100 - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 29: اكتب فسّر لماذا تبقى نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي نفسها عند إيجاد الميل للدالة الخطية.

الإجابة: س29: لأن الدالة الخطية تمثل خطاً مستقيماً بميل ثابت؛ فأي مثلثين قائمين يتكونان على المستقيم يكونان متشابهين.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المفاهيم الأساسية** | المفهوم | التعريف | |---------|---------| | **الميل** | النسبة بين التغير الرأسي (Δص) إلى التغير الأفقي (Δس) بين أي نقطتين على المستقيم | | **الدالة الخطية** | دالة على الصورة: ص = م س + ب، حيث م، ب ثوابت | | **المطلوب** | تفسير ثبات نسبة Δص/Δس لأي نقطتين على المستقيم
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - ميل المستقيم **ثابت** لجميع النقاط عليه. - إذا أخذنا أي نقطتين على المستقيم، فإن المثلث القائم المتكون من التغير الأفقي والرأسي يكون **مشابهاً** لأي مثلث آخر يتكون بنفس الطريقة.
3. **الخطوة 3: خطوات التفسير التفصيلية** 1. الدالة الخطية تمثل بيانياً **خطاً مستقيماً**. 2. خاصية الخط المستقيم: معدل التغير (الميل) بين أي نقطتين عليه هو **قيمة ثابتة**. 3. لنفترض نقطتين: (س₁، ص₁) و (س₂، ص₂). - الميل (م) = (ص₂ - ص₁) / (س₂ - س₁) 4. إذا أخذنا نقطتين أخريين (س₃، ص₃) و (س₄، ص₄) على نفس المستقيم: - الميل سيكون نفسه: (ص₄ - ص₃) / (س₄ - س₃) = م 5. **سبب التشابه**: عند رسم خطوط أفقية وعمودية من النقاط، تتكون مثلثات قائمة. هذه المثلثات متشابهة لأن زواياها متطابقة (زاوية قائمة وزوايا الميل متساوية). 6. في المثلثات المتشابهة، **نسب الأضلاع المتناظرة ثابتة**، وهي هنا Δص/Δس.
4. > **ملاحظة مهمة**: الميل الثابت يعني أن المستقيم لا يتعرج؛ فكلما تحركنا وحدة واحدة أفقيًا، يتغير المقدار الرأسي بنفس القيمة دائمًا.
5. **النتيجة النهائية**: نسبة التغير الرأسي إلى الأفقي (الميل) تبقى نفسها لأي نقطتين على خط مستقيم؛ لأن الدالة الخطية ذات ميل ثابت، والمثلثات المتكونة متشابهة.

سؤال 30: تدريب على اختبار: أيّ من التمثيلات الآتية يمثل مستقيماً ميله -٢؟

الإجابة: س30: الإجابة الصحيحة: (ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب والمعطيات** | المفهوم | الوصف | |---------|-------| | **المعطى** | ميل المستقيم = **-2** | | **المطلوب** | اختيار التمثيل البياني الذي ميله -2 من بين الخيارات (أ، ب، ج، ...) | > ملحوظة: لم تُذكر الخيارات بالنص، ولكن بناءً على الإجابة، سنشرح كيفية تحديد الميل من التمثيل.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** ميل المستقيم (م) = **التغير الرأسي / التغير الأفقي** = $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ - إذا كان الميل **سالِباً**، فإن الخط ينزل عند التحرك لليمين (اتجاه هابط).
3. **الخطوة 3: خطوات تحديد الميل من التمثيل البياني** 1. اختر **نقطتين** واضحتين على المستقيم. 2. احسب **التغير الأفقي** (الفرق في السينات) و **التغير الرأسي** (الفرق في الصادات). 3. طبق القانون: ميل = $\frac{\text{التغير الرأسي}}{\text{التغير الأفقي}}$. 4. تحقق من الإشارة: - إذا ارتفع الخط لليمين: **ميل موجب**. - إذا انخفض الخط لليمين: **ميل سالب**.
4. **الخطوة 4: تطبيق على ميل -2** - ميل -2 يعني: عند التحرك **وحدة واحدة** إلى اليمين (Δس = 1)، نتحرك **لأسفل مقدار وحدتين** (Δص = -2). - أو بشكل كسري: $\frac{-2}{1}$ أو $\frac{-4}{2}$ ... إلخ. - في التمثيلات، ابحث عن الخط الذي ينزل بمقدار وحدتين رأسيًا لكل وحدة أفقية يمينًا.
5. **الخطوة 5: الإجابة** بناءً على الإجابة المعطاة (ج)، فإن التمثيل **ج** هو المستقيم الوحيد الذي يحقق ميل = -2.

سؤال 31: تدريب على اختبار: ما ميل المستقيم في الشكل الآتي؟

الإجابة: س31: الميل = -3/4 (الاختيار: ب)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من الشكل (المفترض)** | الكمية | الوصف | |--------|-------| | **نقطتان على المستقيم** | لنفترض النقطة أ (س₁، ص₁) والنقطة ب (س₂، ص₂) من الرسم | | **المطلوب** | إيجاد ميل المستقيم (م) | > ملحوظة: الشغير غير مرفق، لكن الإجابة تشير إلى أن الميل = $\frac{-3}{4}$.
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** $\text{الميل} = \frac{\text{التغير الرأسي}}{\text{التغير الأفقي}} = \frac{ص₂ - ص₁}{س₂ - س₁}$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل (نفترض نقاطًا مناسبة)** 1. من الرسم، لاحظنا نقطتين واضحتين. **لنفترض**: - النقطة أ: (0، 3) - النقطة ب: (4، 0) 2. احسب التغير الأفقي (Δس): $س₂ - س₁ = 4 - 0 = 4$ 3. احسب التغير الرأسي (Δص): $ص₂ - ص₁ = 0 - 3 = -3$ 4. طبق القانون: $م = \frac{-3}{4}$
4. **الخطوة 4: تفسير الإشارة والنتيجة** - الإشارة **سالبة** لأن Δص سالب (الخط هابط). - القيمة المطلقة للميل $\frac{3}{4}$ تعني: لكل 4 وحدات نتحرك أفقياً إلى اليمين، نتحرك 3 وحدات إلى الأسفل.
5. **الإجابة النهائية**: ميل المستقيم الموضح في الشكل هو **$\frac{-3}{4}$**.

سؤال 32: مراجعة تراكمية: مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً: ص = ٥س

الإجابة: س32: نقاط للرسم: (0، 0)، (1، 5)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | **الدالة** | ص = 5س | | **المطلوب** | تمثيل الدالة بيانياً (رسم خط مستقيم) | | **طريقة الحل** | إيجاد نقطتين على الأقل وربطهما |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ** - معادلة الخط المستقيم: **ص = م س + ب** - هنا: الميل **م = 5**، **ب = 0** (تقاطع مع محور الصادات عند الأصل).
3. **الخطوة 3: خطوات إيجاد النقاط** 1. اختيار قيم لـ **س** وحساب **ص** المقابل: - إذا س = 0 ⇒ ص = 5 × 0 = 0 ⇒ النقطة (0، 0) - إذا س = 1 ⇒ ص = 5 × 1 = 5 ⇒ النقطة (1، 5) 2. يمكن اختيار نقطة ثالثة للتحقق: - إذا س = -1 ⇒ ص = 5 × (-1) = -5 ⇒ النقطة (-1، -5)
4. **الخطوة 4: طريقة الرسم** 1. ارسم نظام إحداثيات (محور س، محور ص). 2. حدد النقاط: (0، 0)، (1، 5)، (-1، -5). 3. صل النقاط بخط مستقيم وامده في الاتجاهين. 4. تأكد أن الخط يمر بنقطة الأصل (0،0) لأن **ب = 0**.
5. **الخطوة 5: وصف الرسم** - الخط يبدأ من أسفل اليسار (الربع الثالث) إلى أعلى اليمين (الربع الأول) لأن الميل **موجب** (5). - كلما زادت س بمقدار 1، تزداد ص بمقدار 5.
6. **الإجابة النهائية**: الخط المستقيم يمر بالنقاط (0،0) و (1،5) ويمكن رسمه باستخدام أي نقطتين منهما.

سؤال 33: مراجعة تراكمية: مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً: ص = س - ٢

الإجابة: س33: نقاط للرسم: (0، -2)، (2، 0)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | **الدالة** | ص = س - 2 | | **المطلوب** | تمثيل الدالة بيانياً | | **طريقة الحل** | إيجاد نقطتين تقطعان المحورين غالبًا |
2. **الخطوة 2: تحديد الميل والتقاطع** - الصيغة: **ص = م س + ب** - هنا: الميل **م = 1**، التقاطع مع محور الصادات **ب = -2**.
3. **الخطوة 3: إيجاد نقاط مميزة** 1. **نقطة التقاطع مع محور الصادات**: عندما س = 0 - ص = 0 - 2 = **-2** ⇒ النقطة (0، -2) 2. **نقطة التقاطع مع محور السينات**: عندما ص = 0 - 0 = س - 2 ⇒ س = **2** ⇒ النقطة (2، 0) 3. نقطة ثالثة للتحقق: س = 1 ⇒ ص = 1 - 2 = -1 ⇒ (1، -1)
4. **الخطوة 4: خطوات الرسم** 1. ارسم محوري الإحداثيات. 2. حدد النقاط: (0، -2) و (2، 0) و (1، -1). 3. صل النقاط بخط مستقيم. 4. امتد الخط في الاتجاهين، مع التأكد من أنه يمر بجميع النقاط.
5. **الخطوة 5: خصائص الرسم** - الميل موجب (1) لذا الخط يصعد لليمين. - يقطع محور الصادات عند -2، ومحور السينات عند 2.
6. **الإجابة النهائية**: المستقيم المار بالنقطتين (0،-2) و (2،0) هو التمثيل البياني للدالة ص = س - 2.

سؤال 34: مراجعة تراكمية: مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً: ص = ٢س - ١

الإجابة: س34: نقاط للرسم: (0، -1)، (1، 1)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|--------| | **الدالة** | ص = 2س - 1 | | **المطلوب** | رسم بياني خطي مستقيم | | **المعلومات** | الميل = 2، التقاطع مع محور الصادات = -1 |
2. **الخطوة 2: الصيغة العامة** **ص = م س + ب** حيث م = 2، ب = -1.
3. **الخطوة 3: تحديد النقاط** 1. **نقطة التقاطع مع محور الصادات** (س=0): - ص = 2(0) - 1 = **-1** → (0، -1) 2. **نقطة عندما س = 1**: - ص = 2(1) - 1 = 2 - 1 = **1** → (1، 1) 3. نقطة إضافية (س = -1): - ص = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = **-3** → (-1، -3)
4. **الخطوة 4: إجراءات الرسم** 1. ضع النقاط (0،-1)، (1،1)، (-1،-3) على المستوى الإحداثي. 2. تأكد من أنها على استقامة واحدة. 3. ارسم الخط المستقيم المار بهذه النقط وامتداده.
5. **الخطوة 5: ملاحظات على الرسم** - الميل = 2 يعني: لكل وحدة زيادة في س، تزيد ص بمقدار وحدتين. - الخط يقطع محور الصادات عند -1. - اتجاه الخط صاعد من اليسار إلى اليمين (ميل موجب).
6. **الإجابة النهائية**: يمكن رسم المستقيم باستخدام النقطتين (0،-1) و (1،1)، وسيمر أيضاً بالنقطة (-1،-3).

سؤال 35: مراجعة تراكمية: مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً: ص = ٣س + ٢

الإجابة: س35: نقاط للرسم: (0، 2)، (1، 5)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخراج البيانات** | المعطيات | القيم | |----------|-------| | **معادلة المستقيم** | ص = 3س + 2 | | **الميل (م)** | 3 | | **التقاطع (ب)** | 2 | | **الهدف** | رسم بياني خطي |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** - إيجاد النقاط بتعويض قيم س في المعادلة: **ص = 3س + 2**.
3. **الخطوة 3: حساب نقاط مختارة** 1. **نقطة التقاطع مع محور الصادات** (س=0): - ص = 3(0) + 2 = **2** ⇒ (0، 2) 2. **نقطة عند س = 1**: - ص = 3(1) + 2 = 3 + 2 = **5** ⇒ (1، 5) 3. **نقطة عند س = -1** (اختياري): - ص = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = **-1** ⇒ (-1، -1)
4. **الخطوة 4: تمثيل النقاط والرسم** 1. ارسم نظام إحداثيات متعامد. 2. ضع النقاط: (0،2)، (1،5)، (-1،-1). 3. تأكد من استقامتها (جميعها على خط واحد). 4. صل النقاط بخط مستقيم، وامتداده في كلا الاتجاهين.
5. **الخطوة 5: تفسير الرسم** - الميل الكبير (3) يجعل الخط شديد الانحدار للأعلى. - التقاطع مع محور الصادات عند 2. - كلما زاد س بوحدة، تزداد ص بثلاث وحدات.
6. **الإجابة النهائية**: الخط المستقيم للدالة ص = 3س + 2 يمر بالنقاط (0،2)، (1،5)، وأي نقطة أخرى تحقق المعادلة.

سؤال 36: مراجعة تراكمية: حليب: يمكن تخزين عبوة الحليب السائل بعد فتحها عدة أيام دون أن تفسد، وذلك بحسب درجة الحرارة وفقاً للمعادلة ي = -٤ س + ٢٦؛ حيث تمثل ي الزمن بالأيام، و س درجة الحرارة السيليزية لمكان التخزين. كم يومًا يمكن تخزين عبوة حليب في درجة حرارة ٤ ْس دون أن تفسد؟

الإجابة: س36: ي = -4(4) + 26 = 10 أيام

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | **درجة الحرارة** | س | 4 | درجة مئوية (°س) | | **المعادلة** | ي = -4س + 26 | - | - | | **المطلوب** | ي (عدد الأيام) عند س = 4 | يوم |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** - المعادلة الخطية المعطاة: **ي = -4 س + 26** - حيث: - **ي**: الزمن بالأيام. - **س**: درجة الحرارة بالسيليزية.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. عوض قيمة س = 4 في المعادلة: - ي = -4 × (4) + 26 2. نفذ عملية الضرب أولاً: - -4 × 4 = **-16** 3. نفذ عملية الجمع: - ي = -16 + 26 4. ي = **10**
4. **الخطوة 4: تفسير النتيجة** - عند درجة حرارة **4°س**، يمكن تخزين عبوة الحليب لمدة **10 أيام** قبل أن تفسد. - الإشارة السالبة في معامل س (-4) تعني أن العلاقة **عكسية**: كلما زادت درجة الحرارة، قل عدد أيام التخزين.
5. **الإجابة النهائية**: مدة التخزين الآمن للعبوة عند 4°س هي **عشرة أيام**.

سؤال 37: أكمل جدول كل دالة فيما يأتي، ثم اذكر مجال كل دالة ومداها: د(س) = ٢س + ٣

الإجابة: س37: المجال: {-2، -1، 3، 5} المدى: {-1، 1، 9، 13}

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المهمة** | المهمة | التفصيل | |--------|---------| | **الدالة** | د(س) = 2س + 3 | | **المطلوب** | 1. إكمال جدول القيم لـ س المعطاة (غير مذكورة في السؤال لكن الإجابة تشير إلى قيم س).<br>2. تحديد **المجال** (قيم س) و **المدى** (قيم د(س)). | > استنتجنا من الإجابة أن قيم س هي: -2، -1، 3، 5
2. **الخطوة 2: إنشاء جدول القيم** | س | د(س) = 2س + 3 | الحساب | |---|----------------|--------| | -2 | 2(-2) + 3 = -4 + 3 = **-1** | د(-2) = -1 | | -1 | 2(-1) + 3 = -2 + 3 = **1** | د(-1) = 1 | | 3 | 2(3) + 3 = 6 + 3 = **9** | د(3) = 9 | | 5 | 2(5) + 3 = 10 + 3 = **13** | د(5) = 13 |
3. **الخطوة 3: تحديد المجال والمدى** 1. **المجال**: هو مجموعة قيم المدخلات (س) المعطاة. - المجال = { -2، -1، 3، 5 } 2. **المدى**: هو مجموعة قيم المخرجات (د(س)) المحسوبة. - المدى = { -1، 1، 9، 13 }
4. **الخطوة 4: ملاحظات هامة** - المجال هنا **منفصل** (قيم محددة)، وليس كل الأعداد الحقيقية. - المدى يتكون من القيم التي نتجت من تطبيق الدالة على عناصر المجال. - يمكن ترتيب المدى تصاعدياً: { -1، 1، 9، 13 }.
5. **الإجابة النهائية**: - جدول القيم مكتمل كما في الخطوة 2. - **مجال الدالة** هو المجموعة { -2، -1، 3، 5 }. - **مدى الدالة** هو المجموعة { -1، 1، 9، 13 }.

سؤال 38: أكمل جدول كل دالة فيما يأتي، ثم اذكر مجال كل دالة ومداها: د(س) = ٥ - ٣س

الإجابة: س38: المجال: {-3، -2، 1، 4} المدى: {14، 11، 2، -7}

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل السؤال** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **الدالة** | د(س) = 5 - 3س | | **المجال (من الإجابة)** | س ∈ { -3، -2، 1، 4 } | | **المطلوب** | حساب د(س) لكل س، ثم تحديد المدى.
2. **الخطوة 2: حساب قيم الدالة (إكمال الجدول)** | س | د(س) = 5 - 3س | خطوات الحساب | |---|----------------|--------------| | -3 | 5 - 3(-3) = 5 + 9 = **14** | د(-3) = 14 | | -2 | 5 - 3(-2) = 5 + 6 = **11** | د(-2) = 11 | | 1 | 5 - 3(1) = 5 - 3 = **2** | د(1) = 2 | | 4 | 5 - 3(4) = 5 - 12 = **-7** | د(4) = -7 |
3. **الخطوة 3: تحديد المجال والمدى** 1. **المجال**: مجموعة قيم س المعطاة (المدخلات). - المجال = { -3، -2، 1، 4 } 2. **المدى**: مجموعة قيم د(س) الناتجة (المخرجات). - المدى = { 14، 11، 2، -7 }
4. **الخطوة 4: ترتيب المدى وتفسير الدالة** - يمكن ترتيب المدى تصاعدياً: { -7، 2، 11، 14 }. - الدالة **خطية** بميل = -3 (معامل س). - بما أن الميل سالب، فإن زيادة س تؤدي إلى نقصان د(س).
5. **الإجابة النهائية**: - قيم الدالة هي: د(-3)=14، د(-2)=11، د(1)=2، د(4)=-7. - **المجال**: { -3، -2، 1، 4 }. - **المدى**: { 14، 11، 2، -7 } (أو مرتبة: { -7، 2، 11، 14 }).

سؤال 39: الاستعداد للدرس اللاحق: مهارة سابقة: حل كل معادلة فيما يأتي: ٤٢ = -٤س - ٣

الإجابة: س39: س = -45/4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المعادلة بوضوح** المعادلة: **42 = -4س - 3** | الطرف الأيسر | الطرف الأيمن | |--------------|--------------| | 42 | -4س - 3 |
2. **الخطوة 2: هدف الحل** إيجاد قيمة **س** التي تجعل المعادلة صحيحة.
3. **الخطوة 3: خطوات حل المعادلة خطوة بخطوة** 1. نريد عزل الحد الذي يحتوي على س في طرف، والأعداد في الطرف الآخر. 2. **أضف 3 إلى كلا الطرفين** للتخلص من -3 في الطرف الأيمن: - 42 + 3 = -4س - 3 + 3 - 45 = -4س 3. **اقسم كلا الطرفين على -4** لعزل س: - $\frac{45}{-4} = \frac{-4س}{-4}$ - $س = \frac{45}{-4}$ 4. بتبسيط الكسر: - $س = -\frac{45}{4}$
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل (اختياري)** - عوض س = $\frac{-45}{4}$ في المعادلة الأصلية: - الطرف الأيمن: $-4 \times (\frac{-45}{4}) - 3 = 45 - 3 = 42$ - الطرف الأيسر: 42. - إذن الحل صحيح.
5. **الإجابة النهائية**: قيمة المتغير س هي **$\frac{-45}{4}$**، ويمكن كتابتها كعدد كسري: **$س = -11\frac{1}{4}$**.

سؤال 40: الاستعداد للدرس اللاحق: مهارة سابقة: حل كل معادلة فيما يأتي: ١٤٤ = ١٠أ

الإجابة: س40: أ = 144/10 = 72/5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المعادلة** المعادلة: **144 = 10أ** أو **10أ = 144**.
2. **الخطوة 2: المطلوب** إيجاد قيمة **أ**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. المعادلة مباشرة: 10 مضروب في أ يساوي 144. 2. **اقسم كلا الطرفين على 10** لعزل أ: - $\frac{10أ}{10} = \frac{144}{10}$ - $أ = \frac{144}{10}$ 3. **بسّط الكسر** بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك 2: - $أ = \frac{144 \div 2}{10 \div 2} = \frac{72}{5}$
4. **الخطوة 4: شكل الناتج** - الكسر $\frac{72}{5}$ يمكن كتابته كعدد كسري: $14\frac{2}{5}$. - أو كعدد عشري: 14.4.
5. **الخطوة 5: التحقق** - عوض أ = 14.4 في المعادلة: 10 × 14.4 = 144. (صحيح)
6. **الإجابة النهائية**: قيمة أ هي **$\frac{72}{5}$**، أو **14.4**.

سؤال 41: الاستعداد للدرس اللاحق: مهارة سابقة: حل كل معادلة فيما يأتي: ن/٣ = ٧

الإجابة: س41: ن = 21

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المعادلة** المعادلة: **$\frac{ن}{3} = 7$** أي أن ن مقسومة على 3 تساوي 7.
2. **الخطوة 2: الهدف** إيجاد قيمة **ن**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. للتخلص من المقام 3، **اضرب كلا الطرفين في 3**: - $3 \times \frac{ن}{3} = 3 \times 7$ 2. في الطرف الأيسر: 3 × $\frac{ن}{3}$ = ن (لأن 3/3 = 1). 3. في الطرف الأيمن: 3 × 7 = **21**. 4. إذن: **ن = 21**.
4. **الخطوة 4: التحقق من الحل** - عوض ن = 21 في المعادلة الأصلية: $\frac{21}{3} = 7$ (صحيح).
5. **الإجابة النهائية**: قيمة المتغير ن هي **21**.

سؤال 42: الاستعداد للدرس اللاحق: مهارة سابقة: حل كل معادلة فيما يأتي: -٦ = ت/٩

الإجابة: س42: ت = -54

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المعادلة بوضوح** المعادلة: **$-6 = \frac{ت}{9}$** أو $\frac{ت}{9} = -6$.
2. **الخطوة 2: المطلوب** حل المعادلة لإيجاد قيمة **ت**.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. لدينا ت مقسومة على 9 تساوي -6. 2. **لحذف المقام 9، اضرب كلا الطرفين في 9**: - $9 \times \frac{ت}{9} = 9 \times (-6)$ 3. في الطرف الأيسر: 9 × $\frac{ت}{9}$ = ت. 4. في الطرف الأيمن: 9 × (-6) = **-54**. 5. إذن: **ت = -54**.
4. **الخطوة 4: التحقق** - عوض ت = -54 في المعادلة: $\frac{-54}{9} = -6$ (صحيح).
5. **الإجابة النهائية**: قيمة المتغير ت هي **-54**.

حل المعادلة: ٤٢ = -٤س - ٣

• أ) س = -45/4
• ب) س = 45/4
• ج) س = -39/4
• د) س = -42/4

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: س = -45/4

الشرح: 1. المعادلة: 42 = -4س - 3. 2. أضف 3 لكلا الطرفين: 42 + 3 = -4س، فتصبح 45 = -4س. 3. اقسم الطرفين على -4: س = 45 / -4. 4. الناتج: س = -45/4.

تلميح: لحل المعادلة، انقل الأعداد للطرف الآخر ثم اقسم لإيجاد قيمة س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حل المعادلة: ١٤٤ = ١٠أ

• أ) أ = 72/5
• ب) أ = 144/10
• ج) أ = 1440
• د) أ = 134

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أ = 72/5

الشرح: 1. المعادلة: 144 = 10أ. 2. اقسم كلا الطرفين على 10: أ = 144 / 10. 3. بسّط الكسر بقسمة البسط والمقام على 2: أ = 72/5.

تلميح: لإيجاد قيمة أ، اقسم الطرفين على معامل أ.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: ٧ = ن/٣

• أ) ن = 21
• ب) ن = 7/3
• ج) ن = 10
• د) ن = 4

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ن = 21

الشرح: 1. المعادلة: 7 = ن/3. 2. اضرب كلا الطرفين في 3: 7 × 3 = (ن/3) × 3. 3. الناتج: ن = 21.

تلميح: للتخلص من المقام، اضرب كلا الطرفين بنفس العدد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

فسر لماذا تبقى نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي نفسها عند إيجاد الميل للدالة الخطية.

• أ) لأن الدالة الخطية تمثل خطًا مستقيمًا بميل ثابت، وأي مثلثين قائمين يتكونان على المستقيم يكونان متشابهين.
• ب) لأن التغير الرأسي دائمًا يساوي التغير الأفقي في الدوال الخطية.
• ج) لأن نقطتي البداية والنهاية للمستقيم دائمًا متطابقتان.
• د) لأن قيمة الميل تتغير بتغير النقاط المختارة على المستقيم.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: لأن الدالة الخطية تمثل خطًا مستقيمًا بميل ثابت، وأي مثلثين قائمين يتكونان على المستقيم يكونان متشابهين.

الشرح: 1. الدالة الخطية تمثل خطًا مستقيمًا بميل ثابت. 2. الميل هو النسبة بين التغير الرأسي والتغير الأفقي (Δص/Δس). 3. أي مثلثين قائمين يتكونان على نفس المستقيم باستخدام أي نقطتين يكونان متشابهين. 4. في المثلثات المتشابهة، نسب الأضلاع المتناظرة تكون ثابتة، وبالتالي نسبة Δص/Δس ثابتة.

تلميح: تذكر خصائص الخط المستقيم وعلاقته بالمثلثات المتشابهة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حليب: يمكن تخزين عبوة الحليب السائل بعد فتحها عدة أيام دون أن تفسد، وذلك بحسب درجة الحرارة ووفقًا للمعادلة ي = - ٤ س + ٢٦؛ حيث تمثل ي الزمن بالأيام، و س درجة الحرارة السيلزية لمكان التخزين. كم يومًا يمكن تخزين عبوة حليب في درجة حرارة ٤°س دون أن تفسد؟

• أ) 10 أيام
• ب) 12 يومًا
• ج) 22 يومًا
• د) 42 يومًا

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 10 أيام

الشرح: 1. المعادلة المعطاة هي: ي = -4س + 26. 2. عوض س = 4 في المعادلة: ي = -4(4) + 26. 3. احسب الضرب: ي = -16 + 26. 4. احسب الجمع: ي = 10. إذن، يمكن تخزين الحليب لمدة 10 أيام.

تلميح: عوض بقيمة درجة الحرارة (س) في المعادلة المعطاة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: ١٠ = ٤ أ

• أ) أ = ٥/٢
• ب) أ = ٤٠
• ج) أ = ٦
• د) أ = ٢/٥

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: أ = ٥/٢

الشرح: ١. المعادلة المعطاة: ١٠ = ٤ أ ٢. لعزل المتغير 'أ'، نقسم كلا الطرفين على ٤: أ = ١٠ / ٤ ٣. نبسّط الكسر: أ = ٥/٢

تلميح: تذكر أن العملية العكسية للضرب هي القسمة لعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: ٦ = ت/٩

• أ) ت = ٢/٣
• ب) ت = ٥٤
• ج) ت = -٣
• د) ت = ٣/٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ت = ٥٤

الشرح: ١. المعادلة المعطاة: ٦ = ت/٩ ٢. لعزل المتغير 'ت'، نضرب كلا الطرفين في ٩: ت = ٦ × ٩ ٣. إذن: ت = ٥٤

تلميح: تذكر أن العملية العكسية للقسمة هي الضرب لعزل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل المعادلة: ٤٢ = ٤ س - ٣

• أ) س = ٣٩/٤
• ب) س = ٤٥/٤
• ج) س = ١٥
• د) س = ١٨٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: س = ٤٥/٤

الشرح: ١. المعادلة: ٤٢ = ٤س - ٣ ٢. أضف ٣ للطرفين: ٤٢ + ٣ = ٤س - ٣ + ٣ ٣. تبسيط: ٤٥ = ٤س ٤. اقسم الطرفين على ٤: س = ٤٥/٤

تلميح: ابدأ بنقل الثابت إلى الطرف الآخر مع تغيير إشارته، ثم اقسم على معامل المتغير.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كانت الدالة د(س) = ٢س + ٣ وكان مجالها هو {-٢, -١, ٣, ٥}، فما هو مدى الدالة؟

• أ) المدى هو {-١, ١, ٩, ١٣}
• ب) المدى هو {-٢, -١, ٣, ٥}
• ج) المدى هو {١, ٢, ٦, ٨}
• د) المدى هو {-٤, -٢, ٦, ١٠}

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المدى هو {-١, ١, ٩, ١٣}

الشرح: ١. لحساب المدى، نعوض كل قيمة من قيم المجال في الدالة د(س) = ٢س + ٣. ٢. د(-٢) = ٢(-٢) + ٣ = -٤ + ٣ = -١ ٣. د(-١) = ٢(-١) + ٣ = -٢ + ٣ = ١ ٤. د(٣) = ٢(٣) + ٣ = ٦ + ٣ = ٩ ٥. د(٥) = ٢(٥) + ٣ = ١٠ + ٣ = ١٣ ٦. المدى هو مجموعة القيم الناتجة: {-١, ١, ٩, ١٣}.

تلميح: عوض قيم س المعطاة في الدالة د(س) = ٢س + ٣ لإيجاد قيم المدى المقابلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت الدالة د(س) = ٥ - ٣س وكان مجالها هو {-٣, -٢, ١, ٤}، فما هو مدى الدالة؟

• أ) المدى هو {-٣, -٢, ١, ٤}
• ب) المدى هو {١٤, ١١, ٢, -٧}
• ج) المدى هو {-٤, -١, ٨, ١٧}
• د) المدى هو {-١٤, -١١, -٢, ٧}

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المدى هو {١٤, ١١, ٢, -٧}

الشرح: ١. لحساب المدى، نعوض كل قيمة من قيم المجال في الدالة د(س) = ٥ - ٣س. ٢. د(-٣) = ٥ - ٣(-٣) = ٥ + ٩ = ١٤ ٣. د(-٢) = ٥ - ٣(-٢) = ٥ + ٦ = ١١ ٤. د(١) = ٥ - ٣(١) = ٥ - ٣ = ٢ ٥. د(٤) = ٥ - ٣(٤) = ٥ - ١٢ = -٧ ٦. المدى هو مجموعة القيم الناتجة: {١٤, ١١, ٢, -٧}.

تلميح: عوض قيم س المعطاة في الدالة د(س) = ٥ - ٣س مع الانتباه لترتيب العمليات وإشارة الضرب السالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بالنظر إلى الدالة د(س) = ٢ س + ٣ وقيم س المعطاة في الجدول {-٣, -٢, -١, ٠, ١, ٢, ٣, ٤}، ما هو مدى هذه الدالة؟

• أ) { -٣, -١, ١, ٣, ٥, ٧, ٩, ١١ }
• ب) { -٢, -١, ٣, ٥ }
• ج) { -١, ١, ٩, ١٣ }
• د) { -٦, -٤, -٢, ٠, ٢, ٤, ٦, ٨ }

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: { -٣, -١, ١, ٣, ٥, ٧, ٩, ١١ }

الشرح: ١. عوض كل قيمة س في الدالة د(س) = ٢س + ٣. ٢. مثال: د(-٣) = ٢(-٣) + ٣ = -٦ + ٣ = -٣. ٣. د(-٢) = -١، د(-١) = ١، د(٠) = ٣، د(١) = ٥، د(٢) = ٧، د(٣) = ٩، د(٤) = ١١. ٤. المدى هو مجموعة هذه القيم الناتجة: {-٣, -١, ١, ٣, ٥, ٧, ٩, ١١}.

تلميح: عوض كل قيمة من قيم س في الدالة لإيجاد قيم د(س) المقابلة، ثم اجمع هذه القيم في مجموعة المدى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

بالنظر إلى الدالة د(س) = ٥ - ٣ س وقيم س المعطاة في الجدول {-٣, -٢, -١, ٠, ١, ٢, ٣, ٤}، ما هو مدى هذه الدالة؟

• أ) { -٣, -٢, -١, ٠, ١, ٢, ٣, ٤ }
• ب) { ٧, ٤, ١, -٢, -٥, -٨, -١١, -١٤ }
• ج) { -٧, -٤, -١, ٢, ٥, ٨, ١١, ١٤ }
• د) { ٥, ٨, ١١, ١٤ }

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: { -٧, -٤, -١, ٢, ٥, ٨, ١١, ١٤ }

الشرح: ١. عوض كل قيمة س في الدالة د(س) = ٥ - ٣س. ٢. مثال: د(-٣) = ٥ - ٣(-٣) = ٥ + ٩ = ١٤. ٣. د(-٢) = ١١، د(-١) = ٨، د(٠) = ٥، د(١) = ٢، د(٢) = -١، د(٣) = -٤، د(٤) = -٧. ٤. المدى هو مجموعة هذه القيم الناتجة، مرتبة: {-٧, -٤, -١, ٢, ٥, ٨, ١١, ١٤}.

تلميح: تذكر ترتيب العمليات عند التعويض: الضرب قبل الطرح، وانتبه لإشارات الأعداد السالبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط