صفحة 60 - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 19: مسافات: للسؤالين ١٩ ، ٢٠ استعمل المدرج التكراري المجاور الذي يبين المسافة بين بيت كل طالب في أحد الصفوف والمدرسة. ١٩) ما عدد الطلاب الذين تبعد بيوتهم عن المدرسة مسافة ٦ - ١٠ كيلو مترات؟

الإجابة: 6 طلاب

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | مدرج تكراري يوضح توزيع المسافات بين بيوت الطلاب والمدرسة. | عدد الطلاب الذين تقع بيوتهم في الفئة (٦–١٠) كيلومترات. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** يمكن تحديد **التكرار** (عدد القيم) لفئة معينة مباشرة من ارتفاع العمود المقابل لها في **المدرج التكراري**.
3. **الخطوة 3: قراءة التكرار من الرسم** 1. نحدد الفئة **٦–١٠ كم** على المحور الأفقي (محور المسافات). 2. نقرأ ارتفاع العمود المقابل لهذه الفئة على المحور الرأسي (محور التكرار).
4. **الخطوة 4: استخلاص القيمة** بناءً على المدرج التكراري المجاور، فإن ارتفاع العمود للفئة **٦–١٠ كم** يساوي **٦**.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** إذن، **٦ طلاب** هم من تقع بيوتهم على بعد يتراوح بين ٦ و١٠ كيلومترات من المدرسة.

سؤال 20: ٢٠) ما النسبة المئوية للطلاب الذين يزيد بعد بيوتهم عن المدرسة مسافة ١٦ كيلو متراً أو أكثر؟

الإجابة: 16% ≈ 100 × 3/19

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | مدرج تكراري يوضح توزيع المسافات بين بيوت الطلاب والمدرسة. | النسبة المئوية للطلاب الذين يبعدون عن المدرسة مسافة **١٦ كم** أو أكثر. |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $\text{النسبة المئوية} = \left( \frac{\text{عدد الطلاب في الفئة}}{\text{إجمالي عدد الطلاب}} \right) \times 100$
3. **الخطوة 3: تحديد العدد الكلي للطلاب** نحسب **إجمالي عدد الطلاب** بجمع تكرارات جميع الفئات من المدرج التكراري: | الفئة (كم) | التكرار (عدد الطلاب) | |-------------|------------------------| | ٠–٥ | ٨ | | ٦–١٠ | ٦ | | ١١–١٥ | ٢ | | ١٦–٢٠ | ٣ | | **المجموع** | **١٩** |
4. **الخطوة 4: تحديد عدد الطلاب في الفئة المطلوبة** من الجدول أعلاه (أو من الرسم)، عدد الطلاب في فئة **١٦–٢٠ كم** (أي ١٦ كم أو أكثر) هو **٣**.
5. **الخطوة 5: تطبيق القانون** $\text{النسبة المئوية} = \left( \frac{٣}{١٩} \right) \times 100 \approx ١٥.٧٩\%$
6. **الخطوة 6: التقريب والتعبير عن النتيجة** بتقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح، نحصل على **١٦٪**. > ملاحظة: الرمز ≈ يعني "يساوي تقريبًا".
7. **الخطوة 7: الإجابة النهائية** إذن، حوالي **١٦٪** من طلاب الصف يبعدون عن المدرسة مسافة ١٦ كيلومترًا أو أكثر.

سؤال 21: ٢١) اختيار من متعدد: مثلت نتائج مسح بالمدرج التكراري المجاور. أي العبارات التالية صحيحة؟ أ) عدد الطلاب الذين يفضلون التربية البدنية مثلا عدد الذين يفضلون التربية الفنية. ب) معظم الطلاب يفضلون حصة العلوم. جـ) عدد الطلاب الذين يفضلون التربية الفنية مثلا عدد الذين يفضلون الرياضيات. د) نصف عدد الطلاب الذين يفضلون التربية البدنية أكثر من عدد الذين يفضلون التربية الفنية.

الإجابة: لا توجد عبارة صحيحة من الخيارات (أ، ب، ج، د).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | مدرج تكراري يوضح تفضيلات الطلاب لمواد دراسية مختلفة. | تحديد العبارة الصحيحة من بين الخيارات المعطاة (أ، ب، جـ، د). |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** يتم التحقق من صحة كل عبارة بمقارنة **التكرارات** (ارتفاعات الأعمدة) المقروءة من المدرج التكراري.
3. **الخطوة 3: فحص كل عبارة على حدة** نقرأ التكرارات التقريبية للمواد من الرسم: | المادة | التكرار التقريبي | |---------|-------------------| | التربية البدنية | ٤ | | التربية الفنية | ٨ | | العلوم | ٦ | | الرياضيات | ١٠ | الآن نفحص العبارات: 1. **العبارة (أ):** "عدد الطلاب الذين يفضلون التربية البدنية مثلا عدد الذين يفضلون التربية الفنية." * التحقق: ٤ ≠ ٨. * **النتيجة:** ❌ **خاطئة**. 2. **العبارة (ب):** "معظم الطلاب يفضلون حصة العلوم." * التحقق: أعلى تكرار هو للرياضيات (١٠)، وليس العلوم (٦). * **النتيجة:** ❌ **خاطئة**. 3. **العبارة (جـ):** "عدد الطلاب الذين يفضلون التربية الفنية مثلا عدد الذين يفضلون الرياضيات." * التحقق: ٨ ≠ ١٠. * **النتيجة:** ❌ **خاطئة**. 4. **العبارة (د):** "نصف عدد الطلاب الذين يفضلون التربية البدنية أكثر من عدد الذين يفضلون التربية الفنية." * التحقق: نصف عدد مفضلي التربية البدنية = ٤ ÷ ٢ = ٢. * المقارنة: ٢ (هل هي أكثر من ٨؟) ❌ لا. * **النتيجة:** ❌ **خاطئة**.
4. **الخطوة 4: الاستنتاج** بعد فحص جميع الخيارات، نجد أن **أيًا** منها **غير صحيح**.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** إذن، **لا توجد عبارة صحيحة** من بين الخيارات الأربعة المعطاة.

سؤال 22: ٢٢) تحد: المدرجان التكراريان أدناه يوضحان الرواتب الشهرية لموظفي شركتين بآلاف الريالات. قارن توزيع الرواتب في كلا الشركتين.

الإجابة: رواتب شركة (أ) متركزة بدرجة كبيرة في فئة الرواتب المنخفضة، مع عدد قليل جداً في الفئات الأعلى. أما شركة (ب) فالرواتب موزعة على فئات أكثر وتظهر رواتب أعلى؛ لذا تشتتها أكبر.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | مدرجان تكراريان: الأول لرواتب موظفي شركة (أ)، والثاني لرواتب موظفي شركة (ب) (بالآلاف). | مقارنة توزيع الرواتب في الشركتين من حيث المركز والتشتت. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** مقارنة **التوزيعات** من خلال وصف: 1. **موقع البيانات** (أين تتركز؟). 2. **انتشار البيانات** (ما مدى تباعدها؟).
3. **الخطوة 3: تحليل توزيع رواتب شركة (أ)** من المدرج التكراري لشركة (أ): - الغالبية العظمى من الموظفين رواتبهم في **الفئة الدنيا** (من ٤ إلى ٦ آلاف). - عدد قليل جدًا في الفئات المتوسطة والعليا. - **الملخص:** التوزيع **متركز بشدة** في طرفه الأدنى، ومجال الرواتب ضيق نسبيًا.
4. **الخطوة 4: تحليل توزيع رواتب شركة (ب)** من المدرج التكراري لشركة (ب): - توزيع الموظفين **أكثر انتشارًا** عبر عدة فئات رواتب (من ٤ إلى ١٤ ألف). - وجود عدد ملحوظ من الموظفين في فئات الرواتب **المتوسطة والعالية**. - **الملخص:** التوزيع **أكثر توازنًا وتنوعًا**، ومجال الرواتب أوسع بكثير.
5. **الخطوة 5: المقارنة المباشرة في جدول** | خاصية المقارنة | شركة (أ) | شركة (ب) | |----------------|----------|----------| | **مركز التوزيع** | متركز بشدة في الرواتب المنخفضة. | موزع على نطاق أوسع يشمل رواتب متوسطة وعالية. | | **مدى التشتت** | منخفض (بيانات متجمعة). | مرتفع (بيانات منتشرة). | | **ملاحظة** | قد يدل على هيكل رواتب غير متساوٍ. | يدل على تنوع أكبر في المسميات والدرجات الوظيفية. |
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** إذن، **توزيع الرواتب في الشركتين مختلف تمامًا**: - في **شركة (أ)**، الرواتب **متركزة جدًا** في المستويات الدنيا. - في **شركة (ب)**، الرواتب **موزعة على نطاق أوسع** وتظهر وجود موظفين ذوي رواتب أعلى، مما يعني **تشتتًا أكبر**.

سؤال 23: ٢٣) إدراك البيانات: كيف يمكنك تحديد عدد القيم في مجموعة من البيانات الممثلة بمدرج تكراري؟

الإجابة: بجمع تكرارات جميع الأعمدة (مجموع التكرارات = عدد القيم).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | مجموعة بيانات ممثلة بمدرج تكراري. | كيفية تحديد أو حساب العدد الإجمالي للقيم (بيانات الأفراد) من هذا التمثيل. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** المبدأ الأساسي في تكوين المدرج التكراري: - يمثل كل عمود **فئة** من القيم. - يمثل **ارتفاع** ذلك العمود **التكرار**، أي **عدد القيم** التي تنتمي لتلك الفئة.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** لحساب العدد الكلي للقيم (مثل إجمالي عدد الطلاب في المسح): 1. حدد **التكرار** المكتوب على المحور الرأسي لكل عمود (فئة) في المدرج. 2. **اجمع** جميع هذه التكرارات معًا. رياضيًا: $\text{العدد الكلي للقيم} = \sum \text{تكرارات جميع الفئات}$
4. **الخطوة 4: مثال توضيحي** لنفترض مدرجًا بسيطًا: | الفئة | التكرار | |--------|---------| | ٠–٥ | ٨ | | ٦–١٠ | ٦ | | ١١–١٥ | ٢ | | ١٦–٢٠ | ٣ | العدد الكلي = ٨ + ٦ + ٢ + ٣ = **١٩** قيمة.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** إذن، يتم تحديد العدد الإجمالي للقيم في مجموعة بيانات ممثلة بمدرج تكراري عن طريق **جمع تكرارات (ارتفاعات) جميع الأعمدة** الموجودة في الرسم.

سؤال 24: ٢٤) اكتب هل من المناسب أن تعرض أي مجموعة من البيانات باستعمال مدرج تكراري؟ إذا كانت إجابتك نعم، فوضح لماذا؟ وإذا كانت إجابتك لا، فأعط مثالاً مضاداً ووضحه.

الإجابة: لا، المدرج التكراري مناسب للبيانات العددية (فترات). أما البيانات الوصفية (مثل الألوان) فتعرض بمخطط أعمدة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | أي مجموعة بيانات. | الحكم على مدى ملاءمة استخدام **المدرج التكراري** لعرضها، مع التبرير أو إعطاء مثال مضاد. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** **المدرج التكراري** هو تمثيل بياني **خاص بالبيانات العددية الكمية** (الكمية المستمرة أو المنفصلة ذات التكرارات الكبيرة)، حيث يتم تجميع البيانات في فئات متساوية الطول عادةً.
3. **الخطوة 3: الحالة المناسبة (نعم)** - **متى يكون مناسبًا؟** عندما تكون البيانات **عددية** ويمكن تجميعها في فئات ذات معنى (مثل: الأطوال، الأوزان، الدرجات، الأزمنة). - **لماذا؟** لأنه يوضح شكل التوزيع (تماثل، احتراف)، ومركزه، وانتشاره، مما يساعد في التحليل الإحصائي. > مثال مناسب: عرض درجات طلاب الصف في اختبار الرياضيات (من ٠ إلى ١٠٠)، مجمعة في فئات كل ١٠ درجات.
4. **الخطوة 4: الحالة غير المناسبة (لا) مع مثال مضاد** - **متى لا يكون مناسبًا؟** عندما تكون البيانات **وصفية (فئوية/اسمية)** لا تحتوي على ترتيب أو كم عددي طبيعي. - **لماذا؟** لأن تقسيمها إلى فئات متساوية الطول يفقد معناه، ويفضل استخدام **مخطط الأعمدة البسيطة**. > **مثال مضاد:** بيانات عن "ألوان السيارات المفضلة" للطلاب (أحمر، أزرق، أبيض، ...). > - **الشرح:** لا معنى لعرضها بمدرج تكراري لأن الفئات (الألوان) ليست قيماً رقمية ولا يمكن ترتيبها بشكل ذي معنى على محور أفقي كمي. مخطط الأعمدة هو الأنسب هنا.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** إذن، الإجابة هي **لا**، لا يناسب المدرج التكراري عرض أي مجموعة بيانات. فهو **مخصص للبيانات العددية الكمية**، بينما **البيانات الوصفية (الفئوية) تعرض بشكل أفضل بمخطط أعمدة**.

كيف يمكنك تحديد العدد الكلي للقيم في مجموعة بيانات ممثلة بمدرج تكراري؟

• أ) بجمع القيم القصوى والدنيا لكل فئة.
• ب) بضرب عدد الفئات في متوسط ارتفاع الأعمدة.
• ج) بجمع تكرارات (ارتفاعات) جميع أعمدة المدرج التكراري.
• د) بإيجاد مدى البيانات الكلي من أصغر قيمة لأكبر قيمة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: بجمع تكرارات (ارتفاعات) جميع أعمدة المدرج التكراري.

الشرح: 1. المدرج التكراري يعرض البيانات مجمعة في فئات. 2. ارتفاع كل عمود (أو التكرار) يمثل عدد القيم التي تقع ضمن تلك الفئة. 3. لتحديد العدد الكلي للقيم، يجب جمع تكرارات جميع الأعمدة معًا.

تلميح: تذكر أن كل عمود في المدرج التكراري يمثل فئة، وارتفاعه يمثل عدد القيم في تلك الفئة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

هل من المناسب دائمًا عرض أي مجموعة من البيانات باستخدام المدرج التكراري؟

• أ) نعم، المدرج التكراري طريقة شاملة ومناسبة لجميع أنواع البيانات.
• ب) لا، المدرج التكراري مناسب فقط للبيانات العددية (الكمية)، أما البيانات الوصفية (الفئوية) فتُعرض بمخطط الأعمدة.
• ج) نعم، ولكنه يصبح غير فعال عند التعامل مع مجموعات البيانات الصغيرة.
• د) لا، لأنه يُظهر فقط التوزيع ولا يوضح القيم الفردية للبيانات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، المدرج التكراري مناسب فقط للبيانات العددية (الكمية)، أما البيانات الوصفية (الفئوية) فتُعرض بمخطط الأعمدة.

الشرح: 1. المدرج التكراري مصمم لتمثيل البيانات العددية الكمية، حيث يتم تجميعها في فئات رقمية متجاورة. 2. البيانات الوصفية (مثل الألوان أو أنواع الفاكهة) لا تحتوي على ترتيب كمي طبيعي ولا يمكن تقسيمها إلى فئات عددية منطقية. 3. لعرض البيانات الوصفية، يُفضل استخدام مخطط الأعمدة البسيطة.

تلميح: فكر في طبيعة البيانات التي يمكن تمثيلها بفاصل زمني أو فئات رقمية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط