📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: NON_EDUCATIONAL
رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa
نوع: محتوى تعليمي
التهيئة للفصل 6
نوع: محتوى تعليمي
مراجعة المفردات
نوع: محتوى تعليمي
ضلع الابتداء للزاوية (Initial Side of an Angle): الضلع المنطبق على المحور x عندما تكون الزاوية في الوضع القياسي.
ضلع الانتهاء للزاوية (Terminal Side of an Angle): الضلع الذي يدور حول نقطة الأصل عندما تكون الزاوية في الوضع القياسي.
قياس الزاوية (Measure of an Angle): يكون قياس الزاوية موجبًا إذا دار ضلع الانتهاء عكس اتجاه عقارب الساعة، ويكون سالبًا إذا دار ضلع الانتهاء في اتجاه عقارب الساعة.
نوع: محتوى تعليمي
متطابقات المجموع والفرق (Sum and Difference Identities)
نوع: محتوى تعليمي
• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
• sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
• cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
نوع: محتوى تعليمي
اختبار سريع
نوع: QUESTION_HOMEWORK
ارسم كلاً من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يأتي في الوضع القياسي:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد زاوية بقياس موجب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الآتية، ومثلهما في الوضع القياسي:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
حوّل قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي:
نوع: QUESTION_HOMEWORK
9) أوجد القيمة الدقيقة لـ sin 15 باستعمال متطابقة الفرق بين زاويتين.
نوع: QUESTION_HOMEWORK
10) أوجد طول الضلع AC في المثلث المرسوم أدناه (قرّب إلى أقرب جزء من عشرة).
🔍 عناصر مرئية
QR code for digital lesson link with text 'رابط الدرس الرقمي' and URL 'www.ien.edu.sa'.
A Cartesian coordinate system showing an angle in standard position. The initial side (ضلع الابتداء) is a blue ray starting at the origin (0,0) and extending along the positive x-axis. The terminal side (ضلع الانتهاء) is a blue ray starting at the origin (0,0) and extending into the first quadrant, passing through the grid intersection at (3, 3). An arc with an arrow indicates counter-clockwise rotation from the initial side to the terminal side. The origin is labeled 'نقطة الأصل O'.
A triangle labeled ABC. Vertex B is at the top right, vertex C is at the top left, and vertex A is at the bottom. Side BC is labeled '3m'. Side AB is labeled '4m'. The interior angle at vertex B is labeled '60°'. The side AC is the unknown to be calculated.
📄 النص الكامل للصفحة
رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa
التهيئة للفصل 6
مراجعة المفردات
ضلع الابتداء للزاوية (Initial Side of an Angle): الضلع المنطبق على المحور x عندما تكون الزاوية في الوضع القياسي.
ضلع الانتهاء للزاوية (Terminal Side of an Angle): الضلع الذي يدور حول نقطة الأصل عندما تكون الزاوية في الوضع القياسي.
قياس الزاوية (Measure of an Angle): يكون قياس الزاوية موجبًا إذا دار ضلع الانتهاء عكس اتجاه عقارب الساعة، ويكون سالبًا إذا دار ضلع الانتهاء في اتجاه عقارب الساعة.
متطابقات المجموع والفرق (Sum and Difference Identities)
• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
• sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
• cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
اختبار سريع
ارسم كلاً من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يأتي في الوضع القياسي:
1. 200°
2. -45°
أوجد زاوية بقياس موجب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الآتية، ومثلهما في الوضع القياسي:
3. 165°
4. -10°
5. 4π/3
6. -π/4
حوّل قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي:
7. -60°
8. 3π/2
9) أوجد القيمة الدقيقة لـ sin 15 باستعمال متطابقة الفرق بين زاويتين.
10) أوجد طول الضلع AC في المثلث المرسوم أدناه (قرّب إلى أقرب جزء من عشرة).
--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: Untitled
Description: QR code for digital lesson link with text 'رابط الدرس الرقمي' and URL 'www.ien.edu.sa'.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A Cartesian coordinate system showing an angle in standard position. The initial side (ضلع الابتداء) is a blue ray starting at the origin (0,0) and extending along the positive x-axis. The terminal side (ضلع الانتهاء) is a blue ray starting at the origin (0,0) and extending into the first quadrant, passing through the grid intersection at (3, 3). An arc with an arrow indicates counter-clockwise rotation from the initial side to the terminal side. The origin is labeled 'نقطة الأصل O'.
X-axis: x
Y-axis: y
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle labeled ABC. Vertex B is at the top right, vertex C is at the top left, and vertex A is at the bottom. Side BC is labeled '3m'. Side AB is labeled '4m'. The interior angle at vertex B is labeled '60°'. The side AC is the unknown to be calculated.
Key Values: BC = 3m, AB = 4m, Angle B = 60°
Context: Geometry problem requiring the Law of Cosines to find the length of side AC.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 10
سؤال 1: ارسم كلاً من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يأتي في الوضع القياسي:
1) 200°
الإجابة: يقع ضلع الانتهاء في الربع الثالث
وتبعد 20° عن المحور السالب x
(أي 200° = 180° + 20°)
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
لرسم زاوية في الوضع القياسي، نبدأ من المحور الموجب $x$ (ضلع الابتداء). بما أن الزاوية موجبة ($200^\circ$)، فإننا نتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة.
- **الخطوة 2 (تحديد الربع):**
نعلم أن الدورة الكاملة مقسمة إلى أرباع:
- الربع الأول: $0^\circ$ إلى $90^\circ$
- الربع الثاني: $90^\circ$ إلى $180^\circ$
- الربع الثالث: $180^\circ$ إلى $270^\circ$
بما أن $200^\circ$ تقع بين $180^\circ$ و $270^\circ$، فإن ضلع الانتهاء يقع في الربع الثالث.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
لحساب المسافة بعد المحور $x$ السالب: $200^\circ - 180^\circ = 20^\circ$.
إذن، يقع ضلع الانتهاء في الربع الثالث ويبعد **$20^\circ$ عن المحور السالب $x$**.
سؤال 2: ارسم كلاً من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يأتي في الوضع القياسي:
2) -45°
الإجابة: س2: ضلع الانتهاء يقع في الربع الرابع
ويصنع 45° مع المحور الموجب x
باتجاه عقارب الساعة
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
عندما تكون الزاوية سالبة ($-45^\circ$)، فإننا نرسمها بالتحرك من ضلع الابتداء (المحور الموجب $x$) في اتجاه عقارب الساعة.
- **الخطوة 2 (تحديد الموقع):**
التحرك بمقدار $45^\circ$ في اتجاه عقارب الساعة يضعنا مباشرة في الربع الرابع، لأن الربع الرابع يمتد من $0^\circ$ إلى $-90^\circ$ في الاتجاه السالب.
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن، ضلع الانتهاء يقع في **الربع الرابع ويصنع زاوية $45^\circ$ مع المحور الموجب $x$ باتجاه عقارب الساعة**.
سؤال 3: أوجد زاوية بقياس موجب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الآتية، ومثلهما في الوضع القياسي:
3) 165°
الإجابة: س3: الموجبة: 525° ، السالبة: 195°-
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (القاعدة):**
لإيجاد زوايا مشتركة في ضلع الانتهاء، نقوم بإضافة أو طرح دورة كاملة ($360^\circ$) من الزاوية المعطاة.
- **الخطوة 2 (الحل):**
- لإيجاد القياس الموجب: $165^\circ + 360^\circ = 525^\circ$
- لإيجاد القياس السالب: $165^\circ - 360^\circ = -195^\circ$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن الزاويتان هما: **الموجبة $525^\circ$ والسالبة $-195^\circ$**.
سؤال 4: أوجد زاوية بقياس موجب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الآتية، ومثلهما في الوضع القياسي:
4) -10°
الإجابة: س4: الموجبة: 350° ، السالبة: 370°-
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (القاعدة):**
نستخدم نفس المبدأ بإضافة وطرح $360^\circ$ للوصول لزوايا تشترك مع $-10^\circ$ في نفس ضلع الانتهاء.
- **الخطوة 2 (الحل):**
- القياس الموجب: $-10^\circ + 360^\circ = 350^\circ$
- القياس السالب: $-10^\circ - 360^\circ = -370^\circ$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن الزاويتان هما: **الموجبة $350^\circ$ والسالبة $-370^\circ$**.
سؤال 5: أوجد زاوية بقياس موجب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الآتية، ومثلهما في الوضع القياسي:
5) $\frac{4\pi}{3}$
الإجابة: س5: الموجبة: $\frac{10\pi}{3}$ ، السالبة: $-\frac{2\pi}{3}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
الزاوية معطاة بالراديان: $\frac{4\pi}{3}$. لإيجاد زوايا مشتركة، نضيف أو نطرح دورة كاملة بالراديان وهي $2\pi$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
- القياس الموجب: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$
- القياس السالب: $\frac{4\pi}{3} - 2\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن الزاويتان هما: **الموجبة $\frac{10\pi}{3}$ والسالبة $-\frac{2\pi}{3}$**.
سؤال 6: أوجد زاوية بقياس موجب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الآتية، ومثلهما في الوضع القياسي:
6) $-\frac{\pi}{4}$
الإجابة: س6: الموجبة: $\frac{7\pi}{4}$ ، السالبة: $-\frac{9\pi}{4}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (القاعدة):**
الزاوية هي $-\frac{\pi}{4}$. سنقوم بإضافة وطرح $2\pi$ (التي تكافئ $\frac{8\pi}{4}$ لتوحيد المقامات).
- **الخطوة 2 (الحل):**
- القياس الموجب: $-\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$
- القياس السالب: $-\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن الزاويتان هما: **الموجبة $\frac{7\pi}{4}$ والسالبة $-\frac{9\pi}{4}$**.
سؤال 7: حوّل قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي:
7) -60°
الإجابة: س7: $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (القانون):**
للتحويل من الدرجات إلى الراديان، نضرب قياس الزاوية في الكسر: $\frac{\pi}{180^\circ}$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
بالتعويض:
$$-60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}$$
بتبسيط الكسر (قسمة البسط والمقام على 60):
$$-1 \times \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن القياس بالراديان هو: **$-\frac{\pi}{3}$**
سؤال 8: حوّل قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي:
8) $\frac{3\pi}{2}$
الإجابة: س8: $\frac{3\pi}{2} = 270^\circ$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (القانون):**
للتحويل من الراديان إلى الدرجات، نضرب قياس الزاوية في الكسر: $\frac{180^\circ}{\pi}$.
- **الخطوة 2 (الحل):**
بالتعويض:
$$\frac{3\pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi}$$
نختصر $\pi$ مع $\pi$:
$$\frac{3}{2} \times 180^\circ = 3 \times 90^\circ = 270^\circ$$
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
إذن القياس بالدرجات هو: **$270^\circ$**
سؤال 9: 9) أوجد القيمة الدقيقة لـ sin 15 باستعمال متطابقة الفرق بين زاويتين.
الإجابة: س9:
$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (الفكرة):**
نبحث عن زاويتين شهيرتين (مثل $30, 45, 60$) يكون الفرق بينهما $15^\circ$. نجد أن: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
- **الخطوة 2 (القانون):**
نستخدم متطابقة الجيب للفرق بين زاويتين:
$$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض عن $A=45^\circ$ و $B=30^\circ$:
$$\sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$
$$\sin 15^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2})$$
$$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن القيمة الدقيقة هي: **$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$**
سؤال 10: 10) أوجد طول الضلع AC في المثلث المرسوم أدناه (قرّب إلى أقرب جزء من عشرة).
الإجابة: س10:
AC =
$\sqrt{13} \approx 3.6\text{ m}$
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
بناءً على المثلث، لدينا ضلعان وزاوية محصورة بينهما (مثلاً الضلعين $3$ و $4$ والزاوية $60^\circ$). لإيجاد الضلع الثالث $AC$، نستخدم قانون جيوب التمام.
- **الخطوة 2 (القانون):**
قانون جيوب التمام:
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض:
$$(AC)^2 = 3^2 + 4^2 - 2(3)(4) \cos 60^\circ$$
$$(AC)^2 = 9 + 16 - 24(0.5) = 25 - 12 = 13$$
إذن: $AC = \sqrt{13}$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
باستخدام الحاسبة: $\sqrt{13} \approx 3.6$.
إذن طول الضلع $AC$ هو **$3.6\text{ m}$ تقريباً**.