تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال تحقق من فهمك (أ-ج): حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: أ) ٨أ = ٥أ + ٢١ ب) ٣س - ٧ = ٨س + ٢٣ ج) ٧م - ١٢ = ٣ + ٧/٣ م

الإجابة: أ) ٨أ = ٥أ + ٢١ ، أ = ٧؛ ب) ٣س - ٧ = ٨س + ٢٣ ، س = -٦؛ ج) ٧م - ١٢ = ٣ + ٧/٣ م ، م = ٤٥/١٤

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والمطلوب لكل جزء** | الجزء | المعادلة | المطلوب | |-------|----------|---------| | (أ) | $8أ = 5أ + 21$ | إيجاد قيمة $أ$ والتحقق | | (ب) | $3س - 7 = 8س + 23$ | إيجاد قيمة $س$ والتحقق | | (ج) | $7م - 12 = 3 + \frac{7}{3} م$ | إيجاد قيمة $م$ والتحقق |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > لحل معادلة خطية بمتغير واحد، نتبع الخطوات: > 1. جمع الحدود المتشابهة (المتغيرات في طرف، الثوابت في الطرف الآخر). > 2. **عزل المتغير** بقسمة طرفي المعادلة على معامل المتغير. > 3. **التحقق** من الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية.
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ) $8أ = 5أ + 21$** 1. نقل الحدود التي تحتوي على المتغير $أ$ إلى طرف واحد بطرح $5أ$ من الطرفين: $$8أ - 5أ = 5أ + 21 - 5أ$$ $$3أ = 21$$ 2. عزل المتغير $أ$ بقسمة الطرفين على معامله (3): $$أ = \frac{21}{3} = 7$$ 3. **التحقق من صحة الحل:** بالتعويض $أ = 7$ في المعادلة الأصلية: $$8 \times 7 = 5 \times 7 + 21$$ $$56 = 35 + 21$$ $$56 = 56 \quad \text{(صحيح)}$$
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب) $3س - 7 = 8س + 23$** 1. نقل الحدود المتغيرة إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر: $$3س - 8س = 23 + 7$$ $$-5س = 30$$ 2. عزل المتغير $س$ بقسمة الطرفين على $-5$: $$س = \frac{30}{-5} = -6$$ 3. **التحقق من صحة الحل:** بالتعويض $س = -6$ في المعادلة الأصلية: $$3(-6) - 7 = 8(-6) + 23$$ $$-18 - 7 = -48 + 23$$ $$-25 = -25 \quad \text{(صحيح)}$$
5. **الخطوة 5: حل الجزء (ج) $7م - 12 = 3 + \frac{7}{3} م$** 1. للتخلص من الكسر، نضرب جميع حدود المعادلة في **المقام المشترك** (3): $$3 \times (7م - 12) = 3 \times (3 + \frac{7}{3} م)$$ $$21م - 36 = 9 + 7م$$ 2. نقل الحدود المتغيرة إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر: $$21م - 7م = 9 + 36$$ $$14م = 45$$ 3. عزل المتغير $م$ بقسمة الطرفين على 14: $$م = \frac{45}{14}$$ 4. **التحقق من صحة الحل:** بالتعويض $م = \frac{45}{14}$ في المعادلة الأصلية: $$7(\frac{45}{14}) - 12 = 3 + \frac{7}{3}(\frac{45}{14})$$ $$\frac{315}{14} - \frac{168}{14} = 3 + \frac{105}{42}$$ $$\frac{147}{14} = 3 + \frac{5}{2}$$ $$\frac{147}{14} = \frac{6}{2} + \frac{5}{2}$$ $$\frac{147}{14} = \frac{11}{2} \rightarrow \frac{147}{14} = \frac{77}{14} \quad \text{(خطأ)}$$ > **ملاحظة مهمة:** يبدو أن هناك خطأ في الإجابة المقدمة في السؤال. دعونا نتحقق مرة أخرى. لنعد الحساب بدقة: $$7(\frac{45}{14}) = \frac{315}{14} = \frac{45}{2}$$ $$\frac{45}{2} - 12 = \frac{45}{2} - \frac{24}{2} = \frac{21}{2}$$ الطرف الأيمن: $$3 + \frac{7}{3} \times \frac{45}{14} = 3 + \frac{315}{42} = 3 + \frac{15}{2} = \frac{6}{2} + \frac{15}{2} = \frac{21}{2}$$ إذن، الطرف الأيسر = الطرف الأيمن = $\frac{21}{2}$. **الحل صحيح**.
6. **الخطوة الأخيرة: الإجابات النهائية** - للجزء (أ): قيمة المتغير هي **$أ = 7$**. - للجزء (ب): قيمة المتغير هي **$س = -6$**. - للجزء (ج): قيمة المتغير هي **$م = \frac{45}{14}$** (أو $\frac{45}{14}$). > تم التحقق من جميع الحلول بالتعويض في معادلاتها الأصلية وثبتت صحتها.

سؤال تحقق من فهمك (د): د) رايات: يقل طول نموذج لعلم المملكة العربية السعودية عن مثلي عرضه بمقدار قدمين، فإذا كان طول محيطه يزيد على عرضه بمقدار ١١ قدمًا، فأوجد بُعدي النموذج.

الإجابة: العرض = ٣ أقدام، الطول = ٤ أقدام

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | **طول** النموذج (ل) | يقل عن **مثلي** عرضه بمقدار **قدمين** | $ل = 2ع - 2$ | | **محيط** النموذج (م) | يزيد على **عرضه** بمقدار **11 قدمًا** | $م = ع + 11$ | | **محيط** المستطيل (علاقة معروفة) | $م = 2(ل + ع)$ | $م = 2ل + 2ع$ | | **المطلوب** | إيجاد **بُعدي** النموذج: **الطول ($ل$)** و **العرض ($ع$)** | |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > نحل المسائل الكلامية عن طريق: > 1. **ترجمة** الكلمات إلى معادلات رياضية باستخدام متغيرات. > 2. **تكوين نظام من معادلتين** وحله باستخدام التعويض أو الحذف. > 3. **التأكد** من أن الحل يلقي جميع الشروط المذكورة في المسألة.
3. **الخطوة 3: تكوين نظام المعادلات** من جدول المعطيات: 1. $ل = 2ع - 2$ ... **(1)** 2. $م = ع + 11$ ... **(2)** 3. $م = 2ل + 2ع$ ... **(3)** > نلاحظ أن المعادلة (3) تعطي علاقة بين $م$، $ل$، $ع$.
4. **الخطوة 4: حل النظام (بالتعويض)** - من المعادلتين (2) و (3)، نعوض بقيمة $م$ من (2) في (3): $$ع + 11 = 2ل + 2ع$$ $$ع + 11 - 2ع = 2ل$$ $$-ع + 11 = 2ل$$ $$2ل = 11 - ع$$ $$ل = \frac{11 - ع}{2}$$ ... **(4)** - الآن لدينا معادلتان تعبران عن $ل$: (1) و (4). نعوض (1) في (4): $$2ع - 2 = \frac{11 - ع}{2}$$ - للتخلص من الكسر، نضرب الطرفين في 2: $$2 \times (2ع - 2) = 11 - ع$$ $$4ع - 4 = 11 - ع$$ - نجمع الحدود المتشابهة: $$4ع + ع = 11 + 4$$ $$5ع = 15$$ - نقسم الطرفين على 5: $$ع = 3$$
5. **الخطوة 5: إيجاد الطول ($ل$)** نعوض بقيمة $ع = 3$ في المعادلة (1): $$ل = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$$
6. **الخطوة 6: التحقق من صحة الحل** - **الشرط الأول:** الطول ($ل=4$) يجب أن يقل عن مثلي العرض ($2 \times 3 = 6$) بمقدار قدمين: $6 - 2 = 4$ (صح). - **الشرط الثاني:** المحيط $م = 2ل + 2ع = 2(4) + 2(3) = 8 + 6 = 14$ قدم. وهذا المحيط ($14$) يجب أن يزيد على العرض ($3$) بمقدار $11$ قدمًا: $3 + 11 = 14$ (صح).
7. **الإجابة النهائية:** بُعدا نموذج علم المملكة العربية السعودية هما: - **العرض = 3 أقدام** - **الطول = 4 أقدام**

ما هي الخطوة الأولى الموصى بها عند حل معادلة خطية تتضمن متغيرات في كلا الطرفين، مثل ٦ن - ١ = ٤ن - ٥؟

• أ) قسمة كل طرف على معامل المتغير.
• ب) ضرب كل طرف في المقام المشترك الأصغر.
• ج) نقل الحدود المتضمنة للمتغير إلى طرف واحد من المعادلة.
• د) نقل الثوابت إلى طرف واحد من المعادلة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نقل الحدود المتضمنة للمتغير إلى طرف واحد من المعادلة.

الشرح: الخطوة الأولى لحل معادلة خطية بمتغيرات في طرفيها هي جمع كل الحدود التي تحتوي على المتغير في طرف واحد من المعادلة، عادةً عن طريق الطرح أو الإضافة من الطرفين.

تلميح: فكر في كيفية تجميع الحدود المتشابهة لتبسيط المعادلة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند تبسيط المعادلة ٣٥ + ٠,٣٠ د = ٤٥ + ٠,٣٠ د، ما هو الاستنتاج الصحيح بخصوص حلها؟

• أ) يوجد عدد لا نهائي من الحلول.
• ب) د = ٢٠٠.
• ج) لا يوجد حل للمعادلة.
• د) د = ٠.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا يوجد حل للمعادلة.

الشرح: 1. اطرح ٠,٣٠ د من الطرفين: ٣٥ + ٠,٣٠ د - ٠,٣٠ د = ٤٥ + ٠,٣٠ د - ٠,٣٠ د. 2. ينتج عن ذلك: ٣٥ = ٤٥. 3. بما أن هذه العبارة خاطئة (٣٥ لا تساوي ٤٥)، فهذا يعني أن المعادلة الأصلية ليس لها حل.

تلميح: ماذا يحدث عندما تقوم بطرح '٠,٣٠ د' من كلا الطرفين؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كان طول نموذج (ل) يقل عن مثلي عرضه (ع) بمقدار قدمين، ومحيطه (م) يزيد على عرضه بمقدار ١١ قدمًا، فما المعادلتان الصحيحتان اللتان تعبران عن هذه العلاقات؟

• أ) ل = ٢(ع - ٢) و م = ١١ + ٢ع
• ب) ل = ع - ٢ و م = ١١ + ع
• ج) ل = ٢ع - ٢ و م = ع + ١١
• د) ل = ٢ع + ٢ و م = ع - ١١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ل = ٢ع - ٢ و م = ع + ١١

الشرح: 1. 'يقل طول نموذج (ل) عن مثلي عرضه (ع) بمقدار قدمين' تترجم إلى: ل = ٢ع - ٢. 2. 'محيطه (م) يزيد على عرضه (ع) بمقدار ١١ قدمًا' تترجم إلى: م = ع + ١١.

تلميح: ترجمة 'يقل عن مثلي' و 'يزيد على' بشكل صحيح.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند حل مسألة كلامية تتضمن عدة علاقات بين متغيرين (مثل الطول والعرض أو تكلفة الاشتراك والدقائق)، ما هو النهج المنهجي لحل مثل هذه المسائل؟

• أ) تخمين قيم المتغيرات والتحقق منها عن طريق التجربة والخطأ.
• ب) التركيز على إيجاد معادلة واحدة شاملة لكل المتغيرات في نفس الوقت.
• ج) ترجمة المعطيات إلى نظام من معادلتين خطيتين ثم حل النظام بالتعويض أو الحذف.
• د) رسم الموقف البياني واستنتاج الحل من الرسم فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ترجمة المعطيات إلى نظام من معادلتين خطيتين ثم حل النظام بالتعويض أو الحذف.

الشرح: المبدأ المنهجي هو ترجمة كل جزء من المسألة الكلامية إلى معادلة رياضية. إذا كان لدينا مجهولان، سنحتاج إلى تكوين نظام من معادلتين خطيتين. بعد ذلك، يمكن حل هذا النظام باستخدام طرق مثل التعويض (إيجاد قيمة أحد المتغيرات بدلالة الآخر ثم تعويضها في المعادلة الثانية) أو الحذف (جمع أو طرح المعادلات للتخلص من أحد المتغيرات).

تلميح: فكر في كيفية تحويل النص إلى لغة رياضية قابلة للحل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط