نشاط - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال تحقق من فهمك: استعمل بطاقات الجبر لحل كل معادلة فيما يأتي: ز) س + 6 = 3س - 2 ح) 3س + 3 = س - 5 ط) س - 4 = 2س + 5 ي) 3س - 2 = 2س + 3 ك) 2س + 1 = س - 7 ل) 2س + 5 = 4س - 1

الإجابة: س(ز): س = 4، س(ح): س = -4، س(ط): س = -9، س(ي): س = 5، س(ك): س = -8، س(ل): س = 3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعادلة | الصيغة الرياضية | المطلوب | |----------|------------------|---------| | ز | $س + 6 = 3س - 2$ | إيجاد قيمة $س$ | | ح | $3س + 3 = س - 5$ | إيجاد قيمة $س$ | | ط | $س - 4 = 2س + 5$ | إيجاد قيمة $س$ | | ي | $3س - 2 = 2س + 3$ | إيجاد قيمة $س$ | | ك | $2س + 1 = س - 7$ | إيجاد قيمة $س$ | | ل | $2س + 5 = 4س - 1$ | إيجاد قيمة $س$ |
2. **الخطوة 2: المبدأ أو القانون المستخدم** > **مبدأ توازن المعادلة (خصائص المساواة)**: يمكن إضافة أو طرح نفس المقدار من طرفي المعادلة دون التأثير على المساواة. كذلك يمكن ضرب أو قسمة الطرفين على نفس العدد (غير الصفر). **الفكرة العامة للحل**: نقل جميع الحدود التي تحتوي على المتغير $س$ إلى طرف واحد، والحدود الثابتة (الأعداد) إلى الطرف الآخر، ثم تبسيط الطرفين لإيجاد قيمة $س$.
3. **الخطوة 3: حل المعادلة (ز) $س + 6 = 3س - 2$ خطوة بخطوة (كمثال تفصيلي)** 1. **نقل الحدود المجهولة إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر**: - نطرح $س$ من الطرفين للتخلص من $س$ في الطرف الأيسر: $$س + 6 - س = 3س - 2 - س$$ $$6 = 2س - 2$$ - نضيف $2$ إلى الطرفين للتخلص من $-2$ في الطرف الأيمن: $$6 + 2 = 2س - 2 + 2$$ $$8 = 2س$$ 2. **جعل $س$ موضوعاً للقانون**: - نقسم الطرفين على $2$ لعزل $س$: $$\frac{8}{2} = \frac{2س}{2}$$ $$س = 4$$ > **التحقق**: بالتعويض $س = 4$ في المعادلة الأصلية: $4 + 6 = 10$ و $3(4)-2=10$، إذن المساواة صحيحة.
4. **الخطوة 4: حل باقي المعادلات بطريقة مماثلة** | المعادلة | خطوات الحل | النتيجة | |----------|------------|---------| | **(ح)** $3س + 3 = س - 5$ | $3س - س = -5 - 3$ <br> $2س = -8$ <br> $س = \frac{-8}{2}$ | **$س = -4$** | | **(ط)** $س - 4 = 2س + 5$ | $س - 2س = 5 + 4$ <br> $-س = 9$ <br> $س = -9$ | **$س = -9$** | | **(ي)** $3س - 2 = 2س + 3$ | $3س - 2س = 3 + 2$ <br> $س = 5$ | **$س = 5$** | | **(ك)** $2س + 1 = س - 7$ | $2س - س = -7 - 1$ <br> $س = -8$ | **$س = -8$** | | **(ل)** $2س + 5 = 4س - 1$ | $5 + 1 = 4س - 2س$ <br> $6 = 2س$ <br> $س = 3$ | **$س = 3$** |
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيم المتغير $س$ التي تحقق كل معادلة من المعادلات الست هي: - المعادلة **(ز)**: $\boxed{س = 4}$ - المعادلة **(ح)**: $\boxed{س = -4}$ - المعادلة **(ط)**: $\boxed{س = -9}$ - المعادلة **(ي)**: $\boxed{س = 5}$ - المعادلة **(ك)**: $\boxed{س = -8}$ - المعادلة **(ل)**: $\boxed{س = 3}$

سؤال 2: وضّح لماذا يمكنك حذف بطاقة س واحدة من كل طرف في لوحة المعادلة.

الإجابة: س2: لأن طرح نفس المقدار من الطرفين يبقي المساواة صحيحة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | لدينا لوحة معادلة ممثلة ببطاقات جبر. في كل طرف من طرفي المعادلة، هناك بطاقة واحدة تمثل المتغير $س$. | توضيح السبب الذي يسمح لنا **بحذف بطاقة $س$ واحدة من كل طرف** مع الحفاظ على صحة المعادلة. |
2. **الخطوة 2: المبدأ أو القانون المستخدم** > **خاصية الطرح للمساواة (أحد خصائص المساواة)**: إذا تساوى مقداران، فإن طرح نفس العدد من كلا المقدارين ينتج مقدارين متساويين أيضاً. رياضياً: إذا كان $أ = ب$، فإن $أ - ج = ب - ج$ لأي عدد $ج$. > **التفسير بالاعتماد على ميزان المعادلة**: المعادلة تشبه الميزان المتوازن. إزالة وزن متساوي من كفتي الميزان تحافظ على توازنه.
3. **الخطوة 3: التطبيق على بطاقات الجبر والشرح التفصيلي** 1. **تمثيل الموقف**: لنفرض أن المعادلة الأصلية هي $س + 2 = س + 2$ (كمثال بسيط). تمثل بلوحة البطاقات: - الطرف الأيسر: بطاقة $س$ + بطاقتين للعدد (1). - الطرف الأيمن: بطاقة $س$ + بطاقتين للعدد (1). 2. **عملية الحذف**: - عندما نحذف بطاقة $س$ من الطرف الأيسر، فهذا يمثل **طرح $س$ من ذلك الطرف**. - لكي نحافظ على المساواة، يجب أن **نطرح المقدار نفسه ($س$) من الطرف الأيمن** أيضاً. - لذا، نحذف بطاقة $س$ من الطرف الأيمن في نفس الوقت. 3. **النتيجة**: بعد الحذف، يصبح الطرفان $2 = 2$، أي أن المساواة لا تزال قائمة.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** > يُمكن حذف بطاقة $س$ واحدة من كل طرف في لوحة المعادلة لأن هذه العملية تمثل **طرح نفس المقدار (وهو $س$) من طرفي المعادلة**. ووفقاً **لخاصية الطرح للمساواة**، فإن طرح نفس المقدار من طرفي المعادلة لا يخل بالمساواة ويبقيها صحيحة. هذا المبدأ هو أساس العديد من خطوات حل المعادلات الجبرية.

سؤال 3: حلّ المعادلة س + 4 = 3س - 4 بحذف بطاقات العدد (1) أولاً، ثم حُلّها بحذف بطاقات س أولاً. هل يؤثر حذف البطاقات التي تحمل العدد (1) أو بطاقات س أولاً؟ هل إحدى الطريقتين أكثر ملاءمة للحل؟ وضّح ذلك.

الإجابة: س3: لا يؤثر الترتيب. الحل: س = 4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | المعادلة: $س + 4 = 3س - 4$ | 1. حل المعادلة بطريقة **حذف بطاقات العدد (1) أولاً**.<br>2. حل المعادلة بطريقة **حذف بطاقات $س$ أولاً**.<br>3. مناقشة: هل يؤثر ترتيب الحذف؟ وهل إحدى الطريقتين أكثر ملاءمة؟ |
2. **الخطوة 2: المبدأ أو القانون المستخدم** > **خصائص المساواة (الجمع والطرح)**: يمكننا إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المعادلة دون التأثير على الحل النهائي. ترتيب تطبيق هذه الخصائص لا يغير النتيجة ما دامت العمليات صحيحة.
3. **الخطوة 3: الطريقة الأولى (حذف بطاقات العدد أولاً)** **الهدف**: التخلص من الحدود الثابتة (الأعداد) أولاً. 1. **المعادلة الأصلية**: $$س + 4 = 3س - 4$$ 2. **نضيف $4$ إلى الطرفين** للتخلص من $-4$ في الطرف الأيمن (أي نلغي بطاقات العدد السالبة): $$س + 4 + 4 = 3س - 4 + 4$$ $$س + 8 = 3س$$ 3. **نطرح $س$ من الطرفين** للتخلص من $س$ في الطرف الأيسر: $$س + 8 - س = 3س - س$$ $$8 = 2س$$ 4. **نقسم الطرفين على $2$**: $$س = 4$$ **نتيجة الطريقة الأولى**: $\boxed{س = 4}$
4. **الخطوة 4: الطريقة الثانية (حذف بطاقات $س$ أولاً)** **الهدف**: التخلص من الحدود التي تحتوي على المتغير أولاً. 1. **المعادلة الأصلية**: $$س + 4 = 3س - 4$$ 2. **نطرح $س$ من الطرفين** للتخلص من $س$ في الطرف الأيسر: $$س + 4 - س = 3س - 4 - س$$ $$4 = 2س - 4$$ 3. **نضيف $4$ إلى الطرفين** للتخلص من $-4$ في الطرف الأيمن: $$4 + 4 = 2س - 4 + 4$$ $$8 = 2س$$ 4. **نقسم الطرفين على $2$**: $$س = 4$$ **نتيجة الطريقة الثانية**: $\boxed{س = 4}$
5. **الخطوة 5: المقارنة والمناقشة** | السؤال | الإجابة والتحليل | |--------|------------------| | **هل يؤثر ترتيب حذف البطاقات (العدد أولاً أم $س$ أولاً) على الحل النهائي؟** | **لا، لا يؤثر**. كلا الطريقتين قادتنا إلى نفس الحل $س=4$. وذلك لأن خصائص المساواة تسمح بإجراء العمليات بأي ترتيب طالما أننا نطبق العملية نفسها على الطرفين. | | **هل إحدى الطريقتين أكثر ملاءمة للحل؟** | **يعتمد على الملاءمة الشخصية وطبيعة المعادلة**:<br>1. **حذف العدد أولاً** (الطريقة الأولى): قد تكون أكثر وضوحاً لبعض الطلاب لأنها تتخلص من الثوابت السالبة أولاً، فتبقى المعادلة بسيطة.<br>2. **حذف $س$ أولاً** (الطريقة الثانية): تؤدي إلى معادلة مثل $4 = 2س - 4$، والتي تحتاج خطوة إضافية لنقل الثابت. <br> **بشكل عام**: في هذه المعادلة بالتحديد، الطريقتان متقاربتان في السهولة، وليس هناك فارق كبير في الكفاءة. | > **ملاحظة**: في معادلات أخرى، قد يكون الترتيب الأكثر ملاءمة هو الذي يتجنب ظهور معاملات سالبة للمتغير أو يقلل من عدد الخطوات.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** - **حل المعادلة $س + 4 = 3س - 4$ هو $\boxed{س = 4}$ بكلتا الطريقتين.** - **ترتيب حذف البطاقات (العدد أم المتغير أولاً) لا يؤثر على صحة الحل النهائي** بسبب خصائص المساواة الثابتة. - **اختيار الطريقة الأكثر ملاءمة** يرجع إلى تفضيل الشخص وطبيعة الأعداد في المعادلة، ولكل طريقة مزاياها.

سؤال 4: خمّن: في مجموعة بطاقات الجبر، تمثّل -س بالبطاقة -س، وضّح كيف يمكنك استعمال بطاقة (-س) وبطاقات الجبر الأخرى لحل المعادلة: -3س + 4 = -2س - 1.

الإجابة: س4: الحل: س = 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطى | المطلوب | |--------|---------| | 1. مجموعة بطاقات جبر تحتوي على بطاقات تمثل $س$ و $-س$ والأعداد الموجبة والسالبة.<br>2. المعادلة: $-3س + 4 = -2س - 1$ | توضيح كيفية استخدام بطاقات الجبر، خاصة **بطاقة $-س$**، لحل المعادلة. ثم إيجاد قيمة $س$. |
2. **الخطوة 2: المبدأ أو القانون المستخدم** > **خصائص المساواة (الجمع والطرح)**: يمكن إضافة أو طرح نفس المقدار من طرفي المعادلة. > **تمثيل الحدود السالبة**: يمكن التفكير في إضافة بطاقة $(-س)$ كطرح $س$، وإضافة بطاقة $(+س)$ كإضافة $س$. **الفكرة الرئيسية**: نريد عزل المتغير $س$ في طرف واحد باستخدام عمليات على بطاقات الجبر.
3. **الخطوة 3: تمثيل المعادلة ببطاقات الجربل** - **الطرف الأيسر ($-3س + 4$)**: يمثل بـ 3 بطاقات من نوع **$-س$** و 4 بطاقات من العدد **$+1$**. - **الطرف الأيمن ($-2س - 1$)**: يمثل بـ 2 بطاقة من نوع **$-س$** و 1 بطاقة من العدد **$-1$**. > **تذكير**: بطاقة $(-س)$ تمثل سالب $س$، أي $-1 \times س$.
4. **الخطوة 4: خطوات الحل باستخدام بطاقات الجبر** **الهدف**: التخلص من بطاقات $(-س)$ في أحد الطرفين لجعل المعادلة أسهل. 1. **إضافة $2س$ (أو بطاقتين $+س$) إلى الطرفين**: - بما أن لدينا بطاقات $(-س)$، فإضافة $+س$ تعادل إزالة تأثير سالب. ولكن إذا لم تكن بطاقات $+س$ متوفرة، يمكننا استخدام فكرة **إضافة $2س$** عن طريق إضافة بطاقتين $+س$ إلى كل طرف. - **التمثيل**: - الطرف الأيسر: $(-3س) + 2س = -س$، ويبقى $+4$. - الطرف الأيمن: $(-2س) + 2س = 0$، ويبقى $-1$. - **المعادلة تصبح**: $-س + 4 = -1$ 2. **التخلص من الحد الثابت $+4$ في الطرف الأيسر**: - نطرح $4$ (أو نضيف $-4$) من الطرفين باستخدام بطاقات العدد السالبة. - **التمثيل**: - الطرف الأيسر: $-س + 4 - 4 = -س$ - الطرف الأيمن: $-1 - 4 = -5$ - **المعادلة تصبح**: $-س = -5$ 3. **جعل $س$ موجبة**: - لدينا $-س = -5$. لتحويل $-س$ إلى $س$، نضرب الطرفين في $-1$ (أو نضيف $س$ إلى الطرفين ثم نضيف $5$). - **باستخدام بطاقات الجبر**: يمكن إضافة بطاقة $س$ إلى الطرفين، ثم إضافة $5$ إلى الطرفين. لكن الأسهل هو إدراك أن $-س = -5$ تعني أن $س = 5$. **الخطوات**: - نضيف $س$ إلى الطرفين: $-س + س = -5 + س$ → $0 = -5 + س$. - نضيف $5$ إلى الطرفين: $0 + 5 = -5 + س + 5$ → $5 = س$. **التحقق باستخدام البطاقات**: بعد هذه العمليات، يتوازن الطرفان عندما تكون $س=5$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** باستخدام بطاقات الجبر وتطبيق خصائص المساواة، فإن حل المعادلة $-3س + 4 = -2س - 1$ هو: $$\boxed{س = 5}$$ > **ملاحظة**: يمكن الوصول إلى الحل نفسه بالخطوات الجبرية التقليدية: > 1. أضف $3س$ للطرفين: $4 = س - 1$ > 2. أضف $1$ للطرفين: $5 = س$.

ما المبدأ الرياضي الذي يسمح بحذف بطاقة $س$ واحدة من كل طرف في لوحة المعادلة؟

• أ) خاصية الجمع للمساواة
• ب) خاصية القسمة للمساواة
• ج) خاصية الضرب للمساواة
• د) خاصية الطرح للمساواة

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: خاصية الطرح للمساواة

الشرح: يُمكن حذف بطاقة $س$ واحدة من كل طرف في لوحة المعادلة لأن هذه العملية تمثل طرح نفس المقدار ($س$) من طرفي المعادلة. ووفقاً لخاصية الطرح للمساواة، فإن طرح نفس المقدار من طرفي المعادلة لا يخل بالمساواة ويبقيها صحيحة.

تلميح: فكر في كيفية بقاء الميزان متوازناً عند إزالة نفس الوزن من كفتيه.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

عند حل معادلة $س + 4 = 3س - 4$ باستخدام بطاقات الجبر، هل يؤثر ترتيب حذف بطاقات العدد (1) أو بطاقات $س$ أولاً على الحل النهائي؟

• أ) نعم، يؤثر بشكل كبير ويغير قيمة $س$.
• ب) لا، لا يؤثر الترتيب على الحل النهائي.
• ج) يؤثر إذا كانت هناك حدود سالبة فقط.
• د) يؤثر فقط إذا كانت معاملات $س$ مختلفة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، لا يؤثر الترتيب على الحل النهائي.

الشرح: خصائص المساواة (الجمع والطرح) تسمح بإجراء العمليات بأي ترتيب طالما أن نفس العملية تطبق على الطرفين. كلا الطريقتين (حذف العدد أولاً أو حذف المتغير $س$ أولاً) ستقود إلى نفس الحل $س=4$.

تلميح: تذكر أن خصائص المساواة تسمح بتطبيق العمليات بترتيب معين طالما أنها صحيحة.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما قيمة $س$ في المعادلة $3س - 2 = 2س + 3$ عند حلها باستخدام بطاقات الجبر؟

• أ) $س = 5$
• ب) $س = 1$
• ج) $س = -5$
• د) $س = -1$

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: $س = 5$

الشرح: 1. اطرح $2س$ من الطرفين: $3س - 2س - 2 = 2س - 2س + 3$ فتصبح $س - 2 = 3$. 2. أضف $2$ إلى الطرفين: $س - 2 + 2 = 3 + 2$ فتصبح $س = 5$.

تلميح: ابدأ بنقل بطاقات $س$ إلى طرف واحد وبطاقات الأعداد إلى الطرف الآخر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما قيمة $س$ في المعادلة $-3س + 4 = -2س - 1$ عند حلها باستخدام بطاقات الجبر التي تتضمن بطاقات $-س$؟

• أ) $س = 3$
• ب) $س = -5$
• ج) $س = 5$
• د) $س = 1$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $س = 5$

الشرح: 1. أضف $3س$ (ثلاث بطاقات $س$ موجبة) إلى الطرفين: $-3س + 4 + 3س = -2س - 1 + 3س$ فتصبح $4 = س - 1$. 2. أضف $1$ (بطاقة عدد موجبة) إلى الطرفين: $4 + 1 = س - 1 + 1$ فتصبح $5 = س$.

تلميح: حاول التخلص من بطاقات $-س$ في أحد الطرفين أولاً عن طريق إضافة بطاقات $س$ موجبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب