مبدأ العد الأساسي

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 8 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 عد النواتج (الجزء الثاني)

المفاهيم الأساسية

مبدأ العد الأساسي: طريقة لإيجاد العدد الكلي للنواتج باستعمال الضرب.

حادثة عشوائية: الحادثة التي تكون فرص حدوث جميع نواتجها متساوية.

خريطة المفاهيم

```markmap

عد النواتج

المفاهيم الأساسية

الناتج

الحادثة

فضاء العينة

طرق إيجاد عدد النواتج

الرسم الشجري

#### القاعدة: إذا كان عدد نواتج (أ) = س، وعدد نواتج (ب) = ص، فإن عدد نواتج (أ) متبوعة بـ (ب) = س × ص

#### مثال تطبيقي (المسجد الحرام)

##### ١٥٥ باباً

##### عدد طرق دخول ٣ أشخاص = ١٥٥ × ١٥٥ × ١٥٥ = ٣٧٢٣٨٧٥

الاحتمال

تعريف الحادثة العشوائية

قاعدة الاحتمال: نسبة عدد نواتج الحادثة إلى العدد الكلي للنواتج

#### مثال تطبيقي (جدول الحصص)

##### عدد النواتج لترتيب ٣ حصص من ٧ = ٧ × ٦ × ٥ = ٢١٠

##### احتمال ترتيب معين = ١/٢١٠ ≈ ٠.٠٠٥ أو ٠.٥٪

```

نقاط مهمة

مبدأ العد الأساسي يعتمد على الضرب لحساب النواتج الممكنة لسلسلة من الأحداث.
احتمال أي حادثة عشوائية = (عدد نواتج الحادثة) ÷ (العدد الكلي للنواتج).
يمكن التعبير عن الاحتمال ككسر أو كسر عشري أو نسبة مئوية.

---

تحقق من فهمك

ب) غداء:

عدد الأصناف: ٣
عدد أنواع التوابل: ٥
الخيارات (باللحم أو بدونه): ٢
عدد الخيارات الممكنة = ٣ × ٥ × ٢ = ٣٠ خياراً.

جـ) احتمال مجموع ١٢ عند رمي مكعبي أرقام:

العدد الكلي للنواتج عند رمي مكعبين: ٦ × ٦ = ٣٦ ناتجاً.
النواتج التي يكون مجموعها ١٢ هي: (٦، ٦) فقط.
عدد نواتج الحادثة = ١.
الاحتمال = ١/٣٦.

---

حل مثال

المثال ١ (المسجد الحرام):

المعطيات: عدد أبواب الدخول = ١٥٥ باباً.
المطلوب: عدد الطرق المختلفة لدخول ٣ أشخاص.
الحل باستعمال مبدأ العد الأساسي:

- كل شخص يمكنه الدخول من أي من الـ ١٥٥ باباً.

- عدد الطرق = ١٥٥ × ١٥٥ × ١٥٥

- عدد الطرق = ٣٧٢٣٨٧٥ طريقة.

المثال ٢ (جدول الحصص):

المعطيات: ٧ مواد دراسية.
المطلوب: احتمال أن تكون الحصص الثلاث الأولى بالترتيب: الرياضيات، التربية البدنية، الدراسات الاجتماعية.
الحل:

1. إيجاد العدد الكلي للنواتج (التراتيب) للحصص الثلاث الأولى:

- الاختيار الأول: ٧ خيارات.

- الاختيار الثاني: ٦ خيارات.

- الاختيار الثالث: ٥ خيارات.

- العدد الكلي = ٧ × ٦ × ٥ = ٢١٠ ترتيباً.

2. إيجاد الاحتمال:

- التريتب المطلوب (الرياضيات، التربية البدنية، الدراسات الاجتماعية) يحقق مرة واحدة فقط.

- الاحتمال = (عدد النواتج المطلوبة) ÷ (العدد الكلي) = ١ ÷ ٢١٠.

- الاحتمال ≈ ٠.٠٠٥ أو ٠.٥٪.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

ويمكن أيضًا إيجاد العدد الكلي للنواتج باستعمال الضرب، وتسمى هذه الطريقة مبدأ العد الأساسي.

مبدأ العد الأساسي

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هي س، وللحادثة ب هي ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة أ متبوعة بالحادثة ب هي: س × ص.

مفهوم أساسي

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هي س، وللحادثة ب هي ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة أ متبوعة بالحادثة ب هي: س × ص.

استعمال مبدأ العد الأساسي

نوع: محتوى تعليمي

المسجد الحرام: استعمل المعلومات التي على يمين الصفحة لتحديد عدد الطرق المختلفة لدخول المسجد الحرام.

نوع: محتوى تعليمي

هناك ١٥٥ باباً لدخول المسجد الحرام.

نوع: محتوى تعليمي

٣٧٢٣٨٧٥ = ١٥٥ × ١٥٥ × ١٥٥ ، فإن عدد الطرق = ١٥٥ × ١٥٥ × ١٥٥

نوع: محتوى تعليمي

يوجد ٣٧٢٣٨٧٥ طريقة لدخول ثلاثة أشخاص إلى المسجد الحرام.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

ب

نوع: QUESTION_HOMEWORK

غداء: يقدم أحد المطاعم ٣ أصناف من الطعام بخمسة أنواع من التوابل، وهذه الأصناف قد تكون باللحم أو بدونه. فما عدد خيارات الطعام الممكنة؟

مثال من واقع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

إيجاد الاحتمال

نوع: محتوى تعليمي

صفوف: يتكون جدول يوم الإثنين للصف الثاني المتوسط من مواد: الرياضيات، والعلوم، والدراسات الاجتماعية، والدراسات الإسلامية، والتربية البدنية، ولغتي، واللغة الإنجليزية. فما احتمال أن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات، والتربية البدنية، والدراسات الاجتماعية بالترتيب؟

نوع: محتوى تعليمي

٢١٠ = ٥ × ٧ × ٦ ، أو عدد النواتج الممكنة:

نوع: محتوى تعليمي

أي أن هناك ٢١٠ نواتج ممكنة، وفرصة واحدة صحيحة لأن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات، والتربية البدنية والدراسات الاجتماعية بالترتيب.

نوع: محتوى تعليمي

الاحتمال (الرياضيات، التربية البدنية، الدراسات الاجتماعية) = ١
٢١٠
يوجد ترتيب واحد فقط من بين ٢١٠ ترتيباً ممكناً.

نوع: محتوى تعليمي

ويمكن كتابة هذه النتيجة بصورة الكسر العشري ٠,٠٠٥ ، أو النسبة المئوية ٠,٥ %.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

ج

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو ١٢ عند رمي مكعبي الأرقام؟

إرشادات للدراسة

نوع: METADATA

مكعب الأرقام

نوع: محتوى تعليمي

هو مكعب مكتوب على أوجهه الستة الأرقام من ١ إلى ٦.

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

Ministry of Education

نوع: METADATA

الدرس ٧ - ١ : عدد النواتج

نوع: METADATA

2025 1447

🔍 عناصر مرئية

A photograph showing the Masjid al-Haram with minarets and domes.

A diagram of a cube with numbers on its faces.

📄 النص الكامل للصفحة

ويمكن أيضًا إيجاد العدد الكلي للنواتج باستعمال الضرب، وتسمى هذه الطريقة مبدأ العد الأساسي.

--- SECTION: مبدأ العد الأساسي ---
إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هي س، وللحادثة ب هي ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة أ متبوعة بالحادثة ب هي: س × ص.

--- SECTION: مفهوم أساسي ---
إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هي س، وللحادثة ب هي ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة أ متبوعة بالحادثة ب هي: س × ص.

--- SECTION: استعمال مبدأ العد الأساسي ---
المسجد الحرام: استعمل المعلومات التي على يمين الصفحة لتحديد عدد الطرق المختلفة لدخول المسجد الحرام.

هناك ١٥٥ باباً لدخول المسجد الحرام.

٣٧٢٣٨٧٥ = ١٥٥ × ١٥٥ × ١٥٥ ، فإن عدد الطرق = ١٥٥ × ١٥٥ × ١٥٥

يوجد ٣٧٢٣٨٧٥ طريقة لدخول ثلاثة أشخاص إلى المسجد الحرام.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---

--- SECTION: ب ---
غداء: يقدم أحد المطاعم ٣ أصناف من الطعام بخمسة أنواع من التوابل، وهذه الأصناف قد تكون باللحم أو بدونه. فما عدد خيارات الطعام الممكنة؟

--- SECTION: مثال من واقع الحياة ---

--- SECTION: إيجاد الاحتمال ---

صفوف: يتكون جدول يوم الإثنين للصف الثاني المتوسط من مواد: الرياضيات، والعلوم، والدراسات الاجتماعية، والدراسات الإسلامية، والتربية البدنية، ولغتي، واللغة الإنجليزية. فما احتمال أن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات، والتربية البدنية، والدراسات الاجتماعية بالترتيب؟

٢١٠ = ٥ × ٧ × ٦ ، أو عدد النواتج الممكنة:

أي أن هناك ٢١٠ نواتج ممكنة، وفرصة واحدة صحيحة لأن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات، والتربية البدنية والدراسات الاجتماعية بالترتيب.

الاحتمال (الرياضيات، التربية البدنية، الدراسات الاجتماعية) = ١
٢١٠
يوجد ترتيب واحد فقط من بين ٢١٠ ترتيباً ممكناً.

ويمكن كتابة هذه النتيجة بصورة الكسر العشري ٠,٠٠٥ ، أو النسبة المئوية ٠,٥ %.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---

--- SECTION: ج ---
ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو ١٢ عند رمي مكعبي الأرقام؟

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---

--- SECTION: مكعب الأرقام ---
هو مكعب مكتوب على أوجهه الستة الأرقام من ١ إلى ٦.

وزارة التعليم

Ministry of Education

الدرس ٧ - ١ : عدد النواتج

2025 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: A photograph showing the Masjid al-Haram with minarets and domes.
Context: Used as a real-world example for calculating the number of ways to enter the mosque.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram of a cube with numbers on its faces.
Context: Illustrates the concept of a die used in probability problems.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال ب: غداء: يقدم أحد المطاعم ٣ أصناف من الطعام بخمسة أنواع من التوابل، وهذه الأصناف قد تكون باللحم أو بدونه. فما عدد خيارات الطعام الممكنة؟

الإجابة: 3 × 5 × 2 = 30 خياراً

خطوات الحل:

| العنصر | عدد الخيارات | |---|---| | الأصناف | 3 | | التوابل | 5 | | نوع اللحم | 2 (باللحم أو بدونه) |
**المبدأ المستخدم:** مبدأ العد الأساسي (قاعدة الضرب).
**شرح مبدأ العد الأساسي:** إذا كان لدينا عدة تجارب مستقلة، فإن عدد النواتج الممكنة هو حاصل ضرب عدد النواتج الممكنة لكل تجربة.
1. **عدد خيارات الأصناف:** 3 2. **عدد خيارات التوابل:** 5 3. **عدد خيارات نوع اللحم:** 2
لحساب عدد الخيارات الكلية، نضرب عدد الخيارات لكل عنصر: $3 \times 5 \times 2 = 30$
> **تنبيه:** نستخدم قاعدة الضرب لأن اختيار الصنف والتوابل ونوع اللحم هي أحداث مستقلة.
إذن، عدد خيارات الطعام الممكنة هو **30 خياراً**.

سؤال ج: ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو ١٢ عند رمي مكعبي الأرقام؟

الإجابة: 1/36

خطوات الحل:

| الحدث | الوصف | |---|---| | التجربة | رمي مكعبي أرقام | | الحدث المطلوب | مجموع العددين الظاهرين = 12 |
**المفاهيم الأساسية:** * **فضاء العينة:** جميع النواتج الممكنة للتجربة. * **الاحتمال:** نسبة عدد النواتج الممكنة للحدث إلى عدد النواتج الكلية.
1. **حساب عدد النواتج الكلية:** * كل مكعب له 6 أوجه مرقمة من 1 إلى 6. * عند رمي مكعبين، عدد النواتج الكلية هو $6 \times 6 = 36$. * إذن، حجم فضاء العينة = 36.
2. **حساب عدد النواتج التي تحقق الحدث (المجموع = 12):** * النتيجة الوحيدة التي تعطي مجموع 12 هي (6, 6). * إذن، عدد النواتج التي تحقق الحدث = 1.
3. **حساب الاحتمال:** * الاحتمال = (عدد النواتج التي تحقق الحدث) / (عدد النواتج الكلية) * الاحتمال = $1 / 36$
> **ملاحظة:** نفترض أن المكعبين متمايزان (مثلاً، مكعب أحمر ومكعب أزرق) لكي يكون (6,6) نتيجة واحدة فقط.
إذن، احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو 12 عند رمي مكعبي الأرقام هو **1/36**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما تعريف مبدأ العد الأساسي في الاحتمالات؟

أ) إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هو س، ولحادثة ب هو ص، فإن عدد النواتج الكلية هو س + ص.
ب) إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هو س، ولحادثة ب هو ص، فإن عدد النواتج الكلية هو س - ص.
ج) إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هو س، ولحادثة ب هو ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة أ متبوعة بالحادثة ب هو س × ص.
د) إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هو س، ولحادثة ب هو ص، فإن عدد النواتج الكلية هو س ÷ ص.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إذا كان عدد النواتج الممكنة لحادثة أ هو س، ولحادثة ب هو ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة أ متبوعة بالحادثة ب هو س × ص.

الشرح: 1. مبدأ العد الأساسي يُستخدم لإيجاد العدد الكلي للنواتج الممكنة لسلسلة من الحوادث المستقلة. 2. يتم ذلك بضرب عدد النواتج الممكنة لكل حادثة.

تلميح: تذكر العلاقة بين عدد النواتج لكل حادثة منفصلة والعدد الكلي عند تتابع الحوادث.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في مطعم يقدم 3 أصناف من الطعام، 5 أنواع توابل، وخيارين (باللحم أو بدونه)، ما العملية الرياضية الصحيحة لإيجاد عدد خيارات الطعام الممكنة؟

أ) جمع عدد خيارات كل صنف: 3 + 5 + 2 = 10 خيارات.
ب) ضرب عدد خيارات كل صنف: 3 × 5 × 2 = 30 خياراً.
ج) (3 × 5) + 2 = 17 خياراً.
د) 3^5 × 2 = 243 × 2 = 486 خياراً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ضرب عدد خيارات كل صنف: 3 × 5 × 2 = 30 خياراً.

الشرح: 1. عدد الأصناف = 3. 2. عدد أنواع التوابل = 5. 3. عدد خيارات نوع اللحم = 2. 4. عدد الخيارات الكلية = 3 × 5 × 2 = 30.

تلميح: استخدم مبدأ العد الأساسي الذي يعتمد على ضرب الخيارات المستقلة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

عند حساب عدد الطرق لدخول 3 أشخاص إلى المسجد الحرام، إذا كان هناك 155 باباً، لماذا يتم ضرب عدد الأبواب في نفسه 3 مرات (155 × 155 × 155)؟

أ) لأن عدد الأبواب يجب أن يُقسم على عدد الأشخاص ثم يُضرب.
ب) لأن هذا هو العدد الإجمالي لجميع الأبواب المتاحة على مر التاريخ.
ج) لأن كل شخص يختار بابًا بشكل مستقل من 155 بابًا، وتُضرب نواتج اختيار كل شخص لإيجاد العدد الكلي للطرق.
د) لأننا نجمع عدد الأبواب لثلاثة أيام متتالية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن كل شخص يختار بابًا بشكل مستقل من 155 بابًا، وتُضرب نواتج اختيار كل شخص لإيجاد العدد الكلي للطرق.

الشرح: 1. الشخص الأول لديه 155 خيارًا للباب. 2. الشخص الثاني لديه أيضًا 155 خيارًا (بشكل مستقل). 3. الشخص الثالث لديه 155 خيارًا. 4. نضرب عدد خيارات كل شخص (155 × 155 × 155) لإيجاد العدد الكلي للطرق حسب مبدأ العد الأساسي.

تلميح: تذكر كيف تُعامل الحوادث المستقلة لكل فرد عند تطبيق مبدأ العد.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما عدد النواتج الممكنة لترتيب الحصص الثلاث الأولى من أصل 7 حصص دراسية مختلفة؟

أ) 7 + 6 + 5 = 18 ناتج ممكن.
ب) 7 × 3 = 21 ناتج ممكن.
ج) 7 × 6 × 5 = 210 ناتج ممكن.
د) 7 × 7 × 7 = 343 ناتج ممكن.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 7 × 6 × 5 = 210 ناتج ممكن.

الشرح: 1. الحصة الأولى: 7 خيارات. 2. الحصة الثانية: 6 خيارات (لأن حصة واحدة اختيرت). 3. الحصة الثالثة: 5 خيارات (لأن حصتين اختيرتا). 4. العدد الكلي للنواتج = 7 × 6 × 5 = 210.

تلميح: تذكر أن الحصة التي تُختار لا تُكرر للترتيبات التالية (بدون تكرار).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما المقصود بمكعب الأرقام في سياق مسائل الاحتمالات؟

أ) هو مكعب مكتوب على أوجهه الأربعة الأرقام من 1 إلى 4.
ب) هو مكعب مكتوب على أوجهه الستة الحروف الهجائية.
ج) هو مكعب مكتوب على أوجهه الستة الأرقام من 1 إلى 6.
د) هو مكعب مكتوب على أوجهه الستة أعدادًا زوجية فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: هو مكعب مكتوب على أوجهه الستة الأرقام من 1 إلى 6.

الشرح: 1. مكعب الأرقام هو أداة شائعة في مسائل الاحتمالات. 2. يتميز بستة أوجه، كل وجه يحمل رقمًا مختلفًا من 1 إلى 6.

تلميح: فكر في اللعبة الشهيرة التي تستخدم مثل هذا المكعب.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل