التخمين والتحقق - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ١: في المسألة أعلاه، المبلغ المجموع من ٢٣ صغيرًا و ٥ كبار يساوي أيضًا ٦٦٠٠ ريالاً. وضّح لماذا لا يكون هذا هو الجواب الصحيح؟

الإجابة: لأن شرط المسألة أن يكون عدد المشاركين ٣٠ مشاركاً، بينما ٢٣ + ٥ = ٢٨ ≠ ٣٠.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات والمطلوب من السياق** | العنصر | الوصف | القيمة/الشرط | |--------|--------|--------------| | **المعطى 1** | عدد الصغار المحتمل | 23 | | **المعطى 2** | عدد الكبار المحتمل | 5 | | **المعطى 3** | المبلغ المجموع من هذا العدد | 6600 ريال | | **المعطى 4 (الشرط الأساسي)** | **العدد الإجمالي للمشاركين** في المسألة الأصلية | **30 مشاركاً** | | **المطلوب** | توضيح سبب عدم صحة أن (23 صغيراً، 5 كباراً) هو حل للمسألة. | |
2. **الخطوة 2: تحديد المبدأ أو القانون المستخدم** > في أي مسألة، يجب أن يحقق الحل **جميع** الشروط المذكورة فيها، وليس شرطاً واحداً فقط.
3. **الخطوة 3: التحقق من شروط المسألة خطوة بخطوة** 1. **الشرط الأول (المبلغ المالي):** * تم ذكره في نص السؤال أن هذا العدد (23 صغيراً، 5 كباراً) يحقق مجموع مبلغ 6600 ريال. * ✅ هذا الشرط **محقق**. 2. **الشرط الثاني (عدد المشاركين):** * نحسب العدد الإجمالي للمشاركين في هذا الحل: $23 + 5 = 28$ مشاركاً. * نقارنه بالشرط الأساسي للمسألة وهو 30 مشاركاً: $28 \neq 30$. * ❌ هذا الشرط **غير محقق**.
4. **الخطوة 4: الاستنتاج النهائي** بما أن الحل المقترح (23 صغيراً، 5 كباراً) **لا يحقق كافة شروط المسألة** (فحقق الشرط المالي فقط ولم يحقق شرط العدد الإجمالي)، فإنه **لا يمكن اعتباره حلاً صحيحاً** للمسألة الأصلية.
5. **الإجابة النهائية:** لا يعتبر هذا التوزيع (٢٣ صغيرًا و٥ كبارًا) حلاً للمسألة لأن العدد الكلي للأشخاص الناتج (٢٨) لا يساوي العدد المطلوب في نص المسألة وهو ٣٠ مشاركاً، على الرغم من تحقيقه للمبلغ المطلوب (٦٦٠٠ ريال).

سؤال ٢: اكتب مسألة يمكنك حلها بالتخمين والتحقق، ثم اكتب الخطوات المطلوبة لإيجاد الحل.

الإجابة: مسألة: ١٥ عملة (٥ و ١٠) قيمتها ١١٠. كم عدد كل فئة؟ الحل: بالتخمين ٧×١٠ + ٨×٥ = ١١٠. إذن ٧ من فئة ١٠ و ٨ من فئة ٥.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المسألة وعرض المعطيات والمطلوب** **المسألة المقترحة:** لدى أحمد 15 عملة معدنية، بعضها من فئة 5 ريالات والبعض الآخر من فئة 10 ريالات. إذا كان المجموع الكلي للنقود هو 110 ريالات، فكم عملة من كل فئة لديه؟ | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | **العدد الكلي للعملات** | $T$ | 15 | عملة | | **قيمة العملة الصغيرة** | $S$ | 5 | ريال/عملة | | **قيمة العملة الكبيرة** | $L$ | 10 | ريال/عملة | | **القيمة الإجمالية** | $V$ | 110 | ريال | | **المطلوب** | عدد العملات من فئة الـ 5 ريالات ($x$) وعدد العملات من فئة الـ 10 ريالات ($y$). | | |
2. **الخطوة 2: شرح استراتيجية الحل (التخمين والتحقق)** > **استراتيجية التخمين والتحقق:** هي طريقة لحل المسائل نبدأ فيها بتخمين منطقي للحل، ثم نتحقق من صحته بالتعويض في شروط المسألة. إذا لم يكن صحيحاً، نعدل تخميننا بناءً على النتيجة حتى نصل إلى الحل الصحيح.
3. **الخطوة 3: تطبيق خطوات التخمين والتحقق** نعلم أن: 1. $x + y = 15$ (شرط العدد الإجمالي). 2. $(x \times 5) + (y \times 10) = 110$ (شرط القيمة الإجمالية). **لنبدأ بالتخمين المنظم:** | المحاولة (التخمين) | عدد عملات 5 ريالات ($x$) | عدد عملات 10 ريالات ($y$) | **التحقق من شرط العدد:** $x + y$ | **التحقق من شرط القيمة:** $(5x + 10y)$ | **الملاحظة / الإجراء التالي** | |-------------------|--------------------------|---------------------------|-----------------------------------|------------------------------------|--------------------------------| | **1** | 10 | 5 | $10+5=15$ ✅ | $(5\times10)+(10\times5)=50+50=100$ ❌ (أقل من 110) | القيمة أقل من المطلوب، نحتاج المزيد من العملات ذات القيمة الأعلى (10 ريالات). | | **2** | 5 | 10 | $5+10=15$ ✅ | $(5\times5)+(10\times10)=25+100=125$ ❌ (أكثر من 110) | القيمة أكبر من المطلوب، نحتاج تقليل العملات ذات القيمة الأعلى. | | **3** | 8 | 7 | $8+7=15$ ✅ | $(5\times8)+(10\times7)=40+70=110$ ✅ | **جميع الشروط محققة.** |
4. **الخطوة 4: استخلاص الحل النهائي** بناءً على نتيجة التحقق في المحاولة الثالثة، نجد أن التخمين $x=8$ و $y=7$ يحقق كلاً من: - **شرط العدد:** $8 + 7 = 15$ عملة. - **شرط القيمة:** $(8 \times 5) + (7 \times 10) = 40 + 70 = 110$ ريال.
5. **الإجابة النهائية:** إذن، لدى أحمد **٨ عملات** من فئة **٥ ريالات**، و **٧ عملات** من فئة **١٠ ريالات**.

في مسألة الدورة التدريبية المذكورة، المبلغ المجموع من ٢٣ صغيرًا و ٥ كبار يساوي ٦٦٠٠ ريالاً. لماذا لا يعتبر هذا التوزيع (٢٣ صغيرًا و ٥ كبار) حلاً صحيحًا كاملاً للمسألة، على الرغم من تحقق شرط المبلغ؟

• أ) لأن المبلغ المجموع (٦٦٠٠ ريال) لا يتطابق مع المبلغ المطلوب في المسألة.
• ب) لأن العدد الإجمالي للمشاركين (٢٨ شخصًا) لا يتطابق مع العدد المطلوب في المسألة وهو ٣٠ شخصًا.
• ج) لأن سعر اشتراك الكبار (٤٠٠ ريال) كان خاطئًا في الحساب.
• د) لأن هذا التوزيع يتجاوز العدد الأقصى المسموح به للمشاركين في الدورة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن العدد الإجمالي للمشاركين (٢٨ شخصًا) لا يتطابق مع العدد المطلوب في المسألة وهو ٣٠ شخصًا.

الشرح: ١. المسألة الأصلية تتطلب شرطين أساسيين للحل: أن يكون مجموع المبلغ ٦٦٠٠ ريال، وأن يكون العدد الكلي للمشاركين ٣٠ شخصًا. ٢. توزيع (٢٣ صغيرًا و ٥ كبار) يحقق الشرط الأول وهو المبلغ: $(٢٣ imes ٢٠٠) + (٥ imes ٤٠٠) = ٤٦٠٠ + ٢٠٠٠ = ٦٦٠٠$ ريال. ٣. لكنه لا يحقق الشرط الثاني وهو العدد الكلي للمشاركين: $٢٣ + ٥ = ٢٨$ شخصًا، وهذا لا يساوي ٣٠ شخصًا المطلوبين. ٤. لذلك، لا يمكن اعتبار هذا التوزيع حلاً صحيحًا كاملاً للمسألة لأنه لم يحقق جميع الشروط.

تلميح: تذكر أن الحل الصحيح يجب أن يحقق جميع شروط المسألة المذكورة، وليس شرطًا واحدًا فقط.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

لدى أحمد ١٥ عملة معدنية، بعضها من فئة ٥ ريالات والبعض الآخر من فئة ١٠ ريالات. إذا كان المجموع الكلي للنقود ١١٠ ريالات، فكم عملة من فئة ٥ ريالات وكم عملة من فئة ١٠ ريالات يمتلك أحمد؟

• أ) ١٠ عملات من فئة ٥ ريالات و ٥ عملات من فئة ١٠ ريالات.
• ب) ٧ عملات من فئة ٥ ريالات و ٨ عملات من فئة ١٠ ريالات.
• ج) ٨ عملات من فئة ٥ ريالات و ٧ عملات من فئة ١٠ ريالات.
• د) ٩ عملات من فئة ٥ ريالات و ٦ عملات من فئة ١٠ ريالات.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٨ عملات من فئة ٥ ريالات و ٧ عملات من فئة ١٠ ريالات.

الشرح: ١. نستخدم استراتيجية التخمين والتحقق لإيجاد العددين $x$ و $y$ (حيث $x$ لـ ٥ ريالات و $y$ لـ ١٠ ريالات) بحيث: $x + y = ١٥$ و $(٥x) + (١٠y) = ١١٠$. ٢. تخمين 1: ٩ عملات (٥ ريالات) و ٦ عملات (١٠ ريالات). المجموع الكلي: $٩ + ٦ = ١٥$. القيمة الإجمالية: $(٩ imes ٥) + (٦ imes ١٠) = ٤٥ + ٦٠ = ١٠٥$ ريال (أقل من ١١٠). ٣. تخمين 2: ٨ عملات (٥ ريالات) و ٧ عملات (١٠ ريالات). المجموع الكلي: $٨ + ٧ = ١٥$. القيمة الإجمالية: $(٨ imes ٥) + (٧ imes ١٠) = ٤٠ + ٧٠ = ١١٠$ ريال. ٤. هذا التخمين يحقق كلا الشرطين. ٥. إذن، الحل هو ٨ عملات من فئة ٥ ريالات و ٧ عملات من فئة ١٠ ريالات.

تلميح: ابدأ بتخمين منطقي لعدد العملات من كل فئة بحيث يكون مجموعها ١٥، ثم تحقق من القيمة الإجمالية للمبلغ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط