تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 خصائص المتباينة (الضرب والقسمة على عدد سالب)

المفاهيم الأساسية

خاصية الضرب والقسمة على عدد سالب: عند ضرب (أو قسمة) طرفي متباينة في عدد سالب، فإن إشارة المتباينة تتغير حتى تبقى صحيحة.

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص المتباينة (الضرب والقسمة)

الخاصية الأساسية

عند ضرب أو قسمة الطرفين على عدد موجب

#### تبقى إشارة المتباينة كما هي

عند ضرب أو قسمة الطرفين على عدد سالب

#### تنعكس إشارة المتباينة

الرموز الرياضية

إذا كان أ > ب و جـ > ٠

#### فإن: أ جـ > ب جـ

#### و: أ/جـ > ب/جـ

إذا كان أ > ب و جـ < ٠

#### فإن: أ جـ < ب جـ

#### و: أ/جـ < ب/جـ

خطوات الحل

١. اكتب المتباينة

٢. اقسم أو اضرب الطرفين على العدد

٣. إذا كان العدد سالباً، اعكس إشارة المتباينة

٤. بسّط الناتج

٥. مثّل الحل بيانياً على خط الأعداد

خطأ شائع

لا تعكس الإشارة لمجرد وجود حد سالب في المتباينة

اعكس الإشارة فقط عند الضرب أو القسمة على عدد سالب

```

نقاط مهمة

• عند ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب، ينعكس ترتيب الأعداد على خط الأعداد، وبالتالي تنعكس إشارة المتباينة.
• مثال توضيحي: بما أن ٣ < ٥، عند الضرب في (-١) يصبح -٣ > -٥.
• لا تعكس إشارة المتباينة لمجرد وجود حد سالب (مثل ٧س - ٤٢)، بل فقط عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.

---

تحقق من فهمك

السؤال: حل المتباينات الآتية، ومثل الحل بيانياً:

• د) أ ≤ ٤٥

* الحل: مجموعة الحل هي جميع الأعداد الأصغر من أو تساوي ٤٥. على خط الأعداد: دائرة مغلقة (●) عند ٤٥ وسهم يتجه نحو اليسار.

• هـ) ن > -١٦

* الحل: مجموعة الحل هي جميع الأعداد الأكبر من -١٦. على خط الأعداد: دائرة مفتوحة (○) عند -١٦ وسهم يتجه نحو اليمين.

• و) ب ≥ ٨١

* الحل: مجموعة الحل هي جميع الأعداد الأكبر من أو تساوي ٨١. على خط الأعداد: دائرة مغلقة (●) عند ٨١ وسهم يتجه نحو اليمين.

---

حل مثال

المثال الموجود في الصفحة:

• المتباينة: \frac{س}{٣} \geq ٨
• الخطوة ١ (اضرب الطرفين في ٣): ٣ \times \frac{س}{٣} \geq ٣ \times ٨
• الخطوة ٢ (بسّط): س \geq ٢٤
• الحل النهائي: إذن، الحل هو س \geq ٢٤

٨ ≥ س/٣ اكتب المتباينة: ٨ ≥ س/٣ اضرب الطرفين في ٣: (٣) ٨ ≥ (٣) س/٣ بسط: ٢٤ ≥ س إذن، الحل هو س ≥ ٢٤

تحقق من فهمك

حل المتباينات الآتية، ومثل الحل بيانيًا:

ماذا يحدث للمتباينة إذا ضرب طرفاها أو قسما على عدد سالب؟

مثل ٣، ٥ على خط الأعداد:

اضرب كل عدد في -١:

بما أن ٣ إلى يسار ٥، فإن ٣ < ٥ بما أن -٣ إلى يمين -٥، فإن -٥ < -٣ لاحظ أن الأعداد التي تم مقارنتها قد تغيرت مواقعها بعد ضربها في عدد سالب؛ أي أن ترتيبها قد انعكس. وتبين هذه الأمثلة الخصائص الآتية للمتباينة، وهي صحيحة عندما أ < ب، أ ≥ ب:

مفهوم أساسي التعبير اللفظي: عند ضرب (أو قسمة) طرفي متباينة في عدد سالب، فإن إشارة المتباينة تتغير حتى تبقى صحيحة. الرموز: لأي ثلاثة أعداد أ، ب، جـ، حيث جـ > ٠: • إذا كان أ < ب، فإن أ جـ < ب جـ، أ/جـ < ب/جـ • إذا كان أ > ب، فإن أ جـ > ب جـ، أ/جـ > ب/جـ لأي ثلاثة أعداد أ، ب، جـ، حيث جـ < ٠: • إذا كان أ < ب، فإن أ جـ > ب جـ، أ/جـ > ب/جـ • إذا كان أ > ب، فإن أ جـ < ب جـ، أ/جـ < ب/جـ الأمثلة: ٨ > ٥ ٥ < ٨ (١-) ٨ > (١-) ٥ اعكس إشارة المتباينة ٨- < ٥- ✓ (١-) ٥ < (١-) ٨ اعكس إشارة المتباينة ٥- > ٨- ✓ ٩ > ٣ ٣ < ٩ ٩/٣- < ٣/٣- اعكس إشارة المتباينة ٣- > ١- ✓ ٣/٣- > ٩/٣- اعكس إشارة المتباينة ١- < ٣- ✓

خطأ شائع لا تعكس إشارة المتباينة لأنها تشتمل على إشارة سالب مثل ٧س > -٤٢، بل اعكسها فقط عند ضرب المتباينة أو قسمتها على عدد سالب.

وزارة التعليم الدرس ٩ - ٧ : حل المتباينات 169

٨ ≥ س/٣ اكتب المتباينة: ٨ ≥ س/٣ اضرب الطرفين في ٣: (٣) ٨ ≥ (٣) س/٣ بسط: ٢٤ ≥ س إذن، الحل هو س ≥ ٢٤ --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك حل المتباينات الآتية، ومثل الحل بيانيًا: د. ٤٥ ≤ أ/٣ هـ. ١٦ > ب/٤ و. ٨١ ≥ ٩ب ماذا يحدث للمتباينة إذا ضرب طرفاها أو قسما على عدد سالب؟ مثل ٣، ٥ على خط الأعداد: اضرب كل عدد في -١: بما أن ٣ إلى يسار ٥، فإن ٣ < ٥ بما أن -٣ إلى يمين -٥، فإن -٥ < -٣ لاحظ أن الأعداد التي تم مقارنتها قد تغيرت مواقعها بعد ضربها في عدد سالب؛ أي أن ترتيبها قد انعكس. وتبين هذه الأمثلة الخصائص الآتية للمتباينة، وهي صحيحة عندما أ < ب، أ ≥ ب: --- SECTION: خصائص المتباينة (الضرب والقسمة) --- مفهوم أساسي التعبير اللفظي: عند ضرب (أو قسمة) طرفي متباينة في عدد سالب، فإن إشارة المتباينة تتغير حتى تبقى صحيحة. الرموز: لأي ثلاثة أعداد أ، ب، جـ، حيث جـ > ٠: • إذا كان أ < ب، فإن أ جـ < ب جـ، أ/جـ < ب/جـ • إذا كان أ > ب، فإن أ جـ > ب جـ، أ/جـ > ب/جـ لأي ثلاثة أعداد أ، ب، جـ، حيث جـ < ٠: • إذا كان أ < ب، فإن أ جـ > ب جـ، أ/جـ > ب/جـ • إذا كان أ > ب، فإن أ جـ < ب جـ، أ/جـ < ب/جـ الأمثلة: ٨ > ٥ ٥ < ٨ (١-) ٨ > (١-) ٥ اعكس إشارة المتباينة ٨- < ٥- ✓ (١-) ٥ < (١-) ٨ اعكس إشارة المتباينة ٥- > ٨- ✓ ٩ > ٣ ٣ < ٩ ٩/٣- < ٣/٣- اعكس إشارة المتباينة ٣- > ١- ✓ ٣/٣- > ٩/٣- اعكس إشارة المتباينة ١- < ٣- ✓ --- SECTION: إرشادات للدراسة --- خطأ شائع لا تعكس إشارة المتباينة لأنها تشتمل على إشارة سالب مثل ٧س > -٤٢، بل اعكسها فقط عند ضرب المتباينة أو قسمتها على عدد سالب. وزارة التعليم الدرس ٩ - ٧ : حل المتباينات 169 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A number line showing the solution to the inequality s ≥ 24. It has a closed circle at 24 and an arrow extending to the right, indicating all numbers greater than or equal to 24. X-axis: Numbers Data: The number line shows integer values from 22 to 26. A solid dot is placed at 24, and a line extends from 24 to the right with an arrow, covering 25, 26, and beyond. Key Values: 24 **GRAPH**: Untitled Description: A number line showing two points, 3 and 5, marked with blue dots. The line extends from -5 to 5. X-axis: Numbers Data: The number line shows integer values from -5 to 5. Blue dots are placed at 3 and 5. Key Values: 3, 5 **GRAPH**: Untitled Description: A number line showing two points, -3 and -5, marked with red dots. The line extends from -5 to 5. A blue line with arrows indicates the interval between -5 and -3. X-axis: Numbers Data: The number line shows integer values from -5 to 5. Red dots are placed at -3 and -5. A blue line with arrows connects -5 and -3, indicating the interval between them. Key Values: -3, -5