مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 1

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة الدروس

نوع: محتوى تعليمي

8-1 تقدير النهايات بيانيًا (الصفحات 128 - 136)

مثال 1

نوع: محتوى تعليمي

قدّر lim_{x→2} (x² - 4)/(x - 2) باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

قدّر كل نهاية مما يأتي:

نوع: محتوى تعليمي

8-2 حساب النهايات جبريًا (الصفحات 137 - 146)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنًا، وإلا فاذكر السبب.

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ذلك ممكنًا، وإلا فاذكر السبب.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

احسب كل نهاية مما يأتي:

نوع: METADATA

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 181

🔍 عناصر مرئية

A linear graph representing the function f(x) = (x² - 4)/(x - 2). The graph is a straight line with a slope of 1 and a y-intercept at (0, 2). There is a visible hole (open circle) at the point (2, 4), indicating the function is undefined at x = 2.

📄 النص الكامل للصفحة

مراجعة الدروس 8-1 تقدير النهايات بيانيًا (الصفحات 128 - 136) --- SECTION: مثال 1 --- قدّر lim_{x→2} (x² - 4)/(x - 2) باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم: 9. lim_{x→3} (2x - 7) 10. lim_{x→1} (0.5x⁴ + 3x² - 5) قدّر كل نهاية مما يأتي: 11. lim_{x→2⁺} (x² + x - 6)/(x - 2) 12. lim_{x→4} (x² + x + 20)/(x - 4) 13. lim_{x→4} 9/(x² - 8x + 16) 14. lim_{x→2} (x² - 7x - 10)/(x - 2) 8-2 حساب النهايات جبريًا (الصفحات 137 - 146) استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: 15. lim_{x→5} (x² + 2x + 10)/x 16. lim_{x→-1} (5x² - 2x + 12) احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنًا، وإلا فاذكر السبب. 17. lim_{x→25} (x² + 1)/(√x - 5) 18. lim_{x→2} (-3x³ - 2x² + 15) --- SECTION: مثال 2 --- احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ذلك ممكنًا، وإلا فاذكر السبب. a. lim_{x→2} (2x³ - x² + 4x + 1) بما أن هذه نهاية كثيرة حدود؛ لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim_{x→2} (2x³ - x² + 4x + 1) = 2(2)³ - 2² + 4(2) + 1 = 16 - 4 + 8 + 1 = 21 b. lim_{x→-4} (2x - 7)/(2 - x²) بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفرًا عندما x = -4؛ لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim_{x→-4} (2x - 7)/(2 - x²) = (2(-4) - 7)/(2 - (-4)²) = (-8 - 7)/(2 - 16) = -15/-14 = 15/14 احسب كل نهاية مما يأتي: 19. lim_{x→-2} (x + 2)/(x² - 2x - 8) 20. lim_{x→∞} (2 - 4x³ + x²) الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 181 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A linear graph representing the function f(x) = (x² - 4)/(x - 2). The graph is a straight line with a slope of 1 and a y-intercept at (0, 2). There is a visible hole (open circle) at the point (2, 4), indicating the function is undefined at x = 2. X-axis: x Y-axis: y **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: 1.9 | 3.9 Row 2: 1.99 | 3.99 Row 3: 1.999 | 3.999 Row 4: 2 | ______ Row 5: 2.001 | 4.001 Row 6: 2.01 | 4.01 Row 7: 2.1 | 4.1 Empty cells: f(x) value for x = 2 is blank Context: Numerical verification showing that as x approaches 2 from both sides, f(x) approaches 4.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 12

سؤال 9: قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم: 9) $\lim_{x \to 3} (2x - 7)$

الإجابة: -1 : 9س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو تقدير نهاية الدالة $f(x) = 2x - 7$ عندما تقترب $x$ من العدد 3.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن الدالة كثيرة حدود، يمكننا البدء بالتعويض المباشر أو ملاحظة سلوك الدالة حول العدد 3 من خلال جدول قيم (أرقام قريبة جداً من 3 مثل 2.99 و 3.01).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر: $$\lim_{x \to 3} (2x - 7) = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **-1**

سؤال 10: قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم: 10) $\lim_{x \to 1} (0.5x^4 + 3x^2 - 5)$

الإجابة: -\frac{3}{2} : 10س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة $f(x) = 0.5x^4 + 3x^2 - 5$ والمطلوب إيجاد النهاية عند $x \to 1$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم خاصية التعويض المباشر للدوال كثيرة الحدود، حيث تكون النهاية هي قيمة الدالة عند تلك النقطة.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x$ بـ 1: $$0.5(1)^4 + 3(1)^2 - 5 = 0.5 + 3 - 5 = 3.5 - 5 = -1.5$$ وبتحويلها لكسر: $-1.5 = -\frac{3}{2}$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **-\frac{3}{2}**

سؤال 11: قدّر كل نهاية مما يأتي: 11) $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$

الإجابة: 5 : 11س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب نهاية الدالة $\frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ عندما تقترب $x$ من 2 من جهة اليمين ($2^+$).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** عند التعويض المباشر نحصل على $\frac{0}{0}$ (صيغة غير محددة)، لذا نحتاج لتحليل البسط لاختصار العامل المشترك.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحلل البسط: $$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$$ تصبح النهاية: $$\lim_{x \to 2^+} \frac{(x + 3)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 3) = 2 + 3 = 5$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **5**

سؤال 12: قدّر كل نهاية مما يأتي: 12) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 + x + 20}{x - 4}$

الإجابة: س12: لا توجد (من اليمين ∞+ ومن اليسار ∞-)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نبحث عن نهاية الدالة $\frac{x^2 + x + 20}{x - 4}$ عندما تقترب $x$ من 4.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بالتعويض المباشر نجد أن المقام يصبح صفراً ($4-4=0$) بينما البسط يساوي $4^2+4+20=40$. هذا يشير إلى وجود خط تقارب رأسي.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** ندرس الإشارة حول $x=4$: - من اليمين ($x > 4$): المقام موجب والبسط موجب، فتقترب القيمة من $+\infty$. - من اليسار ($x < 4$): المقام سالب والبسط موجب، فتقترب القيمة من $-\infty$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن النهايتين من اليمين واليسار مختلفتان، فإن النهاية **غير موجودة**.

