مثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

8-5 المساحة تحت المنحنى والتكامل (الصفحات 164-172)

استعمل النهايات لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 2x^2 والمحور x، في الفترة [0, 2] أو ∫₀² 2x² dx. ابدأ بإيجاد Δx, xᵢ. صيغة Δx: Δx = (b - a) / n b = 2, a = 0: Δx = (2 - 0) / n = 2/n a = 0, Δx = 2/n: xᵢ = 0 + i(2/n) = 2i/n ∫₀² 2x² dx = limₙ→∞ Σᵢ₌₁ⁿ 2(2i/n)²(2/n) بسط: = limₙ→∞ (4/n) Σᵢ₌₁ⁿ (4i²/n²) صيغ المجموع: = limₙ→∞ (4/n²) [4/n² · n(n+1)(2n+1)/6] بسط: = limₙ→∞ [8(2n² + 3n + 1) / 3n²] أخرج عاملاً مشتركاً، ثم اقسم على n²: = limₙ→∞ [8/3 · (2 + 3/n + 1/n²)] خصائص النهايات: = 16/3 ≈ 5.33

قرّب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى كل دالة مما يأتي باستعمال الأطراف اليمنى و 5 مستطيلات:

f(x) = 8/x

f(x) = -x^2 + 8x - 10

استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x، والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

∫₀² 2x² dx

∫₀³ (2x³ - 1) dx

∫₀² (x² + x) dx

∫₁⁴ (3x² - x) dx

8-6 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الصفحات 173-179)

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: a) f(x) = 4/x⁵ أعد كتابة الدالة المعطاة بقوة سالبة: f(x) = 4x⁻⁵ قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: F(x) = 4x⁻⁵⁺¹ / (-5 + 1) + C بسط: = x⁻⁴ + C = -1/x⁴ + C b) f(x) = x² - 7 الدالة المعطاة: f(x) = x² - 7 أعد كتابة الدالة بدلالة قوى x: = x² - 7x⁰ قواعد الدالة الأصلية: F(x) = x²⁺¹ / (2 + 1) - 7x⁰⁺¹ / (0 + 1) + C بسط: = 1/3 x³ - 7x + C

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي:

g(n) = 5n - 2

r(q) = -3q² + 9q - 2

m(t) = 6t³ - 12t² + 2t - 11

p(h) = 7h⁶ + 4h⁵ - 12h³ - 4

احسب كل تكامل مما يأتي:

∫ 8x² dx

∫ (2x² - 4) dx

∫₃⁵ (2x² - 4 + 5x³ + 3x⁴) dx

∫₁⁴ (-x² + 4x - 2x³ + 5x⁵) dx

8-5 المساحة تحت المنحنى والتكامل (الصفحات 164-172) --- SECTION: مثال 5 --- استعمل النهايات لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 2x^2 والمحور x، في الفترة [0, 2] أو ∫₀² 2x² dx. ابدأ بإيجاد Δx, xᵢ. صيغة Δx: Δx = (b - a) / n b = 2, a = 0: Δx = (2 - 0) / n = 2/n a = 0, Δx = 2/n: xᵢ = 0 + i(2/n) = 2i/n ∫₀² 2x² dx = limₙ→∞ Σᵢ₌₁ⁿ 2(2i/n)²(2/n) بسط: = limₙ→∞ (4/n) Σᵢ₌₁ⁿ (4i²/n²) صيغ المجموع: = limₙ→∞ (4/n²) [4/n² · n(n+1)(2n+1)/6] بسط: = limₙ→∞ [8(2n² + 3n + 1) / 3n²] أخرج عاملاً مشتركاً، ثم اقسم على n²: = limₙ→∞ [8/3 · (2 + 3/n + 1/n²)] خصائص النهايات: = 16/3 ≈ 5.33 قرّب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى كل دالة مما يأتي باستعمال الأطراف اليمنى و 5 مستطيلات: --- SECTION: 37 --- f(x) = 8/x --- SECTION: 38 --- f(x) = -x^2 + 8x - 10 استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x، والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: --- SECTION: 39 --- ∫₀² 2x² dx --- SECTION: 40 --- ∫₀³ (2x³ - 1) dx --- SECTION: 41 --- ∫₀² (x² + x) dx --- SECTION: 42 --- ∫₁⁴ (3x² - x) dx 8-6 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الصفحات 173-179) --- SECTION: مثال 6 --- أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: a) f(x) = 4/x⁵ أعد كتابة الدالة المعطاة بقوة سالبة: f(x) = 4x⁻⁵ قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: F(x) = 4x⁻⁵⁺¹ / (-5 + 1) + C بسط: = x⁻⁴ + C = -1/x⁴ + C b) f(x) = x² - 7 الدالة المعطاة: f(x) = x² - 7 أعد كتابة الدالة بدلالة قوى x: = x² - 7x⁰ قواعد الدالة الأصلية: F(x) = x²⁺¹ / (2 + 1) - 7x⁰⁺¹ / (0 + 1) + C بسط: = 1/3 x³ - 7x + C أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: --- SECTION: 43 --- g(n) = 5n - 2 --- SECTION: 44 --- r(q) = -3q² + 9q - 2 --- SECTION: 45 --- m(t) = 6t³ - 12t² + 2t - 11 --- SECTION: 46 --- p(h) = 7h⁶ + 4h⁵ - 12h³ - 4 احسب كل تكامل مما يأتي: --- SECTION: 47 --- ∫ 8x² dx --- SECTION: 48 --- ∫ (2x² - 4) dx --- SECTION: 49 --- ∫₃⁵ (2x² - 4 + 5x³ + 3x⁴) dx --- SECTION: 50 --- ∫₁⁴ (-x² + 4x - 2x³ + 5x⁵) dx --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph of f(x) = 8/x showing the area under the curve from x=2 to x=6 approximated by 5 right-endpoint rectangles. The curve starts at (1.33, 6) and ends at (6, 1.33). The shaded region is bounded by x=2, x=6, the x-axis, and the curve. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of Riemann sum approximation using right endpoints for a hyperbolic function. **GRAPH**: Untitled Description: Graph of f(x) = -x^2 + 8x - 10 showing the area under the curve approximated by 5 right-endpoint rectangles. The parabola has a vertex at (4, 6). The shaded region is under the peak of the parabola, roughly between x=2 and x=6. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of Riemann sum approximation using right endpoints for a quadratic function.