تقدير النهايات بيانياً (الدرس 1-8) - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة

ملخص الفصل

مفاهيم أساسية

• تكون نهاية f(x) عندما تقترب x من c موجودة، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين. • تكون نهاية f(x) عندما تقترب x من c غير موجودة إذا اقتربت f(x) من قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار ومن اليمين، أو عندما تزداد قيم f(x) أو تتناقص بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار أو اليمين أو كليهما، أو عندما تتذبذب قيم f(x) بين قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من c.

• يمكن إيجاد نهايات كثيرات الحدود والدوال النسبية عادةً من خلال التعويض المباشر. • إذا توصلت إلى الصيغة غير المحددة 0/0 عند حساب نهاية دالة نسبية، فبسط العبارة جبرياً من خلال تحليل كل من البسط والمقام أو إنطاق البسط أو المقام، ثم اختصار العوامل المشتركة.

• معدل التغير اللحظي للدالة f عند النقطة (x, f(x)) هو ميل المماس m عند النقطة (x, f(x))، ويُعطى بالصيغة: m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h

• يُرمز لمشتقة f(x) = x^n بالرمز f'(x)، وتُعطى بالصيغة f'(x) = nx^(n-1)، حيث n عدد حقيقي.

• تُعطى مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة f(x) والمحور x بالصيغة: ∫[a to b] f(x) dx = lim (n→∞) Σ[i=1 to n] f(x_i) Δx حيث a, b هما الحدان الأعلى والأدنى للتكامل، Δx = (b - a) / n , x_i = a + iΔx

• الدالة الأصلية لـ f(x) = x^n هي F(x) وتُعطى بالصيغة F(x) = [x^(n+1) / (n+1)] + C ، حيث C عدد ثابت. • إذا كانت F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة f(x)، فإن: ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a)

النهاية من جهة واحدة ... ص 130 النهاية من جهتين ... ص 130 التعويض المباشر ... ص 139 الصيغة غير المحددة ... ص 140 المماس ... ص 149 معدل التغير اللحظي ... ص 149 قسمة الفرق ... ص 149 السرعة المتجهة اللحظية ... ص 151 المشتقة ... ص 156 الاشتقاق ... ص 156 المعادلة التفاضلية ... ص 156 المؤثر التفاضلي ... ص 156 التجزيء المنتظم ... ص 166 التكامل المحدد ... ص 167 الحد الأدنى ... ص 167 الحد الأعلى ... ص 167 مجموع ريمان الأيمن ... ص 167 التكامل ... ص 167 الدالة الأصلية ... ص 173 التكامل غير المحدد ... ص 174 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ... ص 175

اختبر مفرداتك اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي:

1) ميل المنحنى غير الخطي عند نقطة عليه هو ______ ، والذي يمكن تمثيله بميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة.

2) يمكن إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x باستعمال ______ .

3) يمكن إيجاد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية باستعمال ______ ، وذلك إذا كان مقام الدالة النسبية لا يساوي صفراً عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية.

4) إذا كان F'(x) = f(x) ، فإن F(x) تُسمى ______ لـ f(x).

5) يُسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0/0 ______ .

6) تُسمى عملية إيجاد المشتقة بـ ______ .

7) إذا سُبقت دالة بـ ______ ، فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة الدالة.

8) يطلق على السرعة المتجهة عند لحظة زمنية محددة ______ .

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية --- SECTION: تقدير النهايات بيانياً (الدرس 1-8) --- • تكون نهاية f(x) عندما تقترب x من c موجودة، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين. • تكون نهاية f(x) عندما تقترب x من c غير موجودة إذا اقتربت f(x) من قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار ومن اليمين، أو عندما تزداد قيم f(x) أو تتناقص بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من العدد c من اليسار أو اليمين أو كليهما، أو عندما تتذبذب قيم f(x) بين قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من c. --- SECTION: حساب النهايات جبرياً (الدرس 2-8) --- • يمكن إيجاد نهايات كثيرات الحدود والدوال النسبية عادةً من خلال التعويض المباشر. • إذا توصلت إلى الصيغة غير المحددة 0/0 عند حساب نهاية دالة نسبية، فبسط العبارة جبرياً من خلال تحليل كل من البسط والمقام أو إنطاق البسط أو المقام، ثم اختصار العوامل المشتركة. --- SECTION: المماس والسرعة المتجهة (الدرس 3-8) --- • معدل التغير اللحظي للدالة f عند النقطة (x, f(x)) هو ميل المماس m عند النقطة (x, f(x))، ويُعطى بالصيغة: m = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h --- SECTION: المشتقة (الدرس 4-8) --- • يُرمز لمشتقة f(x) = x^n بالرمز f'(x)، وتُعطى بالصيغة f'(x) = nx^(n-1)، حيث n عدد حقيقي. --- SECTION: المساحة تحت المنحنى والتكامل (الدرس 5-8) --- • تُعطى مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة f(x) والمحور x بالصيغة: ∫[a to b] f(x) dx = lim (n→∞) Σ[i=1 to n] f(x_i) Δx حيث a, b هما الحدان الأعلى والأدنى للتكامل، Δx = (b - a) / n , x_i = a + iΔx --- SECTION: النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الدرس 6-8) --- • الدالة الأصلية لـ f(x) = x^n هي F(x) وتُعطى بالصيغة F(x) = [x^(n+1) / (n+1)] + C ، حيث C عدد ثابت. • إذا كانت F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة f(x)، فإن: ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a) --- SECTION: المفردات --- النهاية من جهة واحدة ... ص 130 النهاية من جهتين ... ص 130 التعويض المباشر ... ص 139 الصيغة غير المحددة ... ص 140 المماس ... ص 149 معدل التغير اللحظي ... ص 149 قسمة الفرق ... ص 149 السرعة المتجهة اللحظية ... ص 151 المشتقة ... ص 156 الاشتقاق ... ص 156 المعادلة التفاضلية ... ص 156 المؤثر التفاضلي ... ص 156 التجزيء المنتظم ... ص 166 التكامل المحدد ... ص 167 الحد الأدنى ... ص 167 الحد الأعلى ... ص 167 مجموع ريمان الأيمن ... ص 167 التكامل ... ص 167 الدالة الأصلية ... ص 173 التكامل غير المحدد ... ص 174 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ... ص 175 اختبر مفرداتك اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي: 1) ميل المنحنى غير الخطي عند نقطة عليه هو ______ ، والذي يمكن تمثيله بميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. 2) يمكن إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x باستعمال ______ . 3) يمكن إيجاد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية باستعمال ______ ، وذلك إذا كان مقام الدالة النسبية لا يساوي صفراً عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية. 4) إذا كان F'(x) = f(x) ، فإن F(x) تُسمى ______ لـ f(x). 5) يُسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0/0 ______ . 6) تُسمى عملية إيجاد المشتقة بـ ______ . 7) إذا سُبقت دالة بـ ______ ، فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة الدالة. 8) يطلق على السرعة المتجهة عند لحظة زمنية محددة ______ . --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a blue parabolic curve labeled y = f(x). A red secant line passes through two points on the curve: P(x, f(x)) and Q(x+h, f(x+h)). The horizontal distance between the points is labeled 'h'. The vertical distance is the difference f(x+h) - f(x). The origin O is marked. The x-axis shows values x and x+h. The y-axis shows values f(x) and f(x+h). X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the geometric definition of the derivative as the limit of the slope of a secant line as h approaches zero.