تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال تحقق من فهمك (أ، ب): احسب حجم كل من الأسطوانتين الآتيتين، وقرّب الناتج إلى أقرب عُشر: أ) أسطوانة نصف قطرها 3 سم وارتفاعها 1.8 سم. ب) أسطوانة نصف قطرها 2.4 م وارتفاعها 9 م.

الإجابة: أ) V = π(3)²(1.8) ≈ 50.9 سم³، ب) V = π(2.4)²(9) ≈ 162.9 م³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الجزء | نصف القطر (نق) | الارتفاع (ع) | المطلوب | |-------|----------------|--------------|---------| | أ | 3 سم | 1.8 سم | الحجم (V) مقربًا لأقرب عُشر | | ب | 2.4 م | 9 م | الحجم (V) مقربًا لأقرب عُشر |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** قانون حجم الأسطوانة هو: $V = \pi r^2 h$ حيث: - $V$ هو الحجم. - $r$ هو نصف القطر. - $h$ هو الارتفاع. - $\pi \approx 3.14159$ (سنستخدم هذه القيمة للحساب الدقيق ثم التقريب).
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ)** 1. عوّض بالقيم في القانون: $V = \pi \times (3)^2 \times 1.8$ 2. احسب $3^2 = 9$ 3. إذن: $V = \pi \times 9 \times 1.8 = \pi \times 16.2$ 4. باستخدام $\pi \approx 3.14159$: $V \approx 3.14159 \times 16.2$ 5. $V \approx 50.893758 \text{ سم}^3$ 6. قرّب لأقرب عُشر: $V \approx 50.9 \text{ سم}^3$
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب)** 1. عوّض بالقيم في القانون: $V = \pi \times (2.4)^2 \times 9$ 2. احسب $2.4^2 = 5.76$ 3. إذن: $V = \pi \times 5.76 \times 9 = \pi \times 51.84$ 4. باستخدام $\pi \approx 3.14159$: $V \approx 3.14159 \times 51.84$ 5. $V \approx 162.8600256 \text{ م}^3$ 6. قرّب لأقرب عُشر: $V \approx 162.9 \text{ م}^3$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** - حجم الأسطوانة (أ) يساوي **50.9 سنتيمترًا مكعبًا** تقريبًا. - حجم الأسطوانة (ب) يساوي **162.9 مترًا مكعبًا** تقريبًا.

سؤال تحقق من فهمك (ج): جـ) احسب حجم علبة طلاء أسطوانية الشكل قطرها 40 سم، وارتفاعها 50 سم.

الإجابة: V = π(20)²(50) ≈ 62831.9 سم³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | القطر | 40 | سم | | الارتفاع (ع) | 50 | سم | | المطلوب | الحجم (V) | سم³ مقربًا لأقرب عُشر |
2. **الخطوة 2: القانون والمبدأ المستخدم** 1. **نصف القطر (نق)** = القطر ÷ 2 2. قانون حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 3: حساب نصف القطر** نصف القطر $r = \frac{40}{2} = 20$ سم.
4. **الخطوة 4: تطبيق قانون الحجم** 1. عوّض في القانون: $V = \pi \times (20)^2 \times 50$ 2. احسب $20^2 = 400$ 3. إذن: $V = \pi \times 400 \times 50 = \pi \times 20000$ 4. باستخدام $\pi \approx 3.14159$: $V \approx 3.14159 \times 20000$ 5. $V \approx 62831.8 \text{ سم}^3$ > ملاحظة: القيمة الدقيقة قريبة من 62831.85، وعند التقريب لأقرب عُشر تصبح 62831.9.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** حجم علبة الطلاء الأسطوانية يساوي **حوالي 62831.9 سنتيمترًا مكعبًا**.

سؤال 1: احسب حجم كل أسطوانة مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب عُشر: أسطوانة نصف قطرها 3 م وارتفاعها 5 م.

الإجابة: V = π(3)²(5) ≈ 141.4 م³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | نصف القطر | r | 3 | م | | الارتفاع | h | 5 | م | | **المطلوب** | الحجم | V | م³ مقربًا لأقرب عُشر |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** قانون حجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. عوّض بالقيم في القانون: $V = \pi \times (3)^2 \times 5$ 2. احسب $3^2 = 9$ 3. اضرب: $9 \times 5 = 45$ 4. إذن: $V = \pi \times 45$ 5. باستخدام $\pi \approx 3.14159$: $V \approx 3.14159 \times 45$ 6. $V \approx 141.37155 \text{ م}^3$
4. **الخطوة 4: التقريب** قيمة الحجم $\approx 141.37155$ م³. - الرقم في منزلة الأعشار هو **3**. - الرقم التالي (منزلة الجزء من مئة) هو **7**، وهو أكبر أو يساوي 5، لذا نزيد منزلة الأعشار بمقدار 1. - الناتج بعد التقريب: $141.4$ م³.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** حجم الأسطوانة يساوي **141.4 مترًا مكعبًا** تقريبًا.

سؤال 2: احسب حجم كل أسطوانة مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب عُشر: أسطوانة نصف قطرها 1.5 سم وارتفاعها 8 سم.

الإجابة: V = π(1.5)²(8) ≈ 56.5 سم³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات** | المعطى | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | نصف القطر (نق) | 1.5 | سم | | الارتفاع (ع) | 8 | سم |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 3: الحساب** 1. $r^2 = (1.5)^2 = 2.25$ 2. $r^2 \times h = 2.25 \times 8 = 18$ 3. $V = \pi \times 18$ 4. $V \approx 3.14159 \times 18 = 56.54862 \text{ سم}^3$
4. **الخطوة 4: التقريب لأقرب عُشر** - القيمة 56.54862 سم³. - الرقم في منزلة الأعشار هو **5**. - الرقم التالي هو **4**، وهو أقل من 5، لذا يبقى الرقم 5 كما هو. - الناتج بعد التقريب: $56.5$ سم³.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** يبلغ حجم الأسطوانة **56.5 سنتيمترًا مكعبًا** تقريبًا.

سؤال 3: احسب حجم كل أسطوانة مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب عُشر: أسطوانة قطرها 11 ملم وارتفاعها 6.5 ملم.

الإجابة: V = π(5.5)²(6.5) ≈ 617.7 ملم³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات** | المعطى | القيمة | الوحدة | الملاحظة | |--------|--------|--------|----------| | القطر | 11 | ملم | معطى مباشر | | الارتفاع (ع) | 6.5 | ملم | معطى مباشر | | نصف القطر (نق) | ? | ملم | نحسبه من القطر |
2. **الخطوة 2: المبادئ والقوانين** 1. نصف القطر $r = \frac{\text{القطر}}{2}$ 2. حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 3: حساب نصف القطر** $r = \frac{11}{2} = 5.5$ ملم.
4. **الخطوة 4: حساب الحجم** 1. $r^2 = (5.5)^2 = 30.25$ 2. $r^2 \times h = 30.25 \times 6.5 = 196.625$ 3. $V = \pi \times 196.625$ 4. $V \approx 3.14159 \times 196.625 = 617.71579375 \text{ ملم}^3$
5. **الخطوة 5: التقريب** القيمة $\approx 617.71579375$ ملم³. - منزلة الأعشار: **7**. - الرقم التالي (منزلة الجزء من مئة) هو **1**، وهو أقل من 5. - الناتج بعد التقريب: $617.7$ ملم³.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** حجم الأسطوانة يساوي **617.7 ملليمترًا مكعبًا** تقريبًا.

سؤال 4: يبيّن الشكل المجاور علبة عصير. احسب حجم العلبة مقربًا إلى أقرب عُشر. (الارتفاع 15 سم، القطر 7 سم)

الإجابة: V = π(3.5)²(15) ≈ 577.3 سم³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات من الوصف** | المعطى | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | ارتفاع علبة العصير (ع) | 15 | سم | | قطر العلبة | 7 | سم |
2. **الخطوة 2: التحويل من قطر إلى نصف قطر** نصف القطر $r = \frac{\text{القطر}}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ سم.
3. **الخطوة 3: تطبيق قانون حجم الأسطوانة** القانون: $V = \pi r^2 h$ 1. احسب $r^2 = (3.5)^2 = 12.25$ 2. احسب $r^2 \times h = 12.25 \times 15 = 183.75$ 3. إذن $V = \pi \times 183.75$
4. **الخطوة 4: إجراء عملية الضرب في π** $V \approx 3.14159 \times 183.75 = 577.2676125 \text{ سم}^3$.
5. **الخطوة 5: التقريب لأقرب عُشر** - القيمة 577.2676125 سم³. - الرقم في منزلة الأعشار هو **2**. - الرقم التالي هو **6**، وهو أكبر أو يساوي 5، لذا نزيد منزلة الأعشار بمقدار 1. - الناتج: $577.3$ سم³.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** سعة علبة العصير الأسطوانية تساوي **577.3 سنتيمترًا مكعبًا** تقريبًا.

سؤال 5: شمعة أسطوانية الشكل نصف قطرها 4 سم، وارتفاعها 12 سم. احسب حجمها.

الإجابة: V = π(4)²(12) ≈ 603.2 سم³

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | المعطى | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | نصف قطر الشمعة | r | 4 | سم | | ارتفاع الشمعة | h | 12 | سم |
2. **الخطوة 2: قانون حجم الأسطوانة** $V = \pi r^2 h$
3. **الخطوة 3: خطوات حساب الحجم** 1. احسب مربع نصف القطر: $r^2 = 4^2 = 16$ 2. اضرب الناتج في الارتفاع: $16 \times 12 = 192$ 3. طبق القانون: $V = \pi \times 192$ 4. باستخدام $\pi \approx 3.14159$: $V \approx 3.14159 \times 192$ 5. $V \approx 603.18528 \text{ سم}^3$
4. **الخطوة 4: التقريب** > السؤال لم يذكر التقريب صراحة، لكن الإجابة المرجعية مقربة لأقرب عُشر، لذا سنقرب. - القيمة 603.18528 سم³. - الرقم في منزلة الأعشار هو **1**. - الرقم التالي هو **8**، لذا نزيد منزلة الأعشار بمقدار 1. - الناتج: $603.2$ سم³.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** حجم الشمعة الأسطوانية يساوي **603.2 سنتيمترًا مكعبًا** تقريبًا.

ما هي الصيغة الرياضية لحساب حجم الأسطوانة؟

• أ) $V = 2 \pi r h$
• ب) $V = \pi r^2 h$
• ج) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
• د) $V = l \times w \times h$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $V = \pi r^2 h$

الشرح: الصيغة الرياضية لحساب حجم الأسطوانة (V) هي حاصل ضرب ثابت باي (π) في مربع نصف القطر (r) في الارتفاع (h).

تلميح: تذكر أن حجم الأسطوانة يعتمد على مساحة القاعدة الدائرية مضروبة في الارتفاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند حساب حجم الأسطوانة، إذا كان المعطى في المسألة هو 'القطر' (ق) بدلاً من 'نصف القطر' (نق)، فما الخطوة الأولى الصحيحة التي يجب اتخاذها؟

• أ) ضرب القطر في 2 لاستخدامه كـ 'نق'.
• ب) استخدام القطر مباشرة كـ 'نق' في القانون.
• ج) قسمة القطر على 2 للحصول على نصف القطر (نق = ق / 2).
• د) تجاهل القطر والبحث عن نصف القطر في مكان آخر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قسمة القطر على 2 للحصول على نصف القطر (نق = ق / 2).

الشرح: صيغة حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$ تتطلب نصف القطر (r). إذا كان المعطى هو القطر، يجب قسمته على 2 أولاً لإيجاد نصف القطر الصحيح المستخدم في الحساب.

تلميح: قانون حجم الأسطوانة يستخدم نصف القطر، وليس القطر كاملاً.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

علبة طلاء أسطوانية الشكل قطرها 40 سم وارتفاعها 50 سم. ما قيمة حجمها التقريبية قبل التقريب لأقرب عُشر؟ (استخدم $\pi \approx 3.14159$)

• أ) 251327.2 سم³
• ب) 62831.85 سم³
• ج) 3141.6 سم³
• د) 50265.5 سم³

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 62831.85 سم³

الشرح: 1. نصف القطر (r) = القطر / 2 = 40 / 2 = 20 سم. 2. بتطبيق صيغة حجم الأسطوانة $V = \pi r^2 h$: $V = 3.14159 \times (20)^2 \times 50$ $V = 3.14159 \times 400 \times 50$ $V = 3.14159 \times 20000 = 62831.8$ سم³. ملاحظة: للحصول على دقة أعلى كما في دليل المعلم، V ≈ 62831.85 سم³.

تلميح: لا تنسَ تحويل القطر إلى نصف قطر قبل تطبيق صيغة الحجم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

إذا كانت قيمة حجم أسطوانة 141.37155 م³، وعند التقريب لأقرب عُشر، ما هي القيمة الناتجة الصحيحة؟

• أ) 141.3 م³
• ب) 141.37 م³
• ج) 141.4 م³
• د) 141.0 م³

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 141.4 م³

الشرح: الرقم في منزلة الأعشار هو 3. الرقم الذي يليه في منزلة الجزء من مئة هو 7. بما أن 7 أكبر من أو يساوي 5، يجب زيادة الرقم في منزلة الأعشار بمقدار 1. لذا، يصبح 141.37155 بعد التقريب 141.4 م³.

تلميح: انظر إلى الرقم الذي يلي منزلة الأعشار مباشرةً لتحديد التقريب.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط