الفصل ۹ - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: استعمل خاصية التوزيع في إعادة كتابة كل مقدار مما يأتي: -7(س - 10)

الإجابة: -7س + 70

خطوات الحل:

1. | | التعبير | |------|--------| | **المعطى** | $-7(س - 10)$ | | **المطلوب** | إعادة كتابة المقدار باستخدام خاصية التوزيع |
2. **القانون المستخدم:** خاصية التوزيع: $a(b + c) = ab + ac$ أو $a(b - c) = ab - ac$.
3. **خطوات الحل:** 1. نطبق خاصية التوزيع بضرب العدد $-7$ في كل حد داخل القوسين: $-7 \times (س) + (-7) \times (-10)$. 2. ننفذ عملية الضرب: $-7 \times س = -7س$. $-7 \times (-10) = +70$ (لأن ضرب عددين سالبين يعطي عدداً موجباً). 3. نجمع النتيجتين: $-7س + 70$.
4. ∴ المقدار بعد تطبيق خاصية التوزيع هو: **$-7س + 70$**.

سؤال 2: استعمل خاصية التوزيع في إعادة كتابة كل مقدار مما يأتي: 8(2ص + 5)

الإجابة: 16ص + 40

خطوات الحل:

1. | | التعبير | |------|--------| | **المعطى** | $8(2ص + 5)$ | | **المطلوب** | إعادة كتابة المقدار باستخدام خاصية التوزيع |
2. **القانون المستخدم:** خاصية التوزيع: $a(b + c) = ab + ac$.
3. **خطوات الحل:** 1. نطبق خاصية التوزيع بضرب العدد $8$ في كل حد داخل القوسين: $8 \times (2ص) + 8 \times 5$. 2. ننفذ عملية الضرب: $8 \times 2ص = 16ص$. $8 \times 5 = 40$. 3. نجمع النتيجتين: $16ص + 40$.
4. ∴ المقدار بعد تطبيق خاصية التوزيع هو: **$16ص + 40$**.

سؤال 3: بسّط كل مقدار مما يأتي: 9أ - أ + 15 - 6أ

الإجابة: 2أ + 9

خطوات الحل:

1. | | التعبير | |------|--------| | **المعطى** | $9أ - أ + 15 - 6أ$ | | **المطلوب** | تبسيط المقدار الجبري |
2. **المبدأ المستخدم:** جمع الحدود الجبرية المتشابهة (الحدود التي تحتوي على نفس المتغير ونفس الأس).
3. **خطوات الحل:** 1. نحدد الحدود المتشابهة: - الحدود التي تحتوي على المتغير $أ$: $9أ$، $-أ$، $-6أ$. - الحدود الثابتة: $+15$. 2. نجمع معاملات الحدود المتشابهة في $أ$: $9أ - أ - 6أ = (9 - 1 - 6)أ = 2أ$. 3. نكتب الحد الثابت كما هو: $+15$. 4. ندمج النتيجتين: $2أ + 15$. > **ملاحظة:** $-أ$ تعني $-1أ$.
4. ∴ المقدار المبسط هو: **$2أ + 15$**.

سؤال 4: بسّط كل مقدار مما يأتي: 2س + 17س

الإجابة: 19س

خطوات الحل:

1. | | التعبير | |------|--------| | **المعطى** | $2س + 17س$ | | **المطلوب** | تبسيط المقدار الجبري |
2. **المبدأ المستخدم:** جمع الحدود الجبرية المتشابهة.
3. **خطوات الحل:** 1. نلاحظ أن الحدين $2س$ و $17س$ متشابهان لأنهما يحويان نفس المتغير $س$. 2. نجمع معامليهما: $2 + 17 = 19$. 3. نكتب النتيجة مع المتغير: $19س$.
4. ∴ المقدار المبسط هو: **$19س$**.

سؤال 5: حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: 3ن + 18 = 6

الإجابة: س = -4

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $3ن + 18 = 6$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $ن$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية من خطوة واحدة أو أكثر باستخدام عمليات عكسية.
3. **خطوات الحل:** 1. نعزل الحد الذي يحتوي على المتغير $ن$: $3ن + 18 = 6$. 2. نطرح $18$ من الطرفين للتخلص من الحد الثابت في الطرف الأيسر: $3ن + 18 - 18 = 6 - 18$. $3ن = -12$. 3. نقسم الطرفين على $3$ لإيجاد قيمة $ن$: $\frac{3ن}{3} = \frac{-12}{3}$. $ن = -4$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $ن = -4$ في المعادلة الأصلية: $3(-4) + 18 = -12 + 18 = 6$. الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر (6=6)، إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$ن = -4$**.

سؤال 6: حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: ك/2 - 11 = 5

الإجابة: ك = 32

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $\frac{ك}{2} - 11 = 5$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $ك$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية باستخدام العمليات العكسية.
3. **خطوات الحل:** 1. نعزل الحد الذي يحتوي على الكسر: $\frac{ك}{2} - 11 = 5$. 2. نضيف $11$ للطرفين للتخلص من $-11$: $\frac{ك}{2} - 11 + 11 = 5 + 11$. $\frac{ك}{2} = 16$. 3. نضرب الطرفين في $2$ لإلغاء المقام: $2 \times \frac{ك}{2} = 16 \times 2$. $ك = 32$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $ك = 32$ في المعادلة الأصلية: $\frac{32}{2} - 11 = 16 - 11 = 5$. الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر (5=5)، إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$ك = 32$**.

سؤال 7: حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: -23 = 3ب + 5 + ب

الإجابة: ب = -7

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $-23 = 3ب + 5 + ب$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $ب$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية: تبسيط الطرفين، ثم عزل المتغير.
3. **خطوات الحل:** 1. نبسط الطرف الأيمن بجمع الحدود المتشابهة: $3ب + ب = 4ب$، فيصبح الطرف الأيمن $4ب + 5$. المعادلة تصبح: $-23 = 4ب + 5$. 2. نعيد ترتيب المعادلة لعزل الحد الذي يحتوي على $ب$ في طرف: نطرح $5$ من الطرفين: $-23 - 5 = 4ب + 5 - 5$. $-28 = 4ب$. 3. نقسم الطرفين على $4$: $\frac{-28}{4} = \frac{4ب}{4}$. $ب = -7$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $ب = -7$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيمن: $3(-7) + 5 + (-7) = -21 + 5 - 7 = -23$. الطرف الأيسر: $-23$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$ب = -7$**.

سؤال 8: حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: 4س - 6 = 5س

الإجابة: س = -6

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $4س - 6 = 5س$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $س$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** جمع أو طرح الحدود الجبرية المتشابهة من الطرفين.
3. **خطوات الحل:** 1. نجمع أو نطرح الحدود بحيث نجمع كل الحدود التي تحتوي على المتغير في طرف واحد. نطرح $4س$ من الطرفين: $4س - 6 - 4س = 5س - 4س$. $-6 = س$. أو يمكن كتابتها: $س = -6$. 2. **التحقق من الحل:** نعوض $س = -6$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر: $4(-6) - 6 = -24 - 6 = -30$. الطرف الأيمن: $5(-6) = -30$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$س = -6$**.

سؤال 9: حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: -أ - 2 = 12 + 3أ

الإجابة: س = -3.5

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $-أ - 2 = 12 + 3أ$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $أ$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية: نقل الحدود المتغيرة إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل الحدود التي تحتوي على $أ$ إلى طرف واحد والثوابت إلى الطرف الآخر. نضيف $أ$ للطرفين: $-أ - 2 + أ = 12 + 3أ + أ$. $-2 = 12 + 4أ$. 2. نطرح $12$ من الطرفين: $-2 - 12 = 12 + 4أ - 12$. $-14 = 4أ$. 3. نقسم الطرفين على $4$: $\frac{-14}{4} = \frac{4أ}{4}$. $أ = -3.5$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $أ = -3.5$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر: $-(-3.5) - 2 = 3.5 - 2 = 1.5$. > **ملاحظة:** $-أ$ عندما تكون $أ=-3.5$ تصبح $-(-3.5)=+3.5$. الطرف الأيمن: $12 + 3(-3.5) = 12 - 10.5 = 1.5$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$أ = -3.5$**.

سؤال 10: حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: -2ص + 5 = ص - 1

الإجابة: ص = 2

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $-2ص + 5 = ص - 1$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $ص$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية: عزل المتغير في أحد الطرفين.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل الحدود التي تحتوي على $ص$ إلى طرف واحد والثوابت إلى الطرف الآخر. نضيف $2ص$ للطرفين: $-2ص + 5 + 2ص = ص - 1 + 2ص$. $5 = 3ص - 1$. 2. نضيف $1$ للطرفين: $5 + 1 = 3ص - 1 + 1$. $6 = 3ص$. 3. نقسم الطرفين على $3$: $\frac{6}{3} = \frac{3ص}{3}$. $ص = 2$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $ص = 2$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر: $-2(2) + 5 = -4 + 5 = 1$. الطرف الأيمن: $2 - 1 = 1$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$ص = 2$**.

سؤال 11: تزلج: يتقاضى مركز للتزلج 6 ريالات عن كل مرة دخول، ويبلغ الاشتراك للأعضاء 24 ريالاً تُدفع مرة واحدة، بالإضافة إلى ريالين عن كل مرة دخول. اكتب معادلة، وحلها لإيجاد عدد المرات التي يمكنك الدخول فيها، على أن تكون التكلفة متساوية سواء بصورة فردية أو باشتراك عضوية؟

الإجابة: المعادلة: 6س = 24 + 2س ، س = 6

خطوات الحل:

1. | | الوصف | |------|--------| | **المعطى** | - تكلفة الدخول الفردي: 6 ريالات لكل مرة. - تكلفة الاشتراك: 24 ريال (دفعة واحدة) + 2 ريال لكل مرة دخول. | **المطلوب** | إيجاد عدد مرات الدخول ($س$) التي تجعل التكلفة متساوية في الحالتين. |
2. **المبدأ المستخدم:** صياغة معادلة خطية تمثل المسألة، ثم حلها.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن $س$ هو عدد مرات الدخول. 2. تكلفة الدخول الفردي لـ $س$ مرة: $6 \times س = 6س$ ريال. 3. تكلفة الاشتراك لـ $س$ مرة: $24 + 2 \times س = 24 + 2س$ ريال. 4. نضع المعادلة عندما تتساوى التكلفتان: $6س = 24 + 2س$. 5. نحل المعادلة: - ننقل الحدود: $6س - 2س = 24$. - $4س = 24$. - نقسم على 4: $س = \frac{24}{4} = 6$. 6. **التحقق:** - التكلفة الفردية: $6 \times 6 = 36$ ريال. - تكلفة الاشتراك: $24 + 2 \times 6 = 24 + 12 = 36$ ريال. تتساوى التكاليف عند 6 مرات.
4. ∴ عدد مرات الدخول التي تتساوى عنده التكلفة هو **6 مرات**.

سؤال 12: حوّل كل جملة مما يأتي إلى معادلة: يزيد على مثلي عدد بمقدار ثلاثة ويساوي 15

الإجابة: 2س + 3 = 15

خطوات الحل:

1. | | الجملة اللفظية | |------|--------| | **المعطى** | "يزيد على مثلي عدد بمقدار ثلاثة ويساوي 15" | | **المطلوب** | تحويل الجملة إلى معادلة جبرية |
2. **المبدأ المستخدم:** ترجمة العبارات اللفظية إلى رموز وجبر.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن العدد هو $س$. 2. "مثلي عدد" تعني $2 \times س = 2س$. 3. "يزيد على مثلي عدد بمقدار ثلاثة" تعني أننا نضيف 3 إلى $2س$، أي: $2س + 3$. 4. "ويساوي 15" تعني أن المقدار السابق يساوي 15. 5. نكون المعادلة: $2س + 3 = 15$.
4. ∴ المعادلة التي تمثل الجملة هي: **$2س + 3 = 15$**.

سؤال 13: حوّل كل جملة مما يأتي إلى معادلة: ناتج قسمة عدد على 6، وإضافة 3 إليه يساوي 11

الإجابة: س/6 + 3 = 11

خطوات الحل:

1. | | الجملة اللفظية | |------|--------| | **المعطى** | "ناتج قسمة عدد على 6، وإضافة 3 إليه يساوي 11" | | **المطلوب** | تحويل الجملة إلى معادلة جبرية |
2. **المبدأ المستخدم:** ترجمة العبارات اللفظية إلى رموز وجبر.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن العدد هو $س$. 2. "ناتج قسمة عدد على 6" تعني $\frac{س}{6}$. 3. "وإضافة 3 إليه" تعني $\frac{س}{6} + 3$. 4. "يساوي 11" تعني أن المقدار السابق يساوي 11. 5. نكون المعادلة: $\frac{س}{6} + 3 = 11$.
4. ∴ المعادلة التي تمثل الجملة هي: **$\frac{س}{6} + 3 = 11$**.

سؤال 14: حوّل كل جملة مما يأتي إلى معادلة: ناتج ضرب عدد في 5، وطرح 7 منه يساوي 18

الإجابة: 5س - 7 = 18

خطوات الحل:

1. | | الجملة اللفظية | |------|--------| | **المعطى** | "ناتج ضرب عدد في 5، وطرح 7 منه يساوي 18" | | **المطلوب** | تحويل الجملة إلى معادلة جبرية |
2. **المبدأ المستخدم:** ترجمة العبارات اللفظية إلى رموز وجبر.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن العدد هو $س$. 2. "ناتج ضرب عدد في 5" تعني $5 \times س = 5س$. 3. "وطرح 7 منه" تعني $5س - 7$. 4. "يساوي 18" تعني أن المقدار السابق يساوي 18. 5. نكون المعادلة: $5س - 7 = 18$.
4. ∴ المعادلة التي تمثل الجملة هي: **$5س - 7 = 18$**.

سؤال 15: حُلَّ كلَّ معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: س + 5 = 4س + 26

الإجابة: س = -7

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $س + 5 = 4س + 26$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $س$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية: نقل الحدود المتغيرة إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل الحدود التي تحتوي على $س$ إلى طرف واحد والثوابت إلى الطرف الآخر. نطرح $س$ من الطرفين: $س + 5 - س = 4س + 26 - س$. $5 = 3س + 26$. 2. نطرح $26$ من الطرفين: $5 - 26 = 3س + 26 - 26$. $-21 = 3س$. 3. نقسم الطرفين على $3$: $\frac{-21}{3} = \frac{3س}{3}$. $س = -7$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $س = -7$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر: $(-7) + 5 = -2$. الطرف الأيمن: $4(-7) + 26 = -28 + 26 = -2$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$س = -7$**.

سؤال 16: حُلَّ كلَّ معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: 3د = 18 - 3د

الإجابة: د = 3

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $3د = 18 - 3د$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $د$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية: جمع الحدود المتشابهة.
3. **خطوات الحل:** 1. نجمع الحدود التي تحتوي على $د$ في طرف واحد. نضيف $3د$ للطرفين: $3د + 3د = 18 - 3د + 3د$. $6د = 18$. 2. نقسم الطرفين على $6$: $\frac{6د}{6} = \frac{18}{6}$. $د = 3$. 3. **التحقق من الحل:** نعوض $د = 3$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر: $3 \times 3 = 9$. الطرف الأيمن: $18 - 3 \times 3 = 18 - 9 = 9$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$د = 3$**.

سؤال 17: حُلَّ كلَّ معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: -2ص + 15 = 45 - 8ص

الإجابة: ص = 5

خطوات الحل:

1. | | المعادلة | |------|--------| | **المعطى** | $-2ص + 15 = 45 - 8ص$ | | **المطلوب** | حل المعادلة وإيجاد قيمة $ص$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المعادلات الخطية: نقل الحدود المتغيرة إلى طرف والثوابت إلى الطرف الآخر.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل الحدود التي تحتوي على $ص$ إلى طرف واحد والثوابت إلى الطرف الآخر. نضيف $8ص$ للطرفين: $-2ص + 15 + 8ص = 45 - 8ص + 8ص$. $6ص + 15 = 45$. 2. نطرح $15$ من الطرفين: $6ص + 15 - 15 = 45 - 15$. $6ص = 30$. 3. نقسم الطرفين على $6$: $\frac{6ص}{6} = \frac{30}{6}$. $ص = 5$. 4. **التحقق من الحل:** نعوض $ص = 5$ في المعادلة الأصلية: الطرف الأيسر: $-2(5) + 15 = -10 + 15 = 5$. الطرف الأيمن: $45 - 8(5) = 45 - 40 = 5$. إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المعادلة هو **$ص = 5$**.

سؤال 18: اختيار من متعدد: في المتباينة: 3س + 5000 ريال >= 80000 ريال، تشير س إلى أجرة أحد العاملين، فأي الجمل الآتية أكثر ملاءمة لوصف أجرة العامل؟ أ) أقل من 25000 ريال ب) أكبر من 25000 ريال ج) 25000 ريال على الأقل د) 25000 ريال على الأكثر

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (ج) 25000 على الأقل

خطوات الحل:

1. | | المتباينة والمسألة | |------|--------| | **المعطى** | المتباينة: $3س + 5000 \ge 80000$، حيث $س$ تمثل أجرة عامل. | | **المطلوب** | اختيار الجملة التي تصف أجرة العامل بشكل صحيح من الخيارات. |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المتباينات الخطية وتفسير النتيجة.
3. **خطوات الحل:** 1. نحل المتباينة لإيجاد قيمة $س$: $3س + 5000 \ge 80000$. 2. نطرح $5000$ من الطرفين: $3س \ge 80000 - 5000$. $3س \ge 75000$. 3. نقسم الطرفين على $3$: $س \ge \frac{75000}{3}$. $س \ge 25000$. 4. تفسير النتيجة: $س \ge 25000$ تعني أن أجرة العامل **تساوي 25000 ريال أو أكثر**. 5. مقارنة مع الخيارات: - أ) أقل من 25000 ريال: خطأ. - ب) أكبر من 25000 ريال: خطأ (لأنه يمكن أن يساوي 25000). - ج) 25000 ريال على الأقل: صحيح (تعني 25000 أو أكثر). - د) 25000 ريال على الأكثر: خطأ (تعني 25000 أو أقل).
4. ∴ الجملة الصحيحة هي: **(ج) 25000 ريال على الأقل**.

سؤال 19: للسؤالين 19، 20 اكتب متباينة، ومثلها بيانياً على خط الأعداد. حواسيب: يتسع قرص مدمج إلى 4.7 جيجابايت من البيانات على الأكثر.

الإجابة: س <= 4.7 ، والتمثيل: نقطة مغلقة عند 4.7 وتظليل لليسار

خطوات الحل:

1. | | المسألة | |------|--------| | **المعطى** | قرص مدمج يتسع إلى 4.7 جيجابايت من البيانات على الأكثر. | | **المطلوب** | كتابة متباينة تمثل هذه العلاقة، ثم تمثيلها بيانياً على خط الأعداد. |
2. **المبدأ المستخدم:** كتابة متباينات من عبارات لفظية، وتمثيلها على خط الأعداد.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن $س$ هي كمية البيانات (بالجيجابايت) التي يمكن تخزينها في القرص. 2. عبارة "على الأكثر" تعني أن $س$ يمكن أن تكون **أقل من أو تساوي** 4.7. 3. نكتب المتباينة: $س \le 4.7$. 4. **التمثيل البياني على خط الأعداد:** - نرسم خط الأعداد ونحدد عليه النقطة 4.7. - لأن المتباينة تحتوي على علامة $\le$ (تساوي أو أقل)، نستخدم **نقطة مغلقة (●)** عند 4.7. - لأن $س$ أقل من أو تساوي 4.7، نظلل المنطقة **إلى يسار** النقطة 4.7 (باتجاه الأعداد الأصغر). > **ملاحظة:** في الوصف النصي، نذكر أن التمثيل يشمل نقطة مغلقة عند 4.7 وتظليل لليسار.
4. ∴ المتباينة هي: **$س \le 4.7$**، والتمثيل البياني: نقطة مغلقة عند 4.7 مع تظليل لليسار.

سؤال 20: للسؤالين 19، 20 اكتب متباينة، ومثلها بيانياً على خط الأعداد. ألعاب: يجب أن تحصل على عدد من النقاط يزيد على 55400 نقطة، حتى تحطم الرقم السابق.

الإجابة: س > 55400 ، والتمثيل: النقطة مفتوحة عند 55400 وتظليل لليمين

خطوات الحل:

1. | | المسألة | |------|--------| | **المعطى** | يجب أن تحصل على عدد من النقاط يزيد على 55400 نقطة، حتى تحطم الرقم السابق. | | **المطلوب** | كتابة متباينة تمثل هذه العلاقة، ثم تمثيلها بيانياً على خط الأعداد. |
2. **المبدأ المستخدم:** كتابة متباينات من عبارات لفظية، وتمثيلها على خط الأعداد.
3. **خطوات الحل:** 1. نفرض أن $س$ هي عدد النقاط التي تحصل عليها. 2. عبارة "يزيد على" تعني أن $س$ يجب أن تكون **أكبر من** 55400. 3. نكتب المتباينة: $س > 55400$. 4. **التمثيل البياني على خط الأعداد:** - نرسم خط الأعداد ونحدد عليه النقطة 55400. - لأن المتباينة تحتوي على علامة $>$ (أكبر من فقط، وليس يساوي)، نستخدم **نقطة مفتوحة (○)** عند 55400. - لأن $س$ أكبر من 55400، نظلل المنطقة **إلى يمين** النقطة 55400 (باتجاه الأعداد الأكبر). > **ملاحظة:** في الوصف النصي، نذكر أن التمثيل يشمل نقطة مفتوحة عند 55400 وتظليل لليمين.
4. ∴ المتباينة هي: **$س > 55400$**، والتمثيل البياني: نقطة مفتوحة عند 55400 مع تظليل لليمين.

سؤال 21: حُلَّ كلَّ متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: -4 < ج/9

الإجابة: ج > -36

خطوات الحل:

1. | | المتباينة | |------|--------| | **المعطى** | $-4 < \frac{ج}{9}$ | | **المطلوب** | حل المتباينة وإيجاد قيمة $ج$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المتباينات الخطية: نضرب أو نقسم على عدد موجب دون تغيير علامة المتباينة.
3. **خطوات الحل:** 1. لدينا المتباينة: $-4 < \frac{ج}{9}$. 2. للتخلص من المقام $9$، نضرب الطرفين في $9$ (عدد موجب): $9 \times (-4) < 9 \times \frac{ج}{9}$. $-36 < ج$. وهذا يكافئ: $ج > -36$. 3. **التحقق من الحل:** نختبر قيمة أكبر من $-36$، مثل $ج = 0$: $-4 < \frac{0}{9}$ أي $-4 < 0$ (صحيحة). نختبر قيمة تساوي $-36$: $-4 < \frac{-36}{9}$ أي $-4 < -4$ (خاطئة، لأن $-4$ لا يقل عن $-4$). نختبر قيمة أقل من $-36$، مثل $ج = -40$: $-4 < \frac{-40}{9} \approx -4.44$ أي $-4 < -4.44$ (خاطئة). إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المتباينة هو: **$ج > -36$**.

سؤال 22: حُلَّ كلَّ متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: -2هـ + 15 < 45

الإجابة: هـ > -15

خطوات الحل:

1. | | المتباينة | |------|--------| | **المعطى** | $-2هـ + 15 < 45$ | | **المطلوب** | حل المتباينة وإيجاد قيمة $هـ$ ثم التحقق |
2. **المبدأ المستخدم:** حل المتباينات الخطية: عمليات عكسية، مع الانتباه عند القسمة على عدد سالب نعكس علامة المتباينة.
3. **خطوات الحل:** 1. نبدأ بالمتباينة: $-2هـ + 15 < 45$. 2. نطرح $15$ من الطرفين: $-2هـ + 15 - 15 < 45 - 15$. $-2هـ < 30$. 3. نقسم الطرفين على $-2$ (عدد سالب) **لذلك نعكس علامة المتباينة**: $\frac{-2هـ}{-2} > \frac{30}{-2}$. $هـ > -15$. 4. **التحقق من الحل:** نختبر قيمة أكبر من $-15$، مثل $هـ = 0$: $-2(0) + 15 = 15 < 45$ (صحيحة). نختبر قيمة تساوي $-15$: $-2(-15) + 15 = 30 + 15 = 45 < 45$ (خاطئة، لأن 45 لا تقل عن 45). نختبر قيمة أقل من $-15$، مثل $هـ = -20$: $-2(-20) + 15 = 40 + 15 = 55 < 45$ (خاطئة). إذن الحل صحيح.
4. ∴ حل المتباينة هو: **$هـ > -15$**.

سؤال 23: اختيار من متعدد: يبلغ محيط المستطيل المرسوم 44 سنتمترًا، فما مساحة المستطيل؟ (س + 7) سم ، 4س سم. أ) 22 سم^2 ب) 120 سم^2 ج) 392 سم^2 د) 440 سم^2

الإجابة: (ب) 120 سم^2

خطوات الحل:

1. | | المسألة | |------|--------| | **المعطى** | مستطيل أبعاده: الطول = $(س+7)$ سم، العرض = $4س$ سم. محيطه = 44 سم. | | **المطلوب** | إيجاد مساحة المستطيل. |
2. **المبدأ المستخدم:** محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض). ثم مساحة المستطيل = الطول × العرض.
3. **خطوات الحل:** 1. **إيجاد قيمة $س$ باستخدام قانون المحيط:** - محيط المستطيل = $2 \times (الطول + العرض)$. - $44 = 2 \times [(س+7) + 4س]$. - نبسط داخل القوس: $(س+7) + 4س = 5س + 7$. - $44 = 2 \times (5س + 7)$. - نقسم الطرفين على 2: $22 = 5س + 7$. - نطرح 7: $22 - 7 = 5س$ → $15 = 5س$. - نقسم على 5: $س = 3$. 2. **إيجاد أبعاد المستطيل:** - الطول = $س + 7 = 3 + 7 = 10$ سم. - العرض = $4س = 4 \times 3 = 12$ سم. 3. **حساب المساحة:** - مساحة المستطيل = الطول × العرض = $10 \times 12 = 120$ سم². 4. **التحقق من المحيط:** - المحيط = $2 \times (10 + 12) = 2 \times 22 = 44$ سم (صحيح).
4. ∴ مساحة المستطيل هي **120 سم²**، مما يتوافق مع الخيار (ب).

حُلَّ المعادلة التالية، ثم تحقق من صحة الحل: -23 = 3ب + 5 + ب

• أ) ب = 7
• ب) ب = -6
• ج) ب = -7
• د) ب = -8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ب = -7

الشرح: 1. بسط الطرف الأيمن بجمع الحدود المتشابهة: 3ب + ب = 4ب. تصبح المعادلة: -23 = 4ب + 5. 2. اطرح 5 من الطرفين: -23 - 5 = 4ب، ينتج: -28 = 4ب. 3. اقسم الطرفين على 4: ب = -7.

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة أولاً ثم استخدم العمليات العكسية لعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل خاصية التوزيع في إعادة كتابة المقدار: -7(س - 10)

• أ) -7س - 70
• ب) 7س + 70
• ج) -7س + 70
• د) -7س - 10

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: -7س + 70

الشرح: 1. نطبق خاصية التوزيع بضرب -7 في كل حد داخل القوسين: (-7 × س) + (-7 × -10). 2. ننفذ عمليات الضرب: -7س + 70. 3. المقدار بعد التوزيع هو: -7س + 70.

تلميح: تذكر أن تضرب العدد الخارجي في كل حد داخل القوس، مع الانتباه لإشارات الضرب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

استعمل خاصية التوزيع في إعادة كتابة المقدار: 8(2ص + 5)

• أ) 16ص + 5
• ب) 10ص + 13
• ج) 16ص + 40
• د) 8ص + 40

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 16ص + 40

الشرح: 1. نطبق خاصية التوزيع بضرب 8 في كل حد داخل القوسين: (8 × 2ص) + (8 × 5). 2. ننفذ عمليات الضرب: 16ص + 40. 3. المقدار بعد التوزيع هو: 16ص + 40.

تلميح: طبق خاصية التوزيع بضرب العدد الخارجي في كل حد داخل القوس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط المقدار الجبري: 9أ - أ + 15 - 6أ

• أ) 4أ + 15
• ب) 2أ + 15
• ج) 2أ - 15
• د) 3أ + 15

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2أ + 15

الشرح: 1. نحدد الحدود المتشابهة: (9أ - أ - 6أ) و (+15). 2. نجمع معاملات الحدود التي تحتوي على 'أ': (9 - 1 - 6)أ = 2أ. 3. الحد الثابت هو +15. 4. ندمج النتيجتين: 2أ + 15.

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة معًا (الحدود التي تحتوي على نفس المتغير والأس، والحدود الثابتة).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة، ثم تحقق من صحة الحل: 3ن + 18 = 6

• أ) ن = 4
• ب) ن = 8
• ج) ن = -4
• د) ن = -8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ن = -4

الشرح: 1. نطرح 18 من الطرفين: 3ن + 18 - 18 = 6 - 18، فتصبح 3ن = -12. 2. نقسم الطرفين على 3: 3ن / 3 = -12 / 3، فتصبح ن = -4. 3. للتحقق: 3(-4) + 18 = -12 + 18 = 6، وهو الطرف الآخر من المعادلة.

تلميح: اعزل المتغير (ن) عن طريق التخلص من الحدود الثابتة ثم المعاملات باستخدام العمليات العكسية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حُلَّ المعادلة، ثم تحقق من صحة الحل: ك/2 - 11 = 5

• أ) ك = 22
• ب) ك = 16
• ج) ك = 32
• د) ك = 8

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ك = 32

الشرح: 1. نضيف 11 للطرفين: ك/2 - 11 + 11 = 5 + 11، فتصبح ك/2 = 16. 2. نضرب الطرفين في 2: 2 × (ك/2) = 16 × 2، فتصبح ك = 32. 3. للتحقق: 32/2 - 11 = 16 - 11 = 5، وهو الطرف الآخر من المعادلة.

تلميح: ابدأ بإضافة الحد الثابت للطرفين، ثم اضرب لإزالة الكسر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تزلج: يتقاضى مركز للتزلج 6 ريالات عن كل مرة دخول، ويبلغ الاشتراك للأعضاء 24 ريالاً تُدفع مرة واحدة، بالإضافة إلى ريالين عن كل مرة دخول. كم عدد المرات التي يمكنك الدخول فيها، على أن تكون التكلفة متساوية سواء بصورة فردية أو باشتراك عضوية؟

• أ) 8 مرات
• ب) 6 مرات
• ج) 12 مرة
• د) 4 مرات

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 6 مرات

الشرح: 1. نفرض عدد المرات = س. تكلفة الدخول الفردي = 6س. 2. تكلفة الاشتراك = 24 + 2س. 3. للمساواة بين التكلفتين: 6س = 24 + 2س. 4. اطرح 2س من الطرفين: 4س = 24. 5. اقسم على 4: س = 6 مرات.

تلميح: صغ معادلة لتمثيل التكلفة الفردية ومعادلة أخرى لتمثيل تكلفة الاشتراك، ثم ساوِ بينهما لحل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حوّل الجملة اللفظية التالية إلى معادلة: "يزيد على مثلي عدد بمقدار ثلاثة ويساوي ١٥"

• أ) س/2 + 3 = 15
• ب) 2س + 3 = 15
• ج) 2س - 3 = 15
• د) 3س + 2 = 15

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2س + 3 = 15

الشرح: 1. نفرض أن العدد هو س. 2. "مثلي عدد" تعني 2س. 3. "يزيد على... بمقدار ثلاثة" تعني إضافة 3 إلى 2س، فتصبح 2س + 3. 4. "يساوي 15" تعني أن المقدار الكلي يساوي 15. 5. المعادلة هي: 2س + 3 = 15.

تلميح: ابدأ بتحديد المتغير ثم ترجم كل جزء من الجملة إلى تعبير رياضي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في المتباينة: 3س + 5000 ريال >= 80000 ريال، تشير س إلى أجرة أحد العاملين، فأي الجمل الآتية أكثر ملاءمة لوصف أجرة العامل؟

• أ) أقل من 25000 ريال
• ب) أكبر من 25000 ريال
• ج) 25000 ريال على الأقل
• د) 25000 ريال على الأكثر

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 25000 ريال على الأقل

الشرح: 1. نحل المتباينة المعطاة: 3س + 5000 >= 80000. 2. نطرح 5000 من الطرفين: 3س >= 80000 - 5000، فتصبح 3س >= 75000. 3. نقسم الطرفين على 3: س >= 25000. 4. معنى س >= 25000 هو أن أجرة العامل 25000 ريال أو أكثر، وهذا يترجم إلى "25000 ريال على الأقل".

تلميح: حل المتباينة أولاً لإيجاد قيمة س، ثم فسر النتيجة بالعبارة اللفظية المناسبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المتباينة التالية، ثم تحقق من صحة الحل: -2هـ + 15 < 45

• أ) هـ < -15
• ب) هـ > -15
• ج) هـ > 30
• د) هـ < 15

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هـ > -15

الشرح: 1. نبدأ بالمتباينة: -2هـ + 15 < 45. 2. نطرح 15 من الطرفين: -2هـ < 45 - 15، فتصبح -2هـ < 30. 3. نقسم الطرفين على -2. عند القسمة على عدد سالب، يجب عكس علامة المتباينة من '<' إلى '>': هـ > -15.

تلميح: تذكر قاعدة قلب علامة المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بسّط المقدار الجبري: ٩ أ - أ + ١٥ - ١٠ أ - ٦

• أ) ٢أ + ٩
• ب) -٢أ + ٢١
• ج) ٧أ + ٩
• د) -٢أ + ٩

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: -٢أ + ٩

الشرح: ١. نجمع معاملات الحدود التي تحتوي على 'أ': (٩ - ١ - ١٠)أ = -٢أ ٢. نجمع الحدود الثابتة: ١٥ - ٦ = ٩ ٣. ندمج النتيجتين: -٢أ + ٩

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة للمتغير (أ) والحدود الثابتة كل على حدة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية، ثم تحقق من صحة الحل: ٤ س - ٦ = ٥ س

• أ) س = ٦
• ب) س = -٦
• ج) س = ٠
• د) س = -١

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = -٦

الشرح: ١. نطرح ٤س من كلا طرفي المعادلة: ٤س - ٦ - ٤س = ٥س - ٤س ٢. يتبقى: -٦ = س ٣. إذن، الحل هو: س = -٦

تلميح: اجمع جميع الحدود التي تحتوي على المتغير 'س' في طرف واحد من المعادلة، ثم اعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية، ثم تحقق من صحة الحل: - ٣ أ - ٢ = ٢ أ + ٣

• أ) أ = ١
• ب) أ = -٥
• ج) أ = ٥
• د) أ = -١

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أ = -١

الشرح: ١. أضف ٣أ إلى الطرفين: -٢ = ٢أ + ٣أ + ٣ ٢. اطرح ٣ من الطرفين: -٢ - ٣ = ٥أ ٣. بسّط: -٥ = ٥أ ٤. اقسم الطرفين على ٥: أ = -٥ / ٥ = -١

تلميح: انقل الحدود التي تحتوي على المتغير 'أ' إلى طرف واحد، والحدود الثابتة إلى الطرف الآخر، مع الانتباه لتغيير الإشارة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ المعادلة التالية، ثم تحقق من صحة الحل: ١ - ٢ ص + ٥ = ص - ١

• أ) ص = ٧
• ب) ص = -٧/٣
• ج) ص = ٣/٧
• د) ص = ٧/٣

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ص = ٧/٣

الشرح: ١. بسّط الطرف الأيسر: (١ + ٥) - ٢ص = ٦ - ٢ص ٢. المعادلة تصبح: ٦ - ٢ص = ص - ١ ٣. انقل المتغيرات والثوابت: ٦ + ١ = ص + ٢ص ٤. بسّط: ٧ = ٣ص ٥. اقسم على ٣: ص = ٧/٣

تلميح: بسّط كلا طرفي المعادلة أولاً عن طريق جمع الحدود المتشابهة، ثم انقل المتغيرات والثوابت.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حوّل الجملة اللفظية التالية إلى معادلة: ناتج قسمة عدد على ٦ ، وإضافة ٣ إليه يساوي ١١

• أ) ٦س + ٣ = ١١
• ب) س + ٣/٦ = ١١
• ج) س/٦ - ٣ = ١١
• د) س/٦ + ٣ = ١١

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: س/٦ + ٣ = ١١

الشرح: ١. نفرض أن العدد هو 'س'. ٢. 'ناتج قسمة عدد على ٦' تُترجم إلى: س/٦ ٣. 'وإضافة ٣ إليه' تُترجم إلى: س/٦ + ٣ ٤. 'يساوي ١١' تُترجم إلى: = ١١ ٥. إذن، المعادلة هي: س/٦ + ٣ = ١١

تلميح: ابدأ بفرض المتغير، ثم ترجم كل جزء من الجملة اللفظية إلى تعبير رياضي. كلمة 'يساوي' تعني علامة التساوي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

استعمل خاصية التوزيع في إعادة كتابة كل مقدار مما يأتي: ۷ (س - ۱۰)

• أ) 7س - 10
• ب) 7س + 70
• ج) 7س - 70
• د) س - 70

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 7س - 70

الشرح: 1. نطبق خاصية التوزيع بضرب العدد 7 في كل حد داخل القوسين. 2. نضرب 7 في س: 7 × س = 7س. 3. نضرب 7 في -10: 7 × (-10) = -70. 4. نجمع النتيجتين: 7س - 70.

تلميح: تذكر خاصية التوزيع: a(b - c) = ab - ac. اضرب المعامل الخارجي في كل حد داخل القوس مع الانتباه للإشارات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

استعمل خاصية التوزيع في إعادة كتابة كل مقدار مما يأتي: ۲۸ (ص + ٥)

• أ) 28ص + 5
• ب) 28ص + 140
• ج) 28ص + 28
• د) ص + 140

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 28ص + 140

الشرح: 1. نطبق خاصية التوزيع بضرب العدد 28 في كل حد داخل القوسين. 2. نضرب 28 في ص: 28 × ص = 28ص. 3. نضرب 28 في 5: 28 × 5 = 140. 4. نجمع النتيجتين: 28ص + 140.

تلميح: طبق خاصية التوزيع بضرب العدد الذي خارج القوس في كل حد من الحدود الموجودة داخل القوس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بسّط كل مقدار مما يأتي: ٤ س + ۱۷ س

• أ) 21س
• ب) 21س²
• ج) 13س
• د) 4س + 17

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 21س

الشرح: 1. نحدد الحدود المتشابهة، وهي 4س و 17س، لأنها تحتوي على نفس المتغير س. 2. نجمع المعاملات العددية لهذه الحدود: 4 + 17 = 21. 3. نكتب الناتج مع المتغير: 21س.

تلميح: تذكر أنه يمكنك جمع الحدود الجبرية المتشابهة عن طريق جمع معاملاتها العددية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حوّل كل جملة مما يأتي إلى معادلة: ناتج ضرب عدد في ٥ ، وطرح ٧ منه يساوي ١٨

• أ) 5س + 7 = 18
• ب) س / 5 - 7 = 18
• ج) 5س - 18 = 7
• د) 5س - 7 = 18

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 5س - 7 = 18

الشرح: 1. نفرض أن العدد هو س. 2. 'ناتج ضرب عدد في 5' يُكتب كـ 5س. 3. 'وطرح 7 منه' يعني أننا نطرح 7 من 5س، فيصبح 5س - 7. 4. 'يساوي 18' يعني أن المقدار 5س - 7 يساوي 18. 5. المعادلة النهائية هي: 5س - 7 = 18.

تلميح: افترض أن العدد المجهول هو 'س'، ثم ترجم كل عبارة لفظية إلى تعبير جبري أو عملية رياضية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حُلَّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل: ٣ د = ۱۸ - ٣ د

• أ) د = 6
• ب) د = -3
• ج) د = 3
• د) د = 1

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: د = 3

الشرح: 1. نضيف 3د إلى طرفي المعادلة لعزل المتغيرات: 3د + 3د = 18. 2. نجمع الحدود المتشابهة: 6د = 18. 3. نقسم طرفي المعادلة على 6 لإيجاد قيمة د: د = 18 / 6. 4. إذن، د = 3. 5. التحقق: 3(3) = 9، و 18 - 3(3) = 18 - 9 = 9. الطرفان متساويان.

تلميح: اجمع الحدود المتشابهة التي تحتوي على المتغير 'د' في طرف واحد من المعادلة، ثم اعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط