مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 مساحة سطح الأسطوانة

المفاهيم الأساسية

المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة (جـ): هي ناتج ضرب محيط القاعدة (مح) في الارتفاع (ع). جـ = مح \times ع أو جـ = 2 \pi نق ع

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة (ك): هي مجموع المساحة الجانبية ومساحة القاعدتين الدائريتين. ك = جـ + 2 \pi نق^2 أو ك = 2 \pi نق ع + 2 \pi نق^2

خريطة المفاهيم

```markmap

مساحة سطح المنشور والأسطوانة

فكرة الدرس

إيجاد المساحة الجانبية والكلية لسطح منشور وأسطوانة

المفردات

الوجه الجانبي

المساحة الجانبية للسطح

المساحة الكلية للسطح

المساحة الجانبية لسطح المنشور

القانون: ج = مح ع

#### حيث:

##### ج: المساحة الجانبية

##### مح: محيط القاعدة

##### ع: ارتفاع المنشور

المساحة الكلية لسطح المنشور

القانون: ك = ج + ٢ م

#### أو: ك = مح ع + ۲ م

##### حيث:

###### ك: المساحة الكلية

###### م: مساحة القاعدة الواحدة

المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة

القانون: جـ = مح ع

#### أو: جـ = ٢ ط نق ع

##### حيث:

###### مح = ٢ ط نق (محيط القاعدة الدائرية)

###### نق: نصف قطر القاعدة

###### ع: ارتفاع الأسطوانة

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة

القانون: ك = جـ + ٢ ط نق²

#### أو: ك = ٢ ط نق ع + ٢ ط نق²

##### حيث:

###### ط نق²: مساحة القاعدة الدائرية الواحدة

خطوات الحل

1. إيجاد محيط القاعدة (مح)

2. إيجاد مساحة القاعدة (م)

3. حساب المساحة الجانبية: ج = مح × ع

4. حساب المساحة الكلية: ك = ج + (٢ × م)

تطبيق على منشور رباعي (قاعدة مستطيلة)

تطبيق على منشور ثلاثي (قاعدة مثلثة)

تطبيق على أسطوانة (قاعدة دائرية)

```

نقاط مهمة

• يمكن إيجاد المساحة الكلية للأسطوانة بإيجاد مساحة قاعدتيها الدائريتين وإضافة مساحة السطح الجانبي المنحني.
• عند قص الأسطوانة (شبكتها)، يتكون المخطط من دائرتين ومستطيل. عرض المستطيل هو ارتفاع الأسطوانة (ع)، وطوله هو محيط القاعدة (٢ ط نق).
• صيغ مساحة الأسطوانة تشبه صيغ المنشور، مع استبدال محيط ومساحة القاعدة بمحيط ومساحة الدائرة.
• القاعدة الدائرية: محيطها مح = 2 \pi نق، ومساحتها م = \pi نق^2.

---

حل مثال

المثال 3: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الأسطوانة المجاورة.

(الأسطوانة: نصف قطر القاعدة نق = ٢ م، الارتفاع ع = ٣ م)

الحل:

المساحة الجانبية (جـ):

جـ = 2 \pi نق ع

جـ = 2 \times \pi \times 2 \times 3

جـ \approx 37.7

المساحة الجانبية ≈ 37.7 م²

المساحة الكلية (ك):

ك = جـ + 2 \pi نق^2

ك = 37.7 + 2 \times \pi \times (2)^2

ك \approx 62.8

المساحة الكلية ≈ 62.8 م²

النتيجة: المساحة الجانبية للأسطوانة 37.7 م² تقريبًا، والمساحة الكلية 62.8 م² تقريبًا.

يمكنك إيجاد المساحة الكلية لسطح أسطوانة، بإيجاد مساحة قاعدتيها وإضافة مساحة السطح الجانبي المنحني. عند قص أسطوانة يكون مخططها من دائرتين ومستطيل.

كما في المنشور، استعمل قياسات الأسطوانة لإيجاد المساحة الجانبية والكلية لسطحها.

المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة

التعبير اللفظي: المساحة الجانبية (جـ) لسطح أسطوانة، ناتج ضرب محيط القاعدة (ع) في الارتفاع (ع). الرموز: جـ = محيط أ و جـ = ٢ ط نق ع

المساحة الكلية لسطح الأسطوانة

التعبير اللفظي: المساحة الكلية (ك) لسطح أسطوانة ارتفاعها ع، ونصف قطر قاعدتها نق هي مجموع المساحة الجانبية ومساحة القاعدتين. الرموز: ك = جـ + ٢ ط نق ٢ أو ك = ٢ ط نق ع + ٢ ط نق ٢

مساحة سطح الأسطوانة

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الأسطوانة المجاورة.

المساحة الجانبية جـ = ٢ ط نق ع جـ = ٢ ط × ٢ × ٧ جـ ≈ ٣٧,٧

المساحة الكلية للأأسطوانة ٧ سم تقريباً، والمساحة الكلية ٨٢, ٦م تقريباً.

مساحة سطح المنشور والأسطوانة

إرشادات للدراسة أسطوانات صيغ المساحة الجانبية والكلية للأسطوانة تشبه الصيغ المناظرة لها للمنشور. ففي المنشور: جـ = محيط القاعدة × ع وبما أن قاعدة الأسطوانة دائرية، فإن محيطها هو محيط الدائرة (مخ = ٢ ط نق). وفي المنشور: ك = محيط القاعدة × ع + ٢ × مساحة القاعدة. وبما أن قاعدة الأسطوانة دائرية، فإن مساحتها هي مساحة الدائرة ط نق ٢.

وزارة التعليم

Min of Education 2028-1447

يمكنك إيجاد المساحة الكلية لسطح أسطوانة، بإيجاد مساحة قاعدتيها وإضافة مساحة السطح الجانبي المنحني. عند قص أسطوانة يكون مخططها من دائرتين ومستطيل. كما في المنشور، استعمل قياسات الأسطوانة لإيجاد المساحة الجانبية والكلية لسطحها. --- SECTION: مفهوم أساسي --- المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة التعبير اللفظي: المساحة الجانبية (جـ) لسطح أسطوانة، ناتج ضرب محيط القاعدة (ع) في الارتفاع (ع). الرموز: جـ = محيط أ و جـ = ٢ ط نق ع --- SECTION: مفهوم أساسي --- المساحة الكلية لسطح الأسطوانة التعبير اللفظي: المساحة الكلية (ك) لسطح أسطوانة ارتفاعها ع، ونصف قطر قاعدتها نق هي مجموع المساحة الجانبية ومساحة القاعدتين. الرموز: ك = جـ + ٢ ط نق ٢ أو ك = ٢ ط نق ع + ٢ ط نق ٢ --- SECTION: مثال --- مساحة سطح الأسطوانة --- SECTION: 3 --- أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح الأسطوانة المجاورة. المساحة الجانبية جـ = ٢ ط نق ع جـ = ٢ ط × ٢ × ٧ جـ ≈ ٣٧,٧ المساحة الكلية للأأسطوانة ٧ سم تقريباً، والمساحة الكلية ٨٢, ٦م تقريباً. --- SECTION: الدرس 8 - 6 --- مساحة سطح المنشور والأسطوانة إرشادات للدراسة أسطوانات صيغ المساحة الجانبية والكلية للأسطوانة تشبه الصيغ المناظرة لها للمنشور. ففي المنشور: جـ = محيط القاعدة × ع وبما أن قاعدة الأسطوانة دائرية، فإن محيطها هو محيط الدائرة (مخ = ٢ ط نق). وفي المنشور: ك = محيط القاعدة × ع + ٢ × مساحة القاعدة. وبما أن قاعدة الأسطوانة دائرية، فإن مساحتها هي مساحة الدائرة ط نق ٢. وزارة التعليم Min of Education 2028-1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: مخطط الأسطوانة Description: Shows how a cylinder's surface can be unfolded into a rectangle (lateral surface) and two circles (bases). The rectangle's width is the circumference of the base (2πr) and its height is the cylinder's height (h). Table Structure: Headers: النموذج | المخطط | المساحة Rows: Row 1: القاعدتان الدائريتان | دائرتان متطابقتان بنصف قطر نق | ٢ ط نق ٢ Row 2: الغطاء الجانبي | مستطيل عرضه ٢ ط نق وطوله ع | ٢ ط نق ع Calculation needed: Formulas for the areas of the bases and the lateral surface of a cylinder. Context: Illustrates the components of a cylinder's surface area and their corresponding formulas. **DIAGRAM**: المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة Description: A cylinder with radius 'نق' and height 'ع', illustrating the formula for lateral surface area. X-axis: نق (نصف القطر) Y-axis: ع (الارتفاع) Key Values: محيط الدائرة = ٢ ط نق, مساحة القاعدة = ط نق ٢ Context: Defines the lateral surface area of a cylinder using its radius and height. **DIAGRAM**: المساحة الكلية لسطح الأسطوانة Description: A cylinder with radius 'نق' and height 'ع', illustrating the formula for total surface area. X-axis: نق (نصف القطر) Y-axis: ع (الارتفاع) Key Values: مساحة القاعدة = ط نق ٢ Context: Defines the total surface area of a cylinder as the sum of the lateral surface area and the areas of the two bases. **DIAGRAM**: مثال 3: مساحة سطح الأسطوانة Description: A cylinder with a radius of 2 units and a height of 7 units, used for calculating its surface area. X-axis: نق (نصف القطر) Y-axis: ع (الارتفاع) Context: Visual representation of the cylinder in Example 3, showing its dimensions (radius and height) for calculation.