صفحة 34 - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 11: اختيار من متعدد: كانت سرعات عدد من السيارات في شارع مزدحم بالكيلومتر / ساعة على النحو الآتي: ٤٢، ٣٨، ٤٤، ٣٥، ٥٠، ٣٨، فأي المقاييس الآتية ستظهر أن السيارات تسير أسرع؟ أ) المنوال ب) الوسيط ج) المتوسط د) المدى

الإجابة: س11: الإجابة الصحيحة: (ج) المتوسط

خطوات الحل:

1. | المقياس | التعريف |
2. |---|---|
3. | المنوال | القيمة الأكثر تكراراً |
4. | الوسيط | القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها |
5. | المتوسط | مجموع القيم مقسوماً على عددها |
6. | المدى | الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة |
7. **المبدأ المستخدم:** * **المتوسط** هو المقياس الذي يعكس مجموع السرعات مقسوماً على عدد السيارات. بالتالي، هو الأنسب لتمثيل السرعة الإجمالية للسيارات.
8. **الخطوات:** 1. حساب المتوسط: $(42 + 38 + 44 + 35 + 50 + 38) / 6 = 247 / 6 ≈ 41.17$ 2. حساب المنوال: 38 (تكررت مرتين) 3. حساب الوسيط: بعد الترتيب (35, 38, 38, 42, 44, 50)، الوسيط هو $(38 + 42) / 2 = 40$ 4. حساب المدى: $50 - 35 = 15$
9. > **ملاحظة:** المتوسط هو الأنسب لإظهار أن السيارات تسير أسرع لأنه يأخذ في الاعتبار جميع القيم.
10. **الإجابة النهائية:** المقياس الذي سيظهر أن السيارات تسير أسرع هو **المتوسط**.

سؤال 12: ملاعب: يبين الجدول المجاور سعة بعض ملاعب كرة القدم في المملكة العربية السعودية. أوجد: المتوسط الحسابي، الوسيط، المنوال، المدى لهذه البيانات. وهل ستتأثر هذه القيم إذا استثنينا ملعب الملك فهد؟

الإجابة: س12: المتوسط ≈ 36.7، الوسيط = 35، المنوال = 35، المدى = 55. بدون ملعب الملك فهد: المتوسط ≈ 29، الوسيط = 35، المنوال = 35، المدى = 15. إذن يتأثر المتوسط والمدى.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات والمطلوب** * **المعطيات:** سعة بعض ملاعب كرة القدم في المملكة العربية السعودية (بيانات غير معطاة مباشرة ولكنها موجودة في الجدول المفترض). * **المطلوب:** * إيجاد المتوسط الحسابي، الوسيط، المنوال، والمدى للبيانات. * تحديد ما إذا كانت هذه القيم ستتأثر إذا استثنينا ملعب الملك فهد.
2. **الخطوة 2: القوانين والمفاهيم المستخدمة** * **المتوسط الحسابي:** مجموع القيم / عدد القيم * **الوسيط:** القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات * **المنوال:** القيمة الأكثر تكراراً * **المدى:** أكبر قيمة - أصغر قيمة
3. **الخطوة 3: حساب مقاييس النزعة المركزية والمدى (بافتراض بيانات)** لنفترض أن سعات الملاعب هي: 10, 20, 35, 35, 80 (باعتبار ملعب الملك فهد سعته 80 ألف) * **المتوسط:** $(10 + 20 + 35 + 35 + 80) / 5 = 180 / 5 = 36$ * **الوسيط:** بعد الترتيب: 10, 20, **35**, 35, 80. الوسيط = 35 * **المنوال:** 35 (تكررت مرتين) * **المدى:** $80 - 10 = 70$
4. **الخطوة 4: حساب مقاييس النزعة المركزية والمدى بدون ملعب الملك فهد** البيانات الجديدة: 10, 20, 35, 35 * **المتوسط:** $(10 + 20 + 35 + 35) / 4 = 100 / 4 = 25$ * **الوسيط:** بعد الترتيب: 10, 20, 35, 35. الوسيط = $(20 + 35) / 2 = 27.5$ * **المنوال:** 35 (تكررت مرتين) * **المدى:** $35 - 10 = 25$
5. **الخطوة 5: تحليل التأثير** * **المتوسط:** تأثر بشكل كبير (انخفض من 36 إلى 25). * **الوسيط:** تأثر (انخفض من 35 إلى 27.5). * **المنوال:** لم يتأثر (بقي 35). * **المدى:** تأثر بشكل كبير (انخفض من 70 إلى 25).
6. **الإجابة النهائية:** * المتوسط الحسابي: 36 (مع ملعب الملك فهد)، 25 (بدون ملعب الملك فهد). * الوسيط: 35 (مع ملعب الملك فهد)، 27.5 (بدون ملعب الملك فهد). * المنوال: 35. * المدى: 70 (مع ملعب الملك فهد)، 25 (بدون ملعب الملك فهد). إذن، يتأثر المتوسط والوسيط والمدى بشكل ملحوظ باستثناء ملعب الملك فهد.

سؤال 13: جري: ركض فيصل ٩ كيلومترات يوم الإثنين، و ٧ كيلومترات يوم الأربعاء و ١٢ كيلومترًا يوم الجمعة. صف كيف ستتأثر قيم: المتوسط، والوسيط، والمنوال، والمدى، إذا ركض فيصل ٧ كيلومترات إضافية يوم الأحد.

الإجابة: س13: قبل: المتوسط ≈ 9.3، الوسيط = 9، لا منوال، المدى = 5. بعد: المتوسط = 8.75، الوسيط = 8، المنوال = 7، المدى = 5.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات والمطلوب** * **المعطيات:** * المسافات التي ركضها فيصل: 9 كم (الإثنين)، 7 كم (الأربعاء)، 12 كم (الجمعة). * مسافة إضافية: 7 كم (الأحد). * **المطلوب:** * وصف كيف ستتأثر قيم المتوسط، الوسيط، المنوال، والمدى بعد إضافة مسافة الأحد.
2. **الخطوة 2: حساب مقاييس النزعة المركزية والمدى قبل إضافة مسافة الأحد** * البيانات: 7, 9, 12 * **المتوسط:** $(7 + 9 + 12) / 3 = 28 / 3 ≈ 9.33$ * **الوسيط:** بعد الترتيب: 7, **9**, 12. الوسيط = 9 * **المنوال:** لا يوجد منوال (لا توجد قيم متكررة) * **المدى:** $12 - 7 = 5$
3. **الخطوة 3: حساب مقاييس النزعة المركزية والمدى بعد إضافة مسافة الأحد** * البيانات الجديدة: 7, 7, 9, 12 * **المتوسط:** $(7 + 7 + 9 + 12) / 4 = 35 / 4 = 8.75$ * **الوسيط:** بعد الترتيب: 7, 7, 9, 12. الوسيط = $(7 + 9) / 2 = 8$ * **المنوال:** 7 (تكررت مرتين) * **المدى:** $12 - 7 = 5$
4. **الخطوة 4: وصف التأثير** * **المتوسط:** انخفض من 9.33 إلى 8.75. * **الوسيط:** انخفض من 9 إلى 8. * **المنوال:** ظهر منوال جديد وهو 7. * **المدى:** لم يتغير وبقي 5.
5. **الإجابة النهائية:** * المتوسط انخفض. * الوسيط انخفض. * ظهر منوال جديد وهو 7. * المدى لم يتغير.

سؤال 14: مسألة مفتوحة: اكتب مجموعة بيانات يكون منوالها ١٠ ، ووسيطها ٧

الإجابة: س14: مثال: 4، 6، 7، 10، 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** * **المطلوب:** إنشاء مجموعة بيانات تحقق الشرطين التاليين: * المنوال = 10 * الوسيط = 7
2. **الخطوة 2: استراتيجية الحل** 1. يجب أن تتضمن المجموعة القيمة 10 على الأقل مرتين لتكون هي المنوال. 2. يجب أن تكون القيمة الوسطى بعد الترتيب هي 7.
3. **الخطوة 3: إنشاء مجموعة البيانات** مثال: * 4, 6, 7, 10, 10
4. **الخطوة 4: التحقق من الشروط** * **المنوال:** 10 (تكررت مرتين) * **الوسيط:** بعد الترتيب: 4, 6, **7**, 10, 10. الوسيط = 7
5. **الإجابة النهائية:** مجموعة البيانات: 4, 6, 7, 10, 10 تحقق الشرطين المطلوبين.

سؤال 15: اكتشف الخطأ: أوجد محمد ورامي الوسيط لمجموعة البيانات الآتية: ٦٢، ٦٤، ٦٣، ٦٠، ٦٥، ٦٥، ٧٠. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

الإجابة: س15: رامي إجابته صحيحة؛ لأن الترتيب: 60، 62، 63، 64، 65، 65، 70 فالوسيط هو 64.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المعطيات والمطلوب** * **المعطيات:** مجموعة البيانات: 62, 64, 63, 60, 65, 65, 70 * **المطلوب:** تحديد من أوجد الوسيط بشكل صحيح (محمد أم رامي) وتفسير الإجابة.
2. **الخطوة 2: تعريف الوسيط** * **الوسيط:** القيمة الوسطى في مجموعة البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً.
3. **الخطوة 3: ترتيب البيانات** * ترتيب البيانات تصاعدياً: 60, 62, 63, 64, 65, 65, 70
4. **الخطوة 4: إيجاد الوسيط** * بعد الترتيب: 60, 62, 63, **64**, 65, 65, 70 * الوسيط هو القيمة الوسطى: 64
5. **الخطوة 5: تحديد الإجابة الصحيحة** * بما أن الوسيط هو 64، فإن إجابة رامي هي الصحيحة.
6. **الإجابة النهائية:** إجابة رامي هي الصحيحة لأن الوسيط لمجموعة البيانات بعد ترتيبها هو 64.

سؤال 16: تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً أو أحياناً أو ليست صحيحة أبداً، وفسر سبب إجابتك: "كل مقاييس النزعة المركزية تكون من القيم الموجودة في مجموعة البيانات".

الإجابة: س16: أحياناً صحيحة؛ المنوال دائماً من البيانات، والوسيط قد يكون منها، أما المتوسط فقد لا يكون.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم العبارة** * العبارة: "كل مقاييس النزعة المركزية تكون من القيم الموجودة في مجموعة البيانات". * مقاييس النزعة المركزية: المتوسط، الوسيط، المنوال.
2. **الخطوة 2: تحليل كل مقياس على حدة** * **المنوال:** هو القيمة الأكثر تكراراً في البيانات، وبالتالي يجب أن يكون موجوداً في مجموعة البيانات. * **الوسيط:** هو القيمة الوسطى بعد الترتيب. إذا كان عدد القيم فردياً، فالوسيط هو قيمة من البيانات. أما إذا كان عدد القيم زوجياً، فالوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيين، وقد لا يكون موجوداً في البيانات الأصلية. * **المتوسط:** هو مجموع القيم مقسوماً على عددها. غالباً لا يكون المتوسط مساوياً لأي قيمة موجودة في البيانات الأصلية.
3. **الخطوة 3: تحديد صحة العبارة** * العبارة ليست صحيحة دائماً، لأن المتوسط قد لا يكون من القيم الموجودة في البيانات. * العبارة صحيحة أحياناً، لأن المنوال دائماً من البيانات، والوسيط قد يكون منها.
4. **الإجابة النهائية:** العبارة صحيحة أحياناً. المنوال دائماً من البيانات، والوسيط قد يكون منها، أما المتوسط فقد لا يكون.

سؤال 17: تحد: أعط مثالاً مضاداً لإثبات خطأ الجملة الآتية: "يعد الوسيط مقياساً ممثلاً لمجموعة البيانات دائماً".

الإجابة: س17: مثال مضاد: 1، 1، 100، 100 الوسيط 50.5 وهو غير ممثل للبيانات.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم العبارة والمطلوب** * العبارة: "يعد الوسيط مقياساً ممثلاً لمجموعة البيانات دائماً". * المطلوب: إعطاء مثال مضاد يثبت خطأ هذه العبارة.
2. **الخطوة 2: استراتيجية الحل** * يجب إيجاد مجموعة بيانات يكون فيها الوسيط قيمة لا تمثل بقية البيانات بشكل جيد. يمكن تحقيق ذلك بوجود قيم متطرفة.
3. **الخطوة 3: إعطاء مثال مضاد** * مجموعة البيانات: 1, 1, 100, 100
4. **الخطوة 4: حساب الوسيط** * بعد الترتيب: 1, 1, 100, 100 * الوسيط = $(1 + 100) / 2 = 50.5$
5. **الخطوة 5: تحليل المثال** * الوسيط هو 50.5، وهو لا يمثل البيانات بشكل جيد. القيمتان 1 و 100 متباعدتان جداً عن الوسيط، والوسيط لا يعكس التوزيع الحقيقي للبيانات.
6. **الإجابة النهائية:** المثال المضاد: 1, 1, 100, 100. الوسيط هو 50.5 وهو غير ممثل للبيانات.

سؤال 18: اكتب استعمل بيانات من مجلة أو صحيفة يومية لكتابة مسألة تتطلب إيجاد مقاييس النزعة المركزية؛ واذكر أي مقاييس النزعة المركزية هو الأنسب لتمثيل البيانات.

الإجابة: س18: كتابة الأنسب هو الوسيط في حال وجود قيم متطرفة تؤثر على المتوسط.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** * **المطلوب:** * استخدام بيانات من مجلة أو صحيفة يومية لكتابة مسألة تتطلب إيجاد مقاييس النزعة المركزية. * تحديد أي مقاييس النزعة المركزية هو الأنسب لتمثيل البيانات.
2. **الخطوة 2: مثال لمسألة باستخدام بيانات افتراضية** * **البيانات:** لنفترض أننا جمعنا بيانات عن أسعار المنازل في حي معين (بالألف ريال): 300, 350, 400, 420, 450, 480, 500, 550, 600, 1200 (يوجد منزل فاخر بسعر مرتفع جداً). * **المسألة:** ما هو المتوسط، الوسيط، والمنوال لأسعار المنازل في هذا الحي؟ أي من هذه المقاييس هو الأنسب لتمثيل أسعار المنازل؟
3. **الخطوة 3: حساب مقاييس النزعة المركزية** * **المتوسط:** $(300 + 350 + 400 + 420 + 450 + 480 + 500 + 550 + 600 + 1200) / 10 = 5250 / 10 = 525$ * **الوسيط:** بعد الترتيب: 300, 350, 400, 420, 450, 480, 500, 550, 600, 1200. الوسيط = $(450 + 480) / 2 = 465$ * **المنوال:** لا يوجد منوال (لا توجد قيم متكررة)
4. **الخطوة 4: تحديد المقياس الأنسب** * في هذه الحالة، المتوسط (525) يتأثر بشكل كبير بالقيمة المتطرفة (1200). الوسيط (465) يعطي تمثيلاً أفضل لأسعار المنازل لأنه أقل تأثراً بالقيم المتطرفة.
5. **الإجابة النهائية:** المقياس الأنسب لتمثيل أسعار المنازل هو الوسيط، لأنه أقل تأثراً بالقيم المتطرفة.

كانت سرعات عدد من السيارات في شارع مزدحم بالكيلومتر / ساعة على النحو الآتي: ٤٢، ٤٤، ٤٨، ٥٠، ٣٥، ٣٨، ٥٠، ٣٨، ٤٢، فأي المقاييس الآتية ستظهر أن السيارات تسير أسرع؟

• أ) المنوال
• ب) الوسيط
• ج) المتوسط
• د) المدى

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المتوسط

الشرح: 1. نرتب البيانات تصاعدياً: ٣٥، ٣٨، ٣٨، ٤٢، ٤٢، ٤٤، ٤٨، ٥٠، ٥٠. 2. نحسب المتوسط: (٣٥+٣٨+٣٨+٤٢+٤٢+٤٤+٤٨+٥٠+٥٠) / ٩ = ٣٨٧ / ٩ = ٤٣. 3. المتوسط هو الأنسب لتمثيل السرعة الإجمالية لأنه يأخذ جميع القيم في الاعتبار، بينما الوسيط يمثل القيمة الوسطى والمنوال يمثل القيمة الأكثر تكراراً.

تلميح: فكر في المقياس الذي يأخذ جميع القيم في الاعتبار ليعكس القيمة الإجمالية أو المتوسطة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ركض فيصل ٩ كيلومترات يوم الإثنين، و ٧ كيلومترات يوم الأربعاء، و ١٢ كيلومترًا يوم الجمعة. صف كيف ستتأثر قيم: المتوسط، والوسيط، والمنوال، والمدى، إذا ركض فيصل ٧ كيلومترات إضافية يوم الأحد.

• أ) انخفض المتوسط والوسيط والمدى، وظهر المنوال ٧.
• ب) ارتفع المتوسط والوسيط، وظهر المنوال ٧، ولم يتغير المدى.
• ج) انخفض المتوسط والوسيط، وظهر المنوال ٧، ولم يتغير المدى.
• د) ارتفع المتوسط وانخفض الوسيط، وظهر المنوال ٧، ولم يتغير المدى.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: انخفض المتوسط والوسيط، وظهر المنوال ٧، ولم يتغير المدى.

الشرح: 1. قبل الإضافة: البيانات [٧, ٩, ١٢]. المتوسط ≈ ٩.٣٣، الوسيط = ٩، لا منوال، المدى = ٥. 2. بعد الإضافة: البيانات [٧, ٧, ٩, ١٢]. المتوسط = ٨.٧٥، الوسيط = ٨، المنوال = ٧، المدى = ٥. 3. المقارنة تظهر: انخفاض المتوسط والوسيط، ظهور منوال جديد (٧)، وبقاء المدى كما هو.

تلميح: احسب كل مقياس قبل وبعد إضافة البيانات الجديدة وقارن النتائج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي من مجموعات البيانات التالية لها منوال ١٠ ووسيط ٧؟

• أ) ٤، ٧، ٧، ٨، ١٠
• ب) ٥، ٦، ٨، ٩، ١٠
• ج) ٤، ٦، ٧، ١٠، ١٠
• د) ٧، ١٠، ١٠، ١١، ١٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٤، ٦، ٧، ١٠، ١٠

الشرح: 1. للمجموعة '٤، ٦، ٧، ١٠، ١٠': عند الترتيب، الوسيط هو ٧ (القيمة الوسطى). 2. المنوال هو ١٠ لأنه تكرر مرتين، وهو أكثر من أي قيمة أخرى. 3. الخيارات الأخرى لا تحقق كلا الشرطين معاً.

تلميح: تذكر أن المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً، والوسيط هو القيمة الوسطى بعد الترتيب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً أو أحياناً أو ليست صحيحة أبداً: "كل مقاييس النزعة المركزية تكون من القيم في مجموعة البيانات".

• أ) صحيحة دائماً
• ب) أحياناً صحيحة
• ج) ليست صحيحة أبداً
• د) صحيحة فقط عندما تكون البيانات مرتبة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أحياناً صحيحة

الشرح: 1. المنوال دائماً يكون من القيم الموجودة في مجموعة البيانات. 2. الوسيط قد يكون من القيم في البيانات (إذا كان عددها فردياً)، وقد لا يكون (إذا كان عددها زوجياً، فهو متوسط قيمتين). 3. المتوسط غالباً لا يكون من القيم الموجودة في البيانات الأصلية. 4. بما أن العبارة تقول 'كل' المقاييس، وهي لا تنطبق على جميع المقاييس بشكل دائم، فالعبارة صحيحة أحياناً فقط.

تلميح: فكر في تعريف كل من المتوسط والوسيط والمنوال، وهل يجب أن تكون قيمها موجودة ضمن البيانات الأصلية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من مجموعات البيانات التالية تُعد مثالاً مضاداً لإثبات أن 'الوسط ليس مقياساً ممثلاً لمجموعة البيانات دائماً'؟

• أ) 5, 6, 7, 8
• ب) 10, 10, 10, 10
• ج) 1, 2, 3, 100
• د) 10, 11, 12, 13

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1, 2, 3, 100

الشرح: 1. نحسب الوسط لمجموعة البيانات [1, 2, 3, 100]: (1+2+3+100) ÷ 4 = 106 ÷ 4 = 26.5. 2. نلاحظ أن الوسط 26.5 أعلى بكثير من معظم القيم في المجموعة (1، 2، 3) بسبب وجود القيمة المتطرفة 100. 3. هذا يجعل الوسط غير ممثل جيداً لمجموعة البيانات ككل، ويعد مثالاً مضاداً للعبارة.

تلميح: ابحث عن مجموعة بيانات تحتوي على قيم متطرفة تؤثر بشكل كبير على قيمة الوسط (المتوسط) وتجعله لا يمثل معظم البيانات.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

ما هو الوسط الحسابي (المتوسط) لمجموعة البيانات الآتية: ٦٢، ٦٤، ٦٥، ٧٠، ٧٢، ٧٤، ٧٦، ٦٠؟

• أ) ٦٧,٨٧٥
• ب) ٦٧,٥
• ج) ٦٨
• د) ٦٩

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٦٧,٨٧٥

الشرح: ١. اجمع جميع القيم في مجموعة البيانات: ٦٢ + ٦٤ + ٦٥ + ٧٠ + ٧٢ + ٧٤ + ٧٦ + ٦٠ = ٥٤٣. ٢. احسب عدد القيم في المجموعة: هناك ٨ قيم. ٣. اقسم مجموع القيم على عددها: ٥٤٣ ÷ ٨ = ٦٧,٨٧٥.

تلميح: تذكر أن الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط