C(3, -30°) (c) - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

بما أن θ = -30°، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية -30°، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r = 3، لذا عيّن نقطة C تبعد 3 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور.

مثّل كل نقطة من النقاط الآتية:

تُعيّن الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي الذي يتخذ شكلاً دائريًا، كما تُعيّن الإحداثيات الديكارتية في المستوى الإحداثي الذي يتخذ شكلاً مستطيلاً.

مثّل كلًّا من النقاط الآتية في المستوى القطبي:

مثّل كلًّا من النقاط الآتية في المستوى القطبي:

القطب: يمكن تمثيل القطب بالنقطة (0, θ)، حيث θ أي زاوية.

في نظام الإحداثيات الديكارتية كل نقطة يُعبّر عنها بزوج وحيد من الإحداثيات (x, y). إلا أن هذا لا ينطبق على نظام الإحداثيات القطبية؛ وذلك لأن قياس كل زاوية يُكتب بعدد لانهائي من الطرائق؛ وعليه فإن للنقطة (r, θ) الإحداثيات (r, θ ± 360°n) أو (r, θ ± 2πn) أيضًا كما هو مبيّن أدناه.

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 الدرس 1-6 الإحداثيات القطبية 53

--- SECTION: C(3, -30°) (c) --- بما أن θ = -30°، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية -30°، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r = 3، لذا عيّن نقطة C تبعد 3 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور. --- SECTION: تحقق من فهمك --- مثّل كل نقطة من النقاط الآتية: 1A. D(-1, π/2) 1B. E(2.5, 240°) 1C. F(4, -5π/6) تُعيّن الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي الذي يتخذ شكلاً دائريًا، كما تُعيّن الإحداثيات الديكارتية في المستوى الإحداثي الذي يتخذ شكلاً مستطيلاً. --- SECTION: مثال 2 تمثيل النقاط في المستوى القطبي --- مثّل كلًّا من النقاط الآتية في المستوى القطبي: a. P(3, 4π/3) بما أن θ = 4π/3، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 4π/3، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن r = 3، لذا عيّن نقطة P تبعد 3 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور. b. Q(-3.5, 150°) بما أن θ = 150°، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 150°، بحيث يكون المحور القطبي ضلع الابتداء لها، ولأن r سالبة، لذا مُدّ ضلع الانتهاء للزاوية في الاتجاه المقابل، وعيّن نقطة Q تبعد 3.5 وحدات عن القطب على امتداد ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور. --- SECTION: تحقق من فهمك --- مثّل كلًّا من النقاط الآتية في المستوى القطبي: 2A. R(1.5, -7π/6) 2B. S(-2, -135°) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- القطب: يمكن تمثيل القطب بالنقطة (0, θ)، حيث θ أي زاوية. في نظام الإحداثيات الديكارتية كل نقطة يُعبّر عنها بزوج وحيد من الإحداثيات (x, y). إلا أن هذا لا ينطبق على نظام الإحداثيات القطبية؛ وذلك لأن قياس كل زاوية يُكتب بعدد لانهائي من الطرائق؛ وعليه فإن للنقطة (r, θ) الإحداثيات (r, θ ± 360°n) أو (r, θ ± 2πn) أيضًا كما هو مبيّن أدناه. وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 الدرس 1-6 الإحداثيات القطبية 53 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لتمثيل نقطة في المستوى القطبي. يظهر المحور القطبي كشعاع أفقي لليمين من القطب O. تم رسم ضلع انتهاء بزاوية -30 درجة (باتجاه عقارب الساعة). النقطة C تقع على هذا الضلع على مسافة 3 وحدات من القطب. **GRAPH**: تمثيل النقطة P(3, 4π/3) Description: شبكة إحداثيات قطبية تتكون من دوائر متحدة المركز مرقمة من 1 إلى 5، وخطوط شعاعية تمثل الزوايا بالراديان (π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6, 0). النقطة P محددة باللون الأزرق عند تقاطع الدائرة الثالثة (r=3) مع الخط الشعاعي للزاوية 4π/3. X-axis: Polar axis (0 rad) Y-axis: π/2 rad Context: يوضح كيفية تمثيل نقطة بإحداثيات قطبية موجبة (r > 0, θ > 0). **GRAPH**: تمثيل النقطة Q(-3.5, 150°) Description: شبكة إحداثيات قطبية تتكون من دوائر متحدة المركز مرقمة من 1 إلى 5، وخطوط شعاعية تمثل الزوايا بالدرجات (30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330°, 0°). النقطة Q محددة باللون الأحمر. بما أن r سالبة (-3.5)، فقد تم تحديدها على امتداد ضلع الانتهاء للزاوية 150° في الاتجاه المعاكس (أي عند الزاوية 330°) على مسافة 3.5 وحدات من القطب. X-axis: Polar axis (0°) Y-axis: 90° Context: يوضح كيفية تمثيل نقطة عندما تكون قيمة r سالبة. **DIAGRAM**: Untitled Description: رسمان توضيحيان يظهران أن النقطة P(r, θ) يمكن تمثيلها بإضافة أو طرح دورة كاملة (360 درجة) من الزاوية. الرسم الأيمن يظهر P(r, θ) و P(r, θ - 360°). الرسم الأيسر يظهر P(r, θ) و P(r, θ + 360°).