مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد (الصفحات 33 - 38)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

عيّن كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد طول القطعة المستقيمة المُعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مثّل بيانيًا كلًّا من المتجهات الآتية في الفضاء:

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

عيّن النقطة (-3, 4, -4) في الفضاء الثلاثي الأبعاد. حدّد موقع النقطة (-3, 4) في المستوى xy بوضع إشارة، ثم عيّن نقطة تبعد 4 وحدات أسفل هذه النقطة، وباتجاه مواز للمحور z.

نوع: محتوى تعليمي

5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء (الصفحات 39 - 43)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بيّن أن u x v يعامد كلًّا من u, v:

مثال 5

نوع: محتوى تعليمي

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <-4, 2, -3> ، v = <7, 11, 2> ، ثم بيّن أن u x v يعامد كلًّا من u, v. u x v = | i j k | / | -4 2 -3 | / | 7 11 2 | = | 2 -3 | / | 11 2 | i - | -4 -3 | / | 7 2 | j + | -4 2 | / | 7 11 | k = <37, -13, -58> (u x v) . u = <37, -13, -58> . <-4, 2, -3> = -148 - 26 + 174 = 0 (u x v) . v = <37, -13, -58> . <7, 11, 2> = 259 - 143 - 116 = 0 بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرًا، فإن u x v عمودي على كل من u, v

🔍 عناصر مرئية

تمثيل النقطة (-3, 4, -4)

The graph shows a 3D coordinate system with x, y, and z axes. The origin O is at (0,0,0). The x-axis extends forward-left, the y-axis to the right, and the z-axis upwards. A point is plotted at (-3, 4, -4). Dashed lines show the path from the origin: 3 units back along the x-axis to -3, then 4 units right parallel to the y-axis to reach the point (-3, 4, 0) in the xy-plane (marked with a blue dot), and finally 4 units down parallel to the z-axis to reach the final point (-3, 4, -4) marked with a green dot.

📄 النص الكامل للصفحة

5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد (الصفحات 33 - 38) عيّن كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد: 36. (1, 2, -4) 37. (3, 5, 3) 38. (5, -3, -2) 39. (-2, -3, -2) أوجد طول القطعة المستقيمة المُعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. 40. (-4, 10, 4), (2, 0, 8) 41. (-5, 6, 4), (-9, -2, -2) 42. (3, 2, 0), (-9, -10, 4) 43. (8, 3, 2), (-4, -6, 6) مثّل بيانيًا كلًّا من المتجهات الآتية في الفضاء: 44. a = <0, -3, 4> 45. b = -3i + 3j + 2k 46. c = -2i - 3j + 5k 47. d = <-4, -5, -3> --- SECTION: مثال 4 --- عيّن النقطة (-3, 4, -4) في الفضاء الثلاثي الأبعاد. حدّد موقع النقطة (-3, 4) في المستوى xy بوضع إشارة، ثم عيّن نقطة تبعد 4 وحدات أسفل هذه النقطة، وباتجاه مواز للمحور z. 5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء (الصفحات 39 - 43) أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا. 48. u = <2, 5, 2>, v = <8, 2, -13> 49. u = <5, 0, -6>, v = <-6, 1, 3> أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بيّن أن u x v يعامد كلًّا من u, v: 50. u = <1, -3, -2>, v = <2, 4, -3> 51. u = <4, 1, -2>, v = <5, -4, -1> --- SECTION: مثال 5 --- أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <-4, 2, -3> ، v = <7, 11, 2> ، ثم بيّن أن u x v يعامد كلًّا من u, v. u x v = | i j k | / | -4 2 -3 | / | 7 11 2 | = | 2 -3 | / | 11 2 | i - | -4 -3 | / | 7 2 | j + | -4 2 | / | 7 11 | k = <37, -13, -58> (u x v) . u = <37, -13, -58> . <-4, 2, -3> = -148 - 26 + 174 = 0 (u x v) . v = <37, -13, -58> . <7, 11, 2> = 259 - 143 - 116 = 0 بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرًا، فإن u x v عمودي على كل من u, v --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: تمثيل النقطة (-3, 4, -4) Description: The graph shows a 3D coordinate system with x, y, and z axes. The origin O is at (0,0,0). The x-axis extends forward-left, the y-axis to the right, and the z-axis upwards. A point is plotted at (-3, 4, -4). Dashed lines show the path from the origin: 3 units back along the x-axis to -3, then 4 units right parallel to the y-axis to reach the point (-3, 4, 0) in the xy-plane (marked with a blue dot), and finally 4 units down parallel to the z-axis to reach the final point (-3, 4, -4) marked with a green dot. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the step-by-step process of plotting a point in a 3D coordinate system by moving along each axis sequentially.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 16

سؤال 36: عيّن كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد: 36) (1, 2, -4)

الإجابة: س 36: تقع عند (1, 2, 4-) (حيث (x > 0, y > 0, z < 0).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد الإحداثيات):** لدينا النقطة $(1, 2, -4)$، حيث: - الإحداثي $x = 1$ (موجب) - الإحداثي $y = 2$ (موجب) - الإحداثي $z = -4$ (سالب)
  2. **الخطوة 2 (التمثيل):** نتحرك وحدة واحدة على محور $x$ الموجب، ثم وحدتين موازاة لمحور $y$ الموجب، وأخيراً ننزل 4 وحدات موازاة لمحور $z$ السالب.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن النقطة تقع في الفضاء عند الإحداثيات **(1, 2, -4)** حيث $x > 0, y > 0, z < 0$.

سؤال 37: عيّن كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد: 37) (3, 5, 3)

الإجابة: س 37: تقع عند (3, 5, 3) (حيث (x > 0, y > 0, z > 0).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد الإحداثيات):** لدينا النقطة $(3, 5, 3)$، ونلاحظ أن جميع الإحداثيات موجبة: - $x = 3$ - $y = 5$ - $z = 3$
  2. **الخطوة 2 (التمثيل):** نتحرك 3 وحدات على محور $x$، ثم 5 وحدات باتجاه $y$ الموجب، ثم نصعد 3 وحدات باتجاه $z$ الموجب.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن النقطة تقع عند **(3, 5, 3)** في الثمن الأول حيث $x > 0, y > 0, z > 0$.

سؤال 38: عيّن كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد: 38) (5, -3, -2)

الإجابة: س 38: تقع عند (5, 3-, 2-) (حيث (x > 0, y < 0, z < 0).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد الإحداثيات):** النقطة هي $(5, -3, -2)$: - $x = 5$ (موجب) - $y = -3$ (سالب) - $z = -2$ (سالب)
  2. **الخطوة 2 (التمثيل):** نتحرك على محور $x$ الموجب، ثم ننتقل لليسار موازاة لمحور $y$ السالب، ثم ننزل لأسفل موازاة لمحور $z$ السالب.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن تقع النقطة عند **(5, -3, -2)** حيث $x > 0, y < 0, z < 0$.

سؤال 39: عيّن كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد: 39) (-2, -3, -2)

الإجابة: س 39: تقع عند (2-, 3-, 2-) (حيث (x < 0, y < 0, z < 0).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحديد الإحداثيات):** النقطة هي $(-2, -3, -2)$، ونلاحظ أن جميع القيم سالبة: - $x = -2$ - $y = -3$ - $z = -2$
  2. **الخطوة 2 (التمثيل):** نتحرك في الاتجاهات السالبة للمحاور الثلاثة $x, y, z$ بالتتابع.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن تقع النقطة عند **(-2, -3, -2)** حيث $x < 0, y < 0, z < 0$.

سؤال 40: أوجد طول القطعة المستقيمة المُعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. 40) (-4, 10, 4), (2, 0, 8)

الإجابة: س 40: الطول = $2\sqrt{38}$، المنتصف = (6 ,5 ,1-)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطتان هما: $P_1(-4, 10, 4)$ و $P_2(2, 0, 8)$.
  2. **الخطوة 2 (حساب الطول):** نستخدم قانون المسافة في الفضاء: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$ $$d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (0 - 10)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-10)^2 + 4^2} = \sqrt{152} = 2\sqrt{38}$$
  3. **الخطوة 3 (حساب نقطة المنتصف):** نستخدم قانون المنتصف: $$M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$$ $$M = (\frac{-4+2}{2}, \frac{10+0}{2}, \frac{4+8}{2}) = (-1, 5, 6)$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول هو **$2\sqrt{38}$** ونقطة المنتصف هي **(-1, 5, 6)**.

سؤال 41: أوجد طول القطعة المستقيمة المُعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. 41) (-5, 6, 4), (-9, -2, -2)

الإجابة: س 41: الطول = $2\sqrt{29}$، المنتصف = (1 ,2 ,7-)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطتان هما: $(-5, 6, 4)$ و $(-9, -2, -2)$.
  2. **الخطوة 2 (حساب الطول):** $$d = \sqrt{(-9 - (-5))^2 + (-2 - 6)^2 + (-2 - 4)^2}$$ $$d = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 64 + 36} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$$
  3. **الخطوة 3 (حساب نقطة المنتصف):** $$M = (\frac{-5-9}{2}, \frac{6-2}{2}, \frac{4-2}{2}) = (-7, 2, 1)$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول هو **$2\sqrt{29}$** ونقطة المنتصف هي **(-7, 2, 1)**.

سؤال 42: أوجد طول القطعة المستقيمة المُعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. 42) (3, 2, 0), (-9, -10, 4)

الإجابة: س 42: الطول = $4\sqrt{19}$، المنتصف = (2 ,4- ,3-)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطتان هما: $(3, 2, 0)$ و $(-9, -10, 4)$.
  2. **الخطوة 2 (حساب الطول):** $$d = \sqrt{(-9 - 3)^2 + (-10 - 2)^2 + (4 - 0)^2}$$ $$d = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 144 + 16} = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$$
  3. **الخطوة 3 (حساب نقطة المنتصف):** $$M = (\frac{3-9}{2}, \frac{2-10}{2}, \frac{0+4}{2}) = (-3, -4, 2)$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول هو **$4\sqrt{19}$** ونقطة المنتصف هي **(-3, -4, 2)**.

سؤال 43: أوجد طول القطعة المستقيمة المُعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. 43) (8, 3, 2), (-4, -6, 6)

الإجابة: س 43: الطول = $\sqrt{241}$، المنتصف = (4 ,1.5- ,2)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطتان هما: $(8, 3, 2)$ و $(-4, -6, 6)$.
  2. **الخطوة 2 (حساب الطول):** $$d = \sqrt{(-4 - 8)^2 + (-6 - 3)^2 + (6 - 2)^2}$$ $$d = \sqrt{(-12)^2 + (-9)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 81 + 16} = \sqrt{241}$$
  3. **الخطوة 3 (حساب نقطة المنتصف):** $$M = (\frac{8-4}{2}, \frac{3-6}{2}, \frac{2+6}{2}) = (2, -1.5, 4)$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول هو **$\sqrt{241}$** ونقطة المنتصف هي **(2, -1.5, 4)**.

سؤال 44: مثّل بيانيًا كلًّا من المتجهات الآتية في الفضاء: 44) a = <0, -3, 4>

الإجابة: س 44: سهم من (0, 0, 0) إلى (0, -3, 4)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتمثيل المتجه $a = \langle 0, -3, 4 \rangle$ في الفضاء، نبدأ دائماً من نقطة الأصل $(0, 0, 0)$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نتحرك من نقطة الأصل إلى النقطة التي إحداثياتها $(0, -3, 4)$. بما أن $x=0$، فالمتجه يقع في المستوى $yz$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** يُمثل المتجه بـ **سهم ينطلق من (0, 0, 0) وينتهي عند (0, -3, 4)**.

سؤال 45: مثّل بيانيًا كلًّا من المتجهات الآتية في الفضاء: 45) b = -3i + 3j + 2k

الإجابة: س 45: سهم من (0, 0, 0) إلى (-3, 3, 2)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المتجه معطى بدلالة متجهات الوحدة: $b = -3i + 3j + 2k$. هذا يكافئ الصورة الإحداثية $\langle -3, 3, 2 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نحدد النقطة $(-3, 3, 2)$ في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** يُمثل المتجه بـ **سهم من نقطة الأصل (0, 0, 0) إلى النقطة (-3, 3, 2)**.

سؤال 46: مثّل بيانيًا كلًّا من المتجهات الآتية في الفضاء: 46) c = -2i - 3j + 5k

الإجابة: س 46: سهم من (0, 0, 0) إلى (-2, -3, 5)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المتجه $c = -2i - 3j + 5k$ يكافئ الصورة الإحداثية $\langle -2, -3, 5 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نتحرك وحدتين في اتجاه $x$ السالب، و3 وحدات في اتجاه $y$ السالب، ثم نصعد 5 وحدات في اتجاه $z$ الموجب.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** يُمثل المتجه بـ **سهم من (0, 0, 0) إلى (-2, -3, 5)**.

سؤال 47: مثّل بيانيًا كلًّا من المتجهات الآتية في الفضاء: 47) d = <-4, -5, -3>

الإجابة: س 47: سهم من (0, 0, 0) إلى (-4, -5, -3)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المتجه $d = \langle -4, -5, -3 \rangle$ معطى في صورته الإحداثية.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نحدد موقع النقطة $(-4, -5, -3)$ في الفضاء، حيث تقع في الثمن الذي تكون فيه جميع الإحداثيات سالبة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** يُمثل المتجه بـ **سهم من (0, 0, 0) إلى (-4, -5, -3)**.

سؤال 48: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا. 48) u = <2, 5, 2>, v = <8, 2, -13>

الإجابة: u · v = 0 :48س ⇐ متعامدان.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** نستخدم قانون الضرب الداخلي: $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** بالتعويض: $$u \cdot v = (2)(8) + (5)(2) + (2)(-13)$$ $$u \cdot v = 16 + 10 - 26 = 0$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن ناتج الضرب الداخلي يساوي صفر، فإن المتجهين **متعامدان**.

سؤال 49: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا. 49) u = <5, 0, -6>, v = <-6, 1, 3>

الإجابة: س 49: u · v = -48 ⇐ غير متعامدين.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** نطبق قانون الضرب الداخلي للمتجهين $u = \langle 5, 0, -6 \rangle$ و $v = \langle -6, 1, 3 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** $$u \cdot v = (5)(-6) + (0)(1) + (-6)(3)$$ $$u \cdot v = -30 + 0 - 18 = -48$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن $u \cdot v \neq 0$، فإن المتجهين **غير متعامدين**.

سؤال 50: أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بيّن أن u x v يعامد كلًّا من u, v: 50) u = <1, -3, -2>, v = <2, 4, -3>

الإجابة: س 50: u x v = <17, -1, 10> يعامد كلاً من u, v.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (حساب الضرب الاتجاهي):** نستخدم المحددة لحساب $u \times v$: $$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -3 & -2 \\ 2 & 4 & -3 \end{vmatrix}$$ $$= i(9 - (-8)) - j(-3 - (-4)) + k(4 - (-6)) = 17i - 1j + 10k = \langle 17, -1, 10 \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (التحقق من التعامد):** نحسب الضرب الداخلي للناتج مع $u$ ومع $v$: - مع $u$: $(17)(1) + (-1)(-3) + (10)(-2) = 17 + 3 - 20 = 0$ - مع $v$: $(17)(2) + (-1)(4) + (10)(-3) = 34 - 4 - 30 = 0$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن $u \times v = \langle 17, -1, 10 \rangle$ وهو **يعامد كلاً من u و v**.

سؤال 51: أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بيّن أن u x v يعامد كلًّا من u, v: 51) u = <4, 1, -2>, v = <5, -4, -1>

الإجابة: س 51: u x v = <-9, -6, -21> يعامد كلاً من u, v.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (حساب الضرب الاتجاهي):** $$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 1 & -2 \\ 5 & -4 & -1 \end{vmatrix}$$ $$= i(-1 - 8) - j(-4 - (-10)) + k(-16 - 5) = -9i - 6j - 21k = \langle -9, -6, -21 \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (التحقق من التعامد):** - مع $u$: $(-9)(4) + (-6)(1) + (-21)(-2) = -36 - 6 + 42 = 0$ - مع $v$: $(-9)(5) + (-6)(-4) + (-21)(-1) = -45 + 24 + 21 = 0$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن $u \times v = \langle -9, -6, -21 \rangle$ وهو **يعامد كلاً من u و v**.