الخطوة ٣ - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال أ: تحقق من فهمك: أ) اختبارات: تبيّن القائمة المجاورة درجات اختبار في مادة الرياضيات. اختر فئات مناسبة ومثّل البيانات بجدول تكراري، ثم أنشئ مدرجًا تكراريًا.

الإجابة: ج: الفئات: 70-74 (1)، 75-79 (3)، 80-84 (4)، 85-89 (8)، 90-94 (9)، 95-99 (3). المدرج: رسم أعمدة بهذه التكرارات.

خطوات الحل:

1. | المطلوب | الوصف | |----------|--------| | المهمة الرئيسية | تحويل قائمة بيانات درجات اختبار إلى جدول تكراري ومدرج تكراري. | | المعطيات الضمنية | قائمة درجات اختبار الرياضيات (غير مذكورة تفاصيلها، ولكن النتيجة معطاة). | | المطلوب المباشر | 1. اختيار فئات مناسبة. 2. تمثيل البيانات بجدول تكراري. 3. إنشاء مدرج تكراري. |
2. **المبدأ المستخدم:** يتم إنشاء **الجدول التكراري** و**المدرج التكراري** عن طريق الخطوات التالية: 1. **تحديد المدى (Range):** (أعلى قيمة - أدنى قيمة). 2. **تحديد عدد الفئات وعرضها:** عادةً ما يكون عدد الفئات بين 5 و20 فئة، ويجب أن يكون عرض الفئة متساويًا. 3. **عدّ البيانات الواقعة في كل فئة (التكرار).** 4. **تمثيل البيانات في جدول.** 5. **رسم المدرج التكراري:** حيث يمثل المحور الأفقي الفئات، والعمودي التكرار، وتكون الأعمدة متلاصقة.
3. **خطوات الحل التفصيلية:** 1. **افترضنا أن تحليل البيانات الأصلية (القائمة المجاورة) أدى إلى النتائج التالية:** | الفئة (درجة) | التكرار (عدد الطلاب) | |--------------|----------------------| | 70-74 | 1 | | 75-79 | 3 | | 80-84 | 4 | | 85-89 | 8 | | 90-94 | 9 | | 95-99 | 3 | > **ملاحظة:** الفئات مناسبة لأنها تغطي مدى الدرجات المحتمل (من 70 إلى 99 تقريبًا) وعرض كل فئة هو 5 درجات. 2. **إنشاء المدرج التكراري:** - ارسم محورين: أفقي (الدرجات) وعمودي (عدد الطلاب/التكرار). - على المحور الأفقي، حدّد الفئات الست المذكورة في الجدول. - على المحور العمودي، حدّد مقياسًا مناسبًا (مثل من 0 إلى 10). - لكل فئة، ارسم عمودًا ارتفاعه يساوي تكرارها (عدد الطلاب). - تأكد من أن الأعمدة متلاصقة (للدلالة على أن البيانات كمّية مستمرة في التجميع). **شكل تقريبي للمدرج:** - أعلى عمود هو عمود الفئة **90-94** بارتفاع 9 وحدات. - يليه عمود الفئة **85-89** بارتفاع 8 وحدات.
4. **الإجابة النهائية:** - **الجدول التكراري** الناتج يتكون من 6 فئات بعرض 5 درجات، وتكراراتها كما هو موضح في الجدول أعلاه. - **المدرج التكراري** هو تمثيل بياني بأعمدة لهذه الفئات والتكرارات، ويظهر أن الفئة الأكثر تكرارًا هي فئة **90-94 درجة**.

سؤال ب، ج: تحقق من فهمك: استعمل المدرج أعلاه للإجابة عن التمرينين الآتيين: ب) ما أكبر زمن أبحر قارب؟ ج) ضمن أي فئات زمن الإبحار كان عدد القوارب أكثر؟

الإجابة: ب) ج: 599 دقيقة (ضمن الفئة 500-599). ج) ج: الفئة 0-99 دقيقة.

خطوات الحل:

1. | المطلوب | الرمز | الوصف | |----------|-------|--------| | (ب) أكبر زمن إبحار | $T_{max}$ | أطول مدة قضاها قارب في الإبحار حسب المدرج التكراري المعطى. | | (ج) الفئة ذات العدد الأكثر | $F_{max}$ | الفئة الزمنية التي يقع فيها أكبر عدد من القوارب. | > **افتراض:** المدرج التكراري المشار إليه في السؤال (والذي يظهر في الكتاب المدرسي) يمثل توزيع أوقات إبحار مجموعة من القوارب. فئاته هي: 0-99، 100-199، 200-299، 300-399، 400-499، 500-599 دقيقة. والتكرارات موضحة بارتفاعات الأعمدة.
2. **المبدأ المستخدم:** قراءة و**تفسير المدرج التكراري**. - **لإيجاد أكبر قيمة:** ننظر إلى **آخر فئة** تحتوي على بيانات (أي آخر عمود ارتفاعه أكبر من الصفر). القيمة الدقيقة غير معروفة، ولكنها تقع ضمن مدى تلك الفئة. - **لإيجاد الفئة الأكثر تكرارًا:** نبحث عن **أعلى عمود** في المدرج، والفئة المقابلة له هي الفئة المطلوبة.
3. **خطوات الحل التفصيلية:** 1. **تحليل السؤال (ب): "ما أكبر زمن أبحر قارب؟"** - من خلال النظر إلى المدرج التكراري، نلاحظ أن الفئة الأخيرة (الأعلى قيمة) التي تحتوي على قوارب هي الفئة **500-599 دقيقة**. - أكبر زمن إبحار مسجل يجب أن يكون ضمن هذه الفئة، أي بين **500 و 599 دقيقة**. - بما أن المدرج لا يعطي القيمة الدقيقة، فإننا نعطي الحد الأعلى للفئة كإشارة إلى أقصى زمن محتمل ضمن التجميع. 2. **تحليل السؤال (ج): "ضمن أي فئات زمن الإبحار كان عدد القوارب أكثر؟"** - ننظر إلى ارتفاعات جميع الأعمدة في المدرج التكراري. - نلاحظ أن العمود الأطول (ذو أعلى تكرار) يقابل الفئة الأولى: **0-99 دقيقة**. - هذا يعني أن العدد الأكبر من القوارب أبحر لأزمة تتراوح بين **0 و 99 دقيقة**.
4. **الإجابة النهائية:** - **(ب)** أكبر زمن للإبحار مسجل في البيانات يقع ضمن الفئة **500-599 دقيقة**. وهذا يعني أن أطول قارب قضى على الأقل **599 دقيقة** في الإبحار (كحد أقصى للفئة). - **(ج)** الفئة الزمنية **0-99 دقيقة** هي الفئة التي تضم **أكبر عدد من القوارب** مقارنة ببقية الفئات الزمنية الأخرى.

ما المقصود بـ 'الفجوات' في المدرج التكراري وفقًا لإرشادات الدراسة؟

• أ) هي الفئات ذات التكرار العالي جدًا.
• ب) هي المساحات بين الأعمدة ذات العرض المختلف.
• ج) هي الفئات التي تكرارها صفر ويكون ارتفاع أعمدتها صفرًا.
• د) هي الأعمدة التي تمثل القيم المتطرفة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هي الفئات التي تكرارها صفر ويكون ارتفاع أعمدتها صفرًا.

الشرح: ١. الفجوات في المدرج التكراري هي الفئات التي لا تحتوي على أي بيانات. ٢. عندما لا تحتوي الفئة على بيانات، يكون تكرارها صفرًا. ٣. نتيجة لذلك، يكون ارتفاع العمود الذي يمثل هذه الفئة صفرًا، مما يخلق فجوة.

تلميح: فكر في معنى غياب الأعمدة في بعض الفئات داخل المدرج التكراري.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

استعمل بيانات المدرج التكراري لمدة الإبحار (حيث الفئات وتكراراتها كالتالي: 0-99 (17 قاربًا)، 100-199 (4 قوارب)، 200-299 (1 قارب)، 300-399 (0 قوارب)، 400-499 (5 قوارب)، 500-599 (2 قارب)) للإجابة عن التالي: ما عدد القوارب التي أبحرت كل منها ٤٠٠ دقيقة على الأقل؟

• أ) ٥ قوارب
• ب) ٧ قوارب
• ج) ٩ قوارب
• د) ٢ قارب

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٧ قوارب

الشرح: ١. '٤٠٠ دقيقة على الأقل' تعني الفئات من ٤٠٠ دقيقة فصاعدًا. ٢. الفئة ٤٠٠-٤٩٩ دقيقة تحتوي على ٥ قوارب. ٣. الفئة ٥٠٠-٥٩٩ دقيقة تحتوي على ٢ قارب. ٤. مجموع القوارب = ٥ + ٢ = ٧ قوارب.

تلميح: اجمع عدد القوارب في الفئات التي تبدأ من ٤٠٠ دقيقة فما فوق.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل بيانات المدرج التكراري لمدة الإبحار (حيث الفئات وتكراراتها كالتالي: 0-99 (17 قاربًا)، 100-199 (4 قوارب)، 200-299 (1 قارب)، 300-399 (0 قوارب)، 400-499 (5 قوارب)، 500-599 (2 قارب)) للإجابة عن التالي: ما نسبة القوارب التي أبحرت ١٩٩ دقيقة على الأكثر؟

• أ) ٤٥٪
• ب) ٦٠٪
• ج) ٧٢٪
• د) ٨٣٪

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٧٢٪

الشرح: ١. مجموع القوارب الكلي = ١٧ + ٤ + ١ + ٠ + ٥ + ٢ = ٢٩ قاربًا. ٢. عدد القوارب التي أبحرت ١٩٩ دقيقة على الأكثر (أي في فئتي 0-99 و 100-199) = ١٧ + ٤ = ٢١ قاربًا. ٣. النسبة المئوية = (عدد القوارب ≤ ١٩٩ دقيقة / مجموع القوارب) × ١٠٠ = (٢١ / ٢٩) × ١٠٠ ≈ ٧٢.٤٪. ٤. أقرب إجابة صحيحة هي ٧٢٪.

تلميح: احسب مجموع القوارب الكلي، ثم اجمع عدد القوارب التي أبحرت ١٩٩ دقيقة أو أقل، ثم أوجد النسبة المئوية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل بيانات المدرج التكراري لمدة الإبحار (حيث الفئات وتكراراتها كالتالي: 0-99 (17 قاربًا)، 100-199 (4 قوارب)، 200-299 (1 قارب)، 300-399 (0 قوارب)، 400-499 (5 قوارب)، 500-599 (2 قارب)) للإجابة عن التالي: ما أكبر زمن أبحره قارب؟

• أ) ٤٩٩ دقيقة
• ب) ٥٩٩ دقيقة
• ج) ٥٠٠ دقيقة
• د) ٩٩ دقيقة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٥٩٩ دقيقة

الشرح: ١. لإيجاد أكبر زمن إبحار، ننظر إلى أعلى فئة زمنية تحتوي على قوارب. ٢. الفئات التي تحتوي على قوارب هي (0-99)، (100-199)، (200-299)، (400-499)، (500-599). ٣. الفئة الأعلى زمنًا هي (500-599 دقيقة). ٤. أكبر زمن أبحرته القوارب هو الحد الأعلى لهذه الفئة، أي ٥٩٩ دقيقة.

تلميح: ابحث عن الفئة الزمنية الأعلى التي يوجد فيها أي عدد من القوارب، ثم اختر الحد الأعلى لتلك الفئة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما هي إحدى الخصائص الأساسية التي يجب مراعاتها عند رسم أعمدة المدرج التكراري؟

• أ) أن يكون ارتفاع كل عمود مساوياً لعرضه.
• ب) أن تكون جميع الأعمدة لها العرض نفسه.
• ج) أن يكون ارتفاع العمود الأول هو الأعلى دائماً.
• د) أن يختلف عرض الأعمدة حسب تكرار الفئة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن تكون جميع الأعمدة لها العرض نفسه.

الشرح: 1. ينص بناء المدرج التكراري على أن الأعمدة جميعها لها العرض نفسه. 2. ذلك لأن أطوال الفئات يجب أن تكون متساوية لضمان تمثيل بصري دقيق.

تلميح: تذكر العلاقة بين أطوال الفئات وعرض الأعمدة في المدرج التكراري.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في المدرج التكراري، لماذا يكون عرض جميع الأعمدة متساوياً؟

• أ) لأن ارتفاع الأعمدة يعتمد على العرض.
• ب) لسهولة الرسم فقط.
• ج) لأن أطوال الفئات التي تمثلها الأعمدة متساوية.
• د) لتمييز الفئات ذات التكرار العالي.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن أطوال الفئات التي تمثلها الأعمدة متساوية.

الشرح: 1. عند بناء المدرج التكراري، يتم تقسيم البيانات إلى فئات ذات أطوال متساوية. 2. لتمثيل هذه الفئات بصرياً بشكل صحيح، يجب أن يكون عرض الأعمدة متساوياً لتعكس هذه الأطوال الموحدة.

تلميح: فكر في كيفية تنظيم البيانات قبل الرسم وماذا يمثله كل عمود.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ماذا يمثل ارتفاع العمود في المدرج التكراري؟

• أ) متوسط قيم الفئة.
• ب) التكرار المقابل لتلك الفئة.
• ج) مجموع الفئات السابقة.
• د) طول الفئة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التكرار المقابل لتلك الفئة.

الشرح: 1. يهدف المدرج التكراري إلى تمثيل تكرار كل فئة من البيانات. 2. يتحقق ذلك عن طريق رسم عمود لكل فئة يكون ارتفاعه مساوياً لعدد مرات تكرار القيم في تلك الفئة.

تلميح: تذكر الغرض الأساسي من المدرج التكراري في عرض البيانات الكمية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

استعمل بيانات المدرج التكراري لمدّة الإبحار (حيث فئاته وتكراراتها كالتالي: 0-99 دقيقة (17 قاربًا)، 100-199 دقيقة (4 قوارب)، 200-299 دقيقة (1 قارب)، 300-399 دقيقة (0 قوارب)، 400-499 دقيقة (5 قوارب)، 500-599 دقيقة (2 قارب)) للإجابة عن التالي: ضمن أي فئات زمن الإبحار كان عدد القوارب أكثر؟

• أ) الفئة 100-199 دقيقة.
• ب) الفئة 0-99 دقيقة.
• ج) الفئة 400-499 دقيقة.
• د) الفئة 500-599 دقيقة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الفئة 0-99 دقيقة.

الشرح: 1. لمقارنة عدد القوارب في كل فئة، ننظر إلى التكرارات المعطاة لكل فئة. 2. الفئة 0-99 دقيقة لديها 17 قاربًا، وهي أكبر قيمة بين جميع التكرارات الأخرى (4، 1، 0، 5، 2). 3. بناءً عليه، فإن الفئة 0-99 دقيقة هي الفئة التي كان فيها عدد القوارب أكثر.

تلميح: ابحث عن الفئة التي لديها أعلى قيمة تكرار (أكبر عدد من القوارب).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل