{1}{2}-1} = -4h^{-\frac{1}{2}}$ - للثابت $5$: مشتقته $0$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المشتقة هي: **$g'(h) = 3h^{-\frac{1}{4}} - 4h^{-\frac{1}{2}}$**

سؤال 35: استعمل قاعدة مشتقة القسمة؛ لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: 35) f(m) = \frac{5 - 3m}{5 + 2m}

الإجابة: س35: f'(m) = \frac{-25}{(5+2m)^2}

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** نستخدم قاعدة مشتقة القسمة للدالة $f(m) = \frac{5 - 3m}{5 + 2m}$: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ حيث $u = 5 - 3m$ و $v = 5 + 2m$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نوجد المشتقات: $u' = -3$ ، $v' = 2$. بالتعويض في القانون: $$f'(m) = \frac{(-3)(5 + 2m) - (5 - 3m)(2)}{(5 + 2m)^2}$$
  3. **الخطوة 3 (التبسيط):** نوزع الضرب في البسط: $$f'(m) = \frac{-15 - 6m - 10 + 6m}{(5 + 2m)^2} = \frac{-25}{(5 + 2m)^2}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المشتقة هي: **$f'(m) = \frac{-25}{(5 + 2m)^2}$**

سؤال 36: استعمل قاعدة مشتقة القسمة؛ لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: 36) m(q) = \frac{2q^4 - q^2 + 9}{q^2 - 12}

الإجابة: س36: m'(q) = \frac{2q(2q^4 - 48q^2 + 3)}{(q^2 - 12)^2}

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** نطبق قاعدة القسمة على $m(q) = \frac{2q^4 - q^2 + 9}{q^2 - 12}$: البسط $u = 2q^4 - q^2 + 9 \implies u' = 8q^3 - 2q$ المقام $v = q^2 - 12 \implies v' = 2q$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** بالتعويض في قانون القسمة: $$m'(q) = \frac{(8q^3 - 2q)(q^2 - 12) - (2q^4 - q^2 + 9)(2q)}{(q^2 - 12)^2}$$
  3. **الخطوة 3 (التبسيط):** بعد فك الأقواس في البسط وتجميع الحدود المتشابهة: $$m'(q) = \frac{8q^5 - 96q^3 - 2q^3 + 24q - (4q^5 - 2q^3 + 18q)}{(q^2 - 12)^2}$$ $$m'(q) = \frac{4q^5 - 96q^3 + 6q}{(q^2 - 12)^2}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بأخذ $2q$ كعامل مشترك في البسط: **$m'(q) = \frac{2q(2q^4 - 48q^2 + 3)}{(q^2 - 12)^2}$**