مسائل مهارات التفكير العليا - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 17: مسألة مفتوحة: أنشئ مدرجًا تكراريًا له خط تماثل رأسي وفجوتان؛ ثم أنشئ مدرجًا آخر له خط تماثل رأسي واحد وفجوة واحدة.

الإجابة: س17: مثال 1 (فجوتان): 0-1، 1-2... تماثل عند 3. مثال 2 (فجوة): 0-1... تماثل عند 2-3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** | المطلوب | الشرح | |--------|-------| | إنشاء مدرج تكراري أول | له خط تماثل رأسي واحد، وفجوتان في البيانات (قيمتين لا تظهران). | | إنشاء مدرج تكراري ثان | له خط تماثل رأسي واحد، وفجوة واحدة في البيانات. |
2. **الخطوة 2: مبدأ التماثل الرأسي والفجوات** - **خط التماثل الرأسي**: يعني أن شكل المدرج التكراري ينقسم إلى نصفين متطابقين تقريبًا حول خط عمودي في المنتصف. - **الفجوة**: هي فئة (أو فئات) لا تحتوي على أي بيانات (تكرار = 0) وتظهر كفراغ بين الأعمدة.
3. **الخطوة 3: تصميم مثال للمدرج الأول (فجوتان)** نفترض البيانات التالية مع فئات بعرض 1: | الفئة | التكرار | |-------|---------| | 0-1 | 2 | | 1-2 | 3 | | 2-3 | 0 | ← **فجوة أولى** | 3-4 | 5 | ← **خط التماثل عند مركز 3-4 (القيمة 3.5)** | 4-5 | 0 | ← **فجوة ثانية** | 5-6 | 3 | | 6-7 | 2 | > **ملاحظة:** التماثل حول الفئة 3-4 (الوسط)، والفجوتان عند الفئتين 2-3 و 4-5.
4. **الخطوة 4: تصميم مثال للمدرج الثاني (فجوة واحدة)** نفترض البيانات التالية مع فئات بعرض 1: | الفئة | التكرار | |-------|---------| | 0-1 | 1 | | 1-2 | 2 | | 2-3 | 4 | ← **خط التماثل قد يكون حول الفئة 2-3 أو بين 2 و3** | 3-4 | 2 | | 4-5 | 0 | ← **فجوة واحدة** | 5-6 | 1 | > **ملاحظة:** هنا التماثل قد لا يكون تامًا، ولكن المطلوب وجود خط تماثل رأسي واحد (يمكن افتراض تماثل تقريبي حول القيمة 2.5).
5. **الإجابة النهائية:** يمكن تصميم مدرج تكراري بفئتين خاليتين من البيانات (فجوتين) ويماثل حول قيمة متوسطة، وآخر بفجوة واحدة ويماثل حول قيمة متوسطة أيضًا، كما في الأمثلة التوضيحية أعلاه.

سؤال 18: تحد: صف التغير الذي يحصل على المدرج المجاور في حال استعمال فئات أطول، مثل ٠ - ٩ و ١٠ - ١٩؛ ثم صف التغير في حالات استعمال فئات أصغر، مثل ٠ - ٢، ٣ - ٥، ٦ - ٨ ... إلخ.

الإجابة: س18: فئات أطول (0-9): يقل عدد الأعمدة وتضيع التفاصيل. فئات أصغر (0-2): يزداد عدد الأعمدة وتظهر تفاصيل أدق.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | المعطى | مدرج تكراري مجاور (افتراضي) له فئات معينة. | | التغيير الأول | استعمال فئات أطول (مثل: 0-9، 10-19). | | التغيير الثاني | استعمال فئات أصغر (مثل: 0-2، 3-5، 6-8، ...). | | المطلوب | وصف التغير الحاصل على شكل المدرج في كل حالة. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** يتأثر شكل المدرج التكراري بعرض الفئات (طولها): - **الفئات الأطول**: تجمع بيانات أكثر في كل فئة. - **الفئات الأصغر**: تفصل البيانات إلى تفاصيل أدق.
3. **الخطوة 3: وصف التغير عند استخدام فئات أطول (مثل: 0-9، 10-19)** 1. **يقل عدد الأعمدة** في المدرج، لأن عدد الفئات الكلية يصبح أقل. 2. **تقل التفاصيل الدقيقة** في توزيع البيانات، لأن البيانات المجمعة في فئة واحدة قد تخفي التباين داخل تلك الفئة. 3. قد **يبدو التوزيع أكثر سلاسة** أو قد **تختفي بعض الخصائص** مثل الفجوات أو القمم الصغيرة. > **مثال:** إذا كان هناك بيانات مبعثرة بين 0 و 9، فإن جميعها ستجمع في عمود واحد فقط.
4. **الخطوة 4: وصف التغير عند استخدام فئات أصغر (مثل: 0-2، 3-5، 6-8، ...)** 1. **يزداد عدد الأعمدة** في المدرج، لأن عدد الفئات الكلية يزيد. 2. **تظهر تفاصيل أدق** عن توزيع البيانات، حيث يمكن ملاحظة التكتلات الدقيقة والفجوات الصغيرة. 3. قد **يبدو التوزيع متقطعًا** أو **غير منتظم** إذا كانت البيانات قليلة، لأن كل فئة قد تحتوي على عدد قليل جدًا من البيانات. > **مثال:** قد نلاحظ أن معظم البيانات تتركز في فئة 3-5 بينما فئة 6-8 فارغة تقريبًا.
5. **الإجابة النهائية:** استخدام فئات أطول يؤدي إلى مدرج ذي أعمدة أقل وفقدان للتفاصيل، بينما استخدام فئات أصغر يؤدي إلى مدرج ذي أعمدة أكثر وكشف عن تفاصيل أدق في توزيع البيانات.

سؤال 19: اكتب وضح متى يكون استعمال المدرج التكراري أكثر فائدة من استعمال جدول البيانات الفردية، ومتى يكون العكس.

الإجابة: س19: المدرج التكراري: للبيانات الكثيرة لمعرفة التوزيع العام. جدول البيانات: للبيانات القليلة أو لمعرفة القيم الدقيقة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المقارنة** | أداة العرض | المميزات | العيوب | |-------------|----------|--------| | **المدرج التكراري** | يوضح شكل التوزيع (تناظر، انحراف، فجوات). | يفقد القيم الفردية الدقيقة. | | **جدول البيانات الفردية** | يظهر كل قيمة على حدة بدقة. | يصعب استخلاص النمط العام مع كبر حجم البيانات. |
2. **الخطوة 2: متى يكون المدرج التكراري أكثر فائدة؟** 1. عندما يكون **عدد البيانات كبيرًا** (مثل: 100 قيمة فأكثر). 2. عندما نريد **تحليل شكل التوزيع** العام: - هل البيانات متماثلة؟ - هل هناك انحراف؟ - هل توجد فجوات أو قيم متطرفة؟ 3. عندما نرغب في **مقارنة توزيعين** أو أكثر بسرعة. > **مثال:** دراسة أوزان طلاب الصف الأول الثانوي (300 طالب).
3. **الخطوة 3: متى يكون جدول البيانات الفردية أكثر فائدة؟** 1. عندما يكون **عدد البيانات قليلاً** (مثل: 20 قيمة أو أقل). 2. عندما نحتاج إلى **القيم الدقيقة** لكل عنصر (مثل: تسجيل درجات طلاب فصل في اختبار). 3. عندما تكون **البيانات غير رقمية** أو تحتاج إلى وصف مفصل لكل حالة. > **مثال:** تسجيل أعمار 10 أطفال في حضانة.
4. **الإجابة النهائية:** المدرج التكراري يكون أنسب عند التعامل مع بيانات عددية كثيرة لاستنتاج الخصائص العامة للتوزيع، بينما يكون جدول البيانات الفردية أنسب عند التعامل مع بيانات قليلة أو عندما تكون الدقة الفردية للقيم مطلوبة.

سؤال 20: أي الجمل الآتية صحيحة وفقًا للمدرج التكراري أدناه؟ أ) أقل عدد من الجرامات موجود في رقائق حبوب الإفطار هو صفر. ب) أكبر عدد من الجرامات موجود في رقائق حبوب الإفطار هو ١١ جـ) معظم رقائق حبوب الإفطار تحوي ٦-١١ جرامًا من السكر. د) معظم رقائق حبوب الإفطار تحوي ٣-٥ جرامات من السكر.

الإجابة: س20: (د) معظم رقائق حبوب الإفطار تحوي 3-5 جرامات من السكر.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استقراء المعلومات من المدرج التكراري (المفترض)** بناءً على الإجابة الصحيحة المعطاة (د)، يمكن استنتاج خصائص المدرج: - الفئة الأكثر تكرارًا (الأعلى عمودًا) هي فئة **3-5 جرامات**. - بالتالي، **معظم** الرقائق تقع في هذه الفئة.
2. **الخطوة 2: تحليل كل جملة على حدة** نقوم بفحص صحة كل جملة بناءً على الاستنتاج السابق: | الجملة | الصحة | السبب (بناءً على تفسير الإجابة) | |--------|-------|----------------------------------| | أ) أقل عدد من الجرامات موجود في رقائق حبوب الإفطار هو صفر. | **غير صحيحة** على الأرجح | لأن المدرج قد يبدأ من فئة 0-2 أو 1-3، ولا يعني ذلك وجود رقائق تحتوي 0 جرام بالتحديد. | | ب) أكبر عدد من الجرامات موجود في رقائق حبوب الإفطار هو 11. | **غير صحيحة** على الأرجح | لأن الفئة 6-11 قد تكون موجودة، ولكن 11 هو حد أعلى للفئة وليس بالضرورة أكبر قيمة. | | جـ) معظم رقائق حبوب الإفطار تحوي 6-11 جرامًا من السكر. | **غير صحيحة** | لأن الإجابة الصحيحة تشير إلى أن الفئة 3-5 هي الأكثر. | | د) معظم رقائق حبوب الإفطار تحوي 3-5 جرامات من السكر. | **صحيحة** | لأنها تطابق الاستنتاج من الإجابة المعطاة. |
3. **الإجابة النهائية:** الجملة الصحيحة هي **الجملة (د)**، حيث تشير إلى أن الفئة الأكثر تكرارًا في توزيع جرامات السكر في رقائق الحبوب هي فئة 3-5 جرامات.

سؤال 21: إجابة قصيرة: سجلت مجموعة أمهات أعمار أطفالهن بالشهور عندما بدأت أسنانهم بالظهور. ما الكسر الدال على نسبة الأطفال الذين بدأت أسنانهم بالظهور في عمر ٦ شهور أو أكثر؟

الإجابة: س21: عدد الأطفال (6 أشهر+) = 9 + 7 = 16. الكسر = 16 / 20 = 4 / 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من السؤال** | المعطى | التفسير | |--------|---------| | مجموعة أمهات سجلن أعمار أطفالهن بالشهور عند ظهور الأسنان | البيانات مجمعة في مدرج تكراري (غير موضح في السؤال، ولكن الإجابة تشير إلى أرقام). | | المطلوب | الكسر الدال على نسبة الأطفال الذين بدأت أسنانهم بالظهور في عمر **6 شهور أو أكثر**. | | المعلومات من الإجابة المعطاة | عدد الأطفال الذين أعمارهم 6 أشهر أو أكثر = 9 + 7 = 16 طفلًا. المجموع الكلي للأطفال = 20 طفلًا. |
2. **الخطوة 2: كتابة القانون المستخدم** **النسبة = (عدد الأطفال في العمر المطلوب) ÷ (العدد الكلي للأطفال)**
3. **الخطوة 3: حساب العددين** 1. **عدد الأطفال (6 أشهر أو أكثر)** = 9 + 7 = **16 طفلًا** (حسب الإجابة). 2. **العدد الكلي للأطفال** = 20 طفلًا (حسب الإجابة).
4. **الخطوة 4: حساب الكسر** الكسر = 16 / 20 **تبسيط الكسر:** - نقسم البسط والمقام على 4: $\frac{16 ÷ 4}{20 ÷ 4} = \frac{4}{5}$
5. **الإجابة النهائية:** الكسر الدال على نسبة الأطفال الذين ظهرت أسنانهم في عمر 6 شهور أو أكثر هو **أربعة أخماس (4/5)**.

أي من مجموعات التكرارات التالية تمثل مدرجًا تكراريًا له خط تماثل رأسي وفجوتان (مع افتراض فئات متساوية ومتتالية)؟

• أ) التكرارات: [2, 0, 5, 0, 5, 0, 2]
• ب) التكرارات: [2, 3, 0, 5, 0, 3, 2]
• ج) التكرارات: [2, 3, 5, 5, 3, 2]
• د) التكرارات: [2, 3, 0, 5, 3, 2, 0]

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التكرارات: [2, 3, 0, 5, 0, 3, 2]

الشرح: 1. المدرج التكراري ذو خط تماثل رأسي يعني أن التكرارات تتوزع بشكل متناظر حول قيمة مركزية. 2. الفجوات تعني وجود فئات تكرارها صفر. 3. المجموعة [2, 3, 0, 5, 0, 3, 2] تظهر تماثلاً حول القيمة المركزية (الخامسة '5')، ولديها فئتان بتكرار صفر ([0, 5, 0]) مما يمثل فجوتين.

تلميح: للتماثل الرأسي، يجب أن تتطابق التكرارات حول المركز تقريبًا. وللفجوات، يجب أن تكون هناك فئات بتكرار صفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

متى يكون استعمال المدرج التكراري أكثر فائدة من استعمال جدول البيانات الفردية؟

• أ) عندما تكون البيانات قليلة العدد ولا تحتاج لتصنيف.
• ب) عند الحاجة للاطلاع على القيم الدقيقة لكل نقطة بيانات.
• ج) عند الرغبة في تحليل شكل التوزيع العام للبيانات الكبيرة.
• د) عندما تكون البيانات غير رقمية وتتطلب وصفًا تفصيليًا.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عند الرغبة في تحليل شكل التوزيع العام للبيانات الكبيرة.

الشرح: 1. المدرج التكراري يبرز شكل التوزيع العام للبيانات، مثل التماثل، الانحراف، والفجوات. 2. هذا يكون مفيدًا جدًا عندما تكون كمية البيانات كبيرة ويصعب استخلاص الأنماط من جدول البيانات الفردية.

تلميح: فكّر في الأغراض الرئيسية لكل من المدرج التكراري وجدول البيانات الفردية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

سجلت مجموعة أمهات أعمار أطفالهن بالشهور عند بدء ظهور أسنانهم. إذا كان عدد الأطفال الذين بدأت أسنانهم بالظهور في عمر ٦ شهور أو أكثر هو ١٦ طفلاً، والعدد الكلي للأطفال هو ٢٠ طفلاً، فما الكسر الدال على هذه النسبة في أبسط صورة؟

• أ) 16/20
• ب) 5/4
• ج) 4/5
• د) 1/4

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 4/5

الشرح: 1. عدد الأطفال الذين بدأت أسنانهم بالظهور في عمر ٦ شهور أو أكثر هو ١٦ طفلاً. 2. العدد الكلي للأطفال هو ٢٠ طفلاً. 3. الكسر الدال على النسبة هو ١٦ / ٢٠. 4. بتبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على ٤، نحصل على ٤/٥.

تلميح: لإيجاد الكسر الدال على النسبة، اقسم عدد الأطفال في الفئة المطلوبة على العدد الكلي للأطفال، ثم بسّط الكسر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي من الحالات التالية تستدعي استعمال جدول البيانات الفردية للحصول على أقصى فائدة، بدلاً من المدرج التكراري؟

• أ) عند الرغبة في تحليل شكل التوزيع العام للبيانات الكبيرة جداً.
• ب) عند مقارنة توزيعين أو أكثر من البيانات الرقمية بسرعة.
• ج) عند الحاجة إلى معرفة القيم الدقيقة لكل عنصر في مجموعة بيانات صغيرة.
• د) عند التعامل مع مجموعات بيانات تتضمن فئات واسعة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عند الحاجة إلى معرفة القيم الدقيقة لكل عنصر في مجموعة بيانات صغيرة.

الشرح: جدول البيانات الفردية يظهر كل قيمة على حدة بدقة، وهو أنسب مع البيانات القليلة أو عندما تكون الدقة الفردية للقيم مطلوبة. المدرج التكراري يفقد القيم الفردية الدقيقة ولكنه جيد للبيانات الكبيرة وتحليل شكل التوزيع العام.

تلميح: فكر في الغرض الأساسي من كل أداة عرض بيانات: الدقة الفردية أم التوزيع العام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

سجلت مجموعة أمهات أعمار أطفالهن بالشهور عند بدء ظهور أسنانهم. إذا كان الكسر الدال على نسبة الأطفال الذين بدأت أسنانهم بالظهور في عمر ٦ شهور أو أكثر هو 4/5، وكان عدد هؤلاء الأطفال ١٦ طفلاً، فما العدد الكلي للأطفال في هذه الدراسة؟

• أ) 16 طفلاً
• ب) 25 طفلاً
• ج) 20 طفلاً
• د) 12 طفلاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 20 طفلاً

الشرح: ١. نكتب العلاقة: عدد الأطفال (6+ شهور) / العدد الكلي = الكسر. ٢. بالتعويض: 16 / العدد الكلي = 4/5. ٣. نحل التناسب بضرب الطرفين: 4 × العدد الكلي = 16 × 5. ٤. 4 × العدد الكلي = 80. ٥. نقسم على 4: العدد الكلي = 80 / 4 = 20 طفلاً.

تلميح: استخدم مفهوم التناسب (الكسر) لإيجاد القيمة الكلية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط