استكشاف ٦-٨ - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: صفِ الأجزاء المستوية التي تكوّن مخطط الوعاء الأسطواني.

الإجابة: س1: يتكون من مستطيل (السطح الجانبي) ودائرتين (القاعدتين).

خطوات الحل:

1. **الهدف:** وصف الأجزاء المستوية التي تكون مخطط الوعاء الأسطواني.
2. **الحل:**
3. الوعاء الأسطواني يتكون من:
4. 1. **مستطيل:** يمثل السطح الجانبي للأسطوانة.
5. 2. **دائرتين:** تمثلان القاعدتين العلويّة والسفليّة للأسطوانة.
6. > **ملاحظة:** عند فرد الأسطوانة، يتحول السطح الجانبي إلى مستطيل، والقاعدتين إلى دائرتين.
7. **الإجابة النهائية:** يتكون الوعاء الأسطواني من مستطيل يمثل السطح الجانبي ودائرتين تمثلان القاعدتين.

سؤال 2: أوجد مساحة كل جزء منها، ومجموع تلك المساحات.

الإجابة: س2: الدائرتان: 2πr² ، المستطيل: 2πrh المجموع: 2πr² + 2πrh

خطوات الحل:

1. | الجزء | المساحة |
2. |---|---|
3. | الدائرة (القاعدة) | $πr^2$ |
4. | الدائرتان (القاعدتان) | $2πr^2$ |
5. | المستطيل (السطح الجانبي) | $2πrh$ |
6. **القانون المستخدم:**
7. * مساحة الدائرة: $A = πr^2$ حيث $r$ هو نصف القطر.
8. * مساحة المستطيل: $A = lw$ حيث $l$ هو الطول و $w$ هو العرض. في هذه الحالة، الطول هو محيط الدائرة ($2πr$) والعرض هو الارتفاع ($h$).
9. **خطوات الحل:**
10. 1. مساحة الدائرتين (القاعدتين): $2πr^2$
11. 2. مساحة المستطيل (السطح الجانبي): $2πrh$
12. 3. مجموع المساحات: $2πr^2 + 2πrh$
13. **الإجابة النهائية:** مساحة الدائرتين هي $2πr^2$، مساحة المستطيل هي $2πrh$، والمجموع الكلي للمساحات هو $2πr^2 + 2πrh$.

سؤال 3: أوجد قطر الجزء الأعلى للوعاء الأسطواني، واستعمله في إيجاد محيط ذلك الوجه.

الإجابة: س3: القطر d = 2r المحيط C = 2πr = πd

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز | العلاقة |
2. |---|---|---|
3. | القطر | $d$ | |
4. | نصف القطر | $r$ | |
5. | المحيط | $C$ | |
6. **القوانين المستخدمة:**
7. 1. القطر: $d = 2r$
8. 2. المحيط: $C = 2πr$ أو $C = πd$
9. **خطوات الحل:**
10. 1. إيجاد القطر: إذا علم نصف القطر $r$، فإن القطر $d = 2r$.
11. 2. إيجاد المحيط باستخدام القطر: $C = πd$
12. **الإجابة النهائية:** قطر الجزء الأعلى للوعاء الأسطواني هو ضعف نصف القطر ($d = 2r$)، ومحيط ذلك الوجه هو حاصل ضرب القطر في π ($C = πd$).

سؤال 4: اضرب المحيط في ارتفاع الوعاء، فماذا تشكل هذه النتيجة؟

الإجابة: س4: تمثل مساحة السطح الجانبي: L = 2πrh

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز |
2. |---|---|
3. | المحيط | $C = 2πr$ |
4. | الارتفاع | $h$ |
5. | مساحة السطح الجانبي | $L$ |
6. **القانون المستخدم:**
7. * مساحة السطح الجانبي للأسطوانة: $L = C \times h = 2πrh$
8. **خطوات الحل:**
9. 1. حساب المحيط: $C = 2πr$
10. 2. ضرب المحيط في الارتفاع: $L = C \times h = (2πr) \times h = 2πrh$
11. **الإجابة النهائية:** ضرب محيط القاعدة في ارتفاع الوعاء يعطي مساحة السطح الجانبي للأسطوانة، والتي تساوي $2πrh$.

سؤال 5: اجمع النتيجة من سؤال ٤ إلى مجموع مساحة القاعدتين الدائريتين.

الإجابة: س5: المساحة الكلية: S = 2πrh + 2πr²

خطوات الحل:

1. | الكمية | الرمز |
2. |---|---|
3. | مساحة السطح الجانبي | $L = 2πrh$ |
4. | مجموع مساحتي القاعدتين | $2πr^2$ |
5. | المساحة الكلية | $S$ |
6. **القانون المستخدم:**
7. * المساحة الكلية للأسطوانة: $S = L + 2πr^2 = 2πrh + 2πr^2$
8. **خطوات الحل:**
9. 1. مساحة السطح الجانبي (من السؤال 4): $L = 2πrh$
10. 2. مجموع مساحتي القاعدتين (من السؤال 2): $2πr^2$
11. 3. جمع المساحتين: $S = 2πrh + 2πr^2$
12. **الإجابة النهائية:** المساحة الكلية للأسطوانة تساوي مجموع مساحة السطح الجانبي ومساحتي القاعدتين، أي $S = 2πrh + 2πr^2$.

سؤال 6: قارن بين إجابتيك عن التمرينين ٢ ، ٥ .

الإجابة: س6: الإجابتان متساويتان.

خطوات الحل:

1. **الهدف:** مقارنة الإجابات في التمرينين 2 و 5.
2. **التمرين 2:**
3. * تم حساب مساحة كل جزء من الأسطوانة (القاعدتين والسطح الجانبي) ثم جمعت.
4. * النتيجة كانت: $2πr^2 + 2πrh$
5. **التمرين 5:**
6. * تم جمع مساحة السطح الجانبي ومجموع مساحتي القاعدتين.
7. * النتيجة كانت: $2πrh + 2πr^2$
8. **المقارنة:**
9. * النتيجتان $2πr^2 + 2πrh$ و $2πrh + 2πr^2$ متساويتان، حيث أن عملية الجمع تبديلية.
10. **الإجابة النهائية:** الإجابتان متطابقتان.

سؤال 7: خمّن: اكتب طريقة لإيجاد المساحة الكلية لسطح أسطوانة عُلم قياس كلّ من ارتفاعها وقطر إحدى قاعدتيها.

الإجابة: س7: 1) نجد d/2 = r (2) مساحة القاعدتين 2πr² (3) المساحة الجانبية πdh (4) الكلية S = πdh + πd²/2

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب |
2. |---|---|
3. | الارتفاع ($h$)، القطر ($d$) | المساحة الكلية ($S$) |
4. **القوانين المستخدمة:**
5. 1. نصف القطر: $r = d/2$
6. 2. مساحة الدائرة: $A = πr^2$
7. 3. مساحة السطح الجانبي: $L = 2πrh = πdh$
8. 4. المساحة الكلية: $S = 2πr^2 + 2πrh = 2π(d/2)^2 + πdh = πd^2/2 + πdh$
9. **خطوات الحل:**
10. 1. إيجاد نصف القطر: $r = d/2$
11. 2. حساب مساحة القاعدتين: $2πr^2 = 2π(d/2)^2 = πd^2/2$
12. 3. حساب مساحة السطح الجانبي: $πdh$
13. 4. حساب المساحة الكلية: $S = πdh + πd^2/2$
14. **الإجابة النهائية:** لإيجاد المساحة الكلية لسطح الأسطوانة، نتبع الخطوات التالية:
15. 1. نقسم القطر على 2 للحصول على نصف القطر.
16. 2. نحسب مساحة القاعدتين باستخدام $πd^2/2$.
17. 3. نحسب المساحة الجانبية باستخدام $πdh$.
18. 4. نجمع المساحتين للحصول على المساحة الكلية: $S = πdh + πd^2/2$.

ما هي الأجزاء المستوية التي تكوّن مخطط الأسطوانة عند فرده؟

• أ) مستطيلان ودائرة.
• ب) مستطيل يمثل السطح الجانبي، ودائرتان تمثلان القاعدتين.
• ج) ثلاث دوائر متطابقة.
• د) مربع وثلاث مثلثات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مستطيل يمثل السطح الجانبي، ودائرتان تمثلان القاعدتين.

الشرح: عند فرد الوعاء الأسطواني، يتحول السطح الجانبي المنحني إلى شكل مستطيل، وتبقى القاعدتان العلويّة والسفليّة على شكل دائرتين.

تلميح: تخيل كيف سيبدو الوعاء الأسطواني لو قمت بفتحه بالكامل وبسطه.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما هي الصيغة المستخدمة لإيجاد مساحة السطح الجانبي (المساحة المحيطة) للأسطوانة، إذا علم نصف قطر قاعدتها ($r$) وارتفاعها ($h$)؟

• أ) $L = πr^2h$
• ب) $L = 2πr^2$
• ج) $L = 2πrh$
• د) $L = πdh$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $L = 2πrh$

الشرح: 1. السطح الجانبي للأسطوانة عند فرده يتحول إلى مستطيل. 2. طول هذا المستطيل هو محيط القاعدة الدائرية، أي $C = 2πr$. 3. عرض هذا المستطيل هو ارتفاع الأسطوانة، أي $h$. 4. مساحة المستطيل هي الطول × العرض، لذا $L = (2πr) × h = 2πrh$.

تلميح: تذكر أن السطح الجانبي بعد فرده يصبح مستطيلاً، وطوله هو محيط القاعدة الدائرية وعرضه هو ارتفاع الأسطوانة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي الصيغة العامة الصحيحة لإيجاد المساحة الكلية لسطح الأسطوانة، بناءً على مساحة قاعدتيها ومساحة سطحها الجانبي؟

• أ) $S = 2πrh$
• ب) $S = πr^2 + 2πrh$
• ج) $S = 2πr^2 + πrh$
• د) $S = 2πr^2 + 2πrh$

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: $S = 2πr^2 + 2πrh$

الشرح: 1. مساحة القاعدة الواحدة (دائرة) هي $πr^2$. 2. مساحة القاعدتين معاً هي $2πr^2$. 3. مساحة السطح الجانبي هي $2πrh$. 4. المساحة الكلية $S$ هي مجموع مساحة القاعدتين ومساحة السطح الجانبي، لذا $S = 2πr^2 + 2πrh$.

تلميح: المساحة الكلية هي مجموع مساحة القاعدتين ومساحة السطح الجانبي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا علم ارتفاع الأسطوانة ($h$) وقطر قاعدتها ($d$)، فأي من الصيغ التالية تمثل المساحة الكلية لسطح الأسطوانة؟

• أ) $S = 2πdh + πd^2$
• ب) $S = πdh + πd^2/2$
• ج) $S = πd^2 + 2πrh$
• د) $S = 2πr + πd^2h$

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: $S = πdh + πd^2/2$

الشرح: 1. مساحة السطح الجانبي $L = 2πrh$. بما أن $r = d/2$، فإن $L = 2π(d/2)h = πdh$. 2. مساحة القاعدتين $2πr^2$. بما أن $r = d/2$، فإن $2π(d/2)^2 = 2π(d^2/4) = πd^2/2$. 3. المساحة الكلية $S = L + 2πr^2 = πdh + πd^2/2$.

تلميح: تذكر أن نصف القطر ($r$) يساوي نصف القطر ($d/2$)، وأن محيط القاعدة يمكن التعبير عنه بدلالة القطر ($πd$).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب