إرشادات للأسئلة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 6: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: منشور مستطيلي أبعاده 1.4 سم، 7.5 سم، 8.3 سم.

الإجابة: المساحة الجانبية = 44.2 سم^2، المساحة الكلية = 168.7 سم^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (سم) | |---|---| | الطول (l) | 7.5 | | العرض (w) | 1.4 | | الارتفاع (h) | 8.3 |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للمنشور المستطيلي: $LA = 2h(l+w)$ * المساحة الكلية للمنشور المستطيلي: $TA = LA + 2lw$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 2 \times 8.3 \times (7.5 + 1.4) = 2 \times 8.3 \times 8.9 = 147.74 \approx 147.7$ سم$^2$
4. 2. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 147.74 + 2 \times 7.5 \times 1.4 = 147.74 + 21 = 168.74 \approx 168.7$ سم$^2$
5. > **ملاحظة:** تم التقريب إلى أقرب عشر كما هو مطلوب في السؤال.
6. إذًا، المساحة الجانبية تقريبًا 147.7 سم$^2$ والمساحة الكلية تقريبًا 168.7 سم$^2$.

سؤال 7: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: منشور مستطيلي أبعاده 2 بوصة، 4 بوصات، 3 1/2 بوصة.

الإجابة: المساحة الجانبية = 30.0 بوصة^2، المساحة الكلية = 58.0 بوصة^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (بوصة) | |---|---| | الطول (l) | 4 | | العرض (w) | 2 | | الارتفاع (h) | 3.5 |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للمنشور المستطيلي: $LA = 2h(l+w)$ * المساحة الكلية للمنشور المستطيلي: $TA = LA + 2lw$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 2 \times 3.5 \times (4 + 2) = 2 \times 3.5 \times 6 = 42$ بوصة$^2$
4. 2. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 42 + 2 \times 4 \times 2 = 42 + 16 = 58$ بوصة$^2$
5. > **ملاحظة:** تم التقريب إلى أقرب عشر كما هو مطلوب في السؤال. في هذه الحالة، لا يوجد تقريب لأن الناتج عدد صحيح.
6. إذًا، المساحة الجانبية هي 42.0 بوصة$^2$ والمساحة الكلية هي 58.0 بوصة$^2$.

سؤال 8: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: منشور ثلاثي قاعدته مثلث قائم الزاوية أضلاعه 5 أقدام، 12 قدمًا، 13 قدمًا، وارتفاع المنشور 10 أقدام.

الإجابة: المساحة الجانبية = 300.0 قدم^2، المساحة الكلية = 360.0 قدم^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (قدم) | |---|---| | الضلع الأول للمثلث (a) | 5 | | الضلع الثاني للمثلث (b) | 12 | | الوتر (c) | 13 | | ارتفاع المنشور (h) | 10 |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي: $LA = h(a+b+c)$ * المساحة الكلية للمنشور الثلاثي: $TA = LA + 2B$ حيث $B$ هي مساحة القاعدة المثلثة.
3. **مساحة المثلث القائم الزاوية:** $B = \frac{1}{2}ab$
4. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 10 \times (5 + 12 + 13) = 10 \times 30 = 300$ قدم$^2$
5. 2. **حساب مساحة القاعدة المثلثة:** $B = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$ قدم$^2$
6. 3. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 300 + 2 \times 30 = 300 + 60 = 360$ قدم$^2$
7. > **ملاحظة:** تم التقريب إلى أقرب عشر كما هو مطلوب في السؤال. في هذه الحالة، لا يوجد تقريب لأن الناتج عدد صحيح.
8. إذًا، المساحة الجانبية هي 300.0 قدم$^2$ والمساحة الكلية هي 360.0 قدم$^2$.

سؤال 9: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: منشور ثلاثي قاعدته مثلث أضلاعه 6 م، 8.2 م، 11.2 م وارتفاعه 8.5 م، وارتفاع المنشور 9.5 م.

الإجابة: المساحة الجانبية ≈ 265.1 م^2، المساحة الكلية ≈ 332.3 م^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (متر) | |---|---| | الضلع الأول للمثلث (a) | 6 | | الضلع الثاني للمثلث (b) | 8.2 | | الضلع الثالث للمثلث (c) | 11.2 | | ارتفاع المثلث (h_triangle) | 8.5 | | ارتفاع المنشور (h) | 9.5 |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي: $LA = h(a+b+c)$ * المساحة الكلية للمنشور الثلاثي: $TA = LA + 2B$ حيث $B$ هي مساحة القاعدة المثلثة.
3. **مساحة المثلث بمعلومية الأضلاع (قانون هيرون):** $s = \frac{a+b+c}{2}$ (نصف المحيط) $B = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
4. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 9.5 \times (6 + 8.2 + 11.2) = 9.5 \times 25.4 = 241.3$ م$^2$
5. 2. **حساب نصف محيط المثلث (s):** $s = \frac{6 + 8.2 + 11.2}{2} = \frac{25.4}{2} = 12.7$
6. 3. **حساب مساحة القاعدة المثلثة (B):** $B = \sqrt{12.7(12.7-6)(12.7-8.2)(12.7-11.2)} = \sqrt{12.7 \times 6.7 \times 4.5 \times 1.5} = \sqrt{574.7025} \approx 23.97$ م$^2$
7. 4. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 241.3 + 2 \times 23.97 = 241.3 + 47.94 = 289.24 \approx 289.2$ م$^2$
8. > **تنبيه:** هناك اختلاف بين الإجابة المعطاة والإجابة المحسوبة هنا. الإجابة المعطاة ربما تكون خاطئة أو تستخدم قيمة مختلفة لارتفاع المثلث. تم استخدام قانون هيرون لحساب مساحة المثلث بناءً على الأضلاع المعطاة.
9. إذًا، المساحة الجانبية تقريبًا 241.3 م$^2$ والمساحة الكلية تقريبًا 289.2 م$^2$.

سؤال 10: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: أسطوانة قطرها 17 سم وارتفاعها 15 سم.

الإجابة: المساحة الجانبية ≈ 801.1 سم^2، المساحة الكلية ≈ 1154.5 سم^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (سم) | |---|---| | القطر (d) | 17 | | نصف القطر (r) | 8.5 | | الارتفاع (h) | 15 |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للأسطوانة: $LA = 2\pi rh$ * المساحة الكلية للأسطوانة: $TA = 2\pi r(r+h)$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 2 \times \pi \times 8.5 \times 15 \approx 2 \times 3.14159 \times 8.5 \times 15 \approx 801.1$ سم$^2$
4. 2. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 2 \times \pi \times 8.5 \times (8.5 + 15) \approx 2 \times 3.14159 \times 8.5 \times 23.5 \approx 1254.5$ سم$^2$
5. > **ملاحظة:** تم التقريب إلى أقرب عشر كما هو مطلوب في السؤال.
6. إذًا، المساحة الجانبية تقريبًا 801.1 سم$^2$ والمساحة الكلية تقريبًا 1254.5 سم$^2$.

سؤال 11: أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر: أسطوانة قطرها 4.6 ملم وارتفاعها 7 ملم.

الإجابة: المساحة الجانبية ≈ 202.3 ملم^2، المساحة الكلية ≈ 335.3 ملم^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (ملم) | |---|---| | القطر (d) | 4.6 | | نصف القطر (r) | 2.3 | | الارتفاع (h) | 7 |
2. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للأسطوانة: $LA = 2\pi rh$ * المساحة الكلية للأسطوانة: $TA = 2\pi r(r+h)$
3. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 2 \times \pi \times 2.3 \times 7 \approx 2 \times 3.14159 \times 2.3 \times 7 \approx 101.2$ ملم$^2$
4. 2. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 2 \times \pi \times 2.3 \times (2.3 + 7) \approx 2 \times 3.14159 \times 2.3 \times 9.3 \approx 134.4$ ملم$^2$
5. > **ملاحظة:** تم التقريب إلى أقرب عشر كما هو مطلوب في السؤال. هناك اختلاف بين الإجابة المعطاة والإجابة المحسوبة هنا. الإجابة المعطاة ربما تكون خاطئة.
6. إذًا، المساحة الجانبية تقريبًا 101.2 ملم$^2$ والمساحة الكلية تقريبًا 134.4 ملم$^2$.

سؤال 12: خيام: يُنتج مصنع خيامًا بلاستيكية كما في الشكل المجاور. فما مساحة قطعة البلاستيك التي تلزم لصنع خيمة؟

الإجابة: س12: ≈ 71138.2 سم^2

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال غير واضح المعالم (لا يوجد شكل مجاور)، سأفترض أن الخيمة على شكل منشور ثلاثي.
2. **الافتراضات:** * الخيمة على شكل منشور ثلاثي. * الأبعاد غير معطاة، لذا سأفترض أبعادًا منطقية.
3. | البعد | القيمة (سم) | |---|---| | طول قاعدة المثلث (b) | 200 | | ارتفاع المثلث (h_triangle) | 150 | | طول الخيمة (ارتفاع المنشور) (h) | 200 | | طول ضلع المثلث الجانبي (l) | 180 |
4. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي: $LA = h(a+b+c)$ حيث a, b, c أضلاع المثلث. * المساحة الكلية للمنشور الثلاثي: $TA = LA + 2B$ حيث $B$ هي مساحة القاعدة المثلثة.
5. **مساحة المثلث:** $B = \frac{1}{2}bh_{triangle}$
6. 1. **حساب المساحة الجانبية:** $LA = 200 \times (180 + 200 + 180) = 200 \times 560 = 112000$ سم$^2$
7. 2. **حساب مساحة القاعدة المثلثة:** $B = \frac{1}{2} \times 200 \times 150 = 15000$ سم$^2$
8. 3. **حساب المساحة الكلية:** $TA = 112000 + 2 \times 15000 = 112000 + 30000 = 142000$ سم$^2$
9. > **تنبيه:** هذه الإجابة تعتمد على الافتراضات التي وضعتها للأبعاد. إذا كانت الأبعاد مختلفة، ستختلف الإجابة.
10. بناءً على الأبعاد المفترضة، مساحة قطعة البلاستيك اللازمة لصنع الخيمة هي 142000 سم$^2$.

سؤال 13: فن: اشترت هناء وعاء النبات المجاور، فإذا كان طول قطره الداخلي 8 بوصات، وارتفاعه 10 بوصات، وسمك الإناء 1/2 بوصة، وأرادت هناء طلاء قاعدة الوعاء وسطحه من الداخل والخارج، فكم بوصة مربعة من الإناء يجب أن تُطلى؟

الإجابة: س13: ≈ 648.0 بوصة^2

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (بوصة) | |---|---| | القطر الداخلي (d_i) | 8 | | نصف القطر الداخلي (r_i) | 4 | | الارتفاع (h) | 10 | | سمك الإناء (t) | 0.5 | | نصف القطر الخارجي (r_o) | 4.5 |
2. **المطلوب:** حساب المساحة المراد طلاؤها (السطح الداخلي + السطح الخارجي + القاعدة)
3. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الجانبية للأسطوانة: $LA = 2\pi rh$ * مساحة الدائرة: $A = \pi r^2$
4. 1. **حساب المساحة الجانبية الداخلية:** $LA_i = 2 \times \pi \times 4 \times 10 \approx 2 \times 3.14159 \times 4 \times 10 \approx 251.3$ بوصة$^2$
5. 2. **حساب المساحة الجانبية الخارجية:** $LA_o = 2 \times \pi \times 4.5 \times 10 \approx 2 \times 3.14159 \times 4.5 \times 10 \approx 282.7$ بوصة$^2$
6. 3. **حساب مساحة القاعدة (دائرة):** $A = \pi \times (4.5)^2 \approx 3.14159 \times 20.25 \approx 63.6$ بوصة$^2$
7. 4. **حساب المساحة الكلية المراد طلاؤها:** $Total = LA_i + LA_o + A = 251.3 + 282.7 + 63.6 = 597.6$ بوصة$^2$
8. > **تنبيه:** هناك اختلاف بين الإجابة المعطاة والإجابة المحسوبة هنا. الإجابة المعطاة ربما تكون خاطئة أو تتضمن طلاء القاعدة الداخلية أيضًا. في هذه الحالة تم حساب طلاء القاعدة الخارجية فقط.
9. إذًا، المساحة المراد طلاؤها تقريبًا 597.6 بوصة$^2$.

سؤال 14: منشور مستطيلي (متوازي مستطيلات) طوله 12 سم، وعرضه 4 سم، ومساحته الكلية تساوي 576 سم^2، فما ارتفاعه؟

الإجابة: س14: الارتفاع = 15 سم

خطوات الحل:

1. | البعد | القيمة (سم) | |---|---| | الطول (l) | 12 | | العرض (w) | 4 | | المساحة الكلية (TA) | 576 | | الارتفاع (h) | ? |
2. **القانون المستخدم:** * المساحة الكلية للمنشور المستطيلي: $TA = 2(lw + lh + wh)$
3. 1. **التعويض بالقيم المعطاة في القانون:** $576 = 2(12 \times 4 + 12 \times h + 4 \times h)$ $576 = 2(48 + 12h + 4h)$ $576 = 2(48 + 16h)$
4. 2. **تبسيط المعادلة:** $288 = 48 + 16h$ $240 = 16h$
5. 3. **حل المعادلة لإيجاد الارتفاع (h):** $h = \frac{240}{16} = 15$ سم
6. إذًا، ارتفاع المنشور المستطيلي هو 15 سم.

سؤال 15: تغليف: صُمم وعاءان من الكرتون لأحد أنواع الحبوب كما في الشكل المجاور، فإذا كان الحجمان متساويين تقريبًا، فأي الوعائين يحتاج إلى كمية أقل من الكرتون؟ فسّر إجابتك.

الإجابة: س15: الأسطوانة؛ لأن مساحتها الكلية أصغر (تقريبًا 282.7 بوصة^2) من المنشور (320 بوصة^2).

خطوات الحل:

1. بما أن السؤال غير واضح المعالم (لا يوجد شكل مجاور)، سأفترض أبعادًا للوعاءين بحيث يكون حجمهما متساويًا تقريبًا.
2. **الافتراضات:** * الوعاء الأول: منشور رباعي (مكعب) طول ضلعه 4 بوصة. * الوعاء الثاني: أسطوانة نصف قطرها 2.25 بوصة وارتفاعها 8 بوصة.
3. | الوعاء | البعد | القيمة (بوصة) | |---|---|---| | منشور رباعي | طول الضلع (s) | 4 | | أسطوانة | نصف القطر (r) | 2.25 | | أسطوانة | الارتفاع (h) | 8 |
4. **القوانين المستخدمة:** * المساحة الكلية للمكعب: $TA = 6s^2$ * المساحة الكلية للأسطوانة: $TA = 2\pi r(r+h)$
5. 1. **حساب المساحة الكلية للمكعب:** $TA = 6 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96$ بوصة$^2$
6. 2. **حساب المساحة الكلية للأسطوانة:** $TA = 2 \times \pi \times 2.25 \times (2.25 + 8) \approx 2 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10.25 \approx 144.9$ بوصة$^2$
7. 3. **حساب حجم المكعب:** $V = s^3 = 4^3 = 64$ بوصة$^3$
8. 4. **حساب حجم الأسطوانة:** $V = \pi r^2 h = \pi (2.25)^2 (8) \approx 3.14159 \times 5.0625 \times 8 \approx 127.2$ بوصة$^3$
9. > **تنبيه:** بناءً على الأبعاد المفترضة، حجم الأسطوانة أكبر بكثير من حجم المكعب. لذا يجب تغيير الأبعاد لجعل الحجمين متقاربين.
10. **تعديل الأبعاد:** * الوعاء الأول: منشور رباعي (مكعب) طول ضلعه 5 بوصة. * الوعاء الثاني: أسطوانة نصف قطرها 3 بوصة وارتفاعها 6 بوصة.
11. 1. **حساب المساحة الكلية للمكعب (المعدلة):** $TA = 6 \times (5)^2 = 6 \times 25 = 150$ بوصة$^2$
12. 2. **حساب المساحة الكلية للأسطوانة (المعدلة):** $TA = 2 \times \pi \times 3 \times (3 + 6) \approx 2 \times 3.14159 \times 3 \times 9 \approx 169.6$ بوصة$^2$
13. 3. **حساب حجم المكعب (المعدل):** $V = s^3 = 5^3 = 125$ بوصة$^3$
14. 4. **حساب حجم الأسطوانة (المعدلة):** $V = \pi r^2 h = \pi (3)^2 (6) \approx 3.14159 \times 9 \times 6 \approx 169.6$ بوصة$^3$
15. > **تحليل:** بناءً على الأبعاد المعدلة، حجم المكعب والأسطوانة متقارب. المساحة الكلية للمكعب (150 بوصة^2) أصغر من المساحة الكلية للأسطوانة (169.6 بوصة^2).
16. إذًا، المنشور الرباعي (المكعب) يحتاج إلى كمية أقل من الكرتون.

سؤال 16: تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أم خاطئة. وإذا كانت خاطئة، فأعطِ مثالاً مضادًا: "إذا تساوى حجما منشورين مستطيلين فإنه يكون لهما المساحة الكلية نفسها".

الإجابة: س16: X خطأ. مثال مضاد: 1x1x8 مساحته 34؛ و 2x2x2 مساحته 24 وهما متساويان في الحجم (8).

خطوات الحل:

1. **العبارة:** إذا تساوى حجما منشورين مستطيلين فإنه يكون لهما المساحة الكلية نفسها.
2. **الهدف:** تحديد صحة أو خطأ العبارة وإعطاء مثال مضاد إذا كانت خاطئة.
3. **القوانين المستخدمة:** * حجم المنشور المستطيلي: $V = lwh$ * المساحة الكلية للمنشور المستطيلي: $TA = 2(lw + lh + wh)$
4. **المثال المضاد:** * المنشور الأول: الأبعاد 1x1x8 * الحجم: $V = 1 \times 1 \times 8 = 8$ * المساحة الكلية: $TA = 2(1 \times 1 + 1 \times 8 + 1 \times 8) = 2(1 + 8 + 8) = 2(17) = 34$
5. * المنشور الثاني: الأبعاد 2x2x2 * الحجم: $V = 2 \times 2 \times 2 = 8$ * المساحة الكلية: $TA = 2(2 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 2) = 2(4 + 4 + 4) = 2(12) = 24$
6. **التحليل:** * كلا المنشورين لهما نفس الحجم (8 وحدات مكعبة). * المنشور الأول مساحته الكلية 34 وحدة مربعة، بينما المنشور الثاني مساحته الكلية 24 وحدة مربعة.
7. **الاستنتاج:** بما أننا وجدنا مثالين لمنشورين مستطيلين لهما نفس الحجم ولكن مساحتيهما الكليتين مختلفتين، فإن العبارة **خاطئة**.

سؤال 17: تحدّ: أي الحالتين تزداد عندها المساحة الكلية لسطح الأسطوانة بشكل أكبر: مضاعفة الارتفاع مرة أم مضاعفة نصف القطر مرة؟ فسّر إجابتك.

الإجابة: س17: مضاعفة نصف القطر تزيد المساحة الكلية أكثر.

خطوات الحل:

1. **الهدف:** تحديد أي الحالتين تزيد المساحة الكلية للأسطوانة بشكل أكبر: مضاعفة الارتفاع أم مضاعفة نصف القطر.
2. **القانون المستخدم:** * المساحة الكلية للأسطوانة: $TA = 2\pi r(r+h)$
3. **التحليل:**
4. 1. **الحالة الأولى: مضاعفة الارتفاع:** * المساحة الكلية الأصلية: $TA_1 = 2\pi r(r+h)$ * المساحة الكلية بعد مضاعفة الارتفاع: $TA_2 = 2\pi r(r+2h) = 2\pi r^2 + 4\pi rh$ * الزيادة في المساحة: $TA_2 - TA_1 = (2\pi r^2 + 4\pi rh) - (2\pi r^2 + 2\pi rh) = 2\pi rh$
5. 2. **الحالة الثانية: مضاعفة نصف القطر:** * المساحة الكلية الأصلية: $TA_1 = 2\pi r(r+h)$ * المساحة الكلية بعد مضاعفة نصف القطر: $TA_3 = 2\pi (2r)(2r+h) = 4\pi r(2r+h) = 8\pi r^2 + 4\pi rh$ * الزيادة في المساحة: $TA_3 - TA_1 = (8\pi r^2 + 4\pi rh) - (2\pi r^2 + 2\pi rh) = 6\pi r^2 + 2\pi rh$
6. **المقارنة:** * الزيادة في المساحة عند مضاعفة الارتفاع: $2\pi rh$ * الزيادة في المساحة عند مضاعفة نصف القطر: $6\pi r^2 + 2\pi rh$
7. بما أن $6\pi r^2 + 2\pi rh > 2\pi rh$ دائمًا (لأن $r > 0$ و $h > 0$)، فإن مضاعفة نصف القطر تزيد المساحة الكلية بشكل أكبر.
8. **الاستنتاج:** مضاعفة نصف القطر تزيد المساحة الكلية لسطح الأسطوانة بشكل أكبر من مضاعفة الارتفاع.

سؤال 18: الحس العددي: إذا زدت نصف قطر أسطوانة إلى ثلاثة أمثاله، ففسر كيف يؤثر ذلك في المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة الجديدة بالنسبة لسطح الأسطوانة الأولى.

الإجابة: س18: تزداد إلى 3 أمثالها.

خطوات الحل:

1. **الهدف:** تحديد تأثير زيادة نصف قطر الأسطوانة إلى ثلاثة أمثاله على المساحة الجانبية.
2. **القانون المستخدم:** * المساحة الجانبية للأسطوانة: $LA = 2\pi rh$
3. **التحليل:**
4. 1. **المساحة الجانبية الأصلية:** $LA_1 = 2\pi rh$
5. 2. **المساحة الجانبية بعد زيادة نصف القطر إلى ثلاثة أمثاله:** $LA_2 = 2\pi (3r)h = 6\pi rh$
6. 3. **مقارنة المساحتين:** $\frac{LA_2}{LA_1} = \frac{6\pi rh}{2\pi rh} = 3$
7. **الاستنتاج:** عند زيادة نصف قطر الأسطوانة إلى ثلاثة أمثاله، فإن المساحة الجانبية تزداد إلى ثلاثة أمثال المساحة الجانبية الأصلية.

حدد صحة العبارة التالية: 'إذا تساوى حجما منشورين مستطيلين فإنه يكون لهما المساحة الكلية نفسها'.

• أ) صحيحة دائماً
• ب) خاطئة
• ج) صحيحة أحياناً
• د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: خاطئة

الشرح: العبارة خاطئة. يمكن إيجاد مثال مضاد يوضح ذلك. فمثلاً، منشور أبعاده 1x1x8 له حجم 8 ومساحة كلية 34. ومنشور أبعاده 2x2x2 له حجم 8 ومساحة كلية 24. كلاهما له نفس الحجم (8) لكن مساحتيهما الكليتين مختلفتان (34 و 24).

تلميح: فكر في أمثلة مختلفة للمنشورات المستطيلية التي لها نفس الحجم، مثل 1x1x8 و 2x2x2.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

لأسطوانة ذات نصف قطر (r) وارتفاع (h)، أي من التغييرين التاليين يؤدي إلى زيادة أكبر في مساحتها الكلية؟

• أ) مضاعفة الارتفاع
• ب) مضاعفة نصف القطر
• ج) كلاهما يزيد المساحة بنفس المقدار
• د) لا يمكن التحديد دون قيم عددية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مضاعفة نصف القطر

الشرح: ١. المساحة الكلية الأصلية $TA_1 = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. ٢. عند مضاعفة الارتفاع $h \to 2h$: $TA_2 = 2\pi r^2 + 4\pi rh$. الزيادة = $2\pi rh$. ٣. عند مضاعفة نصف القطر $r \to 2r$: $TA_3 = 8\pi r^2 + 4\pi rh$. الزيادة = $6\pi r^2 + 2\pi rh$. ٤. بما أن $6\pi r^2$ مقدار موجب، فإن $6\pi r^2 + 2\pi rh > 2\pi rh$. لذا، مضاعفة نصف القطر تزيد المساحة الكلية بشكل أكبر.

تلميح: قارن مقدار الزيادة في المساحة الكلية للأسطوانة $TA = 2\pi r(r+h)$ عند مضاعفة الارتفاع (h) وعند مضاعفة نصف القطر (r).

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

إذا زدت نصف قطر أسطوانة إلى ثلاثة أمثاله، فكيف تتأثر مساحتها الجانبية؟

• أ) تزداد إلى ٣ أمثالها
• ب) تزداد إلى ٦ أمثالها
• ج) تزداد إلى ٩ أمثالها
• د) لا تتغير

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: تزداد إلى ٣ أمثالها

الشرح: ١. المساحة الجانبية الأصلية: $LA_1 = 2\pi rh$. ٢. عند زيادة نصف القطر إلى ثلاثة أمثاله ($r \to 3r$): $LA_2 = 2\pi (3r)h = 6\pi rh$. ٣. بمقارنة $LA_2$ مع $LA_1$: $LA_2 = 3 \times (2\pi rh) = 3 \times LA_1$. ٤. هذا يعني أن المساحة الجانبية تزداد إلى ثلاثة أمثالها.

تلميح: تذكر قانون المساحة الجانبية للأسطوانة $LA = 2\pi rh$ وقارن المساحة الأصلية بالجديدة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح منشور مستطيلي أبعاده 1.4 سم، 7.5 سم، 8.3 سم، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر.

• أ) المساحة الجانبية ≈ 147.7 سم^2، المساحة الكلية ≈ 154.7 سم^2
• ب) المساحة الجانبية ≈ 134.4 سم^2، المساحة الكلية ≈ 168.7 سم^2
• ج) المساحة الجانبية ≈ 147.7 سم^2، المساحة الكلية ≈ 168.7 سم^2
• د) المساحة الجانبية ≈ 44.2 سم^2، المساحة الكلية ≈ 65.2 سم^2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المساحة الجانبية ≈ 147.7 سم^2، المساحة الكلية ≈ 168.7 سم^2

الشرح: 1. المساحة الجانبية $LA = 2 \times 8.3 \times (7.5 + 1.4) = 147.74$. 2. المساحة الكلية $TA = 147.74 + 2 \times 7.5 \times 1.4 = 168.74$. 3. بالتقريب لأقرب عشر: $LA \approx 147.7$ سم^2، $TA \approx 168.7$ سم^2.

تلميح: تذكر صيغ المساحة الجانبية والكلية للمنشور المستطيلي ($LA = 2h(l+w)$، $TA = LA + 2lw$).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح منشور مستطيلي أبعاده 2 بوصة، 4 بوصات، 3 1/2 بوصة، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر.

• أ) المساحة الجانبية = 21.0 بوصة^2، المساحة الكلية = 37.0 بوصة^2
• ب) المساحة الجانبية = 35.0 بوصة^2، المساحة الكلية = 58.0 بوصة^2
• ج) المساحة الجانبية = 42.0 بوصة^2، المساحة الكلية = 50.0 بوصة^2
• د) المساحة الجانبية = 42.0 بوصة^2، المساحة الكلية = 58.0 بوصة^2

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المساحة الجانبية = 42.0 بوصة^2، المساحة الكلية = 58.0 بوصة^2

الشرح: 1. ارتفاع المنشور $h = 3.5$ بوصة. 2. المساحة الجانبية $LA = 2 \times 3.5 \times (4 + 2) = 42$. 3. المساحة الكلية $TA = 42 + 2 \times 4 \times 2 = 58$. 4. بالتقريب لأقرب عشر: $LA = 42.0$ بوصة^2، $TA = 58.0$ بوصة^2.

تلميح: تذكر صيغ المساحة الجانبية والكلية للمنشور المستطيلي ($LA = 2h(l+w)$، $TA = LA + 2lw$) وكيفية التعامل مع الكسور العشرية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح منشور ثلاثي قاعدته مثلث قائم الزاوية أضلاعه 5 أقدام، 12 قدمًا، 13 قدمًا، وارتفاع المنشور 10 أقدام، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر.

• أ) المساحة الجانبية = 300.0 قدم^2، المساحة الكلية = 330.0 قدم^2
• ب) المساحة الجانبية = 150.0 قدم^2، المساحة الكلية = 210.0 قدم^2
• ج) المساحة الجانبية = 1500.0 قدم^2، المساحة الكلية = 1560.0 قدم^2
• د) المساحة الجانبية = 300.0 قدم^2، المساحة الكلية = 360.0 قدم^2

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المساحة الجانبية = 300.0 قدم^2، المساحة الكلية = 360.0 قدم^2

الشرح: 1. المساحة الجانبية $LA = 10 \times (5 + 12 + 13) = 300$. 2. مساحة القاعدة المثلثة $B = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$. 3. المساحة الكلية $TA = 300 + 2 \times 30 = 360$. 4. بالتقريب لأقرب عشر: $LA = 300.0$ قدم^2، $TA = 360.0$ قدم^2.

تلميح: تذكر صيغ المساحة الجانبية والكلية للمنشور الثلاثي ($LA = h \times المحيط_{القاعدة}$، $TA = LA + 2B$) وصيغة مساحة المثلث القائم الزاوية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح منشور ثلاثي قاعدته مثلث أضلاعه 6 م، 8.2 م، 11.2 م، وارتفاع المنشور 9.5 م، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر.

• أ) المساحة الجانبية ≈ 265.1 م^2، المساحة الكلية ≈ 332.3 م^2
• ب) المساحة الجانبية ≈ 241.3 م^2، المساحة الكلية ≈ 265.3 م^2
• ج) المساحة الجانبية ≈ 120.6 م^2، المساحة الكلية ≈ 168.6 م^2
• د) المساحة الجانبية ≈ 241.3 م^2، المساحة الكلية ≈ 289.2 م^2

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المساحة الجانبية ≈ 241.3 م^2، المساحة الكلية ≈ 289.2 م^2

الشرح: 1. المساحة الجانبية $LA = 9.5 \times (6+8.2+11.2) = 241.3$. 2. نصف محيط القاعدة $s = (6+8.2+11.2)/2 = 12.7$. 3. مساحة القاعدة $B = \sqrt{12.7(6.7)(4.5)(1.5)} \approx 23.97$. 4. المساحة الكلية $TA = 241.3 + 2 \times 23.97 = 289.24 \approx 289.2$ م^2.

تلميح: للمنشور الثلاثي، $LA = h \times المحيط_{القاعدة}$ و $TA = LA + 2B$. لحساب مساحة القاعدة المثلثة بمعلومية الأضلاع، استخدم قانون هيرون ($B = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ حيث $s$ نصف المحيط).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح أسطوانة قطرها 17 سم وارتفاعها 15 سم، مقربًا الجواب إلى أقرب عشر.

• أ) المساحة الجانبية ≈ 801.1 سم^2، المساحة الكلية ≈ 1154.5 سم^2
• ب) المساحة الجانبية ≈ 1530.0 سم^2، المساحة الكلية ≈ 2000.0 سم^2
• ج) المساحة الجانبية ≈ 424.1 سم^2، المساحة الكلية ≈ 629.3 سم^2
• د) المساحة الجانبية ≈ 801.1 سم^2، المساحة الكلية ≈ 1254.5 سم^2

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المساحة الجانبية ≈ 801.1 سم^2، المساحة الكلية ≈ 1254.5 سم^2

الشرح: 1. نصف القطر $r = 17 / 2 = 8.5$ سم. 2. المساحة الجانبية $LA = 2 \times \pi \times 8.5 \times 15 \approx 801.1$. 3. المساحة الكلية $TA = 2 \times \pi \times 8.5 \times (8.5 + 15) \approx 1254.5$. 4. بالتقريب لأقرب عشر: $LA \approx 801.1$ سم^2، $TA \approx 1254.5$ سم^2.

تلميح: تذكر صيغ المساحة الجانبية والكلية للأسطوانة ($LA = 2\pi rh$، $TA = 2\pi r(r+h)$) وأن نصف القطر $r$ هو نصف القطر $d/2$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط