مقدمة في المتجهات (الدرس 1-5)

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة

نوع: محتوى تعليمي

ملخص الفصل

نوع: محتوى تعليمي

مفاهيم أساسية

نوع: محتوى تعليمي

• يُعبّر عن اتجاه المتجه بالزاوية بين المتجه، والأفقي. ومقدار المتجه هو طوله.
• ناتج جمع متجهين هو متجه يُسمى المحصلة، ويمكن إيجاده باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع.

المتجهات في المستوى الإحداثي (الدرس 2-5)

نوع: محتوى تعليمي

• الصورة الإحداثية للمتجه في الوضع القياسي هي ⟨x, y⟩.
• الصورة الإحداثية للمتجه في الوضع غير القياسي الذي نقطة بدايته A(x₁, y₁)، ونقطة نهايته B(x₂, y₂) هي: ⟨x₂ - x₁, y₂ - y₁⟩.
• يُعطى طول المتجه v = ⟨v₁, v₂⟩ بالصيغة |v| = √(v₁² + v₂²).
• إذا كان a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ متجهين، وكان k عددًا حقيقيًا، فإن: a + b = ⟨a₁ + b₁, a₂ + b₂⟩ ، a - b = ⟨a₁ - b₁, a₂ - b₂⟩ ، ka = ⟨ka₁, ka₂⟩.
• يمكن استعمال متجهي الوحدة i, j للتعبير عن المتجه v = ⟨a, b⟩ على الصورة v = ai + bj.

الضرب الداخلي (الدرس 3-5)

نوع: محتوى تعليمي

• يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين: a = ⟨a₁, a₂⟩ ، b = ⟨b₁, b₂⟩ بالصيغة: a · b = a₁b₁ + a₂b₂.
• إذا كانت θ زاوية بين متجهين غير صفريين a, b ، فإن: cos θ = (a · b) / (|a| |b|)

المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد (الدرس 4-5)

نوع: محتوى تعليمي

• تعطى المسافة بين النقطتين A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) بالصيغة: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
• تعطى نقطة منتصف AB بالصيغة: M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)

الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهين في الفضاء (الدرس 5-5)

نوع: محتوى تعليمي

• يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين: a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ ، b = ⟨b₁, b₂⟩ بالصيغة a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
• إذا كان: a = a₁i + a₂j + a₃k, b = b₁i + b₂j + b₃k فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين a, b هو a × b ، ويساوي (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k

نوع: محتوى تعليمي

المفردات

نوع: محتوى تعليمي

كمية قياسية عددية ص 10
المتجه ص 10
كمية متجهة ص 10
قطعة مستقيمة متجهة ص 10
نقطة البداية ص 10
نقطة النهاية ص 10
طول المتجه ص 10
الوضع القياسي ص 10
اتجاه المتجه ص 10
الاتجاه الربعي ص 11
الاتجاه الحقيقي ص 11
المتجهات المتوازية ص 11
المتجهات المتساوية ص 11
المتجهان المتعاكسان ص 11
المحصلة ص 12
قاعدة المثلث ص 12
قاعدة متوازي الأضلاع ص 12
المتجه الصفري ص 13
المركبات ص 14
المركبات المتعامدة ص 14
الصورة الإحداثية ص 18
متجه الوحدة ص 20
متجها الوحدة القياسيان ص 20
توافق خطي ص 21
الضرب الداخلي ص 26
المتجهان المتعامدان ص 26
الشغل ص 29
نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد ص 33
المحور z ص 33
الثمن ص 33
الثلاثي المرتب ص 33
الضرب الاتجاهي ص 40
متوازي السطوح ص 41
الضرب القياسي الثلاثي ص 41

نوع: محتوى تعليمي

اختبر مفرداتك
حدد ما إذا كانت العبارات الآتية صحيحة أم خاطئة، وإذا كانت خاطئة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة:

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدأ منه.

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) إذا كان a = ⟨1, -4⟩, b = ⟨3, 2⟩ ، فإن الضرب الداخلي للمتجهين هو 3(2) + -4(1).

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) نقطة منتصف AB عندما تكون A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) هي ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2).

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) طول المتجه r الذي نقطة بدايته A(-1, 2)، ونقطة نهايته B(2, -4) هو ⟨3, -6⟩.

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) يتساوى متجهان إذا وفقط إذا كان لهما الطول نفسه، والاتجاه نفسه.

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) إذا تعامد متجهان غير صفريين، فإن قياس الزاوية بينهما 180°.

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) لتجد متجهًا يعامد أي متجهين على الأقل في الفضاء، أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين الأصليين.

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) طرح متجه يكافئ إضافة معكوس المتجه.

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9) إذا كان v متجه وحدة باتجاه u، فإن v = |u|/u.

نوع: METADATA

44 الفصل 5 المتجهات
وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

رسم توضيحي لجمع المتجهات هندسيًا باستخدام قاعدة المثلث. يظهر المتجه a كسهم أحمر مائل للأعلى ولليمين، يليه المتجه b كسهم أزرق مائل للأسفل ولليمين يبدأ من رأس المتجه a. المتجه المحصل a+b يظهر كسهم أخضر يصل بين ذيل المتجه a ورأس المتجه b.

رسم توضيحي لجمع المتجهات هندسيًا باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع. ينطلق المتجهان a (أحمر) و b (أزرق) من نفس نقطة البداية. تظهر خطوط متقطعة موازية لكل متجه لتكمل شكل متوازي الأضلاع. المتجه المحصل a+b يظهر كسهم أخضر يمثل قطر متوازي الأضلاع المنطلق من نقطة البداية المشتركة.

📄 النص الكامل للصفحة

الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة

ملخص الفصل

مفاهيم أساسية

--- SECTION: مقدمة في المتجهات (الدرس 1-5) ---
• يُعبّر عن اتجاه المتجه بالزاوية بين المتجه، والأفقي. ومقدار المتجه هو طوله.
• ناتج جمع متجهين هو متجه يُسمى المحصلة، ويمكن إيجاده باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع.

--- SECTION: المتجهات في المستوى الإحداثي (الدرس 2-5) ---
• الصورة الإحداثية للمتجه في الوضع القياسي هي ⟨x, y⟩.
• الصورة الإحداثية للمتجه في الوضع غير القياسي الذي نقطة بدايته A(x₁, y₁)، ونقطة نهايته B(x₂, y₂) هي: ⟨x₂ - x₁, y₂ - y₁⟩.
• يُعطى طول المتجه v = ⟨v₁, v₂⟩ بالصيغة |v| = √(v₁² + v₂²).
• إذا كان a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ متجهين، وكان k عددًا حقيقيًا، فإن: a + b = ⟨a₁ + b₁, a₂ + b₂⟩ ، a - b = ⟨a₁ - b₁, a₂ - b₂⟩ ، ka = ⟨ka₁, ka₂⟩.
• يمكن استعمال متجهي الوحدة i, j للتعبير عن المتجه v = ⟨a, b⟩ على الصورة v = ai + bj.

--- SECTION: الضرب الداخلي (الدرس 3-5) ---
• يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين: a = ⟨a₁, a₂⟩ ، b = ⟨b₁, b₂⟩ بالصيغة: a · b = a₁b₁ + a₂b₂.
• إذا كانت θ زاوية بين متجهين غير صفريين a, b ، فإن: cos θ = (a · b) / (|a| |b|)

--- SECTION: المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد (الدرس 4-5) ---
• تعطى المسافة بين النقطتين A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) بالصيغة: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
• تعطى نقطة منتصف AB بالصيغة: M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)

--- SECTION: الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهين في الفضاء (الدرس 5-5) ---
• يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين: a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ ، b = ⟨b₁, b₂⟩ بالصيغة a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
• إذا كان: a = a₁i + a₂j + a₃k, b = b₁i + b₂j + b₃k فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين a, b هو a × b ، ويساوي (a₂b₃ - a₃b₂)i - (a₁b₃ - a₃b₁)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k

المفردات

كمية قياسية عددية ص 10
المتجه ص 10
كمية متجهة ص 10
قطعة مستقيمة متجهة ص 10
نقطة البداية ص 10
نقطة النهاية ص 10
طول المتجه ص 10
الوضع القياسي ص 10
اتجاه المتجه ص 10
الاتجاه الربعي ص 11
الاتجاه الحقيقي ص 11
المتجهات المتوازية ص 11
المتجهات المتساوية ص 11
المتجهان المتعاكسان ص 11
المحصلة ص 12
قاعدة المثلث ص 12
قاعدة متوازي الأضلاع ص 12
المتجه الصفري ص 13
المركبات ص 14
المركبات المتعامدة ص 14
الصورة الإحداثية ص 18
متجه الوحدة ص 20
متجها الوحدة القياسيان ص 20
توافق خطي ص 21
الضرب الداخلي ص 26
المتجهان المتعامدان ص 26
الشغل ص 29
نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد ص 33
المحور z ص 33
الثمن ص 33
الثلاثي المرتب ص 33
الضرب الاتجاهي ص 40
متوازي السطوح ص 41
الضرب القياسي الثلاثي ص 41

اختبر مفرداتك
حدد ما إذا كانت العبارات الآتية صحيحة أم خاطئة، وإذا كانت خاطئة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة:

--- SECTION: 1 ---
1) نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدأ منه.

--- SECTION: 2 ---
2) إذا كان a = ⟨1, -4⟩, b = ⟨3, 2⟩ ، فإن الضرب الداخلي للمتجهين هو 3(2) + -4(1).

--- SECTION: 3 ---
3) نقطة منتصف AB عندما تكون A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) هي ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2).

--- SECTION: 4 ---
4) طول المتجه r الذي نقطة بدايته A(-1, 2)، ونقطة نهايته B(2, -4) هو ⟨3, -6⟩.

--- SECTION: 5 ---
5) يتساوى متجهان إذا وفقط إذا كان لهما الطول نفسه، والاتجاه نفسه.

--- SECTION: 6 ---
6) إذا تعامد متجهان غير صفريين، فإن قياس الزاوية بينهما 180°.

--- SECTION: 7 ---
7) لتجد متجهًا يعامد أي متجهين على الأقل في الفضاء، أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين الأصليين.

--- SECTION: 8 ---
8) طرح متجه يكافئ إضافة معكوس المتجه.

--- SECTION: 9 ---
9) إذا كان v متجه وحدة باتجاه u، فإن v = |u|/u.

44 الفصل 5 المتجهات
وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لجمع المتجهات هندسيًا باستخدام قاعدة المثلث. يظهر المتجه a كسهم أحمر مائل للأعلى ولليمين، يليه المتجه b كسهم أزرق مائل للأسفل ولليمين يبدأ من رأس المتجه a. المتجه المحصل a+b يظهر كسهم أخضر يصل بين ذيل المتجه a ورأس المتجه b.
Context: يوضح الطريقة الهندسية لجمع متجهين بوضعهما رأسًا لذيل.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: رسم توضيحي لجمع المتجهات هندسيًا باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع. ينطلق المتجهان a (أحمر) و b (أزرق) من نفس نقطة البداية. تظهر خطوط متقطعة موازية لكل متجه لتكمل شكل متوازي الأضلاع. المتجه المحصل a+b يظهر كسهم أخضر يمثل قطر متوازي الأضلاع المنطلق من نقطة البداية المشتركة.
Context: يوضح الطريقة الهندسية لجمع متجهين ينطلقان من نفس النقطة.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 9

سؤال ١: اختبر مفرداتك حدد ما إذا كانت العبارات الآتية صحيحة أم خاطئة، وإذا كانت خاطئة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة: ١) نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدأ منه.

الإجابة: س ١: ✗ خطأ، والصواب: استبدل (يبدأ منه) بـ (ينتهي عنده).

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** في علم المتجهات، لكل متجه نقطة بداية (الموقع الذي ينطلق منه) ونقطة نهاية (الموقع الذي يصل إليه).
**الخطوة ٢ (التطبيق):** بالنظر للعبارة، نجد أنها تصف "نقطة النهاية" بأنها المكان الذي "يبدأ منه" المتجه، وهذا يتناقض مع تعريفها اللغوي والعلمي.
**الخطوة ٣ (النتيجة):** لذلك العبارة **خاطئة**، والصواب هو: استبدال (يبدأ منه) بـ **(ينتهي عنده)**.

سؤال ٢: ٢) إذا كان $a = \langle ٣, ٢ \rangle, b = \langle ١, -٤ \rangle$ ، فإن الضرب الداخلي للمتجهين هو $٣(٢) + -٤(١)$.

الإجابة: س ٢: ✗ خطأ، والصواب: $a \cdot b = (٣)(١) + (٢)(-٤) = -٥$

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المعطيات):** لدينا المتجهان: - $a = \langle 3, 2 \rangle$ - $b = \langle 1, -4 \rangle$
**الخطوة ٢ (القانون):** قانون الضرب الداخلي لمتجهين $\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle$ هو: $$a \cdot b = (x_1)(x_2) + (y_1)(y_2)$$
**الخطوة ٣ (الحل):** بالتعويض في القانون: $$a \cdot b = (3)(1) + (2)(-4)$$ $$a \cdot b = 3 - 8 = -5$$
**الخطوة ٤ (النتيجة):** بمقارنة هذا بالصيغة المذكورة في السؤال $3(2) + -4(1)$، نجد أنها خاطئة في ترتيب العناصر. إذن العبارة **خاطئة**، والصواب هو: **$a \cdot b = (3)(1) + (2)(-4) = -5$**

سؤال ٣: ٣) نقطة منتصف $\overline{AB}$ عندما تكون $A(x_١, y_١, z_١), B(x_٢, y_٢, z_٢)$ هي $(\frac{x_١ + x_٢}{٢}, \frac{y_١ + y_٢}{٢}, \frac{z_١ + z_٢}{٢})$.

الإجابة: س ٣: ✓ صح.

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي النقطة التي تقع في منتصف المسافة تماماً بين نقطتي البداية والنهاية.
**الخطوة ٢ (التطبيق):** رياضياً، يتم إيجادها عن طريق حساب المتوسط الحسابي لإحداثيات $x$ و $y$ و $z$ للنقطتين $A$ و $B$.
**الخطوة ٣ (النتيجة):** بما أن الصيغة المذكورة هي $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2})$، فهي تطابق القانون الصحيح تماماً. إذن العبارة **صحيحة**.

سؤال ٤: ٤) طول المتجه $r$ الذي نقطة بدايته $A(-١, ٢)$، ونقطة نهايته $B(٢, -٤)$ هو $\langle ٣, -٦ \rangle$.

الإجابة: س ٤: ✗ خطأ، والصواب: استبدل (طول المتجه r) بـ (المتجه r)، فيكون $r = \langle ٣, -٦ \rangle$

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المعطيات):** نقطة البداية $A(-1, 2)$ ونقطة النهاية $B(2, -4)$.
**الخطوة ٢ (الحساب):** لإيجاد الصورة الإحداثية للمتجه $r$، نطرح إحداثيات البداية من النهاية: $$r = \langle 2 - (-1), -4 - 2 \rangle = \langle 3, -6 \rangle$$
**الخطوة ٣ (النتيجة):** لاحظ أن $\langle 3, -6 \rangle$ هي "الصورة الإحداثية" للمتجه وليست "طوله" (الطول يحتاج لقانون الجذر التربيعي). لذا العبارة **خاطئة**، والصواب هو: استبدال (طول المتجه r) بـ **(المتجه r)**.

سؤال ٥: ٥) يتساوى متجهان إذا وفقط إذا كان لهما الطول نفسه، والاتجاه نفسه.

الإجابة: س ٥: ✓ صح.

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** المتجه يتحدد بكميتين أساسيتين هما المقدار (الطول) والاتجاه.
**الخطوة ٢ (التطبيق):** لكي نقول إن متجهاً يساوي متجهاً آخر، يجب أن ينطبقا تماماً في هاتين الخاصيتين، بغض النظر عن موقع بدايتهما في المستوى.
**الخطوة ٣ (النتيجة):** بما أن العبارة تشترط تساوي الطول والاتجاه معاً، فهي عبارة **صحيحة**.

سؤال ٦: ٦) إذا تعامد متجهان غير صفريين، فإن قياس الزاوية بينهما $١٨٠^\circ$.

الإجابة: س ٦: ✗ خطأ، والصواب: استبدل $١٨٠^\circ$ بـ $٩٠^\circ$.

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** كلمة "تعامد" في الهندسة والفيزياء تعني دائماً وجود زاوية قائمة بين المستقيمين أو المتجهين.
**الخطوة ٢ (التطبيق):** الزاوية القائمة قياسها بالدرجات هو $90^\circ$. أما الزاوية $180^\circ$ فهي تعني أن المتجهين على خط مستقيم واحد وفي اتجاهين متعاكسين (متوازيان).
**الخطوة ٣ (النتيجة):** إذن العبارة **خاطئة**، والصواب هو: استبدال $180^\circ$ بـ **$90^\circ$**.

سؤال ٧: ٧) لتجد متجهًا يعامد أي متجهين على الأقل في الفضاء، أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين الأصليين.

الإجابة: س ٧: ✓ صح.

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك نوعان من الضرب للمتجهات: الضرب الداخلي (ينتج عدداً) والضرب الاتجاهي (ينتج متجهاً).
**الخطوة ٢ (التطبيق):** من أهم خصائص الضرب الاتجاهي (Cross Product) أن المتجه الناتج يكون عمودياً على كل من المتجهين الأصليين، وبالتالي عمودياً على المستوى الذي يحويهما.
**الخطوة ٣ (النتيجة):** بما أن الضرب الاتجاهي هو الوسيلة لإيجاد هذا المتجه العمودي، فالعبارة **صحيحة**.

سؤال ٨: ٨) طرح متجه يكافئ إضافة معكوس المتجه.

الإجابة: س ٨: ✓ صح.

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** عملية الطرح في المتجهات تُعامل مثل الجبر العادي.
**الخطوة ٢ (التطبيق):** إذا كان لدينا المتجه $u$ ونريد طرح المتجه $v$ منه، فإن العملية $u - v$ هي نفسها إضافة المتجه المعاكس لـ $v$ (أي المتجه الذي له نفس الطول وعكس الاتجاه)، فتصبح $u + (-v)$.
**الخطوة ٣ (النتيجة):** هذا الوصف يتطابق مع تعريف طرح المتجهات، إذن العبارة **صحيحة**.

سؤال ٩: ٩) إذا كان $v$ متجه وحدة باتجاه $u$، فإن $v = \frac{|u|}{u}$.

الإجابة: س ٩: ✗ خطأ، والصواب: $v = \frac{u}{|u|}$

خطوات الحل:

**الخطوة ١ (المفهوم):** متجه الوحدة هو متجه طوله يساوي الواحد الصحيح ويكون في نفس اتجاه المتجه الأصلي.
**الخطوة ٢ (التطبيق):** للحصول على متجه طوله $1$ من متجه طوله $|u|$، يجب أن نقسم المتجه الأصلي على طوله، أي $v = \frac{u}{|u|}$.
**الخطوة ٣ (النتيجة):** بالنظر للصيغة المعطاة $v = \frac{|u|}{u}$، نجد أنها مقلوبة (قسمت الطول على المتجه وهذا غير صحيح رياضياً). إذن العبارة **خاطئة**، والصواب هو: **$v = \frac{u}{|u|}$**