فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

6-1 الإحداثيات القطبية Polar Coordinates

درست الزوايا الموجبة والسالبة ورسمتها في الوضع القياسي. (مهارة سابقة)

• أمثل نقاطاً بالإحداثيات القطبية. • أمثل بيانياً معادلات قطبية بسيطة.

نظام الإحداثيات القطبية polar coordinate system القطب pole المحور القطبي polar axis الإحداثيات القطبية polar coordinates المعادلة القطبية polar equation التمثيل القطبي polar graph

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

يستعمل مراقبو الحركة الجوية أنظمة رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات، والحصول على مسارات ورحلات جوية آمنة. وهذا يضمن بقاء الطائرة على مسافة آمنة من الطائرات الأخرى، والتضاريس الأرضية. ويستعمل الرادار قياسات الزوايا والمسافات المتجهة؛ لتمثيل موقع الطائرة. ويقوم المراقبون بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين.

تمثيل الإحداثيات القطبية

لقد تعلمت التمثيل البياني لمعادلات معطاة في نظام الإحداثيات الديكارتية (المستوى الإحداثي). وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا، فإنهم يستعملون نظام الإحداثيات القطبية (المستوى القطبي).

في نظام الإحداثيات الديكارتية، المحوران x, y هما المحوران الأفقي والرأسي على الترتيب، وتُسمى نقطة تقاطعهما نقطة الأصل، ويرمز لها بالحرف O. ويُعين موقع النقطة P بالإحداثيات الديكارتية من خلال زوج مرتب (x, y)، حيث x, y المسافتان المتجهتان الأفقية، والرأسية على الترتيب من المحورين إلى النقطة. فمثلاً، تقع النقطة (√3, 1) على بُعد وحدة واحدة إلى يمين المحور y، وعلى بُعد √3 وحدة إلى أعلى المحور x.

في نظام الإحداثيات القطبية، نقطة الأصل O نقطة ثابتة تُسمى القطب. والمحور القطبي هو نصف مستقيم يمتد أفقياً من القطب إلى اليمين. يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام الإحداثيات القطبية باستعمال الإحداثيات (r, θ)، حيث r المسافة المتجهة (أي تتضمن قيمة واتجاهاً، فمن الممكن أن تكون r سالبة) من القطب إلى النقطة P، و θ الزاوية المتجهة (أي تتضمن قيمة واتجاهاً) من المحور القطبي إلى OP.

القياس الموجب للزاوية θ يعني دوراناً بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءاً من المحور القطبي، في حين يعني القياس السالب دوراناً باتجاه عقارب الساعة، ولتمثيل النقطة P بالإحداثيات القطبية، فإن P تقع على ضلع الانتهاء للزاوية θ إذا كانت r موجبة. أما إذا كانت سالبة، فإن P تقع على نصف المستقيم المقابل (الامتداد) لضلع الانتهاء للزاوية θ.

تمثيل الإحداثيات القطبية مثل كل نقطة من النقاط الآتية في المستوى القطبي:

الحل لـ (a): بما أن θ = 45°، فارسم ضلع الانتهاء للزاوية 45°، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r = 2، لذا عيّن نقطة A تبعد وحدتين عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية 45°، كما في الشكل المجاور.

الحل لـ (b): بما أن θ = 2π/3، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 2π/3، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r سالبة، لذا مُدّ ضلع الانتهاء في الاتجاه المقابل، وعيّن نقطة B تبعد 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع الانتهاء، كما في الشكل المجاور.

6-1 الإحداثيات القطبية Polar Coordinates --- SECTION: فيما سبق --- درست الزوايا الموجبة والسالبة ورسمتها في الوضع القياسي. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- • أمثل نقاطاً بالإحداثيات القطبية. • أمثل بيانياً معادلات قطبية بسيطة. --- SECTION: المفردات --- نظام الإحداثيات القطبية polar coordinate system القطب pole المحور القطبي polar axis الإحداثيات القطبية polar coordinates المعادلة القطبية polar equation التمثيل القطبي polar graph رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- يستعمل مراقبو الحركة الجوية أنظمة رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات، والحصول على مسارات ورحلات جوية آمنة. وهذا يضمن بقاء الطائرة على مسافة آمنة من الطائرات الأخرى، والتضاريس الأرضية. ويستعمل الرادار قياسات الزوايا والمسافات المتجهة؛ لتمثيل موقع الطائرة. ويقوم المراقبون بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين. تمثيل الإحداثيات القطبية لقد تعلمت التمثيل البياني لمعادلات معطاة في نظام الإحداثيات الديكارتية (المستوى الإحداثي). وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا، فإنهم يستعملون نظام الإحداثيات القطبية (المستوى القطبي). في نظام الإحداثيات الديكارتية، المحوران x, y هما المحوران الأفقي والرأسي على الترتيب، وتُسمى نقطة تقاطعهما نقطة الأصل، ويرمز لها بالحرف O. ويُعين موقع النقطة P بالإحداثيات الديكارتية من خلال زوج مرتب (x, y)، حيث x, y المسافتان المتجهتان الأفقية، والرأسية على الترتيب من المحورين إلى النقطة. فمثلاً، تقع النقطة (√3, 1) على بُعد وحدة واحدة إلى يمين المحور y، وعلى بُعد √3 وحدة إلى أعلى المحور x. في نظام الإحداثيات القطبية، نقطة الأصل O نقطة ثابتة تُسمى القطب. والمحور القطبي هو نصف مستقيم يمتد أفقياً من القطب إلى اليمين. يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام الإحداثيات القطبية باستعمال الإحداثيات (r, θ)، حيث r المسافة المتجهة (أي تتضمن قيمة واتجاهاً، فمن الممكن أن تكون r سالبة) من القطب إلى النقطة P، و θ الزاوية المتجهة (أي تتضمن قيمة واتجاهاً) من المحور القطبي إلى OP. القياس الموجب للزاوية θ يعني دوراناً بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءاً من المحور القطبي، في حين يعني القياس السالب دوراناً باتجاه عقارب الساعة، ولتمثيل النقطة P بالإحداثيات القطبية، فإن P تقع على ضلع الانتهاء للزاوية θ إذا كانت r موجبة. أما إذا كانت سالبة، فإن P تقع على نصف المستقيم المقابل (الامتداد) لضلع الانتهاء للزاوية θ. --- SECTION: مثال 1 --- تمثيل الإحداثيات القطبية مثل كل نقطة من النقاط الآتية في المستوى القطبي: a. A(2, 45°) b. B(-1.5, 2π/3) الحل لـ (a): بما أن θ = 45°، فارسم ضلع الانتهاء للزاوية 45°، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r = 2، لذا عيّن نقطة A تبعد وحدتين عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية 45°، كما في الشكل المجاور. الحل لـ (b): بما أن θ = 2π/3، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 2π/3، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r سالبة، لذا مُدّ ضلع الانتهاء في الاتجاه المقابل، وعيّن نقطة B تبعد 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع الانتهاء، كما في الشكل المجاور. --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link to ien.edu.sa **FIGURE**: Untitled Description: صورة لشاشة رادار تظهر مسارات طائرات بنقاط وخطوط متعرجة صفراء على خلفية خضراء داكنة، تستخدم لتوضيح الحاجة للإحداثيات القطبية في الملاحة الجوية. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي للنقطة P(x, y) في المستوى الديكارتي. يظهر المحور الأفقي x والمحور الرأسي y يتقاطعان في نقطة الأصل O. سهم أزرق أفقي يمثل المسافة x، وسهم أحمر رأسي يمثل المسافة y للوصول للنقطة P. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي للنقطة P(r, θ) في المستوى القطبي. يظهر القطب O كمبدأ، والمحور القطبي كشعاع أفقي لليمين. شعاع أزرق بطول r يصل من القطب إلى النقطة P، والزاوية θ محصورة بين المحور القطبي وهذا الشعاع. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم بياني يوضح تمثيل النقطة A في المستوى القطبي. يظهر شعاع بزاوية 45 درجة عكس عقارب الساعة من المحور القطبي. النقطة A تقع على هذا الشعاع عند مسافة r=2 من القطب O. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم بياني يوضح تمثيل النقطة B. يظهر شعاع ضلع الانتهاء للزاوية 2π/3 (120 درجة). بما أن r سالبة (-1.5)، تم رسم امتداد منقط لهذا الشعاع في الاتجاه المعاكس (الربع الرابع). النقطة B تقع على هذا الامتداد المنقط بمسافة 1.5 وحدة من القطب O.