سؤال 13: قدّر كل نهاية مما يأتي: 13) $\lim_{x \to 4} \frac{9}{x^2 - 8x + 16}$

الإجابة: +∞ : 13س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب $\lim_{x \to 4} \frac{9}{x^2 - 8x + 16}$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نلاحظ أن المقام يمثل مربعاً كاملاً: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر نحصل على $\frac{9}{0}$. وبما أن المقام $(x - 4)^2$ دائماً موجب لأي قيمة لـ $x$ قريبة من 4 (سواء من اليمين أو اليسار)، فإن القيمة ستزداد بلا حدود باتجاه الموجب.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **+\infty**

سؤال 14: قدّر كل نهاية مما يأتي: 14) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 7x - 10}{x - 2}$

الإجابة: س14: لا توجد (من اليسار ∞+ ومن اليمين ∞-)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة $\frac{x^2 - 7x - 10}{x - 2}$ والمطلوب النهاية عند $x \to 2$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بالتعويض المباشر: البسط $2^2 - 7(2) - 10 = 4 - 14 - 10 = -20$. المقام $2 - 2 = 0$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بما أن الناتج عدد على صفر، ندرس السلوك: - من اليمين ($x \to 2^+$): المقام موجب صغير جداً، والبسط سالب (-20)، فالناتج $-\infty$. - من اليسار ($x \to 2^-$): المقام سالب صغير جداً، والبسط سالب (-20)، فالناتج $+\infty$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن السلوك مختلف من الجهتين، فالنهاية **غير موجودة**.

سؤال 15: استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: 15) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 + 2x + 10}{x}$

الإجابة: 9 : 15س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 + 2x + 10}{x}$ باستخدام الخصائص.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم خاصية قسمة النهايات، حيث نهاية خارج القسمة تساوي خارج قسمة النهايتين (بشرط أن نهاية المقام لا تساوي صفراً).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر في البسط والمقام: $$\frac{5^2 + 2(5) + 10}{5} = \frac{25 + 10 + 10}{5} = \frac{45}{5} = 9$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **9**

سؤال 16: استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: 16) $\lim_{x \to -1} (5x^2 - 2x + 12)$

الإجابة: 19 : 16س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب $\lim_{x \to -1} (5x^2 - 2x + 12)$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم خصائص الجمع والطرح وضرب الثابت في دالة، وهو ما يكافئ التعويض المباشر في الدوال كثيرة الحدود.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x$ بـ -1: $$5(-1)^2 - 2(-1) + 12 = 5(1) + 2 + 12 = 5 + 2 + 12 = 19$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **19**

سؤال 17: احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنًا، وإلا فاذكر السبب. 17) $\lim_{x \to 25} \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x} - 5}$

الإجابة: س17: لا توجد (لأن المقام 0 ← والنهاية من اليمين +∞ ومن اليسار ∞-)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب $\lim_{x \to 25} \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x} - 5}$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نجرب التعويض المباشر: البسط $25^2 + 1 = 626$. المقام $\sqrt{25} - 5 = 5 - 5 = 0$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بما أن المقام صفر والبسط عدد حقيقي، ندرس النهاية من الجهتين: - من اليمين ($x > 25$): $\sqrt{x} > 5$ فالمقام موجب، النهاية $+\infty$. - من اليسار ($x < 25$): $\sqrt{x} < 5$ فالمقام سالب، النهاية $-\infty$.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن النهايتين غير متساويتين، فإن النهاية **غير موجودة**.

سؤال 18: احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنًا، وإلا فاذكر السبب. 18) $\lim_{x \to 2} (-3x^3 - 2x^2 + 15)$

الإجابة: -17 : 18س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب $\lim_{x \to 2} (-3x^3 - 2x^2 + 15)$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أنها دالة كثيرة حدود، نستخدم خاصية التعويض المباشر.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نعوض بـ $x = 2$: $$-3(2)^3 - 2(2)^2 + 15 = -3(8) - 2(4) + 15 = -24 - 8 + 15 = -32 + 15 = -17$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **-17**

سؤال 19: احسب كل نهاية مما يأتي: 19) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^2 - 2x - 8}$

الإجابة: -\frac{1}{6} : 19س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^2 - 2x - 8}$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** التعويض المباشر يعطي $\frac{-2+2}{4+4-8} = \frac{0}{0}$. يجب تحليل المقام لاختصار العامل المشترك $(x+2)$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحلل المقام: $$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$$ تصبح النهاية: $$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x - 4)(x + 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{-2 - 4} = -\frac{1}{6}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **-\frac{1}{6}**

سؤال 20: احسب كل نهاية مما يأتي: 20) $\lim_{x \to \infty} (2 - 4x^3 + x^2)$

الإجابة: -∞ : 20س

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب حساب نهاية الدالة $2 - 4x^3 + x^2$ عندما تقترب $x$ من مالانهاية ($\infty$).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** في دوال كثيرات الحدود عند المالانهاية، السلوك يحدده الحد ذو الدرجة الأعلى (الحد الرئيس).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الحد الرئيس هنا هو $-4x^3$. عندما تذهب $x$ إلى $\infty$: $$-4(\infty)^3 = -4(\infty) = -\infty$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: **-\infty**