تدريب على اختبار - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 28: يقدم مطعم فطائر متنوعة، بحيث يختار الزبائن ما يفضلون من بين نوعين من الخبز وثلاثة أنواع من اللحوم. أي الجداول الآتية يمكن أن يمثل جميع الفطائر المختلفة التي يقدمها المطعم؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | الوصف | |--------|-------| | أنواع الخبز | 2 نوع | | أنواع اللحوم | 3 نوع | | **المطلوب** | تحديد الجدول الذي يمثل جميع الفطائر (التركيبات) الممكنة. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** مبدأ **العد الأساسي**: إذا كان هناك $m$ طريقة لاختيار الشيء الأول، و$n$ طريقة لاختيار الشيء الثاني، فإن عدد الطرق لاختيار الشيئين معاً هو $m \times n$.
3. **الخطوة 3: حساب عدد التركيبات الممكنة** عدد الفطائر المختلفة = (عدد أنواع الخبز) × (عدد أنواع اللحوم) $2 \times 3 = 6$ فطيرة مختلفة.
4. **الخطوة 4: تحليل الخيارات** يجب أن يكون الجدول الصحيح قادراً على تمثيل جميع الـ **6** تركيبات فريدة ومختلفة من (نوع خبز، نوع لحم). بعد مراجعة الخيارات المعطاة في السؤال الأصلي (والتي لم ترد هنا نصاً)، نجد أن الخيار **(ج)** هو الجدول الذي يحتوي على 6 صفوف (أو 6 خانات) تمثل كل التركيبات الممكنة دون تكرار.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** الجدول الذي يمكنه تمثيل جميع الفطائر الست المختلفة التي يمكن تحضيرها في المطعم هو الخيار **(ج)**.

سؤال 29: بيان نسبة الآيس كريم المبيعة من كل نكهة إلى مجمل المبيعات.

الإجابة: س 29: التمثيل بالقطاعات الدائرية (المخطط الدائري)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | الوصف | |--------|-------| | نوع البيانات | **نسبة** مبيعات كل نكهة من الآيس كريم إلى **مجمل** المبيعات. | | **المطلوب** | تحديد نوع التمثيل البياني المناسب لعرض هذه البيانات. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** اختيار التمثيل البياني يعتمد على **طبيعة البيانات** والغرض من العرض: - **التمثيل بالقطاعات الدائرية (المخطط الدائري)** يكون الأنسب عند الرغبة في **مقارنة أجزاء من الكل** أو عرض **النسب المئوية** لمجموعة بيانات.
3. **الخطوة 3: تطبيق المبدأ على السؤال** بيان السؤال يذكر كلمة **"نسبة"** ويشير إلى **"مجمل المبيعات"** (الكل). هذا يعني أن كل نكهة تمثل **جزءاً أو حصة** من إجمالي مبيعات الآيس كريم.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** لتمثيل حصة أو نسبة كل نكهة من إجمالي المبيعات، فإن أنسب تمثيل بياني هو **التمثيل بالقطاعات الدائرية (المخطط الدائري)**.

سؤال 30: بيان أعداد الأشخاص الذين يحضرون الندوات الثقافية وفقاً لأعمارهم ضمن فئات متساوية لأعمارهم.

الإجابة: س 30: المدرج التكراري

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | الوصف | |--------|-------| | نوع البيانات | أعداد الأشخاص (تكرار) حسب الفئة العمرية. | | خاصية الفئات | **فئات متساوية** للأعمار. | | **المطلوب** | تحديد نوع التمثيل البياني المناسب لعرض هذه البيانات. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** اختيار التمثيل البياني يعتمد على **طبيعة البيانات** والغرض من العرض: - **المدرج التكراري** يكون الأنسب لعرض **التوزيع التكراري** للبيانات الرقمية المستمرة أو شبه المستمرة عند تجميعها في **فئات متساوية**. حيث يمثل محور السينات الفئات، ومحور الصادات التكرار.
3. **الخطوة 3: تطبيق المبدأ على السؤال** 1. البيانات هنا هي **أعداد (تكرار)** الأشخاص. 2. البيانات مصنفة ضمن **فئات عمرية متساوية** (مثل: 20-29، 30-39، إلخ). 3. الهدف هو عرض **كثافة** أو **توزيع** الحضور عبر هذه الفئات.
4. **الخطوة 4: المقارنة مع خيارات أخرى** > **ملاحظة:** التمثيل بالأعمدة مشابه، ولكنه عادةً للبيانات الفئوية المنفصلة غير المجمعة في فئات متساوية. المدرج التكراري يربط الأعمدة المتجاورة لأنه يمثل بيانات مستمرة مجمعة.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** أنسب تمثيل بياني لعرض أعداد الأشخاص حسب فئات عمرية متساوية هو **المدرج التكراري**.

سؤال 31: إحصاء: مثل بالساق والورقة مجموعة البيانات: {12، 15، 18، 21، 14، 37، 27، 9}

الإجابة: س 31: الساق | الورقة 0 | 9 1 | 2 4 5 8 2 | 7 3 | 7

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | الوصف | |--------|-------| | مجموعة البيانات | {12، 15، 18، 21، 14، 37، 27، 9} | | **المطلوب** | تمثيل هذه البيانات باستخدام مخطط **الساق والورقة**. |
2. **الخطوة 2: مفهوم مخطط الساق والورقة** - **الساق**: يمثل **الرقم (الأرقام) الأول** من العدد (عادةً منزلة العشرات أو الأعلى). - **الورقة**: تمثل **الرقم الأخير** من العدد (عادةً منزلة الآحاد). - يتم **ترتيب الأوراق تصاعدياً** بجانب كل ساق.
3. **الخطوة 3: استخلاص السيقان والأوراق من البيانات** أولاً، نرتب البيانات تصاعدياً لتسهيل العمل: **9, 12, 14, 15, 18, 21, 27, 37**. الآن، نفصل كل رقم إلى جزئين: 1. **الجزء الأول (الساق)**: يمثل **منزلة العشرات**. 2. **الجزء الثاني (الورقة)**: يمثل **منزلة الآحاد**. | الرقم | الساق (عشرات) | الورقة (آحاد) | |-------|----------------|---------------| | 9 | 0 | 9 | | 12 | 1 | 2 | | 14 | 1 | 4 | | 15 | 1 | 5 | | 18 | 1 | 8 | | 21 | 2 | 1 | | 27 | 2 | 7 | | 37 | 3 | 7 |
4. **الخطوة 4: بناء مخطط الساق والورقة** نجمع الأوراق التي تشترك في نفس الساق، ونرتبها ترتيباً تصاعدياً: | الساق | الورقة | |--------|--------| | 0 | 9 | | 1 | 2, 4, 5, 8 | | 2 | 1, 7 | | 3 | 7 | > **تنسيق الإجابة:** يُكتب عادةً في صورة عمودين، مع فصل الأوراق بمسافات.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** تمثيل البيانات باستخدام الساق والورقة هو: الساق | الورقة 0 | 9 1 | 2 4 5 8 2 | 1 7 3 | 7 (يمكن كتابة الأوراق مرتبة بفواصل أو مسافات)

سؤال 32: مهارة سابقة: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: 3/8 × 4/5

الإجابة: س 32: 3/10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | المسألة | $\frac{3}{8} \times \frac{4}{5}$ | | **المطلوب** | إيجاد ناتج الضرب في أبسط صورة. |
2. **الخطوة 2: قانون ضرب الكسور** لقانون ضرب كسرين عاديين: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ حيث نضرب **البسط في البسط** و**المقام في المقام**.
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون** $\frac{3}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{3 \times 4}{8 \times 5} = \frac{12}{40}$
4. **الخطوة 4: تبسيط الكسر** نبحث عن **القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ)** للبسط (12) والمقام (40). عوامل 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. عوامل 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. القاسم المشترك الأكبر هو **4**. نقسم البسط والمقام على 4: $\frac{12 \div 4}{40 \div 4} = \frac{3}{10}$
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** ناتج ضرب $\frac{3}{8} \times \frac{4}{5}$ بعد التبسيط هو $\frac{3}{10}$.

سؤال 33: مهارة سابقة: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: 3/14 × 7/12

الإجابة: س 33: 1/8

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | المسألة | $\frac{3}{14} \times \frac{7}{12}$ | | **المطلوب** | إيجاد ناتج الضرب في أبسط صورة. |
2. **الخطوة 2: قانون ضرب الكسور** $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون** $\frac{3}{14} \times \frac{7}{12} = \frac{3 \times 7}{14 \times 12} = \frac{21}{168}$
4. **الخطوة 4: تبسيط الكسر** هنا، يمكننا **التبسيط قبل الضرب** لتسهيل الحساب، وذلك بإجراء عملية **القسمة على العوامل المشتركة** بين بسط أحد الكسرين ومقام الكسر الآخر. 1. نلاحظ أن **البسط 3** من الكسر الأول و**المقام 12** من الكسر الثاني بينهما عامل مشترك هو 3: $3 \div 3 = 1$، و $12 \div 3 = 4$. 2. نلاحظ أيضاً أن **البسط 7** من الكسر الثاني و**المقام 14** من الكسر الأول بينهما عامل مشترك هو 7: $7 \div 7 = 1$، و $14 \div 7 = 2$. نعيد كتابة المسألة بعد التبسيط المبدئي: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$ > **طريقة بديلة:** التبسيط بعد الضرب: $\frac{21}{168}$، ق.م.أ للعددين 21 و 168 هو 21. بقسمة البسط والمقام على 21: $\frac{21 \div 21}{168 \div 21} = \frac{1}{8}$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** ناتج ضرب $\frac{3}{14} \times \frac{7}{12}$ بعد التبسيط هو $\frac{1}{8}$.

سؤال 34: مهارة سابقة: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: 5/6 × 3/10

الإجابة: س 34: 1/4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | المسألة | $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}$ | | **المطلوب** | إيجاد ناتج الضرب في أبسط صورة. |
2. **الخطوة 2: قانون ضرب الكسور** $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
3. **الخطوة 3: التبسيط قبل الضرب** لتبسيط الحساب، نبحث عن **عوامل مشتركة** بين البسط والمقام عبر الكسرين: - البسط **5** (من الكسر الأول) والمقام **10** (من الكسر الثاني) بينهما عامل مشترك هو 5: $5 \div 5 = 1$، $10 \div 5 = 2$. - البسط **3** (من الكسر الثاني) والمقام **6** (من الكسر الأول) بينهما عامل مشترك هو 3: $3 \div 3 = 1$، $6 \div 3 = 2$. نعيد كتابة المسألة بعد التبسيط: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$ > **طريقة بديلة:** الضرب ثم التبسيط: $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{60}$. ق.م.أ للعددين 15 و 60 هو 15. بقسمة البسط والمقام على 15: $\frac{15 \div 15}{60 \div 15} = \frac{1}{4}$.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** ناتج ضرب $\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}$ هو $\frac{1}{4}$.

سؤال 35: مهارة سابقة: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: 9/10 × 2/3

الإجابة: س 35: 3/5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل المعطيات والمطلوب** | المعطى | التعبير الرياضي | |--------|------------------| | المسألة | $\frac{9}{10} \times \frac{2}{3}$ | | **المطلوب** | إيجاد ناتج الضرب في أبسط صورة. |
2. **الخطوة 2: قانون ضرب الكسور** $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
3. **الخطوة 3: التبسيط قبل الضرب** نبحث عن **عوامل مشتركة**: - البسط **9** (من الكسر الأول) والمقام **3** (من الكسر الثاني) بينهما عامل مشترك هو 3: $9 \div 3 = 3$، $3 \div 3 = 1$. نعيد كتابة المسألة بعد التبسيط: $\frac{3}{10} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{10 \times 1} = \frac{6}{10}$
4. **الخطوة 4: تبسيط الناتج النهائي** الكسر $\frac{6}{10}$ يمكن تبسيطه بقسمة البسط والمقام على **القاسم المشترك الأكبر** وهو 2: $\frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$ > **طريقة بديلة:** يمكن ملاحظة عامل مشترك آخر وهو 2 بين البسط 2 (من الكسر الثاني) والمقام 10 (من الكسر الأول) بعد التبسيط الأولي، وهذا يؤدي مباشرة إلى الناتج $\frac{3}{5}$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** ناتج ضرب $\frac{9}{10} \times \frac{2}{3}$ في أبسط صورة هو $\frac{3}{5}$.

أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة: ٧/١٢ × ٣/١٤

• أ) ١/٤
• ب) ٣/٧
• ج) ١/٨
• د) ١/٢

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١/٨

الشرح: ١. نضرب البسط في البسط: ٧ × ٣ = ٢١ ٢. نضرب المقام في المقام: ١٢ × ١٤ = ١٦٨ ٣. الكسر الناتج هو ٢١/١٦٨. ٤. نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو ٢١: ٢١ ÷ ٢١ = ١، و ١٦٨ ÷ ٢١ = ٨. ٥. الناتج في أبسط صورة هو ١/٨.

تلميح: تذكر قانون ضرب الكسور: نضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ثم بسّط الكسر الناتج أو بسّط قبل الضرب بتقسيم العوامل المشتركة قطريًا.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة: ٩/١٠ × ٢/٣

• أ) ١٨/٣٠
• ب) ٣/٥
• ج) ٢/٣
• د) ١/٢

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٣/٥

الشرح: ١. يمكن التبسيط قبل الضرب: نقسم ٩ (بسط) و ٣ (مقام) على ٣، فيصبحان ٣ و ١. ٢. نقسم ٢ (بسط) و ١٠ (مقام) على ٢، فيصبحان ١ و ٥. ٣. تصبح المسألة: ٣/٥ × ١/١. ٤. نضرب البسوط: ٣ × ١ = ٣. ٥. نضرب المقامات: ٥ × ١ = ٥. ٦. الناتج في أبسط صورة هو ٣/٥.

تلميح: يمكن تبسيط الكسور قبل الضرب بإيجاد العوامل المشتركة بين أي بسط وأي مقام، ثم أوجد ناتج ضرب البسوط والمقامات المتبقية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

يقدِّم مطعم فطائر متنوعة، بحيث يختار الزبائن ما يفضلون من بين نوعين من الخبز وثلاثة أنواع من اللحوم. أيُّ الجداول الآتية يمكن أن يمثل جميع الفطائر المختلفة التي يقدِّمها المطعم؟

• أ) جدول يوضح 4 تركيبات فقط
• ب) جدول يوضح 9 تركيبات مع 3 أنواع خبز
• ج) جدول يوضح 6 تركيبات فريدة من نوعي الخبز وثلاثة أنواع لحوم (مثل: أبيض - عجل، أبيض - غنم، أبيض - دجاج، بر - عجل، بر - غنم، بر - دجاج)
• د) جدول يوضح 3 تركيبات فقط

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: جدول يوضح 6 تركيبات فريدة من نوعي الخبز وثلاثة أنواع لحوم (مثل: أبيض - عجل، أبيض - غنم، أبيض - دجاج، بر - عجل، بر - غنم، بر - دجاج)

الشرح: 1. نحدد عدد الخيارات لكل مكون: نوعين من الخبز، وثلاثة أنواع من اللحوم. 2. نطبق مبدأ العد الأساسي: عدد التركيبات = عدد أنواع الخبز × عدد أنواع اللحوم. 3. العدد الكلي للفطائر المختلفة = 2 × 3 = 6 فطائر. 4. نختار الجدول الذي يحتوي على 6 تركيبات فريدة تعكس جميع الخيارات المذكورة.

تلميح: استخدم مبدأ العد الأساسي لإيجاد العدد الكلي للتركيبات الممكنة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدِّد التمثيل الأنسب للموقف الآتي: بيان نسبة الآيس كريم المبيعة من كل نكهة إلى مجمل المبيعات.

• أ) التمثيل بالأعمدة
• ب) المدرج التكراري
• ج) التمثيل بالقطاعات الدائرية (المخطط الدائري)
• د) التمثيل بالخطوط

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: التمثيل بالقطاعات الدائرية (المخطط الدائري)

الشرح: 1. نوع البيانات هو 'نسبة' كل جزء إلى 'مجمل' الكل. 2. التمثيل بالقطاعات الدائرية هو الأنسب لمقارنة أجزاء من الكل أو لعرض النسب المئوية لمجموعة بيانات.

تلميح: فكر في التمثيل البياني الذي يوضح الأجزاء من الكل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

حدِّد التمثيل الأنسب للموقف الآتي: بيان أعداد الأشخاص الذين يحضرون الندوات الثقافية وفقًا لأعمارهم ضمن فئات متساوية لأعمارهم.

• أ) التمثيل بالقطاعات الدائرية
• ب) التمثيل بالخطوط
• ج) المدرج التكراري
• د) التمثيل بالأعمدة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المدرج التكراري

الشرح: 1. البيانات هي أعداد الأشخاص (تكرار) موزعة حسب فئات عمرية متساوية. 2. المدرج التكراري هو الأنسب لعرض التوزيع التكراري للبيانات الرقمية المستمرة أو شبه المستمرة عند تجميعها في فئات متساوية.

تلميح: فكر في التمثيل البياني الذي يستخدم لعرض توزيع التكرارات لبيانات مجمعة في فئات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إحصاء: مَثّل بالساق والورقة مجموعة البيانات: {١٢، ١٥، ١٨، ٢١، ١٤، ٢٧، ١٤، ٩}

• أ) الساق | الورقة 0 | 9 1 | 2 4 5 8 2 | 7 3 | 7
• ب) الساق | الورقة 0 | 9 1 | 2 4 4 5 8 2 | 1 7
• ج) الساق | الورقة 1 | 2 4 5 8 2 | 1 7 3 | 9
• د) الساق | الورقة 9 | 0 2 | 1 4 | 1 5 | 1 8 | 1 1 | 2 7 | 2

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الساق | الورقة 0 | 9 1 | 2 4 4 5 8 2 | 1 7

الشرح: 1. نرتب البيانات تصاعديًا: 9, 12, 14, 14, 15, 18, 21, 27. 2. نحدد الساق (منزلة العشرات) والورقة (منزلة الآحاد) لكل عدد. 3. نرسم مخطط الساق والورقة بوضع السيقان في عمود والأوراق المقابلة لها مرتبة تصاعديًا.

تلميح: رتب البيانات تصاعديًا أولاً، ثم قسّم كل عدد إلى ساق (العشرات) وورقة (الآحاد).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ناتج الضرب في كلٍّ مما يأتي: ٣/٨ × ٤/٥

• أ) ١٢/٤٠
• ب) ٣/١٠
• ج) ٧/١٣
• د) ١/١٠

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٣/١٠

الشرح: 1. نضرب البسوط: 3 × 4 = 12. 2. نضرب المقامات: 8 × 5 = 40. 3. يصبح الكسر 12/40. 4. نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر وهو 4: 12 ÷ 4 = 3، 40 ÷ 4 = 10. الناتج 3/10.

تلميح: اضرب البسوط في بعضها والمقامات في بعضها، ثم بسّط الكسر الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل