مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

وكذلك لأن r مسافة متجهة، فإن (r, θ) و (-r, θ ± 180°) أو (-r, θ ± π) تمثل النقطة نفسها، كما في الشكل المجاور.

وبصورة عامة، إذا كان n عدداً صحيحاً، فإنه يمكن تمثيل النقطة (r, θ) بالإحداثيات (r, θ + 360n°) أو (-r, θ + (2n + 1)180°). وبالمثل، إذا كانت θ مقيسة بالراديان، وكان n عدداً صحيحاً، فإنه يمكن تمثيل النقطة (r, θ) بالإحداثيات (r, θ + 2nπ) أو (-r, θ + (2n + 1)π).

تمثيلات قطبية متعددة إذا كانت -360° ≤ θ ≤ 360°، فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة T في الشكل المجاور. أحد الأزواج القطبية التي تمثل النقطة T هو (4, 135°). وفيما يأتي الأزواج الثلاثة الأخرى: (4, 135°) = (4, 135° - 360°) = (4, -225°) اطرح 360° من θ (4, 135°) = (-4, 135° + 180°) = (-4, 315°) ضع -r بدلاً من r، وأضف 180° إلى θ (4, 135°) = (-4, 135° - 180°) = (-4, -45°) ضع -r بدلاً من r، واطرح 180° من θ

أوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة، علماً بأن: -360° ≤ θ ≤ 360°، أو -2π ≤ θ ≤ 2π.

التمثيل البياني للمعادلات القطبية تُسمى المعادلة المعطاة بدلالة الإحداثيات القطبية معادلة قطبية. فمثلاً: r = 2 sin θ هي معادلة قطبية. التمثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (r, θ) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية. لقد تعلمت سابقاً كيفية تمثيل المعادلات في نظام الإحداثيات الديكارتية (في المستوى الإحداثي). ويُعدُّ تمثيل المعادلات مثل x = a و y = b أساسياً في نظام الإحداثيات الديكارتية. وبالمثل فإن التمثيل البياني لمعادلات القطبية مثل r = k و θ = h، حيث k, h عددان حقيقيان، يُعدُّ أساسياً في نظام الإحداثيات القطبية.

التمثيل البياني للمعادلات القطبية مثِّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانياً: a) r = 2 تتكون حلول المعادلة r = 2 من جميع النقاط على الصورة (2, θ)، حيث θ أي عدد حقيقي فمثلاً تعد النقاط (2, π/6), (2, π/4), (2, π), (2, 4π/3) حلولاً لها. يتكون التمثيل البياني من جميع النقاط التي تبعد 2 وحدة عن القطب. وعليه فإن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة الأصل (القطب)، وطول نصف قطرها 2 كما في الشكل المجاور.

تمثيل المعادلات القطبية لتمثيل المعادلة القطبية r = 2 على الحاسبة البيانية TI-nspire، اضغط على [menu] أولاً ثم 3: إدخال / تحرير الرسم البياني وغير وضع الرسم إلى 4: قطبي، لاحظ أن المتغير التابع تغير من f(x) إلى r، والمتغير المستقل من x إلى θ. مثل r = 2.

وكذلك لأن r مسافة متجهة، فإن (r, θ) و (-r, θ ± 180°) أو (-r, θ ± π) تمثل النقطة نفسها، كما في الشكل المجاور. وبصورة عامة، إذا كان n عدداً صحيحاً، فإنه يمكن تمثيل النقطة (r, θ) بالإحداثيات (r, θ + 360n°) أو (-r, θ + (2n + 1)180°). وبالمثل، إذا كانت θ مقيسة بالراديان، وكان n عدداً صحيحاً، فإنه يمكن تمثيل النقطة (r, θ) بالإحداثيات (r, θ + 2nπ) أو (-r, θ + (2n + 1)π). --- SECTION: مثال 3 --- تمثيلات قطبية متعددة إذا كانت -360° ≤ θ ≤ 360°، فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة T في الشكل المجاور. أحد الأزواج القطبية التي تمثل النقطة T هو (4, 135°). وفيما يأتي الأزواج الثلاثة الأخرى: (4, 135°) = (4, 135° - 360°) = (4, -225°) اطرح 360° من θ (4, 135°) = (-4, 135° + 180°) = (-4, 315°) ضع -r بدلاً من r، وأضف 180° إلى θ (4, 135°) = (-4, 135° - 180°) = (-4, -45°) ضع -r بدلاً من r، واطرح 180° من θ --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة، علماً بأن: -360° ≤ θ ≤ 360°، أو -2π ≤ θ ≤ 2π. 3A. (5, 240°) 3B. (-2, π/6) التمثيل البياني للمعادلات القطبية تُسمى المعادلة المعطاة بدلالة الإحداثيات القطبية معادلة قطبية. فمثلاً: r = 2 sin θ هي معادلة قطبية. التمثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (r, θ) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية. لقد تعلمت سابقاً كيفية تمثيل المعادلات في نظام الإحداثيات الديكارتية (في المستوى الإحداثي). ويُعدُّ تمثيل المعادلات مثل x = a و y = b أساسياً في نظام الإحداثيات الديكارتية. وبالمثل فإن التمثيل البياني لمعادلات القطبية مثل r = k و θ = h، حيث k, h عددان حقيقيان، يُعدُّ أساسياً في نظام الإحداثيات القطبية. --- SECTION: مثال 4 --- التمثيل البياني للمعادلات القطبية مثِّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانياً: a) r = 2 تتكون حلول المعادلة r = 2 من جميع النقاط على الصورة (2, θ)، حيث θ أي عدد حقيقي فمثلاً تعد النقاط (2, π/6), (2, π/4), (2, π), (2, 4π/3) حلولاً لها. يتكون التمثيل البياني من جميع النقاط التي تبعد 2 وحدة عن القطب. وعليه فإن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة الأصل (القطب)، وطول نصف قطرها 2 كما في الشكل المجاور. --- SECTION: إرشاد تقني --- تمثيل المعادلات القطبية لتمثيل المعادلة القطبية r = 2 على الحاسبة البيانية TI-nspire، اضغط على [menu] أولاً ثم 3: إدخال / تحرير الرسم البياني وغير وضع الرسم إلى 4: قطبي، لاحظ أن المتغير التابع تغير من f(x) إلى r، والمتغير المستقل من x إلى θ. مثل r = 2. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: مخطط يوضح تمثيل النقطة P في نظام الإحداثيات القطبية مع زوايا مختلفة. **GRAPH**: Untitled Description: شبكة قطبية تظهر النقطة T عند الدائرة الرابعة والزاوية 135 درجة. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني للدائرة r = 2 على شبكة قطبية بالراديان. **IMAGE**: Untitled Description: لقطة شاشة لحاسبة بيانية TI-nspire تظهر الدائرة r = 2 في نظام إحداثيات ديكارتي.