صفحة 171 - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 16: ٥ س > ١٥

الإجابة: س > ٣

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $٥س > ١٥$ | إيجاد قيم $س$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة).
3. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $٥$ (موجب). 2. $\frac{٥س}{٥} > \frac{١٥}{٥}$ 3. $س > ٣$
4. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $س$ التي تكون **أكبر من العدد ٣** تحقق المتباينة.

سؤال 17: ٩ ن ≥ ٤٥

الإجابة: ن ≥ ٥

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $٩ن ≥ ٤٥$ | إيجاد قيم $ن$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة).
3. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $٩$ (موجب). 2. $\frac{٩ن}{٩} ≥ \frac{٤٥}{٩}$ 3. $ن ≥ ٥$
4. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ن$ التي تكون **أكبر من أو تساوي العدد ٥** تحقق المتباينة.

سؤال 18: ١٤ ك ≤ -٨٤

الإجابة: ك ≤ -٦

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $١٤ك ≤ -٨٤$ | إيجاد قيم $ك$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة).
3. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $١٤$ (موجب). 2. $\frac{١٤ك}{١٤} ≤ \frac{-٨٤}{١٤}$ 3. $ك ≤ -٦$
4. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ك$ التي تكون **أصغر من أو تساوي العدد -٦** تحقق المتباينة.

سؤال 19: -١٢ < ٣ ج

الإجابة: -٤ < ج

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-١٢ < ٣ج$ | إيجاد قيم $ج$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة).
3. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $٣$ (موجب). 2. $\frac{-١٢}{٣} < \frac{٣ج}{٣}$ 3. $-٤ < ج$
4. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ج$ التي تكون **أكبر من العدد -٤** تحقق المتباينة. (يمكن كتابتها كـ $ج > -٤$)

سؤال 20: -١٠٠ ≥ ٥٠ ب

الإجابة: -٢ ≥ ب

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-١٠٠ ≥ ٥٠ب$ | إيجاد قيم $ب$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة).
3. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $٥٠$ (موجب). 2. $\frac{-١٠٠}{٥٠} ≥ \frac{٥٠ب}{٥٠}$ 3. $-٢ ≥ ب$
4. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ب$ التي تكون **أصغر من أو تساوي العدد -٢** تحقق المتباينة. (يمكن كتابتها كـ $ب ≤ -٢$)

سؤال 21: ٢ ص > -٢٢

الإجابة: ص > -١١

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $٢ص > -٢٢$ | إيجاد قيم $ص$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة).
3. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $٢$ (موجب). 2. $\frac{٢ص}{٢} > \frac{-٢٢}{٢}$ 3. $ص > -١١$
4. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ص$ التي تكون **أكبر من العدد -١١** تحقق المتباينة.

سؤال 22: -٤ و ≤ ٢٠

الإجابة: و ≥ -٥

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-٤و ≤ ٢٠$ | إيجاد قيم $و$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد سالب **تغير** اتجاه المتباينة).
3. > **تذكير مهم:** عند القسمة على عدد سالب، ينعكس اتجاه علامة المتباينة (< تصبح >، والعكس).
4. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $-٤$ (سالب) **ونعكس اتجاه المتباينة**. 2. $\frac{-٤و}{-٤} \geq \frac{٢٠}{-ل}$ 3. $و \geq -٥$
5. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $و$ التي تكون **أكبر من أو تساوي العدد -٥** تحقق المتباينة.

سؤال 23: -٣ ر > ٩

الإجابة: ر < -٣

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-٣ر > ٩$ | إيجاد قيم $ر$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد سالب **تغير** اتجاه المتباينة).
3. > **تذكير مهم:** عند القسمة على عدد سالب، ينعكس اتجاه علامة المتباينة.
4. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $-٣$ (سالب) **ونعكس اتجاه المتباينة** (من > إلى <). 2. $\frac{-٣ر}{-٣} < \frac{٩}{-٣}$ 3. $ر < -٣$
5. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ر$ التي تكون **أصغر من العدد -٣** تحقق المتباينة.

سؤال 24: -٧٢ > -١٢ هـ

الإجابة: ٦ < هـ

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-٧٢ > -١٢هـ$ | إيجاد قيم $هـ$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية قسمة المتباينات (القسمة على عدد سالب **تغير** اتجاه المتباينة).
3. > **تذكير:** عند القسمة على عدد سالب، ينعكس اتجاه المتباينة.
4. **خطوات الحل:** 1. نقسم طرفي المتباينة على العدد $-١٢$ (سالب) **ونعكس اتجاه المتباينة** (من > إلى <). - يمكن أيضًا إعادة ترتيب المتباينة أولاً للحصول على المتغير في الطرف الأيسر. 2. $\frac{-٧٢}{-١٢} < \frac{-١٢هـ}{-١٢}$ 3. $٦ < هـ$
5. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $هـ$ التي تكون **أكبر من العدد ٦** تحقق المتباينة. (يمكن كتابتها كـ $هـ > ٦$)

سؤال 25: ف / -٤ < ٤

الإجابة: ف > -١٦

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $\frac{ف}{-٤} < ٤$ | إيجاد قيم $ف$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية ضرب المتباينات (الضرب في عدد سالب **تغير** اتجاه المتباينة).
3. > **تذكير:** عند الضرب في عدد سالب، ينعكس اتجاه المتباينة.
4. **خطوات الحل:** 1. للتخلص من المقام $-٤$، نضرب طرفي المتباينة في $-٤$ (سالب) **ونعكس اتجاه المتباينة**. 2. $(-٤) \times \frac{ف}{-٤} > ٤ \times (-٤)$ 3. $ف > -١٦$
5. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ف$ التي تكون **أكبر من العدد -١٦** تحقق المتباينة.

سؤال 26: -٧ > م / -٢

الإجابة: ١٤ < م

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-٧ > \frac{م}{-٢}$ | إيجاد قيم $م$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية ضرب المتباينات (الضرب في عدد سالب **تغير** اتجاه المتباينة).
3. > **تذكير:** عند الضرب في عدد سالب، ينعكس اتجاه المتباينة.
4. **خطوات الحل:** 1. لنجعل المتغير $م$ في طرف بمفرده، نضرب طرفي المتباينة في $-٢$ (سالب) **ونعكس اتجاه المتباينة**. 2. $(-٢) \times (-٧) < \frac{م}{-٢} \times (-٢)$ 3. $١٤ < م$
5. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $م$ التي تكون **أكبر من العدد ١٤** تحقق المتباينة. (يمكن كتابتها كـ $م > ١٤$)

سؤال 27: -١/٢ ك > -١٠

الإجابة: ك < ٢٠

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $-\frac{١}{٢} ك > -١٠$ | إيجاد قيم $ك$ التي تحقق المتباينة. |
2. **القانون المستخدم:** خاصية ضرب المتباينات (الضرب في عدد سالب **تغير** اتجاه المتباينة).
3. > **تذكير:** عند الضرب في عدد سالب، ينعكس اتجاه المتباينة.
4. **خطوات الحل:** 1. للتخلص من معامل $ك$ ($-\frac{١}{٢}$)، نضرب طرفي المتباينة في مقلوبه، وهو $-٢$ (سالب) **ونعكس اتجاه المتباينة**. - الضرب في $-٢$ هو نفسه القسمة على $-\frac{١}{٢}$. 2. $(-٢) \times (-\frac{١}{٢} ك) < (-١٠) \times (-٢)$ 3. $ك < ٢٠$
5. **الإجابة النهائية:** جميع قيم $ك$ التي تكون **أصغر من العدد ٢٠** تحقق المتباينة.

سؤال 28: اكتب متباينة لكل مما يأتي وحلها: أكبر من عدد ما بخمسة يساوي على الأقل ١٣

الإجابة: س + ٥ ≥ ١٣، والحل س ≥ ٨

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | العبارة: "أكبر من عدد ما بخمسة يساوي على الأقل ١٣" | ١. كتابة متباينة تمثل العبارة. 2. حل المتباينة. |
2. **الخطوة 1: تعريف المتغير** ليكن $س$ هو العدد المجهول.
3. **الخطوة 2: ترجمة العبارة إلى متباينة** - "أكبر من عدد ما بخمسة" تعني $س + ٥$. - "على الأقل" تعني $≥$. - الجملة الكاملة: $س + ٥ ≥ ١٣$.
4. **الخطوة 3: حل المتباينة** 1. نطرح $٥$ من طرفي المتباينة (خاصية طرح المتباينات). 2. $س + ٥ - ٥ ≥ ١٣ - ٥$ 3. $س ≥ ٨$
5. **الإجابة النهائية:** - **المتباينة:** $س + ٥ ≥ ١٣$ - **الحل:** $س ≥ ٨$، أي أن العدد المجهول **يساوي ٨ أو أي عدد أكبر منه**.

سؤال 29: اكتب متباينة لكل مما يأتي وحلها: الفرق بين عدد ما والعدد ١١، أصغر من ٨

الإجابة: س - ١١ < ٨، والحل س < ١٩

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | العبارة: "الفرق بين عدد ما والعدد ١١، أصغر من ٨" | ١. كتابة متباينة تمثل العبارة. 2. حل المتباينة. |
2. **الخطوة 1: تعريف المتغير** ليكن $س$ هو العدد المجهول.
3. **الخطوة 2: ترجمة العبارة إلى متباينة** - "الفرق بين عدد ما والعدد ١١" تعني $س - ١١$. - "أصغر من" تعني $<$. - الجملة الكاملة: $س - ١١ < ٨$.
4. **الخطوة 3: حل المتباينة** 1. نضيف $١١$ إلى طرفي المتباينة (خاصية جمع المتباينات). 2. $س - ١١ + ١١ < ٨ + ١١$ 3. $س < ١٩$
5. **الإجابة النهائية:** - **المتباينة:** $س - ١١ < ٨$ - **الحل:** $س < ١٩$، أي أن العدد المجهول **أي عدد أصغر من ١٩**.

سؤال 30: اكتب متباينة لكل مما يأتي وحلها: ناتج قسمة عدد ما على -٥، وإضافة أربعة إليه يساوي ٧ على الأكثر

الإجابة: س / -٥ + ٤ ≤ ٧، والحل س ≥ -١٥

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | العبارة: "ناتج قسمة عدد ما على -٥، وإضافة أربعة إليه يساوي ٧ على الأكثر" | ١. كتابة متباينة. 2. حل المتباينة. |
2. **الخطوة 1: تعريف المتغير** ليكن $س$ هو العدد المجهول.
3. **الخطوة 2: ترجمة العبارة إلى متباينة** - "ناتج قسمة عدد ما على -٥" تعني $\frac{س}{-٥}$. - "إضافة أربعة إليه" تعني $\frac{س}{-٥} + ٤$. - "على الأكثر" تعني $≤$. - الجملة الكاملة: $\frac{س}{-٥} + ٤ ≤ ٧$.
4. **الخطوة 3: حل المتباينة** 1. نطرح $٤$ من الطرفين: $\frac{س}{-٥} ≤ ٣$. 2. نضرب الطرفين في $-٥$ (**لاحظ:** الضرب في عدد سالب **يعكس** اتجاه المتباينة). $(-٥) \times \frac{س}{-٥} \geq ٣ \times (-٥)$ 3. $س \geq -١٥$
5. **الإجابة النهائية:** - **المتباينة:** $\frac{س}{-٥} + ٤ ≤ ٧$ - **الحل:** $س ≥ -١٥$، أي أن العدد المجهول **يساوي -١٥ أو أي عدد أكبر منه**.

سؤال 31: اكتب متباينة لكل مما يأتي وحلها: ناتج قسمة عدد ما على ٣، وطرح اثنين منه يساوي -١٢ على الأقل

الإجابة: س / ٣ - ٢ ≥ -١٢، والحل س ≥ -٣٠

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | العبارة: "ناتج قسمة عدد ما على ٣، وطرح اثنين منه يساوي -١٢ على الأقل" | ١. كتابة متباينة. 2. حل المتباينة. |
2. **الخطوة 1: تعريف المتغير** ليكن $س$ هو العدد المجهول.
3. **الخطوة 2: ترجمة العبارة إلى متباينة** - "ناتج قسمة عدد ما على ٣" تعني $\frac{س}{٣}$. - "طرح اثنين منه" تعني $\frac{س}{٣} - ٢$. - "على الأقل" تعني $≥$. - الجملة الكاملة: $\frac{س}{٣} - ٢ ≥ -١٢$.
4. **الخطوة 3: حل المتباينة** 1. نضيف $٢$ إلى الطرفين: $\frac{س}{٣} ≥ -١٠$. 2. نضرب الطرفين في $٣$ (**موجب**، فلا يتغير الاتجاه). $٣ \times \frac{س}{٣} ≥ -١٠ \times ٣$ 3. $س ≥ -٣٠$
5. **الإجابة النهائية:** - **المتباينة:** $\frac{س}{٣} - ٢ ≥ -١٢$ - **الحل:** $س ≥ -٣٠$، أي أن العدد المجهول **يساوي -٣٠ أو أي عدد أكبر منه**.

سؤال 32: كرة سلة: يبلغ عماد من العمر ١٥ سنة، ويفكر في الانضمام إلى فريق كرة السلة الممتاز. اكتب متباينة وحلها لتحديد بعد كم سنة يمكنه الانضمام إلى الفريق.

الإجابة: المتباينة ٢٣ ≤ س + ١٥، والحل ٨ ≤ س => يمكنه الانضمام بعد ٨ سنوات (على الأقل).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | - عمر عماد الحالي: ١٥ سنة. - شرط الانضمام لفريق كرة السلة الممتاز: أن يكون عمر اللاعب **على الأقل** ٢٣ سنة. | كتابة متباينة وحلها لتحديد **بعد كم سنة** يمكنه الانضمام. |
2. **الخطوة 1: تعريف المتغير** ليكن $س$ هو عدد السنوات التي يجب أن تمر حتى ينضم عماد للفريق.
3. **الخطوة 2: كتابة المتباينة** - عمره بعد $س$ سنة سيكون: $١٥ + س$. - شرط الانضمام: $١٥ + س ≥ ٢٣$.
4. **الخطوة 3: حل المتباينة** 1. نطرح $١٥$ من طرفي المتباينة. 2. $١٥ + س - ١٥ ≥ ٢٣ - ١٥$ 3. $س ≥ ٨$
5. **الإجابة النهائية والتفسير:** - **المتباينة:** $١٥ + س ≥ ٢٣$ - **الحل:** $س ≥ ٨$ - **التفسير:** يجب أن تمر **٨ سنوات على الأقل** حتى يصبح عمر عماد ٢٣ سنة أو أكثر، وعندها يمكنه الانضمام للفريق.

سؤال 33: عمل: يتقاضى سالم ٦٢,٥ ريالاً عن كل ساعة عمل، ويرغب في ادخار مبلغ يكفي لشراء طاولة ثمنها ٥٠٠ ريال. اكتب متباينة وحلها لإيجاد عدد الساعات التي يجب عليه أن يعملها حتى يتمكن من شراء الطاولة.

الإجابة: المتباينة ٥٠٠ ≤ ٦٢,٥ س، والحل ٨ ≤ س => يحتاج ٨ ساعات (على الأقل).

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | - أجر سالم لكل ساعة: ٦٢,٥ ريال. - سعر الطاولة: ٥٠٠ ريال. - المطلوب: مبلغ مدخرات سالم **على الأقل** ٥٠٠ ريال. | كتابة متباينة وحلها لإيجاد **أقل عدد من الساعات** التي يجب أن يعملها. |
2. **الخطوة 1: تعريف المتغير** ليكن $س$ هو عدد ساعات العمل.
3. **الخطوة 2: كتابة المتباينة** - إجمالي دخله بعد $س$ ساعة: $٦٢,٥ \times س$ ريال. - ليتمكن من شراء الطاولة، يجب أن يكون دخله **على الأقل** ٥٠٠ ريال: $٦٢,٥س ≥ ٥٠٠$.
4. **الخطوة 3: حل المتباينة** 1. نقسم طرفي المتباينة على ٦٢,٥ (موجب). 2. $\frac{٦٢,٥س}{٦٢,٥} ≥ \frac{٥٠٠}{٦٢,٥}$ 3. $س ≥ ٨$
5. **الإجابة النهائية والتفسير:** - **المتباينة:** $٦٢,٥س ≥ ٥٠٠$ - **الحل:** $س ≥ ٨$ - **التفسير:** يجب أن يعمل سالم **٨ ساعات على الأقل** ليحصل على مبلغ لا يقل عن ٥٠٠ ريال ويتمكن من شراء الطاولة.

سؤال 34: تحد: بين ما إذا كانت كل معادلة أو متباينة فيما يأتي لها حل واحد، أو أكثر، أو ليس لها حل: ص - ص = ٠

الإجابة: أكثر من حل (صحيحة لكل قيم ص)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المعادلة: $ص - ص = ٠$ | تحديد عدد الحلول: حل واحد، أكثر من حل، أم لا حل؟ |
2. **الخطوة 1: تبسيط المعادلة** $ص - ص = ٠$ يؤدي إلى $٠ = ٠$.
3. **الخطوة 2: تحليل النتيجة** - النتيجة $٠ = ٠$ هي **عبارة صحيحة دائماً**، بغض النظر عن قيمة $ص$. - أي أن **أي** قيمة لـ $ص$ تحقق المعادلة.
4. **الإجابة النهائية:** المعادلة لها **أكثر من حل** (بل عدد غير منتهٍ من الحلول)، فهي صحيحة **لكل قيم $ص$**.

سؤال 35: تحد: بين ما إذا كانت كل معادلة أو متباينة فيما يأتي لها حل واحد، أو أكثر، أو ليس لها حل: س + ٤ = ٩

الإجابة: حل واحد وهو ٥ = س

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المعادلة: $س + ٤ = ٩$ | تحديد عدد الحلول: حل واحد، أكثر من حل، أم لا حل؟ |
2. **الخطوة 1: حل المعادلة** 1. نطرح $٤$ من الطرفين: $س = ٩ - ٤$. 2. $س = ٥$.
3. **الخطوة 2: تحليل النتيجة** - حصلنا على قيمة واحدة محددة لـ $س$ وهي $٥$. - لا توجد قيم أخرى تحقق المعادلة.
4. **الإجابة النهائية:** المعادلة لها **حل واحد فقط**، وهو $س = ٥$.

سؤال 36: تحد: بين ما إذا كانت كل معادلة أو متباينة فيما يأتي لها حل واحد، أو أكثر، أو ليس لها حل: س + ٤ > ٩

الإجابة: أكثر من حل (الحل: ٥ < س)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $س + ٤ > ٩$ | تحديد عدد الحلول: حل واحد، أكثر من حل، أم لا حل؟ |
2. **الخطوة 1: حل المتباينة** 1. نطرح $٤$ من الطرفين: $س > ٩ - ٤$. 2. $س > ٥$.
3. **الخطوة 2: تحليل النتيجة** - الحل $س > ٥$ يمثل **مجموعة غير منتهية** من الأعداد. - أي عدد أكبر من ٥ يحقق المتباينة.
4. **الإجابة النهائية:** المتباينة لها **أكثر من حل** (عدد غير منتهٍ من الحلول)، فالحل هو جميع الأعداد الحقيقية **الأكبر من ٥**.

سؤال 37: تحد: بين ما إذا كانت كل معادلة أو متباينة فيما يأتي لها حل واحد، أو أكثر، أو ليس لها حل: ص > ص + ١

الإجابة: ليس لها حل (لأنها تعطي ٠ > ١ وهو خطأ)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $ص > ص + ١$ | تحديد عدد الحلول: حل واحد، أكثر من حل، أم لا حل؟ |
2. **الخطوة 1: تبسيط المتباينة** 1. نطرح $ص$ من الطرفين: $ص - ص > ص + ١ - ص$. 2. $٠ > ١$.
3. **الخطوة 2: تحليل النتيجة** - النتيجة $٠ > ١$ هي **عبارة خاطئة دائماً**، بغض النظر عن قيمة $ص$. - لا توجد أي قيمة لـ $ص$ تجعل العبارة صحيحة.
4. **الإجابة النهائية:** المتباينة **ليس لها حل**، لأنها تؤدي إلى عبارة خاطئة (مستحيلة).

سؤال 38: مسألة مفتوحة: اكتب متباينتين مختلفتين، على أن يكون حل كل منهما س > ٩، بحيث تُحل إحداهما باستعمال خصائص الجمع، وتُحل الأخرى باستعمال خصائص الطرح.

الإجابة: س - ٢ > ٧ (بخصائص الجمع)، س + ٣ > ١٢ (بخصائص الطرح)

خطوات الحل:

1. | المطلوب | |----------| | كتابة **متباينتين مختلفتين** حلهما $س > ٩$، بحيث: 1. تُحل الأولى باستعمال **خاصية الجمع**. 2. تُحل الثانية باستعمال **خاصية الطرح**. |
2. **الخطوة 1: فهم المطلوب** - خاصية الجمع: إضافة عدد ثابت إلى طرفي المتباينة (أو طرحه). - خاصية الطرح: طرح عدد ثابت من طرفي المتباينة (وهو في جوهره إضافة عدد سالب، لكن السؤال يميز بينهما). - نبدأ من الحل $س > ٩$ ونبني متباينات أبسط ثم نحلها بالطريقة المطلوبة.
3. **الخطوة 2: إنشاء المتباينة الأولى (تُحل بخصائص الجمع)** - نبدأ من: $س > ٩$. - لنصنع متباينة تحتاج لإضافة عدد للطرفين. مثلاً، لو طرحنا $٢$ من $س$ لكان الناتج أكبر من $٧$: $س - ٢ > ٧$ - لحلها نضيف $٢$ للطرفين (خاصية الجمع): $س - ٢ + ٢ > ٧ + ٢$ $س > ٩$.
4. **الخطوة 3: إنشاء المتباينة الثانية (تُحل بخصائص الطرح)** - نبدأ من: $س > ٩$. - لنصنع متباينة تحتاج لطرح عدد من الطرفين. مثلاً، لو أضفنا $٣$ إلى $س$ لكان الناتج أكبر من $١٢$: $س + ٣ > ١٢$ - لحلها نطرح $٣$ من الطرفين (خاصية الطرح): $س + ٣ - ٣ > ١٢ - ٣$ $س > ٩$.
5. **الإجابة النهائية:** - **متباينة تُحل بالجمع:** $س - ٢ > ٧$ - **متباينة تُحل بالطرح:** $س + ٣ > ١٢$ - **ملاحظة:** يمكن اختيار أعداد أخرى غير $٢$ و $٣$ بشرط أن تؤدي إلى نفس الحل.

سؤال 39: اكتشف الخطأ: حلّت كلّ من أسماء وسمية المتباينة أدناه، فأيهما على صواب؟ اشرح. (المتباينة: ٧ س ≥ -٤٩)

الإجابة: سمية؛ لأن القسمة على عدد موجب (٧) لا تغير اتجاه المتباينة. ٧ س ≥ -٤٩ => س ≥ -٧

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتباينة: $٧س ≥ -٤٩$ - حل أسماء: $س ≥ -٧$ - حل سمية: $س ≤ -٧$ | تحديد من منهما على صواب، وشرح السبب. |
2. **الخطوة 1: حل المتباينة خطوة بخطوة** 1. المتباينة الأصلية: $٧س ≥ -٤٩$. 2. نقسم الطرفين على معامل $س$، وهو $٧$ (عدد **موجب**). > **قاعدة:** القسمة على عدد موجب **لا تغير** اتجاه المتباينة. 3. $\frac{٧س}{٧} ≥ \frac{-٤٩}{٧}$ 4. $س ≥ -٧$.
3. **الخطوة 2: مقارنة الحلول** - حل أسماء: $س ≥ -٧$ **يتطابق** مع الحل الصحيح. - حل سمية: $س ≤ -٧$ **يختلف** عن الحل الصحيح (عكس الاتجاه).
4. **الخطوة 3: التحليل والسبب** - **أسماء على صواب** لأنها طبقت القاعدة الصحيحة: قسمة طرفي المتباينة على عدد موجب (٧) لا تغير اتجاه المتباينة. - **سمية على خطأ** لأنها غيرت اتجاه المتباينة خطأً، ربما ظنت أن القسمة على أي عدد (حتى الموجب) تعكس الاتجاه، أو لاحظت وجود إشارة سالب في الطرف الآخر.
5. **الإجابة النهائية:** **أسماء** هي على صواب. لأن حل المتباينة $٧س ≥ -٤٩$ هو $س ≥ -٧$، وذلك بقسمة الطرفين على العدد الموجب $٧$ دون تغيير اتجاه المتباينة.

سؤال 40: اكتب: مسألة لفظية يكون حلها: ص < ٢٠٠

الإجابة: مثال: قاعة تتسع لـ ٢٠٠ مقعد، إذا كان ص عدد الحاضرين، واشترط المنظمون أن يكون عدد الحاضرين أقل من ٢٠٠، فما المتباينة التي تمثل ذلك؟

خطوات الحل:

1. | المطلوب | |----------| | كتابة **مسألة لفظية** يكون حلها هو $ص < ٢٠٠$. |
2. **الخطوة 1: فهم الحل** الحل $ص < ٢٠٠$ يعني أن المتغير $ص$ يمثل كمية يمكن أن تأخذ أي قيمة **أقل من ٢٠٠**.
3. **الخطوة 2: التفكير في سياقات واقعية** يمكن لـ $ص$ أن يمثل: عدد أشخاص، وزن، سعة، سرعة، وقت، إلخ، بشرط أن يكون هناك حد أقصى (٢٠٠) لا يجب بلوغه أو تجاوزه.
4. **الخطوة 3: صياغة المسألة اللفظية** > **مثال:** "تستوعب حافلة للنقل المدرسي **أقل من ٢٠٠** طالب لأسباب تتعلق بالسلامة. إذا كان $ص$ يمثل عدد الطلاب في الحافلة، فاكتب المتباينة التي تمثل هذا الشرط." **الخطوة 4: التحقق من الحل** - ترجمة المسألة: عدد الطلاب $ص$ يجب أن يكون أقل من ٢٠٠. - المتباينة: $ص < ٢٠٠$. - هذا يتطابق مع المطلوب.
5. **الإجابة النهائية:** **مسألة لفظية مقترحة:** "تخطط مدرسة لرحلتين، بحيث لا يتجاوز عدد الطلاب في الرحلة الواحدة ٢٠٠ طالب للحفاظ على التنظيم. إذا كان $ص$ يمثل عدد الطلاب المسجلين في إحدى الرحلات، فاكتب المتباينة التي تضمن ألا يتجاوز العدد الحد المسموح." (الحل: $ص < ٢٠٠$ أو $ص ≤ ١٩٩$، لكن المطلوب هو $ص < ٢٠٠$).

أي متباينة وحل يمثل العبارة: ناتج قسمة عدد ما على -٥، وإضافة أربعة إليه يساوي ٧ على الأكثر؟

• أ) المتباينة: س / -٥ + ٤ < ٧، والحل س < -١٥
• ب) المتباينة: س / -٥ + ٤ ≤ ٧، والحل س ≤ -١٥
• ج) المتباينة: س / ٥ + ٤ ≤ ٧، والحل س ≤ ١٥
• د) المتباينة: س / -٥ + ٤ ≤ ٧، والحل س ≥ -١٥

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المتباينة: س / -٥ + ٤ ≤ ٧، والحل س ≥ -١٥

الشرح: 1. ترجمة العبارة: س / -٥ + ٤ ≤ ٧. 2. نطرح 4 من الطرفين: س / -٥ ≤ ٣. 3. نضرب الطرفين في -5 ونعكس المتباينة: س ≥ -15.

تلميح: انتبه لترجمة 'على الأكثر' ولتأثير الضرب في عدد سالب على اتجاه المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أي متباينة وحل يمثل العبارة: 'ناتج قسمة عدد ما على 3، وطرح اثنين منه يساوي -12 على الأقل'؟

• أ) س / 3 - 2 > -12; س > -30
• ب) س / 3 - 2 ≤ -12; س ≤ -30
• ج) س / 3 + 2 ≥ -12; س ≥ -42
• د) س / 3 - 2 ≥ -12; س ≥ -30

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س / 3 - 2 ≥ -12; س ≥ -30

الشرح: 1. لنمثل العدد المجهول بالرمز س. 2. ترجمة العبارة اللفظية إلى متباينة هي: س / 3 - 2 ≥ -12. 3. لحل المتباينة، نضيف 2 إلى طرفيها: س / 3 ≥ -12 + 2، فيصبح س / 3 ≥ -10. 4. نضرب الطرفين في 3 (عدد موجب، لا نغير الاتجاه): س ≥ -10 × 3. 5. إذن، الحل هو: س ≥ -30.

تلميح: انتبه لترتيب العمليات الحسابية وعلامة المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما حل المتباينة: -10 < ك / -4؟

• أ) ك > 40
• ب) ك < 40
• ج) ك < -40
• د) ك > -40

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ك < 40

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: -10 < ك / -4. 2. لنتخلص من المقام، نضرب طرفي المتباينة في -4. 3. بما أننا نضرب في عدد سالب (-4)، يجب عكس اتجاه المتباينة (< تصبح >). 4. (-4) × (-10) > (ك / -4) × (-4) 5. 40 > ك 6. إذن: ك < 40.

تلميح: تذكر: عند الضرب في عدد سالب، يجب عكس اتجاه المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي متباينة وحل يمثل العبارة: 'أكبر من عدد ما بخمسة يساوي على الأقل 13'؟

• أ) س + 5 > 13; س > 8
• ب) س + 5 = 13; س = 8
• ج) س + 5 ≥ 13; س ≥ 8
• د) س + 13 ≥ 5; س ≥ -8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: س + 5 ≥ 13; س ≥ 8

الشرح: 1. لنمثل العدد المجهول بالرمز س. 2. 'أكبر من عدد ما بخمسة' تُترجم إلى: س + 5. 3. 'يساوي على الأقل 13' تُترجم إلى: ≥ 13. 4. المتباينة هي: س + 5 ≥ 13. 5. لحلها، نطرح 5 من طرفي المتباينة: س ≥ 13 - 5. 6. إذن، الحل هو: س ≥ 8.

تلميح: تذكر كيفية ترجمة 'على الأقل' إلى رمز المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي متباينة وحل يمثل العبارة: 'الفرق بين عدد ما والعدد 11، أصغر من 8'؟

• أ) س - 11 < 8; س < 19
• ب) س - 11 > 8; س > 19
• ج) 11 - س < 8; س > 3
• د) س + 11 < 8; س < -3

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س - 11 < 8; س < 19

الشرح: 1. لنمثل العدد المجهول بالرمز س. 2. 'الفرق بين عدد ما والعدد 11' تُترجم إلى: س - 11. 3. 'أصغر من 8' تُترجم إلى: < 8. 4. المتباينة هي: س - 11 < 8. 5. لحلها، نضيف 11 إلى طرفي المتباينة: س < 8 + 11. 6. إذن، الحل هو: س < 19.

تلميح: تذكر كيفية ترجمة 'أصغر من' إلى رمز المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما حل المتباينة: ١٤ ك ≤ -٨٤؟

• أ) ك ≥ -٦
• ب) ك ≤ ٦
• ج) ك ≥ ٦
• د) ك ≤ -٦

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ك ≤ -٦

الشرح: 1. نقسم طرفي المتباينة على 14 (عدد موجب). 2. لا يتغير اتجاه المتباينة. 3. ك ≤ -84 ÷ 14 = -6.

تلميح: تذكر أن القسمة على عدد موجب لا تغير اتجاه المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد حل المتباينة: -٤ و ≤ ٢٠

• أ) و ≤ -٥
• ب) و ≥ ٥
• ج) و ≤ ٥
• د) و ≥ -٥

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: و ≥ -٥

الشرح: 1. نقسم طرفي المتباينة على -4 (عدد سالب). 2. نعكس اتجاه المتباينة. 3. و ≥ 20 ÷ -4 = -5.

تلميح: عند القسمة على عدد سالب، يجب عكس اتجاه علامة المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هو حل المتباينة: ف / -٤ < ٤؟

• أ) ف < -١٦
• ب) ف > ١٦
• ج) ف < ١٦
• د) ف > -١٦

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ف > -١٦

الشرح: 1. نضرب طرفي المتباينة في -4 (عدد سالب). 2. نعكس اتجاه المتباينة. 3. ف > 4 × (-4) = -16.

تلميح: تذكر أنه عند الضرب في عدد سالب، يجب عكس اتجاه علامة المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يبلغ عماد ١٥ سنة، ويريد الانضمام لفريق كرة السلة الممتاز الذي يشترط عمر ٢٣ سنة على الأقل. ما المتباينة وحلها لتحديد بعد كم سنة يمكنه الانضمام؟

• أ) المتباينة: ١٥ + س > ٢٣، والحل س > ٨
• ب) المتباينة: ١٥ + س ≤ ٢٣، والحل س ≤ ٨
• ج) المتباينة: ١٥ + س ≥ ٢٣، والحل س ≥ ٨
• د) المتباينة: س ≥ ٢٣ - ١٥، والحل س = ٨

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المتباينة: ١٥ + س ≥ ٢٣، والحل س ≥ ٨

الشرح: 1. نفرض 'س' عدد السنوات. 2. عمره المستقبلي: 15 + س. 3. شرط الانضمام: 15 + س ≥ 23. 4. نطرح 15 من الطرفين: س ≥ 8.

تلميح: عبارة 'على الأقل' تعني استخدام علامة ≥. ركز على إيجاد عدد السنوات الإضافية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما حل المتباينة: 4 > ف / 4؟

• أ) ف < 16
• ب) ف > 16
• ج) ف < 1
• د) ف > 1

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ف < 16

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: 4 > ف / 4. 2. لنتخلص من المقام، نضرب طرفي المتباينة في 4. 3. بما أن 4 عدد موجب، لا يتغير اتجاه المتباينة. 4. (4) × 4 > (ف / 4) × 4 5. 16 > ف 6. إذن: ف < 16.

تلميح: تذكر: عند الضرب في عدد موجب، لا يتغير اتجاه المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد حل المتباينة التالية: ك - 84 ≤ 14

• أ) ك ≥ 98
• ب) ك ≤ 98
• ج) ك ≤ -70
• د) ك ≤ 70

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ك ≤ 98

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: ك - 84 ≤ 14 2. أضف 84 إلى طرفي المتباينة: ك - 84 + 84 ≤ 14 + 84 3. تبسيط الطرفين يعطي: ك ≤ 98

تلميح: تذكر خاصية جمع المتباينات لإزالة العدد المجموع أو المطروح من المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد حل المتباينة التالية: -12 < 3 - ج

• أ) ج > 15
• ب) ج < 9
• ج) ج < 15
• د) ج > 9

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ج < 15

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: -12 < 3 - ج 2. اطرح 3 من طرفي المتباينة: -12 - 3 < -ج 3. تبسيط: -15 < -ج 4. اضرب أو اقسم على -1 واقلب اتجاه المتباينة: (-1) × (-15) > (-1) × (-ج) 5. الحل: 15 > ج أو ج < 15

تلميح: ابدأ بطرح الثابت من طرفي المتباينة، ثم تذكر قاعدة قلب اتجاه المتباينة عند القسمة على عدد سالب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حل المتباينة التالية: 2 - ص > -22

• أ) ص > 24
• ب) ص < 20
• ج) ص < 24
• د) ص > 20

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ص < 24

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: 2 - ص > -22 2. اطرح 2 من طرفي المتباينة: -ص > -22 - 2 3. تبسيط: -ص > -24 4. اضرب أو اقسم على -1 واقلب اتجاه المتباينة: (-1) × (-ص) < (-1) × (-24) 5. الحل: ص < 24

تلميح: ابدأ بطرح الثابت من طرفي المتباينة، ثم تذكر قاعدة قلب اتجاه المتباينة عند التعامل مع إشارة سالبة للمتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد حل المتباينة التالية: -3 < ر - 9

• أ) ر < 6
• ب) ر > 6
• ج) ر < -12
• د) ر > -12

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ر > 6

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: -3 < ر - 9 2. أضف 9 إلى طرفي المتباينة: -3 + 9 < ر - 9 + 9 3. تبسيط الطرفين: 6 < ر 4. يمكن كتابة الحل أيضاً: ر > 6

تلميح: استخدم خاصية جمع المتباينات لعزل المتغير في أحد الطرفين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد حل المتباينة التالية: هـ - 12 > -72

• أ) هـ > -84
• ب) هـ < -60
• ج) هـ > -60
• د) هـ < -84

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هـ > -60

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: هـ - 12 > -72 2. أضف 12 إلى طرفي المتباينة: هـ - 12 + 12 > -72 + 12 3. تبسيط الطرفين: هـ > -60

تلميح: تذكر أن إضافة عدد موجب (أو طرح عدد سالب) إلى طرفي المتباينة لا يغير اتجاهها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

اكتب متباينة وحلها للعبارة اللفظية: ناتج قسمة عدد ما على 5، وإضافة أربعة إليه يساوي 7 على الأكثر.

• أ) المتباينة: س / 5 + 4 < 7، الحل: س < 15
• ب) المتباينة: س / 5 + 4 ≥ 7، الحل: س ≥ 15
• ج) المتباينة: س / 5 + 4 ≤ 7، الحل: س ≤ 15
• د) المتباينة: س / 5 + 4 ≤ 7، الحل: س ≤ -15

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المتباينة: س / 5 + 4 ≤ 7، الحل: س ≤ 15

الشرح: 1. ترجمة العبارة: ناتج قسمة عدد ما (س) على 5 هو س/5، وإضافة أربعة إليه تعني س/5 + 4. 'يساوي 7 على الأكثر' تعني ≤ 7. فتكون المتباينة: س/5 + 4 ≤ 7. 2. حل المتباينة: اطرح 4 من الطرفين: س/5 ≤ 3. 3. اضرب الطرفين في 5 (عدد موجب، فلا يتغير اتجاه المتباينة): س ≤ 15.

تلميح: تذكر أن 'على الأكثر' تعني أصغر من أو يساوي (≤)، واتبع ترتيب العمليات لحل المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يتقاضى سالم 62.5 ريالاً عن كل ساعة عمل، ويرغب في ادخار مبلغ يكفي لشراء طاولة ثمنها 500 ريال. ما المتباينة التي تمثل عدد الساعات (س) التي يجب عليه أن يعملها حتى يتمكن من شراء الطاولة وما حلها؟

• أ) المتباينة: 62.5 س ≤ 500، الحل: س ≤ 8
• ب) المتباينة: 62.5 س ≥ 500، الحل: س ≥ 8
• ج) المتباينة: س + 62.5 ≥ 500، الحل: س ≥ 437.5
• د) المتباينة: 500 - 62.5 س > 0، الحل: س < 8

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المتباينة: 62.5 س ≥ 500، الحل: س ≥ 8

الشرح: 1. تحديد المتغيرات: ليكن س هو عدد ساعات العمل. دخله لكل ساعة هو 62.5 ريالاً. 2. كتابة المتباينة: إجمالي دخله هو 62.5س. لكي يتمكن من شراء الطاولة، يجب أن يكون إجمالي دخله على الأقل 500 ريال. إذن: 62.5س ≥ 500. 3. حل المتباينة: اقسم الطرفين على 62.5 (عدد موجب، فلا يتغير اتجاه المتباينة): س ≥ 500 / 62.5، ويصبح س ≥ 8.

تلميح: عبر عن الدخل الكلي كحاصل ضرب عدد الساعات في الأجر للساعة الواحدة، ثم استخدم 'يكفي لشراء' لترجمة علامة المتباينة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما عدد حلول المعادلة: س - س = 0؟

• أ) حل واحد فقط
• ب) أكثر من حل
• ج) ليس لها حل
• د) حلان اثنان فقط

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أكثر من حل

الشرح: 1. بسّط المعادلة: اطرح س من س في الطرف الأيسر. يصبح 0 = 0. 2. تحليل النتيجة: العبارة 0 = 0 صحيحة دائماً، بغض النظر عن قيمة المتغير س. 3. الاستنتاج: أي قيمة للمتغير س تحقق هذه المعادلة، وبالتالي لها عدد غير منتهٍ من الحلول.

تلميح: بسّط المعادلة ولاحظ ما إذا كانت العبارة الناتجة صحيحة دائماً أم أحياناً أم أبداً.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما عدد حلول المعادلة: س + 4 = 9 + س؟

• أ) حل واحد فقط
• ب) أكثر من حل
• ج) حلان اثنان فقط
• د) ليس لها حل

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ليس لها حل

الشرح: 1. بسّط المعادلة: اطرح س من طرفي المعادلة. 2. يصبح الطرف الأيمن 4، والطرف الأيسر 9. 3. النتيجة هي 4 = 9، وهي عبارة خاطئة دائماً. 4. الاستنتاج: لا توجد أي قيمة للمتغير س تجعل هذه المعادلة صحيحة، وبالتالي ليس لها حل.

تلميح: حاول عزل المتغير في أحد الطرفين. إذا حصلت على عبارة خاطئة، فليس للمعادلة حل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حلّت كل من أسماء وسمية المتباينة 7 س ≥ -49. أسماء حصلت على س ≥ -7 وسمية على س ≤ -7. أيهما على صواب؟

• أ) كلتاهما على صواب لأن الاتجاه لا يهم.
• ب) سمية هي على صواب لأنها عكست اتجاه المتباينة لوجود عدد سالب.
• ج) أسماء هي على صواب.
• د) كلتاهما على خطأ؛ الحل الصحيح هو س > -7.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أسماء هي على صواب.

الشرح: 1. المتباينة الأصلية: 7 س ≥ -49. 2. لحل المتباينة، نقسم كلا الطرفين على 7. 3. لأن 7 عدد موجب، لا يتغير اتجاه علامة المتباينة. 4. إذن، 7 س / 7 ≥ -49 / 7، فتصبح س ≥ -7. 5. بما أن حل أسماء هو س ≥ -7، فهي على صواب. وسمية على خطأ لأنها عكست اتجاه المتباينة بشكل خاطئ.

تلميح: تذكر القاعدة الأساسية لحل المتباينات: ماذا يحدث لعلامة المتباينة عند القسمة على عدد موجب أو سالب؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط