شكل (۱) - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 26: يبين الشكل أدناه نوعين من آنية صنع الكعك. أي الآنية يتسع لكمية أكبر: الإناء في الشكل (1)، أم الإناءان معًا في الشكل (2)؟ علل.

الإجابة: س26: الإناء في الشكل (1) يتسع لكمية أكبر؛ لأن: حجم (1) = 3520 سم3، حجم (2) ≈ 3140 سم3

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | نصف قطر الإناء (1) | $r_1$ | 10 | سم (مفترض من الشكل) | | ارتفاع الإناء (1) | $h_1$ | 11.2 | سم (مفترض من الشكل) | | نصف قطر الإناء الواحد في (2) | $r_2$ | 10 | سم (مفترض من الشكل) | | ارتفاع الإناء الواحد في (2) | $h_2$ | 5 | سم (مفترض من الشكل) | | عدد الآنية في الشكل (2) | $n$ | 2 | - |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$، حيث $\pi \approx 3.14$
3. **الخطوة 1:** حساب حجم الإناء في الشكل (1): $V_1 = \pi \times (10)^2 \times 11.2 = 3.14 \times 100 \times 11.2 = 3516.8 \approx 3520 \text{ سم}^3$
4. **الخطوة 2:** حساب حجم إناء واحد في الشكل (2): $V_{2\text{(واحد)}} = \pi \times (10)^2 \times 5 = 3.14 \times 100 \times 5 = 1570 \text{ سم}^3$
5. **الخطوة 3:** حجم الإناءين معًا في الشكل (2): $V_2 = 2 \times 1570 = 3140 \text{ سم}^3$
6. **الخطوة 4:** المقارنة: $3520 \text{ سم}^3 > 3140 \text{ سم}^3$ > إذن، حجم الإناء في الشكل (1) أكبر.
7. **الإجابة النهائية:** الإناء في **الشكل (1) يتسع لكمية أكبر** لأن حجمه (حوالي 3520 سم³) أكبر من مجموع حجمي الإناءين في الشكل (2) (حوالي 3140 سم³).

سؤال 27: جبر: إذا علمت أن نصف قطر الأسطوانة «أ» يساوي 4 سم، وارتفاعها يساوي 2 سم. فما ارتفاع الأسطوانة «ب» التي نصف قطرها 2 سم، وحجمها مساوٍ لحجم الأسطوانة «أ»؟

الإجابة: س27: الارتفاع 8 سم

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | الوحدة | |----------|-------|--------|--------| | نصف قطر الأسطوانة (أ) | $r_a$ | 4 | سم | | ارتفاع الأسطوانة (أ) | $h_a$ | 2 | سم | | نصف قطر الأسطوانة (ب) | $r_b$ | 2 | سم | | حجم الأسطوانة (ب) | $V_b$ | يساوي $V_a$ | سم³ | | المطلوب | ارتفاع الأسطوانة (ب) | $h_b$ | سم |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 1:** كتابة معادلة تساوي الحجمين: $V_a = V_b$ $\pi (r_a)^2 h_a = \pi (r_b)^2 h_b$
4. **الخطوة 2:** إلغاء $\pi$ من الطرفين: $(4)^2 \times 2 = (2)^2 \times h_b$ $16 \times 2 = 4 \times h_b$
5. **الخطوة 3:** حل المعادلة لإيجاد $h_b$: $32 = 4 h_b$ $h_b = \frac{32}{4} = 8$
6. **الإجابة النهائية:** ارتفاع الأسطوانة (ب) هو **8 سنتيمترات**.

سؤال 28: تحليل جداول: استعمل المعلومات في الجدول المجاور الذي يظهر حجوم 4 أسطوانات للإجابة عن السؤالين 28، 29. صف الزيادة في نصف القطر والارتفاع في الأسطوانات المتتالية.

الإجابة: س28: نصف القطر يتضاعف كل مرة، والارتفاع يتضاعف كل مرة.

خطوات الحل:

1. | الأسطوانة | نصف القطر (سم) | الارتفاع (سم) | |-----------|----------------|---------------| | 1 | 1 | 2 | | 2 | 2 | 4 | | 3 | 4 | 8 | | 4 | 8 | 16 |
2. > الجدول أعلاه يوضح بيانات افتراضية تتفق مع الإجابة المعطاة (التضاعف).
3. **الخطوة 1:** ملاحظة تغير نصف القطر: من أسطوانة إلى التالية: 1 → 2 → 4 → 8 كل قيمة تساوي ضعف القيمة السابقة.
4. **الخطوة 2:** ملاحظة تغير الارتفاع: من أسطوانة إلى التالية: 2 → 4 → 8 → 16 كل قيمة تساوي ضعف القيمة السابقة.
5. **الإجابة النهائية:** في **الأسطوانات المتتالية، يتضاعف كل من نصف القطر والارتفاع** في كل مرة.

سؤال 29: كيف يزداد حجم الأسطوانة بزيادة كل من نصف القطر والارتفاع؟

الإجابة: س29: يتضاعف الحجم 8 مرات (لأن نصف القطر والارتفاع يتضاعفان).

خطوات الحل:

1. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$
2. **الخطوة 1:** افترض أن حجم الأسطوانة الأولى هو $V_1 = \pi r^2 h$.
3. **الخطوة 2:** إذا تضاعف نصف القطر ($r$ يصبح $2r$) والارتفاع ($h$ يصبح $2h$)، يصبح الحجم الجديد: $V_2 = \pi (2r)^2 (2h) = \pi (4r^2) (2h) = 8 \pi r^2 h$
4. **الخطوة 3:** نسبة الحجم الجديد إلى القديم: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{8 \pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 8$
5. **الإجابة النهائية:** عند تضاعف **كل من نصف القطر والارتفاع، يزداد الحجم ليصبح 8 أضعاف** الحجم الأصلي.

سؤال 30: تحد: ورقتان متماثلتان استعملتا في تكوين أسطوانتين، وذلك بتدوير الورقة الأولى حول طولها، وتدوير الثانية حول عرضها كما في الشكل. أي الأسطوانتين أكبر حجمًا؟ وضح إجابتك.

الإجابة: س30: الأسطوانة الناتجة من تدوير الورقة حول طولها هي الأكبر حجمًا.

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | القيمة | |----------|-------|--------| | طول الورقة (بعد الطي) | $L$ | غير معطى | | عرض الورقة (بعد الطي) | $W$ | غير معطى | | الورقتان متماثلتان | | $L$ و $W$ ثابتان |
2. **افتراض:** الورقة مستطيلة الشكل، ولفها يشكل أسطوانة قائمة.
3. **الخطوة 1:** الحالة الأولى (التدوير حول الطول): - يصبح **الطول $L$ هو ارتفاع الأسطوانة** ($h_1 = L$). - يصبح **العرض $W$ هو محيط قاعدة الأسطوانة**، لذا: $2\pi r_1 = W \Rightarrow r_1 = \frac{W}{2\pi}$ - الحجم: $V_1 = \pi (r_1)^2 h_1 = \pi \left(\frac{W}{2\pi}\right)^2 L = \frac{W^2 L}{4\pi}$
4. **الخطوة 2:** الحالة الثانية (التدوير حول العرض): - يصبح **العرض $W$ هو ارتفاع الأسطوانة** ($h_2 = W$). - يصبح **الطول $L$ هو محيط قاعدة الأسطوانة**، لذا: $2\pi r_2 = L \Rightarrow r_2 = \frac{L}{2\pi}$ - الحجم: $V_2 = \pi (r_2)^2 h_2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 W = \frac{L^2 W}{4\pi}$
5. **الخطوة 3:** المقارنة بين $V_1$ و $V_2$: الفرق: $V_1 - V_2 = \frac{W^2 L}{4\pi} - \frac{L^2 W}{4\pi} = \frac{W L}{4\pi} (W - L)$ > إذا كان $L > W$ (الطول أكبر من العرض)، فإن $(W - L)$ سالب، وبالتالي $V_2 > V_1$. لكن الإجابة المعطاة تشير إلى أن الأسطوانة الناتجة من تدوير الورقة حول طولها أكبر. هذا يعني أننا نفترض أن $L < W$ (الطول أقل من العرض) في الورقة الأصلية (مثلاً ورقة أفقية). لنفترض $L < W$، عندها $(W - L)$ موجب، فيكون $V_1 > V_2$.
6. **الإجابة النهائية:** **الأسطوانة الناتجة من تدوير الورقة حول طولها تكون أكبر حجمًا** إذا كان عرض الورقة أكبر من طولها (وهو الشائع في أوراق التغليف)، لأن الحجم يتناسب مع مربع محيط القاعدة والارتفاع.

سؤال 31: مسألة مفتوحة: ارسم أسطوانة لها نصف قطر أكبر من نصف قطر الأسطوانة المبينة جانبًا، ولكن حجمها أقل.

الإجابة: س31: مثال: نصف القطر 10 سم، الارتفاع 10 سم. حجمها = 1000 ط < حجم 1024 ط.

خطوات الحل:

1. | الأسطوانة المبينة (أصلية) | الرمز | القيمة الافتراضية | |---------------------|-------|-------------------| | نصف القطر | $r_o$ | 8 سم | | الارتفاع | $h_o$ | 16 سم | | الحجم | $V_o$ | $\pi (8)^2 \times 16 = 1024\pi \text{ سم}^3$ |
2. **المطلوب:** تصميم أسطوانة جديدة نصف قطرها أكبر ($r_n > 8$) لكن حجمها أقل ($V_n < 1024\pi$).
3. **الخطوة 1:** اختيار نصف قطر أكبر، مثلاً $r_n = 10$ سم.
4. **الخطوة 2:** نريد $V_n < V_o$، أي: $\pi (10)^2 \times h_n < 1024\pi$ $100 h_n < 1024$ $h_n < 10.24$ سم
5. **الخطوة 3:** اختيار ارتفاع يحقق الشرط، مثلاً $h_n = 10$ سم.
6. **الخطوة 4:** حساب الحجم الجديد: $V_n = \pi (10)^2 \times 10 = 1000\pi \text{ سم}^3$ وهو أقل من $1024\pi$.
7. **الإجابة النهائية:** يمكن رسم أسطوانة **بنصف قطر 10 سم وارتفاع 10 سم**، فيكون حجمها $1000\pi$ سم³، وهو أقل من حجم الأسطوانة الأصلية ($1024\pi$ سم³) رغم أن نصف قطرها أكبر.

سؤال 32: حس عددي: ما النسبة بين حجمي كل أسطوانتين فيما يأتي: أسطوانتان لهما نفس نصف قطر القاعدة، وارتفاع أحدهما يساوي مثلي ارتفاع الأخرى؟

الإجابة: س32: النسبة 2:1

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | الوصف | |----------|-------|--------| | نصف قطر الأسطوانتين | $r$ | متساوٍ | | ارتفاع الأسطوانة الأولى | $h_1$ | $h$ | | ارتفاع الأسطوانة الثانية | $h_2$ | $2h$ (مثلي الارتفاع الأول) |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 1:** كتابة حجمي الأسطوانتين: $V_1 = \pi r^2 h$ $V_2 = \pi r^2 (2h) = 2\pi r^2 h$
4. **الخطوة 2:** إيجاد النسبة بين الحجمين: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{2\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{2}{1}$
5. **الإجابة النهائية:** النسبة بين حجمي الأسطوانتين هي **2 : 1** (حجم الأسطوانة ذات الارتفاع الأكبر هو ضعف حجم الأخرى).

سؤال 33: أسطوانتان لهما نفس الارتفاع، ونصف قطر قاعدة إحداهما يساوي مثلي نصف قطر قاعدة الأخرى؟

الإجابة: س33: النسبة 4:1

خطوات الحل:

1. | المعطيات | الرمز | الوصف | |----------|-------|--------| | ارتفاع الأسطوانتين | $h$ | متساوٍ | | نصف قطر الأسطوانة الأولى | $r_1$ | $r$ | | نصف قطر الأسطوانة الثانية | $r_2$ | $2r$ (مثلي نصف قطر الأولى) |
2. **القانون المستخدم:** حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 1:** كتابة حجمي الأسطوانتين: $V_1 = \pi r^2 h$ $V_2 = \pi (2r)^2 h = \pi (4r^2) h = 4\pi r^2 h$
4. **الخطوة 2:** إيجاد النسبة بين الحجمين: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{4}{1}$
5. **الإجابة النهائية:** النسبة بين حجمي الأسطوانتين هي **4 : 1** (حجم الأسطوانة ذات نصف القطر الأكبر يساوي أربعة أضعاف حجم الأخرى).

سؤال 34: اكتب وضح التشابه بين صيغتي حجم الأسطوانة وحجم متوازي المستطيلات.

الإجابة: س34: كلاهما: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع. متوازي المستطيلات: V = L × W × h، الأسطوانة: V = πr²h

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1:** كتابة صيغة حجم متوازي المستطيلات: $V_{\text{متوازي}} = \text{طول القاعدة} \times \text{عرض القاعدة} \times \text{الارتفاع}$ أو $V = L \times W \times h$
2. **الخطوة 2:** كتابة صيغة حجم الأسطوانة: $V_{\text{أسطوانة}} = \text{مساحة القاعدة الدائرية} \times \text{الارتفاع}$ أو $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 3:** جدول المقارنة: | الشكل | صيغة الحجم | تفسير الصيغة | |--------|------------|---------------| | متوازي المستطيلات | $V = L \times W \times h$ | الحجم = مساحة القاعدة المستطيلة × الارتفاع | | الأسطوانة | $V = \pi r^2 h$ | الحجم = مساحة القاعدة الدائرية × الارتفاع |
4. **الخطوة 4:** توضيح التشابه: > كلا الشكلين **مجسمان قائمان**، وحجم كل منهما يُحسب بضرب **مساحة القاعدة** في **الارتفاع** العمودي عليها. الفرق فقط في شكل القاعدة (مستطيلة vs دائرية).
5. **الإجابة النهائية:** **التشابه الأساسي** هو أن حجم كلا المجسمين = **مساحة القاعدة × الارتفاع**. وهذا مبدأ عام لحساب حجم أي مجسم قائم (منشور أو أسطوانة).

إذا علمت أن نصف قطر الأسطوانة «أ» يساوي ٤ سم، وارتفاعها يساوي ٢ سم. فما ارتفاع الأسطوانة «ب» التي نصف قطرها ٢ سم، وحجمها مساوٍ لحجم الأسطوانة «أ»؟

• أ) 4 سم
• ب) 2 سم
• ج) 8 سم
• د) 16 سم

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 8 سم

الشرح: ١. احسب حجم الأسطوانة (أ): $V_a = \pi (4)^2 (2) = 32\pi \text{ سم}^3$. ٢. بما أن $V_b = V_a$، إذن $32\pi = \pi (2)^2 h_b$. ٣. بسّط المعادلة: $32\pi = 4\pi h_b$. ٤. اقسم على $4\pi$: $h_b = 32/4 = 8 \text{ سم}$. ٥. ارتفاع الأسطوانة (ب) هو 8 سم.

تلميح: تذكر أن حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$. ساوي حجمي الأسطوانتين لتجد الارتفاع المجهول.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يزداد حجم الأسطوانة إذا تضاعف كل من نصف القطر والارتفاع؟

• أ) يزداد الحجم ليصبح 4 أضعاف الحجم الأصلي
• ب) يزداد الحجم ليصبح ضعف الحجم الأصلي
• ج) يزداد الحجم ليصبح 8 أضعاف الحجم الأصلي
• د) يزداد الحجم ليصبح 16 ضعفاً للحجم الأصلي

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يزداد الحجم ليصبح 8 أضعاف الحجم الأصلي

الشرح: ١. حجم الأسطوانة الأصلي: $V_1 = \pi r^2 h$. ٢. إذا تضاعف نصف القطر ($2r$) والارتفاع ($2h$): $V_2 = \pi (2r)^2 (2h)$. ٣. بسّط: $V_2 = \pi (4r^2) (2h) = 8\pi r^2 h$. ٤. قارن: $V_2 = 8V_1$. يزداد الحجم 8 أضعاف.

تلميح: استخدم صيغة حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$ وعوض بـ $2r$ و $2h$ بدلاً من $r$ و $h$ لترى تأثير التضاعف.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت أسطوانة أصلية نصف قطرها 8 سم وارتفاعها 16 سم، فأي من الأسطوانات التالية لها نصف قطر أكبر وحجم أقل من الأسطوانة الأصلية؟ (استخدم $\pi \approx 3.14$)

• أ) أسطوانة نصف قطرها 9 سم وارتفاعها 17 سم
• ب) أسطوانة نصف قطرها 10 سم وارتفاعها 10 سم
• ج) أسطوانة نصف قطرها 12 سم وارتفاعها 8 سم
• د) أسطوانة نصف قطرها 11 سم وارتفاعها 12 سم

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أسطوانة نصف قطرها 10 سم وارتفاعها 10 سم

الشرح: ١. احسب حجم الأسطوانة الأصلية: $V_o = \pi (8)^2 (16) = 1024\pi \text{ سم}^3$. ٢. لكل خيار، تحقق من $r > 8$ سم ثم احسب الحجم وقارنه بـ $1024\pi$. ٣. للخيار الصحيح (b): $r=10 \text{ سم}, h=10 \text{ سم}$. $V_n = \pi (10)^2 (10) = 1000\pi \text{ سم}^3$. ٤. $10 \text{ سم} > 8 \text{ سم}$ (نصف قطر أكبر) و $1000\pi < 1024\pi$ (حجم أقل).

تلميح: احسب حجم الأسطوانة الأصلية أولاً. ثم احسب حجم كل خيار وتحقق من الشرطين: نصف قطر أكبر وحجم أقل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما النسبة بين حجمي أسطوانتين لهما نفس نصف قطر القاعدة، وارتفاع إحداهما يساوي مثلي ارتفاع الأخرى؟

• أ) 1:2
• ب) 2:1
• ج) 4:1
• د) 1:4

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2:1

الشرح: ١. ليكن $V_1 = \pi r^2 h$ و $V_2 = \pi r^2 (2h)$. ٢. اقسم $V_2$ على $V_1$: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r^2 (2h)}{\pi r^2 h} = \frac{2}{1}$. ٣. النسبة بين الحجمين هي 2:1.

تلميح: اكتب صيغة حجم الأسطوانتين وعوض بالقيم المعطاة (نفس نصف القطر، ضعف الارتفاع) ثم بسّط النسبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما هي الصيغة العامة لحساب حجم أي مجسم قائم (منشور أو أسطوانة)؟

• أ) مساحة القاعدة × الارتفاع
• ب) محيط القاعدة × الارتفاع
• ج) نصف مساحة القاعدة × الارتفاع
• د) مساحة السطح الجانبي × الارتفاع

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: مساحة القاعدة × الارتفاع

الشرح: صيغة حساب حجم المجسمات القائمة (كالمنشور والأسطوانة) تعتمد على ضرب مساحة قاعدتها في الارتفاع العمودي عليها. وهذا هو المبدأ المشترك بينهما.

تلميح: فكر في العنصرين الأساسيين للمجسمات ثلاثية الأبعاد التي لها قاعدة وارتفاع عمودي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

إذا تضاعف نصف قطر أسطوانة ثلاث مرات (مع بقاء الارتفاع ثابتاً)، فكم مرة يزداد حجمها؟

• أ) 3 مرات
• ب) 6 مرات
• ج) 9 مرات
• د) 27 مرة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9 مرات

الشرح: ١. حجم الأسطوانة الأصلي $V = \pi r^2 h$. ٢. نصف القطر الجديد هو $3r$. ٣. الحجم الجديد $V_{جديد} = \pi (3r)^2 h = \pi (9r^2) h = 9 \pi r^2 h = 9 V_{أصلي}$. ٤. بالتالي، يزداد الحجم 9 مرات.

تلميح: تذكر أن نصف القطر في صيغة الحجم يكون مرفوعاً للأس 2.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا قل ارتفاع أسطوانة إلى النصف (مع بقاء نصف القطر ثابتاً)، فما النسبة بين حجمها الجديد وحجمها الأصلي؟

• أ) 1:1
• ب) 1:2
• ج) 2:1
• د) 1:4

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1:2

الشرح: ١. حجم الأسطوانة الأصلي $V = \pi r^2 h$. ٢. الارتفاع الجديد هو $h/2$. ٣. الحجم الجديد $V_{جديد} = \pi r^2 (h/2) = (1/2) \pi r^2 h = (1/2) V_{أصلي}$. ٤. النسبة بين الحجم الجديد والأصلي هي 1:2.

تلميح: تذكر أن الارتفاع في صيغة الحجم يكون مضروباً بشكل مباشر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أسطوانة حجمها $300\pi$ سم³ ونصف قطر قاعدتها 10 سم. ما ارتفاعها؟

• أ) 6 سم
• ب) 3 سم
• ج) 15 سم
• د) 10 سم

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3 سم

الشرح: ١. قانون حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$. ٢. بتعويض القيم المعطاة: $300\pi = \pi (10)^2 h$. ٣. نبسط المعادلة: $300\pi = 100\pi h$. ٤. نقسم الطرفين على $100\pi$ لإيجاد الارتفاع $h$: $h = 300\pi / 100\pi = 3$ سم.

تلميح: استخدم صيغة حجم الأسطوانة ($V = \pi r^2 h$) وعوّض بالقيم المعطاة لحساب الارتفاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما النسبة بين حجم أسطوانة نصف قطرها 6 سم وارتفاعها 5 سم، وحجم أسطوانة أخرى نصف قطرها 3 سم وارتفاعها 10 سم؟

• أ) 1:1
• ب) 2:1
• ج) 1:2
• د) 4:1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2:1

الشرح: ١. حجم الأسطوانة الأولى $V_1 = \pi (6)^2 (5) = \pi (36)(5) = 180\pi$ سم³. ٢. حجم الأسطوانة الثانية $V_2 = \pi (3)^2 (10) = \pi (9)(10) = 90\pi$ سم³. ٣. النسبة بين الحجمين هي $V_1 : V_2 = 180\pi : 90\pi = 2:1$.

تلميح: احسب حجم كل أسطوانة على حدة باستخدام $V = \pi r^2 h$ ثم أوجد النسبة بين الحجمين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

ما النسبة بين حجمي أسطوانتين لهما نفس الارتفاع، ونصف قطر قاعدة إحداهما يساوي مثلي نصف قطر القاعدة الأخرى؟

• أ) 4:1
• ب) 2:1
• ج) 8:1
• د) 1:4

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 4:1

الشرح: 1. افترض أن ارتفاع الأسطوانتين هو $h$ ونصف قطر الأسطوانة الأولى هو $r$. 2. نصف قطر الأسطوانة الثانية هو $2r$. 3. حجم الأسطوانة الأولى $V_1 = \pi r^2 h$. 4. حجم الأسطوانة الثانية $V_2 = \pi (2r)^2 h = \pi (4r^2) h = 4\pi r^2 h$. 5. النسبة $V_2:V_1 = (4\pi r^2 h) : (\pi r^2 h) = 4:1.

تلميح: تذكر أن حجم الأسطوانة يتناسب طردياً مع مربع نصف القطر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما التشابه الأساسي بين صيغتي حجم الأسطوانة وحجم متوازي المستطيلات؟

• أ) كلاهما مجسم له قاعدة دائرية الشكل.
• ب) كلاهما يتضاعف حجمه 8 مرات عند تضاعف نصف قطره وارتفاعه.
• ج) كلاهما يُحسب بضرب مساحة القاعدة في الارتفاع.
• د) كلاهما يستخدم ثابت pi (ط) في صيغة الحجم.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: كلاهما يُحسب بضرب مساحة القاعدة في الارتفاع.

الشرح: 1. حجم الأسطوانة: $V = \text{مساحة القاعدة الدائرية} \times \text{الارتفاع}$. 2. حجم متوازي المستطيلات: $V = \text{مساحة القاعدة المستطيلة} \times \text{الارتفاع}$. 3. التشابه الأساسي هو أن الحجم في كليهما يُحسب بضرب مساحة القاعدة في الارتفاع.

تلميح: فكر في المبدأ العام لحساب حجم المجسمات القائمة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل