نظرية الأعداد - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 3: نظرية الأعداد: ناتج مربع عدد يساوي ٥٧٦، فما العدد؟

الإجابة: س٣: ٢٤

خطوات الحل:

1. | المطلوب | المعطيات | |----------|-----------| | العدد (س) | $س^2 = 576$ |
2. **المبدأ المستخدم:** لإيجاد العدد من مربعه، نأخذ الجذر التربيعي للمعادلة: $س = \sqrt{576}$ أو $س = -\sqrt{576}$. ونظراً لأن السؤال عام وليس محدداً بالإشارة، عادةً في هذا السياق يُقصد العدد الموجب.
3. **خطوات الحل:** 1. نبحث عن العدد الصحيح الذي مربعه يساوي 576. 2. نلاحظ أن: - $20^2 = 400$ (أقل من 576) - $25^2 = 625$ (أكثر من 576) - إذن العدد بين 20 و 25. 3. نجرب: - $24^2 = 24 \times 24 = 576$ ✓ - $(-24)^2 = 576$ أيضاً لكن الإجابة عادةً تكون موجبة.
4. **الإجابة النهائية:** العدد الذي مربعه ٥٧٦ هو **٢٤** (أو سالب ٢٤، لكن الإجابة الأكثر شيوعاً في هذا السياق هي ٢٤).

سؤال 4: عملة: مع حمد مبلغ ٥,٢٢ ريالاً مكونًا من الفئات الآتية: ١/٢ ريال، ريال، ١٠ ريالات. فإذا كان عدد العملات التي معه ١٦ عملة، فما عدد كل فئة منها؟

الإجابة: س٤: ١/٢ ريال: ٥ عملات، ١٠ ريالات: ١ عملة، ١ ريال: ١٠ عملات

خطوات الحل:

1. | المجهول | المعطيات | |----------|-----------| | عدد عملات **نصف ريال** (ن) | - مجموع المبلغ = ٥,٢٢ ريال. | عدد عملات **ريال** (ر) | - الفئات: ٠,٥ ريال، ١ ريال، ١٠ ريالات. | عدد عملات **عشرة ريالات** (ع) | - عدد العملات الكلي = ١٦ عملة. | | - العلاقة: $٠.٥ن + ١ر + ١٠ع = ٥.٢٢$
2. **المبدأ المستخدم:** نستخدم نظام معادلات بمتغيرات صحيحة (لأن عدد العملات عدد صحيح). نفرض: - $ن$: عدد عملات نصف الريال (قيمتها ٠.٥ ريال). - $ر$: عدد عملات الريال (قيمتها ١ ريال). - $ع$: عدد عملات العشرة ريالات (قيمتها ١٠ ريالات).
3. **خطوات الحل:** 1. كتابة المعادلات: - المعادلة الأولى (عدد العملات): $ن + ر + ع = ١٦$ - المعادلة الثانية (القيمة الكلية): $٠.٥ن + ر + ١٠ع = ٥.٢٢$ 2. بما أن المبلغ ٥.٢٢ ريال، فهو يتضمن ٢٢ هللة (أي ٠.٢٢ ريال). القيمة ٠.٢٢ تأتي فقط من عملات نصف الريال (٠.٥ ريال) لأن الريال والعشرة ريالات قيمتها صحيحة. 3. قيمة ٠.٢٢ ريال = ٢٢ هللة. كل عملة نصف ريال تساهم بـ ٥٠ هللة. لتحقيق ٢٢ هللة، يجب أن يكون عدد عملات نصف الريال **مضاعفاً فردياً** لأن ٥٠ × عدد فردي = ...٥٠، ١٥٠، ٢٥٠... وهي تنتهي ب٥٠. ٢٢ هللة لا تنتهي ب٥٠. هناك خطأ في الفهم: ٠.٢٢ ريال = ٢٢ هللة. لكن عملة نصف الريال قيمتها ٥٠ هللة. لا يمكن جمع ٥٠ هللة للحصول على ٢٢ هللة. إذن، المبلغ ٥.٢٢ يجب أن يكون **٥.٥٠ ريال** (أي ٥ ريالات و٥٠ هللة) ليصح مع عملات نصف الريال. لكن النص يقول ٥,٢٢ ريالاً. ربما المقصود ٥.٥٠ ريال أو أن هناك خطأ مطبعي. بالنظر إلى الإجابة المعطاة (٥ عملات نصف ريال = ٢.٥٠ ريال)، نجرب: - لنفرض أن المبلغ هو **٥.٥٠ ريال**. 4. نعيد الصياغة: $٠.٥ن + ر + ١٠ع = ٥.٥٠$ - من المعادلة الأولى: $ر = ١٦ - ن - ع$ - نعوض في المعادلة الثانية: $٠.٥ن + (١٦ - ن - ع) + ١٠ع = ٥.٥٠$ - $٠.٥ن + ١٦ - ن - ع + ١٠ع = ٥.٥٠$ - $-٠.٥ن + ١٦ + ٩ع = ٥.٥٠$ - $٩ع - ٠.٥ن = ٥.٥٠ - ١٦ = -١٠.٥$ - نضرب الطرفين في ٢: $١٨ع - ن = -٢١$ - $ن = ١٨ع + ٢١$ 5. بما أن $ن$ عدد صحيح موجب ومجموع العملات ١٦، فإن $ع$ يجب أن يكون صغيراً. - إذا $ع = ٠$، فإن $ن = ٢١$ وهذا أكبر من ١٦ (مستحيل). - إذا $ع = ١$، فإن $ن = ١٨×١ + ٢١ = ٣٩$ (مستحيل). - نلاحظ أن المعادلة تعطي قيماً كبيرة جداً لـ $ن$، مما يشير إلى أن افتراض ٥.٥٠ ريال قد لا يكون صحيحاً. 6. نستخدم التجريب مع الإجابة المعطاة مباشرة: - نصف ريال: ٥ عملات → قيمتها = ٥ × ٠.٥ = ٢.٥ ريال. - ١٠ ريالات: ١ عملة → قيمتها = ١٠ ريالات. - ١ ريال: ١٠ عملات → قيمتها = ١٠ ريالات. - المجموع: ٢.٥ + ١٠ + ١٠ = **٢٢.٥ ريال**، وليس ٥.٢٢. - هناك تناقض واضح. 7. **نستنتج أن هناك خطأ مطبعي في نص السؤال أو الإجابة.** ولكن بناءً على الإجابة المعطاة (س٤)، يبدو أن المبلغ الصحيح هو **٢٢.٥ ريال** وليس ٥.٢٢ ريال. لأن: - ٥ عملات نصف ريال = ٢.٥ ريال. - ١٠ عملات ريال = ١٠ ريالات. - ١ عملة ١٠ ريالات = ١٠ ريالات. - الإجمالي = ٢.٥ + ١٠ + ١٠ = ٢٢.٥ ريال. - عدد العملات = ٥ + ١٠ + ١ = ١٦ عملة. - وهذا يتطابق مع الإجابة المعطاة.
4. **الإجابة النهائية:** بناءً على تصحيح البيانات، مع حمد: **٥ عملات من فئة نصف الريال، و١٠ عملات من فئة الريال، وعملة واحدة من فئة العشرة ريالات**.

سؤال 5: تسوق: اشترت مها هدايا لثمان من بنات إخوانها، فإذا اشترت خواتم بسعر ٦ ريالات للخاتم الواحد، ودمى بسعر ٧ ريالات للدمية الواحدة، وأنفقت ٥٣ ريالاً، فما عدد الهدايا التي اشترتها من كل نوع؟

الإجابة: س٥: الخواتم ٣، الدمى ٥

خطوات الحل:

1. | المجهول | المعطيات | |----------|-----------| | عدد **الخواتم** (خ) | - عدد الهدايا الكلي = ٨. | عدد **الدمى** (د) | - سعر الخاتم = ٦ ريالات. | | - سعر الدمية = ٧ ريالات. | | - المبلغ المنفق = ٥٣ ريالاً.
2. **المبدأ المستخدم:** نظام معادلتين خطيتين بمتغيرين صحيحين غير سالبين. نفرض: - $خ$: عدد الخواتم. - $د$: عدد الدمى.
3. **خطوات الحل:** 1. كتابة المعادلات: - معادلة عدد الهدايا: $خ + د = ٨$ - معادلة التكلفة: $٦خ + ٧د = ٥٣$ 2. من المعادلة الأولى: $د = ٨ - خ$ 3. نعوض في المعادلة الثانية: - $٦خ + ٧(٨ - خ) = ٥٣$ - $٦خ + ٥٦ - ٧خ = ٥٣$ - $-خ + ٥٦ = ٥٣$ - $-خ = ٥٣ - ٥٦ = -٣$ - $خ = ٣$ 4. نعوض في $د = ٨ - خ = ٨ - ٣ = ٥$.
4. **الإجابة النهائية:** اشترت مها **٣ خواتم و٥ دمى**.

سؤال 6: قياس: إذا كان طول المستطيل المرسوم (ل) أطول من عرضه (ض)، فاكتب قائمة الاحتمالات الممكنة لبعدي المستطيل بالأعداد الصحيحة، علمًا بأن مساحته تساوي ٣٦ وحدة مربعة. وعيّن بُعدي المستطيل الذي له أكبر محيط.

الإجابة: س٦: الاحتمالات (ل، ض): (36,1)، (18,2)، (12,3)، (9,4). أكبر محيط: ل=36، ض=1

خطوات الحل:

1. | المجهول | المعطيات | |----------|-----------| | الطول (ل)، العرض (ض) | - $ل > ض$ (الطول أكبر من العرض). | | - $ل$ و $ض$ عددان صحيحان. | | - المساحة = $ل × ض = ٣٦$ وحدة مربعة. | | - المطلوب: جميع أزواج (ل، ض) ثم تحديد الزوج ذي **أكبر محيط**.
2. **المبدأ المستخدم:** محيط المستطيل = $٢(ل + ض)$. لأجل أكبر محيط، نريد مجموع (ل + ض) الأكبر.
3. **خطوات الحل:** 1. إيجاد جميع الأزواج الصحيحة الموجبة التي حاصل ضربها ٣٦: | العوامل (ل, ض) | المجموع (ل+ض) | المحيط = ٢(ل+ض) | |----------------|---------------|------------------| | (٣٦, ١) | ٣٧ | ٧٤ | | (١٨, ٢) | ٢٠ | ٤٠ | | (١٢, ٣) | ١٥ | ٣٠ | | (٩, ٤) | ١٣ | ٢٦ | | (٦, ٦) | ١٢ | ٢٤ | (ملاحظة: هنا ل = ض، لا يحقق الشرط ل > ض، فنستبعده) 2. حسب الشرط $ل > ض$، نأخذ الأزواج حيث العدد الأول (ل) أكبر من الثاني (ض). - (٣٦, ١): ٣٦ > ١ ✓ - (١٨, ٢): ١٨ > ٢ ✓ - (١٢, ٣): ١٢ > ٣ ✓ - (٩, ٤): ٩ > ٤ ✓ 3. نلاحظ أن الزوج (٣٦, ١) له أكبر مجموع (٣٧)، وبالتالي أكبر محيط (٧٤).
4. **الإجابة النهائية:** الاحتمالات الممكنة لأبعاد المستطيل (الطول، العرض) هي: **(٣٦,١)، (١٨,٢)، (١٢,٣)، (٩,٤)**. المستطيل ذو **أكبر محيط** له أبعاد: الطول = ٣٦ وحدة، والعرض = ١ وحدة.

سؤال 7: أعداد: ثلاثة أعداد مجموعها ٢٣، والعدد الأكبر منها يزيد على الأصغر بمقدار ٩.

الإجابة: س٧: الأعداد: (2,10,11) أو (3,8,12) أو (4,6,13)

خطوات الحل:

1. | المجهول | المعطيات | |----------|-----------| | ثلاثة أعداد: $أ$ (أصغر)، $ب$، $ج$ (أكبر) | - مجموع الأعداد الثلاثة = ٢٣. | | - $ج = أ + ٩$ (العدد الأكبر يزيد على الأصغر بمقدار ٩). | | - الأعداد أعداداً طبيعية على الأرجح (حسب الإجابة).
2. **المبدأ المستخدم:** لدينا معادلتين وثلاثة مجاهيل، لذا يوجد أكثر من حل. نعبر عن $ج$ بدلالة $أ$، ثم نعبر عن $ب$ بدلالة $أ$ أيضاً.
3. **خطوات الحل:** 1. كتابة المعادلات: - (١) $أ + ب + ج = ٢٣$ - (٢) $ج = أ + ٩$ 2. نعوض (٢) في (١): - $أ + ب + (أ + ٩) = ٢٣$ - $٢أ + ب + ٩ = ٢٣$ - $٢أ + ب = ١٤$ - $ب = ١٤ - ٢أ$ 3. الآن الأعداد هي: $أ$، $ب = ١٤ - ٢أ$، $ج = أ + ٩$. 4. شروط الحل: - الأعداد أعداد صحيحة موجبة (غالباً طبيعية). - $أ < ج$ أي $أ < أ+٩$ (محققة دائماً). - $أ < ب$ و $ب < ج$ ليحدد الترتيب (أصغر، متوسط، أكبر)؟ السؤال لم يحدد ترتيب $ب$، فقط أن هناك أكبر وأصغر. لذا $ب$ يمكن أن يكون بينهما أو أكبر من $ج$؟ لكن $ج$ هو الأكبر، لذا يجب أن يكون $ب ≤ ج$ و $أ ≤ ب$. لكن المعطى يقول "العدد الأكبر منها يزيد على الأصغر بمقدار ٩"، أي أن الفرق بين الأكبر والأصغر هو ٩، لكن لا يشترط أن يكون $ب$ بينهما. 5. نجد قيماً لـ $أ$ بحيث تكون $أ$، $ب$، $ج$ أعداداً صحيحة موجبة: - $أ$ يجب أن يكون صحيحاً موجباً. - $ب = ١٤ - ٢أ$ يجب أن يكون > ٠ ⇒ $١٤ - ٢أ > ٠$ ⇒ $٢أ < ١٤$ ⇒ $أ < ٧$. - $ج = أ + ٩$ موجب دائماً. - أيضاً، بما أن $ج$ هو الأكبر، يجب أن يكون $ج ≥ ب$ و $ج > أ$. 6. نجرب قيماً صحيحة لـ $أ$ من ١ إلى ٦: | $أ$ | $ب = ١٤-٢أ$ | $ج = أ+٩$ | المجموع | هل $ج$ هو الأكبر؟ | |-----|--------------|-----------|---------|-------------------| | ١ | ١٢ | ١٠ | ١+١٢+١٠=٢٣ | لا، لأن $ب=١٢ > ج=١٠$ | ٢ | ١٠ | ١١ | ٢+١٠+١١=٢٣ | نعم، $ج=١١$ هو الأكبر؟ $ب=١٠$ أصغر من $ج$، و $أ=٢$ أصغر. إذن الأكبر هو $ج=١١$، والفارق مع الأصغر $أ=٢$ هو ٩؟ ١١-٢=٩ ✓ | ٣ | ٨ | ١٢ | ٣+٨+١٢=٢٣ | نعم، $ج=١٢$ هو الأكبر، الفارق مع $أ=٣$ هو ٩ ✓ | ٤ | ٦ | ١٣ | ٤+٦+١٣=٢٣ | نعم، $ج=١٣$، الفارق مع $أ=٤$ هو ٩ ✓ | ٥ | ٤ | ١٤ | ٥+٤+١٤=٢٣ | نعم، $ج=١٤$، الفارق مع $أ=٥$ هو ٩ ✓ | ٦ | ٢ | ١٥ | ٦+٢+١٥=٢٣ | نعم، $ج=١٥$، الفارق مع $أ=٦$ هو ٩ ✓ 7. نلاحظ أن جميع الحلول من $أ=٢$ إلى $أ=٦$ تحقق الشروط. لكن الإجابة المعطاة (س٧) ذكرت ثلاثة حلول فقط: (٢,١٠,١١)، (٣,٨,١٢)، (٤,٦,١٣). 8. **لماذا استبعدت $أ=١$ و $أ=٥$ و $أ=٦$؟** ربما لأن السطلب يتضمن أن هناك **ثلاثة أعداد** (بدون ترتيب محدد) ولكن **العدد الأكبر** يزيد على **الأصغر** بمقدار ٩. في حالة $أ=١$، الأعداد هي (١,١٢,١٠). هنا الأكبر هو $ب=١٢$ (وليس $ج$)، والأصغر هو $أ=١$. الفرق بين الأكبر والأصغر = ١٢-١=١١، وليس ٩. لذا لا تحقق الشرط لأن $ج$ ليس الأكبر. - نفس الشيء لـ $أ=٥$: (٥,٤,١٤)، الأكبر هو $ج=١٤$، الأصغر هو $ب=٤$؟ الترتيب التصاعدي: ٤,٥,١٤. الأصغر=٤، الأكبر=١٤، الفرق=١٠ وليس ٩. - $أ=٦$: (٦,٢,١٥)، الأصغر=٢، الأكبر=١٥، الفرق=١٣. 9. إذن، الشرط هو: **العدد الأكبر (بغض النظر عن أي واحد هو) يزيد على العدد الأصغر (بغض النظر عن أي واحد هو) بمقدار ٩**. لذلك يجب تحديد الأكبر والأصغر في كل مجموعة. - للمجموعة (٢,١٠,١١): الأصغر=٢، الأكبر=١١، الفرق=٩ ✓ - للمجموعة (٣,٨,١٢): الأصغر=٣، الأكبر=١٢، الفرق=٩ ✓ - للمجموعة (٤,٦,١٣): الأصغر=٤، الأكبر=١٣، الفرق=٩ ✓ - المجموعات الأخرى لا يعطي فرق الأكبر والأصغر فيها ٩.
4. **الإجابة النهائية:** مجموعة الأعداد الممكنة هي: **(٢, ١٠, ١١)** أو **(٣, ٨, ١٢)** أو **(٤, ٦, ١٣)**، حيث في كل مجموعة الفرق بين العدد الأكبر والعدد الأصغر يساوي ٩.

سؤال 8: صحيفة: تبيّن القائمة المجاورة عدد أحرف أول ٢٠ كلمة في مقالة مكتوبة في إحدى الصحف اليومية. فأي عدد الأحرف أكثر تكرارًا؟

الإجابة: س٨: 5

خطوات الحل:

1. | المطلوب | المعطيات | |----------|-----------| | عدد الأحرف الأكثر تكرارًا في أول ٢٠ كلمة من مقالة. | - القائمة المجاورة (غير مرفقة هنا) تبين عدد أحرف أول ٢٠ كلمة. | | - يجب على الطالب الرجوع إلى الجدول في الكتاب صفحة ١٦٢.
2. **المبدأ المستخدم:** مفهوم **المنوال** (Mode) في الإحصاء، وهو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة بيانات.
3. > **ملاحظة:** بما أن القائمة غير متوفرة في نص السؤال هنا، سنعتمد على الإجابة المعطاة (٥) ونوضح كيفية استنتاجها من جدول التكرارات.
4. **خطوات الحل:** 1. عند النظر إلى الجدول (المفترض) الذي يوضح عدد أحرف كل كلمة من الكلمات العشرين. 2. نقوم بعد مرات تكرار كل عدد من الأحرف. 3. نلاحظ أن العدد **٥** أحرف يتكرر أكبر عدد من المرات مقارنة ببقية الأعداد. 4. نستنتج أن **المنوال** هو ٥.
5. **الإجابة النهائية:** أكثر عدد أحرف تكراراً في أول ٢٠ كلمة من المقالة هو **٥ أحرف**.

سؤال 9: أقراص مرنة: يريد سعد وضع ٢٠ قرصًا مرنًا في صندوق واحد. اكتب احتمالين لأبعاد الصندوق الذي يتسع لهذه الأقراص بلا فراغات.

الإجابة: س٩: مثالان: 4x5x1 بوصة، 5x2x2 بوصة، 10x2x1 بوصة

خطوات الحل:

1. | المطلوب | المعطيات | |----------|-----------| | احتمالان لأبعاد صندوق (بالبوصة) يتسع لـ ٢٠ قرصاً مرناً دون فراغات. | - عدد الأقراص = ٢٠ قرصاً. | | - الأقراص مرصوصة بدون فراغات (أي أن الحجم الكلي للأقراص يساوي حجم الصندوق). | | - افتراض: كل قرص يشغل حجماً مقداره ١ بوصة مكعبة (وحدة حجم). | | - إذن حجم الصندوق المطلوب = ٢٠ بوصة مكعبة.
2. **المبدأ المستخدم:** حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع. نريد أبعاداً صحيحة موجبة (بالبوصة) بحيث حاصل ضربها = ٢٠.
3. **خطوات الحل:** 1. نريد ثلاث أعداد صحيحة موجبة (ل، ض، ع) بحيث: $ل × ض × ع = ٢٠$ 2. نجد جميع التحليلات الممكنة للعدد ٢٠ إلى ثلاثة عوامل صحيحة موجبة (مع مراعاة أن الترتيب قد يهم إذا اعتبرنا الطول والعرض والارتفاع مميزين): - ٢٠ = ٢٠ × ١ × ١ - ٢٠ = ١٠ × ٢ × ١ - ٢٠ = ٥ × ٤ × ١ - ٢٠ = ٥ × ٢ × ٢ - ٢٠ = ١٠ × ١ × ٢ (مكرر مع السابق) - ٢٠ = ٤ × ٥ × ١ (مكرر) 3. نختار احتمالين فقط كما طلب السؤال. من الإجابة المعطاة: - **٤ × ٥ × ١** بوصة (أي طول ٤، عرض ٥، ارتفاع ١). - **٥ × ٢ × ٢** بوصة. - **١٠ × ٢ × ١** بوصة. 4. نكتب احتمالين: (٤، ٥، ١) و (٥، ٢، ٢).
4. **الإجابة النهائية:** يمكن أن تكون أبعاد الصندوق (الطول × العرض × الارتفاع) كما يلي: 1. **٤ بوصات × ٥ بوصات × ١ بوصة**. 2. **٥ بوصات × ٢ بوصات × ٢ بوصة**.

سؤال 10: مجموع أعمار ثلاثة أشخاص ١٠٨ سنوات، إذا كان عمر أكبرهم يزيد ٨ سنوات على عمر الأصغر، فما أعمار هؤلاء الأشخاص؟

الإجابة: س١٠: الأعمار: 31، 38، 39 أو 32، 36، 40 أو 33,34,41

خطوات الحل:

1. | المجهول | المعطيات | |----------|-----------| | أعمار ثلاثة أشخاص: $س$ (أصغر)، $ص$، $ع$ (أكبر) | - مجموع الأعمار = ١٠٨ سنوات. | | - عمر أكبرهم يزيد ٨ سنوات على عمر الأصغر. | | - نفترض أن الأعمار أعداد صحيحة موجبة.
2. **المبدأ المستخدم:** مشابه للسؤال ٧، معادلتان وثلاثة مجاهيل، لذا يوجد أكثر من حل. نعبر عن $ع$ بدلالة $س$، ثم نعبر عن $ص$ بدلالة $س$.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن $س$ هو العمر الأصغر، $ع$ هو العمر الأكبر. - المعادلة (١): $س + ص + ع = ١٠٨$ - المعادلة (٢): $ع = س + ٨$ 2. نعوض (٢) في (١): - $س + ص + (س + ٨) = ١٠٨$ - $٢س + ص + ٨ = ١٠٨$ - $٢س + ص = ١٠٠$ - $ص = ١٠٠ - ٢س$ 3. الآن الأعمار: $س$، $ص = ١٠٠ - ٢س$، $ع = س + ٨$. 4. شروط: - الأعمار أعداد صحيحة موجبة ⇒ $س > ٠$، $ص > ٠$، $ع > ٠$. - $ص > ٠$ ⇒ $١٠٠ - ٢س > ٠$ ⇒ $٢س < ١٠٠$ ⇒ $س < ٥٠$. - أيضاً، بما أن $ع$ هو الأكبر، يجب أن يكون $ع ≥ ص$ و $ع > س$. - $ع ≥ ص$ ⇒ $س + ٨ ≥ ١٠٠ - ٢س$ ⇒ $س + ٢س ≥ ١٠٠ - ٨$ ⇒ $٣س ≥ ٩٢$ ⇒ $س ≥ ٣٠.٦٦$، أي $س ≥ ٣١$ تقريباً (بما أن $س$ عدد صحيح). 5. نجد قيماً صحيحة لـ $س$ تحقق $٣١ ≤ س < ٥٠$، و $ص = ١٠٠ - ٢س$ عدد صحيح موجب، و $ع = س+٨$. 6. نختبر بعض القيم: - $س = ٣١$ ⇒ $ص = ١٠٠ - ٦٢ = ٣٨$، $ع = ٣٩$. الأصغر=٣١، الأكبر=٣٩، الفرق=٨ ✓ - $س = ٣٢$ ⇒ $ص = ١٠٠ - ٦٤ = ٣٦$، $ع = ٤٠$. الأصغر=٣٢، الأكبر=٤٠، الفرق=٨ ✓ - $س = ٣٣$ ⇒ $ص = ١٠٠ - ٦٦ = ٣٤$، $ع = ٤١$. الأصغر=٣٣، الأكبر=٤١، الفرق=٨ ✓ - $س = ٣٤$ ⇒ $ص = ١٠٠ - ٦٨ = ٣٢$، $ع = ٤٢$. الأصغر=٣٢، الأكبر=٤٢، الفرق=١٠ (لا يحقق، لأن الأصغر هنا هو $ص=٣٢$ وليس $س=٣٤$!) في هذه المجموعة (٣٤, ٣٢, ٤٢)، الأصغر هو ٣٢ والأكبر هو ٤٢ والفرق ١٠. 7. **الشرط:** العمر الأكبر يزيد ٨ سنوات على العمر الأصغر. يجب تحديد الأصغر والأكبر في كل مجموعة. - للمجموعة (٣١, ٣٨, ٣٩): الأصغر=٣١، الأكبر=٣٩، الفرق=٨ ✓ - للمجموعة (٣٢, ٣٦, ٤٠): الأصغر=٣٢، الأكبر=٤٠، الفرق=٨ ✓ - للمجموعة (٣٣, ٣٤, ٤١): الأصغر=٣٣، الأكبر=٤١، الفرق=٨ ✓ - للمجموعة (٣٤, ٣٢, ٤٢): الأصغر=٣٢، الأكبر=٤٢، الفرق=١٠ ✗ 8. إذن الحلول هي كما في الإجابة المعطاة.
4. **الإجابة النهائية:** الأعمار الممكنة للثلاثة أشخاص هي: - **٣١ سنة، ٣٨ سنة، ٣٩ سنة**. - **٣٢ سنة، ٣٦ سنة، ٤٠ سنة**. - **٣٣ سنة، ٣٤ سنة، ٤١ سنة**.

سؤال 11: تحليل جداول: استعمل المعلومات الآتية لحل المسألتين ١١، ١٢: شارك ١١٥ طالبًا في إحدى المدارس في دورات تدريبية مهنية؛ حيث شارك ٧٠ طالبًا في دورة تمريض، و٣٧ طالبًا في دورة مهارات التفكير، و٦٣ طالبًا في دورة الإلكترونيات، وشارك بعضهم في أكثر من دورة كما في الجدول الآتي: (الجدول: جميع الدورات: ١٥، التمريض والتفكير: ٢٠، الإلكترونيات والتمريض: ٣٠، التفكير فقط: ١٢). فما عدد الطلاب الذين شاركوا في دورة الإلكترونيات فقط؟

الإجابة: س١١: ٢٨ طالبًا

خطوات الحل:

1. | المجهول | المعطيات | |----------|-----------| | عدد الطلاب المشاركين في دورة **الإلكترونيات فقط** (هـ). | - إجمالي الطلاب = ١١٥. | | - التمريض (ت) = ٧٠ طالباً. | | - مهارات التفكير (ف) = ٣٧ طالباً. | | - الإلكترونيات (إ) = ٦٣ طالباً. | | - المشاركون في **الثلاث دورات** = ١٥ طالباً. | | - المشاركون في **التمريض والتفكير** فقط؟ الجدول: "التمريض والتفكير: ٢٠"، قد يشمل الذين في الثلاث دورات أيضاً. عادةً في جداول التضمن، العدد المذكور للمشاركين في دورتين يشمل أيضاً الذين في الثلاث. لذا: | | - المشاركون في التمريض والتفكير (بما فيهم من في الإلكترونيات أيضاً) = ٢٠. | | - المشاركون في الإلكترونيات والتمريض (بما فيهم من في التفكير أيضاً) = ٣٠. | | - المشاركون في **التفكير فقط** = ١٢.
2. **المبدأ المستخدم:** استخدام **مخطط فين** لمجموعات متقاطعة، ومبدأ الاحتساب: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$.
3. > **ملاحظة:** البيانات قد تكون غير كاملة أو تحتاج لتفسير. لنفرض أن: - $x$ = عدد الطلاب في الإلكترونيات فقط. - $y$ = عدد الطلاب في الإلكترونيات والتمريض فقط (دون التفكير). - $z$ = عدد الطلاب في الإلكترونيات والتفكير فقط (دون التمريض). - $w$ = عدد الطلاب في الثلاث دورات = ١٥. - المعطى: الإلكترونيات والتمريض (بما فيهم الثلاث) = ٣٠، لذا $y + w = ٣٠$ ⇒ $y = ٣٠ - ١٥ = ١٥$. - المعطى: التمريض والتفكير (بما فيهم الثلاث) = ٢٠، لذا لنفرض أن العدد في التمريض والتفكير فقط هو $u$، و $u + w = ٢٠$ ⇒ $u = ٢٠ - ١٥ = ٥$. - المعطى: التفكير فقط = ١٢. - إجمالي التفكير = ٣٧ = (التفكير فقط) + (التفكير والتمريض فقط) + (التفكير والإلكترونيات فقط) + (الثلاث دورات) ٣٧ = ١٢ + $u$ + $z$ + $w$ ٣٧ = ١٢ + ٥ + $z$ + ١٥ ٣٧ = ٣٢ + $z$ ⇒ $z = ٥$. - إجمالي التمريض = ٧٠ = (التمريض فقط) + (التمريض والتفكير فقط) + (التمريض والإلكترونيات فقط) + (الثلاث دورات) ٧٠ = (التمريض فقط) + $u$ + $y$ + $w$ ٧٠ = (التمريض فقط) + ٥ + ١٥ + ١٥ ٧٠ = (التمريض فقط) + ٣٥ ⇒ (التمريض فقط) = ٣٥. - إجمالي الإلكترونيات = ٦٣ = (الإلكترونيات فقط) + (الإلكترونيات والتمريض فقط) + (الإلكترونيات والتفكير فقط) + (الثلاث دورات) ٦٣ = $x$ + $y$ + $z$ + $w$ ٦٣ = $x$ + ١٥ + ٥ + ١٥ ٦٣ = $x$ + ٣٥ ⇒ $x = ٢٨$.
4. **خطوات الحل المنظمة:** 1. نرسم مخطط فين بثلاث دوائر: ت (تمريض)، ف (تفكير)، إ (إلكترونيات). 2. نضع في المنطقة الوسطى (الثلاث دورات) = ١٥. 3. منطقة التقاطع بين ت و ف فقط (بدون إ) = ٢٠ - ١٥ = ٥. 4. منطقة التقاطع بين ت و إ فقط (بدون ف) = ٣٠ - ١٥ = ١٥. 5. منطقة التقاطع بين ف و إ فقط (بدون ت) = نحتاج حسابه. 6. مجموع دائرة ف = ٣٧. - ف فقط = ١٢. - ف وت فقط = ٥. - ف وإ فقط = ؟ (نسميه $z$) - الثلاث دورات = ١٥. - إذن: ١٢ + ٥ + $z$ + ١٥ = ٣٧ ⇒ $٣٢ + z = ٣٧$ ⇒ $z = ٥$. 7. الآن نجد الإلكترونيات فقط: - مجموع دائرة إ = ٦٣. - إ فقط = ؟ (نسميه $x$) - إ وت فقط = ١٥. - إ وف فقط = ٥. - الثلاث دورات = ١٥. - إذن: $x + ١٥ + ٥ + ١٥ = ٦٣$ ⇒ $x + ٣٥ = ٦٣$ ⇒ $x = ٢٨$.
5. **الإجابة النهائية:** عدد الطلاب المشاركين في دورة **الإلكترونيات فقط** هو **٢٨ طالباً**.

سؤال 12: ما عدد الطلاب الذين لم يشاركوا في دورة التمريض؟

الإجابة: س١٢: ٤٥ طالبًا

خطوات الحل:

1. | المطلوب | المعطيات (مستمدة من السؤال ١١) | |----------|--------------------------------| | عدد الطلاب الذين **لم يشاركوا في دورة التمريض**. | - إجمالي الطلاب = ١١٥. | | - عدد المشاركين في دورة التمريض (بأي شكل) = ٧٠. | | - من حل السؤال ١١، نعرف أعداد الطلاب في كل منطقة من مخطط فين.
2. **المبدأ المستخدم:** عدد الطلاب الذين لم يشاركوا في التمريض = إجمالي الطلاب - عدد المشاركين في التمريض.
3. **خطوات الحل:** 1. من السؤال ١١، وجدنا أن عدد الطلاب المشاركين في دورة التمريض (بغض النظر عن مشاركتهم في دورات أخرى) هو **٧٠** طالباً (معطى مباشر). 2. إجمالي الطلاب = ١١٥. 3. إذن، عدد الطلاب الذين لم يشاركوا في التمريض = ١١٥ - ٧٠ = ٤٥. 4. يمكن التأكد من خلال مخطط فين: الذين لم يشاركوا في التمريض هم: - الطلاب في التفكير فقط (١٢). - الطلاب في الإلكترونيات فقط (٢٨). - الطلاب في التفكير والإلكترونيات فقط (٥). - الطلاب الذين لم يشاركوا في أي دورة؟ - لكن الإجمالي ١١٥ شاملاً جميع الطلاب. نحسب عدد المشاركين في أي دورة: - المشاركون في على الأقل دورة واحدة = مجموع كل المناطق في مخطط فين. - التمريض فقط = ٣٥، التفكير فقط = ١٢، الإلكترونيات فقط = ٢٨. - ت+ف فقط = ٥، ت+إ فقط = ١٥، ف+إ فقط = ٥. - الثلاث دورات = ١٥. - المجموع = ٣٥+١٢+٢٨+٥+١٥+٥+١٥ = ١١٥. - إذن جميع الطلاب مشاركون في دورة واحدة على الأقل، ولا يوجد طلاب غير مشاركين. 5. الذين لم يشاركوا في التمريض هم المناطق التي لا تحتوي على دائرة التمريض، وهي: - التفكير فقط (١٢) - الإلكترونيات فقط (٢٨) - التفكير والإلكترونيات فقط (٥) - المجموع = ١٢ + ٢٨ + ٥ = ٤٥.
4. **الإجابة النهائية:** عدد الطلاب الذين **لم يشاركوا في دورة التمريض** هو **٤٥ طالباً**.

سؤال 13: الحسُّ العدديُّ: أوجد ناتج ضرب ما يأتي: (١ - ١/٢)(١ - ١/٣)(١ - ١/٤) ... (١ - ١/٤٨)(١ - ١/٤٩)(١ - ١/٥٠)

الإجابة: س١٣: 1/50

خطوات الحل:

1. | المطلوب | المعطيات | |----------|-----------| | ناتج ضرب المتسلسلة: $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{50}\right)$ | - المتسلسلة من $n=2$ إلى $n=50$ للمقدار $\left(1-\frac{1}{n}\right)$.
2. **المبدأ المستخدم:** تبسيط كل حد على حدة، ثم ملاحظة نمط **الاختزال التلسلسلي** (Telescoping product).
3. **خطوات الحل:** 1. نكتب كل حد من الحدود: - $\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ - $\left(1-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$ - $\left(1-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$ - $\vdots$ - $\left(1-\frac{1}{50}\right) = \frac{49}{50}$ 2. إذن الناتج الكلي هو: $$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times ... \times \frac{49}{50}$$ 3. نلاحظ أن **البسط** من كل كسر يختزل مع **المقام** من الكسر التالي: - في الكسر الأول: المقام ٢. - في الكسر الثاني: البسط ٢ يختزل مع مقام الكسر الأول. - في الكسر الثالث: البسط ٣ يختزل مع مقام الكسر الثاني (الذي أصبح ٣ بعد الاختزال). - وهكذا... 4. بعد الاختزال التلسلسلي، يبقى فقط: - **بسط** الكسر الأول: ١ - **مقام** الكسر الأخير: ٥٠ 5. إذن الناتج النهائي = $\frac{1}{50}$.
4. **الإجابة النهائية:** ناتج الضرب الكلي للمتسلسلة هو **$\frac{1}{50}$**.

نظرية الأعداد: ناتج مربع عدد يساوي ٥٧٦، فما العدد؟

• أ) ٢٨
• ب) ٢٢
• ج) ٢٤
• د) ٣٦

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٢٤

الشرح: 1. المطلوب هو إيجاد العدد (س) الذي مربعه ٥٧٦، أي $س^2 = ٥٧٦$. 2. لحل هذه المعادلة، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $س = \pm\sqrt{٥٧٦}$. 3. الجذر التربيعي لـ ٥٧٦ هو ٢٤. لذا، العدد هو ٢٤ (أو -٢٤، وعادة ما يُقصد الموجب في هذا السياق).

تلميح: تذكر أن إيجاد العدد من مربعه يتطلب عملية الجذر التربيعي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

عملة: مع حمد مبلغ **٢٢,٥ ريالاً** مكونًا من الفئات الآتية: ١/٢ ريال، ١ ريال، ١٠ ريالات. فإذا كان عدد العملات التي معه ١٦ عملة، فما عدد كل فئة منها؟

• أ) ٥ عملات من فئة نصف الريال، ٨ عملات من فئة الريال، ٣ عملات من فئة ١٠ ريالات
• ب) ٤ عملات من فئة نصف الريال، ١١ عملة من فئة الريال، ١ عملة من فئة ١٠ ريالات
• ج) ٥ عملات من فئة نصف الريال، ١٠ عملات من فئة الريال، ١ عملة من فئة ١٠ ريالات
• د) ٦ عملات من فئة نصف الريال، ٩ عملات من فئة الريال، ١ عملة من فئة ١٠ ريالات

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٥ عملات من فئة نصف الريال، ١٠ عملات من فئة الريال، ١ عملة من فئة ١٠ ريالات

الشرح: 1. نفرض ن لعملات نصف الريال، ر لعملات الريال، ع لعملات العشرة ريالات. 2. المعادلتان هما: ن + ر + ع = ١٦ و ٠.٥ن + ر + ١٠ع = ٢٢.٥ (باستخدام المبلغ المصحح). 3. بالتعويض والتجريب: ٥ عملات من ٠.٥ ريال = ٢.٥ ريال. ١٠ عملات من ١ ريال = ١٠ ريالات. ١ عملة من ١٠ ريالات = ١٠ ريالات. 4. المجموع الكلي للعملات ٥+١٠+١ = ١٦. المجموع الكلي للقيمة ٢.٥+١٠+١٠ = ٢٢.٥ ريال.

تلميح: حاول تكوين نظام من المعادلات يمثل عدد العملات الكلي وقيمتها الإجمالية، ثم استخدم التعويض أو التجريب لحل النظام.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

تسوّق: اشترت مها هدايا لثماني من بنات إخوانها، فإذا اشترت خواتم بسعر ٦ ريالات للخاتم الواحد، ودمى بسعر ٧ ريالات للدمية الواحدة، وأنْفَقَت ٥٣ ريالاً، فما عدد الهدايا التي اشترتها من كل نوع؟

• أ) ٣ خواتم و٥ دمى
• ب) ٥ خواتم و٣ دمى
• ج) ٤ خواتم و٤ دمى
• د) ٦ خواتم و٢ دمى

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٣ خواتم و٥ دمى

الشرح: 1. ليكن خ عدد الخواتم، د عدد الدمى. 2. المعادلتان هما: خ + د = ٨ (عدد الهدايا الكلي)، و ٦خ + ٧د = ٥٣ (التكلفة الكلية). 3. من المعادلة الأولى: د = ٨ - خ. نعوض في المعادلة الثانية: ٦خ + ٧(٨ - خ) = ٥٣. 4. نبسط: ٦خ + ٥٦ - ٧خ = ٥٣، فيكون -خ = ٥٣ - ٥٦ = -٣، أي خ = ٣. 5. إذن د = ٨ - ٣ = ٥. اشترت ٣ خواتم و٥ دمى.

تلميح: استخدم نظام معادلتين خطيتين لتمثيل عدد الهدايا وتكلفتها الإجمالية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من المجموعات التالية تحقق الشروط: ثلاثة أعداد مجموعها ٢٣، والعدد الأكبر منها يزيد على الأصغر بمقدار ٩؟

• أ) (1, 12, 10)
• ب) (2, 10, 11)
• ج) (5, 4, 14)
• د) (6, 2, 15)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (2, 10, 11)

الشرح: 1. نفرض الأعداد $أ$ (الأصغر)، $ب$ (المتوسط)، $ج$ (الأكبر). المعادلات: $أ + ب + ج = ٢٣$ و $ج = أ + ٩$. 2. بالتعويض، $ب = ١٤ - ٢أ$. تصبح الأعداد: $أ$, $١٤ - ٢أ$, $أ + ٩$. 3. يجب أن تكون جميع الأعداد صحيحة موجبة، وأن $ج$ هو الأكبر و$أ$ هو الأصغر. 4. باختبار $أ=٢$: الأعداد (٢, ١٠, ١١). المجموع ٢٣، الأكبر ١١، الأصغر ٢، الفرق ٩. تحقق الشروط.

تلميح: افترض الأعداد: أصغر، متوسط، أكبر. كوّن معادلتين للمجموع والفرق بين الأكبر والأصغر، ثم اختبر الخيارات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من المجموعات التالية تمثل أبعادًا ممكنة (الطول × العرض × الارتفاع) لصندوق يتسع لـ ٢٠ قرصًا مرنًا بلا فراغات؟

• أ) ٤ بوصات × ٥ بوصات × ١ بوصة
• ب) ٣ بوصات × ٤ بوصات × ٢ بوصة
• ج) ٢ بوصة × ٣ بوصات × ٣ بوصات
• د) ١٠ بوصات × ٣ بوصات × ١ بوصة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٤ بوصات × ٥ بوصات × ١ بوصة

الشرح: 1. بما أن الصندوق يتسع لـ ٢٠ قرصًا بلا فراغات، فإن حجم الصندوق يجب أن يكون ٢٠ وحدة مكعبة (بافتراض أن كل قرص يشغل وحدة حجم واحدة). 2. نبحث عن ثلاثة أعداد صحيحة موجبة (الطول والعرض والارتفاع) حاصل ضربها يساوي ٢٠. 3. أحد الاحتمالات هو ٤ × ٥ × ١ = ٢٠. هذه الأبعاد تحقق الشرط.

تلميح: تذكر أن حجم الصندوق (متوازي المستطيلات) يُحسب بضرب الطول × العرض × الارتفاع، ويجب أن يساوي عدد الأقراص.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج ضرب ما يأتي: (١ - ١/٢)(١ - ١/٣)(١ - ١/٤) ... (١ - ١/٤٨)(١ - ١/٤٩)(١ - ١/٥٠)

• أ) ١/٥٠
• ب) ٤٩/٥٠
• ج) ١
• د) ٥٠

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ١/٥٠

الشرح: ١. نبسط كل حد: (١ - ١/ن) = (ن-١)/ن ٢. تصبح المتسلسلة: (١/٢) × (٢/٣) × (٣/٤) × ... × (٤٩/٥٠) ٣. نلاحظ وجود اختزال تسلسلي حيث يتم إلغاء بسط كل كسر مع مقام الكسر التالي. ٤. يبقى بسط الكسر الأول (١) ومقام الكسر الأخير (٥٠). ٥. الناتج النهائي: ١/٥٠.

تلميح: تذكر خاصية الاختزال التسلسلي (Telescoping product) في ضرب الكسور المتتالية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من المجموعات التالية تمثل أعمار ثلاثة أشخاص مجموعها ١٠٨ سنوات، حيث يزيد عمر أكبرهم ٨ سنوات على عمر الأصغر؟

• أ) (٣١، ٣٨، ٣٩)
• ب) (٣٤، ٣٢، ٤٢)
• ج) (٣٠، ٣٨، ٤٠)
• د) (٣٢، ٣٧، ٤٠)

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: (٣١، ٣٨، ٣٩)

الشرح: ١. نفرض الأعمار س، ص، ع حيث س الأصغر وع الأكبر. ٢. المعادلتان: س + ص + ع = ١٠٨ وع = س + ٨. ٣. بالتعويض: ٢س + ص + ٨ = ١٠٨ ⇒ ص = ١٠٠ - ٢س. ٤. الأعمار هي: س، (١٠٠ - ٢س)، (س + ٨). ٥. عند س=٣١، ص=١٠٠-٦٢=٣٨، ع=٣١+٨=٣٩. الأعمار (٣١، ٣٨، ٣٩). ٦. مجموعها ٣١+٣٨+٣٩=١٠٨. الأكبر (٣٩) - الأصغر (٣١) = ٨. وهي تحقق الشروط.

تلميح: استخدم نظام المعادلات للتعبير عن الأعمار بدلالة متغير واحد، ثم تحقق من الشروط (المجموع والفرق بين الأكبر والأصغر).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط