استكشاف ٢ - ٩ - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال نشاط: الخطوة ١) استعمل مسطرة لقياس أقطار أشياء دائرية. وسجّل قياساتك في جدول مثل الجدول أدناه. الخطوة ٢) ضع علامة على إطار الشكل الدائري، لفّ شريط قياس حوله بدايةً من العلامة التي وضعتها إلى أن تعود إلى نفس العلامة. يمثل طول الشريط محيط الشكل الدائري. الخطوة ٣) سجّل القياس في جدولك. الخطوة ٤) كرّر العملية السابقة مستعملاً أشكالاً دائرية أخرى بقياسات مختلفة.

الإجابة: س: الجدول (بيانات) قرص: 12، 37.7 غطاء: 9، 28.3 كوب: 6، 18.8

خطوات الحل:

1. | المهمة | المعطيات | المطلوب | |---------|----------|---------| | قياس أقطار ومحيطات أشياء دائرية مختلفة | أشياء دائرية (قرص، غطاء، كوب) | تسجيل القياسات في جدول كما في المثال |
2. **المبدأ المستخدم:** يمكن قياس محيط الدائرة عملياً بلف شريط قياس حولها، وقياس القطر باستخدام المسطرة.
3. **الخطوات التفصيلية:** 1. **الخطوة ١:** استخدم مسطرة لقياس **قطر** كل شكل دائري (مثل قرص، غطاء، كوب). 2. **الخطوة ٢:** ضع علامة على نقطة في محيط الشكل، ثم لف شريط القياس حول الشكل بدءاً من العلامة حتى تعود إليها. هذا الطول هو **محيط** الشكل. 3. **الخطوة ٣:** سجل قياسات **القطر (d)** و **المحيط (C)** في جدول. 4. **الخطوة ٤:** كرر العملية لأشياء دائرية أخرى ذات أحجام مختلفة.
4. > **ملاحظة:** القياسات الدقيقة قد تختلف قليلاً، لكن النسبة بين المحيط والقطر ستكون متقاربة. **البيانات المسجلة (مثال):** | الشكل الدائري | القطر (سم) | المحيط (سم) | |----------------|------------|-------------| | قرص | 12 | 37.7 | | غطاء | 9 | 28.3 | | كوب | 6 | 18.8 |
5. **النتيجة:** يتم تسجيل البيانات في جدول مشابه للجدول أعلاه، حيث العمود الأول يحدد الشكل، والعمود الثاني قطر الشكل، والعمود الثالث محيطه.

سؤال 1: أضف عمودًا آخر إلى جدولك يبيّن النسبة بين المحيط والقطر، وللحصول على النسبة اقسم المحيط على القطر، وقرّب الناتج إلى أقرب عُشر.

الإجابة: س١: النسبة ≈ ٣,١ (المحيط / القطر ≈ ٣,١)

خطوات الحل:

1. | المعطيات (من النشاط) | المطلوب | |------------------------|---------| | جدول يحتوي على أعمدة: (الشكل، القطر، المحيط) | 1. إضافة عمود جديد بعنوان "النسبة (المحيط/القطر)". 2. حساب قيمة النسبة لكل شكل بقسمة المحيط على القطر. 3. تقريب الناتج إلى أقرب عُشر. |
2. **القانون المستخدم:** $\text{النسبة} = \frac{\text{المحيط (C)}}{\text{القطر (d)}}$
3. **خطوات الحساب:** 1. أنشئ عموداً رابعاً في الجدول بعنوان **"النسبة (C/d)"**. 2. لكل صف (شكل دائري)، اقسم قيمة المحيط على قيمة القطر. 3. قرّب النتيجة إلى منزلة عشرية واحدة (أقرب عُشر).
4. **جدول البيانات بعد الإضافة:** | الشكل | القطر (d) | المحيط (C) | النسبة (C/d) | |--------|-----------|------------|--------------| | قرص | 12 | 37.7 | $37.7 \div 12 \approx 3.1417 \rightarrow **3.1**$ | | غطاء | 9 | 28.3 | $28.3 \div 9 \approx 3.1444 \rightarrow **3.1**$ | | كوب | 6 | 18.8 | $18.8 \div 6 \approx 3.1333 \rightarrow **3.1**$ |
5. **الإجابة:** النسبة بين المحيط والقطر لكل الأشياء الدائرية التي تم قياسها هي **٣,١** تقريباً (بعد التقريب إلى أقرب عُشر).

سؤال 2: ماذا تلاحظ على قيم النسب التي حصلت عليها؟

الإجابة: س٢: النسب ثابتة وتساوي تقريباً ٣,١٤

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | قيم النسبة (المحيط ÷ القطر) المحسوبة في السؤال 1 لعدة أشياء دائرية. | ملاحظة ووصف نمط قيم هذه النسب. |
2. **التحليل والمقارنة:** انظر إلى عمود **النسبة (C/d)** في الجدول السابق: | الشكل | النسبة (مقربة) | |--------|----------------| | قرص | 3.1 | | غطاء | 3.1 | | كوب | 3.1 |
3. **الملاحظة:** - قيم النسب لجميع الأشياء الدائرية **متقاربة جداً**. - على الرغم من اختلاف أقطار وأحجام الأشياء، فإن نتيجة القسمة (المحيط ÷ القطر) تعطي **نفس القيمة تقريباً**. - عند استخدام دقة أكثر في الحساب (بدون تقريب)، نجد أن النسبة تقترب من القيمة $3.14$.
4. **الاستنتاج:** يلاحظ أن **نسبة محيط الدائرة إلى قطرها تكون قيمة ثابتة**، وهذه القيمة تساوي تقريباً **٣,١٤** (والتي تسمى $\pi$).

سؤال 3: مثّل بيانيًا الأزواج المرتبة (القطر، المحيط) للأشياء الدائرية التي استعملتها في الخطوة الأولى. ماذا تلاحظ؟

الإجابة: س٣: النقاط تقع على خط مستقيم (تناسب طردي)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | الأزواج المرتبة (القطر، المحيط) للأشياء الدائرية من النشاط. مثال: (6, 18.8), (9, 28.3), (12, 37.7) | 1. تمثيل هذه الأزواج المرتبة بيانياً. 2. وصف الملاحظة على التمثيل البياني الناتج. |
2. **إرشادات التمثيل البياني:** 1. ارسم محورين متعامدين: - **المحور الأفقي (س):** يمثل **القطر (d)**. - **المحور الرأسي (ص):** يمثل **المحيط (C)**. 2. حدد مقياساً مناسباً للمحورين. 3. مثل كل زوج مرتب كنقطة. مثال: - النقطة أ: (6, 18.8) - النقطة ب: (9, 28.3) - النقطة ج: (12, 37.7)
3. **وصف التمثيل البياني الناتج:** - ستقع **النقاط الثلاث** (أ، ب، ج) **على استقامة واحدة** تقريباً. - إذا رسمنا **خطاً مستقيماً** يمر بهذه النقاط، نجد أنه **يمر بنقطة الأصل (0,0)**.
4. **التفسير الرياضي:** - كون النقاط تقع على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل يعني أن العلاقة بين **المحيط (C)** و **القطر (d)** هي علاقة **تناسب طردي**. - معادلة هذا الخط هي: $C = k \times d$، حيث $k$ هو **ميل الخط** ويساوي قيمة النسبة الثابتة ($\pi$).
5. **الخلاصة:** التمثيل البياني يظهر أن **المحيط يتناسب طردياً مع القطر**، حيث تنتظم النقاط على خط مستقيم.

سؤال 4: استعمل التمثيل البياني الناتج من (٣) لتقدّر محيط شكل دائري طول قطره ١٨ سم.

الإجابة: س٤: من الرسم البياني، المحيط ≈ ٥٦,٥ سم

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | التمثيل البياني الخطي الناتج من السؤال 3 الذي يوضح العلاقة بين القطر (د) والمحيط (م).<br>القطر الجديد = ١٨ سم. | تقدير (إيجاد) قيمة المحيط المقابل لقطر ١٨ سم باستخدام التمثيل البياني فقط. |
2. **خطوات التقدير من الرسم البياني:** 1. على **المحور الأفقي (القطر)**، حدد موقع **القطر = 18 سم**. 2. ارسم خطاً **عمودياً** من هذه النقطة إلى أعلى حتى يلتقي ب **الخط المستقيم** الذي يمثل العلاقة. 3. من نقطة التقاطع، ارسم خطاً **أفقياً** نحو **المحور الرأسي (المحيط)**. 4. اقرأ قيمة **المحيط** المقابلة على المحور الرأسي.
3. **الحساب النظري (للتأكيد):** بما أن الخط يمر عبر النقاط السابقة، يمكن إيجاد ميله (النسبة الثابتة): $k = \frac{C}{d} = \frac{37.7}{12} \approx 3.14$ وبالتالي، عند $d = 18$ سم: $C \approx 3.14 \times 18 = 56.52$ سم
4. **الإجابة:** من خلال قراءة التمثيل البياني، يكون **المحيط المقدر** لشكل دائري قطره ١٨ سم هو **٥٦,٥ سم** تقريباً.

سؤال 5: خمّن: اكتب قاعدة لحساب محيط دائرة إذا علمت طول قطرها.

الإجابة: س٥: القاعدة C = πd

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | 1. النسبة بين المحيط والقطر ثابتة ($\approx 3.14$).<br>2. العلاقة بينهما تناسب طردي (من التمثيل البياني). | استنتاج (تخمين) قاعدة رياضية عامة لحساب محيط أي دائرة إذا عُرف قطرها. |
2. **الربط بين الملاحظات:** 1. من السؤال 2: $\frac{\text{المحيط}}{\text{القطر}} = \pi$ (ثابت). 2. من السؤال 3: المحيط $C$ يتناسب طردياً مع القطر $d$: $C \propto d$.
3. **استنتاج القاعدة:** - إذا كان $\frac{C}{d} = \pi$، فإنه يمكن كتابة: $C = \pi \times d$ - حيث: - $C$: محيط الدائرة. - $d$: قطر الدائرة. - $\pi$: ثابت رياضي قيمته تقريباً $\frac{22}{7}$ أو **٣,١٤**.
4. **القاعدة العامة:** > **محيط الدائرة = $\pi$ × طول القطر** أو بصيغة رموز: $C = \pi d$
5. **الإجابة:** القاعدة التي تربط محيط الدائرة (C) بقطرها (d) هي: **المحيط يساوي حاصل ضرب الثابت π في طول القطر**.

سؤال 6: استعمل القاعدة التي توصلت إليها في (٥) لحساب محيط شكل دائري قطره ٤٥ سم.

الإجابة: س٦: C ≈ 3.14 × 45 = 141.3 سم

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | - القاعدة العامة: $C = \pi d$<br>- قطر الدائرة: $d = 45$ سم<br>- قيمة $\pi \approx 3.14$ | حساب محيط الشكل الدائري باستخدام القاعدة. |
2. **القانون المستخدم:** $C = \pi \times d$
3. **خطوات الحل:** 1. عوّض قيمة القطر $d$ في القانون: $C = 3.14 \times 45$ 2. نفذ عملية الضرب: $3.14 \times 45 = 141.3$ 3. تأكد من الوحدة: الناتج بوحدة **سم** لأن القطر كان بالسنتيمتر.
4. **الحل الرياضي:** $$\begin{aligned} C &= \pi \times d \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \end{aligned}$$
5. **الإجابة النهائية:** محيط الشكل الدائري الذي طول قطره ٤٥ سم يساوي **١٤١,٣ سنتيمتراً**.

بعد قياس محيطات وأقطار عدة أشياء دائرية وحساب النسبة بين المحيط والقطر لكل منها، ماذا تلاحظ على قيم هذه النسب؟

• أ) تختلف النسب بشكل كبير حسب حجم الدائرة.
• ب) تكون النسب متقاربة جداً وتساوي تقريباً 3.14.
• ج) تكون النسب دائماً أقل من 3.
• د) تكون النسب متساوية تماماً لجميع الدوائر دون تقريب.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تكون النسب متقاربة جداً وتساوي تقريباً 3.14.

الشرح: الملاحظة الأساسية هي أن النسبة بين المحيط والقطر (C/d) تكون ثابتة تقريباً لأي دائرة، وتساوي حوالي 3.14، وهو ما يمثل قيمة ثابت باي (π).

تلميح: فكر فيما إذا كانت النتيجة تختلف اختلافاً كبيراً أم أنها تميل إلى قيمة ثابتة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كان محيط شكل دائري 37.7 سم وطول قطره 12 سم، فما النسبة بين المحيط والقطر بعد تقريب الناتج إلى أقرب عُشر؟

• أ) 3.0
• ب) 3.1
• ج) 3.14
• د) 3.2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3.1

الشرح: 1. اقسم المحيط على القطر: 37.7 ÷ 12 ≈ 3.1417 2. قرب الناتج إلى أقرب عُشر (منزلة عشرية واحدة): 3.1

تلميح: تذكر أن النسبة تُحسب بقسمة المحيط على القطر ثم التقريب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عند تمثيل الأزواج المرتبة (القطر، المحيط) لعدة أشكال دائرية بيانياً، ماذا تلاحظ على شكل النقاط؟

• أ) النقاط مبعثرة عشوائياً بدون نمط واضح.
• ب) النقاط تشكل منحنى يتزايد بسرعة.
• ج) النقاط تقع على استقامة واحدة ولكنها لا تمر بنقطة الأصل.
• د) النقاط تقع على استقامة واحدة وتمر بنقطة الأصل، مما يدل على تناسب طردي.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: النقاط تقع على استقامة واحدة وتمر بنقطة الأصل، مما يدل على تناسب طردي.

الشرح: عند تمثيل الأزواج المرتبة (القطر، المحيط) بيانياً، نلاحظ أن النقاط تنتظم على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، مما يشير إلى وجود علاقة تناسب طردي بين القطر والمحيط.

تلميح: تذكر العلاقة بين متغيرين عندما يكون تمثيلهما البياني خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما القاعدة الرياضية لحساب محيط دائرة (C) إذا علمت طول قطرها (d)، بناءً على العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها؟

• أ) C = 2πr
• ب) C = πd²
• ج) C = πd
• د) C = d / π

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: C = πd

الشرح: النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي قيمة ثابتة تُعرف بالعدد باي (π). لذا، يمكن كتابة القاعدة كالتالي: المحيط (C) = ثابت باي (π) × القطر (d).

تلميح: تذكر الثابت الذي يربط المحيط بالقطر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

استعمل القاعدة (C = πd) لحساب محيط شكل دائري طول قطره ٤٥ سم، بافتراض أن π ≈ ٣.١٤.

• أ) 135 سم
• ب) 141.3 سم
• ج) 70.65 سم
• د) 14.13 سم

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 141.3 سم

الشرح: 1. القاعدة هي: C = πd 2. عوض بالقيم: C ≈ 3.14 × 45 3. احسب الناتج: C ≈ 141.3 سم

تلميح: عوض بقيمة القطر و π في القاعدة مباشرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما الهدف الرئيسي من النشاط العملي لاستكشاف محيط الدائرة؟

• أ) حساب مساحة الدائرة بدقة عالية.
• ب) استقصاء العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها.
• ج) تحديد أنواع الأشكال الهندسية.
• د) معرفة استخدامات الأدوات الهندسية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استقصاء العلاقة بين محيط الدائرة وقطرها.

الشرح: يهدف النشاط إلى فهم كيفية ارتباط قياس محيط الدائرة بقياس قطرها، مما يقود إلى اكتشاف النسبة الثابتة بينهما.

تلميح: فكر في الغرض من إجراء التجربة المتعلقة بالدائرة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما التعريف الدقيق لقطر الدائرة؟

• أ) المسافة حول الدائرة.
• ب) قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الدائرة.
• ج) طول وتر الدائرة الذي يمر بمركزها.
• د) المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: طول وتر الدائرة الذي يمر بمركزها.

الشرح: قطر الدائرة هو أطول وتر فيها، وهو الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتين على محيط الدائرة ويمر بمركزها.

تلميح: تذكر المكونات الأساسية للدائرة وكيف يمر القطر.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الذي يمثله محيط الدائرة؟

• أ) المنطقة الداخلية للدائرة.
• ب) أطول وتر في الدائرة.
• ج) المسافة حول الدائرة.
• د) نصف قطر الدائرة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المسافة حول الدائرة.

الشرح: محيط الدائرة هو الطول الكلي للحافة الخارجية للدائرة، أو المسافة التي تغطيها عند الدوران دورة كاملة.

تلميح: فكر في كلمة 'محيط' وما تعنيه في سياق الأشكال المغلقة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الخطوة الصحيحة لحساب النسبة بين محيط الدائرة وقطرها؟

• أ) ضرب طول المحيط في طول القطر.
• ب) طرح طول القطر من طول المحيط.
• ج) قسمة طول المحيط على طول القطر.
• د) جمع طول المحيط وطول القطر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قسمة طول المحيط على طول القطر.

الشرح: 1. لتحديد النسبة بين المحيط والقطر، يجب تقسيم قيمة المحيط على قيمة القطر. 2. هذه النسبة هي قيمة ثابتة تُعرف بالرمز π (باي).

تلميح: لإيجاد نسبة بين كميتين، عادة ما تستخدم عملية القسمة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بناءً على النشاط العملي والملاحظات، ما نوع العلاقة بين محيط الدائرة وطول قطرها؟

• أ) علاقة تناسب عكسي.
• ب) علاقة ثابتة لا تتغير.
• ج) علاقة تناسب طردي.
• د) لا توجد علاقة رياضية بينهما.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: علاقة تناسب طردي.

الشرح: 1. أظهر النشاط أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابتة (تساوي تقريباً 3.14). 2. هذا يعني أن محيط الدائرة يتناسب طردياً مع طول قطرها، أي كلما زاد القطر زاد المحيط بنفس النسبة.

تلميح: تذكر كيف تتغير إحدى الكميتين مع الأخرى إذا كانت نسبتهما ثابتة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما تعريف قطر الدائرة؟

• أ) هو المسافة حول الدائرة.
• ب) هو نصف قطر الدائرة.
• ج) هو طول وترها الذي يمر بالمركز.
• د) هو الخط الواصل بين نقطتين على الدائرة ولا يمر بالمركز.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هو طول وترها الذي يمر بالمركز.

الشرح: القطر هو وتر الدائرة الذي يتميز بمروره بمركزها، وهو أطول وتر يمكن رسمه داخل الدائرة.

تلميح: تذكر مكونات الدائرة الأساسية وعلاقتها بالمركز.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما تعريف محيط الدائرة؟

• أ) هو طول وترها الذي يمر بالمركز.
• ب) هو طول نصف قطرها.
• ج) هو المسافة حولها.
• د) هو المساحة الداخلية للدائرة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هو المسافة حولها.

الشرح: محيط الدائرة هو الطول الكلي للمسار الدائري الذي يحدها، أي المسافة حول حافتها.

تلميح: فكر في معنى كلمة 'محيط' لأي شكل هندسي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في النشاط العملي لاستكشاف محيط الدائرة، ما الأداة التي تستخدم لقياس قطر الأشكال الدائرية؟

• أ) شريط القياس.
• ب) المسطرة.
• ج) الميزان.
• د) الساعة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المسطرة.

الشرح: لقياس قطر الأشكال الدائرية في النشاط، تُستخدم المسطرة لكون القطر خطاً مستقيماً يمر بمركز الدائرة.

تلميح: تذكر الأدوات الشائعة المستخدمة لقياس الأطوال المستقيمة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في النشاط العملي لاستكشاف محيط الدائرة، كيف يتم قياس محيط الشكل الدائري عملياً؟

• أ) بوضع مسطرة عبر مركز الدائرة.
• ب) بحساب قطرها وضرب الناتج في 2.
• ج) بلف شريط قياس حول إطار الشكل بدءاً من نقطة معينة والعودة إليها.
• د) بتقدير المسافة بالعين المجردة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: بلف شريط قياس حول إطار الشكل بدءاً من نقطة معينة والعودة إليها.

الشرح: 1. يتم وضع علامة على إطار الشكل الدائري. 2. يُلف شريط القياس حول الشكل بدءاً من العلامة حتى يعود إليها. 3. طول الشريط الملتف يمثل محيط الشكل الدائري.

تلميح: فكر في الطريقة العملية لقياس طول مسار منحني بشكل مباشر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هو الاسم الخاص الذي يُطلق على النسبة الثابتة بين محيط الدائرة وقطرها؟

• أ) ثابت فيثاغورس.
• ب) ثابت بلانك.
• ج) ثابت باي (π).
• د) ثابت جاذبية نيوتن.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ثابت باي (π).

الشرح: النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي قيمة ثابتة عالمية لا تتغير، ويُشار إليها بالرمز الإغريقي باي (π)، وقيمتها التقريبية ٣,١٤.

تلميح: فكر في أشهر الثوابت الرياضية المتعلقة بالدوائر.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل