مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: تنزيلات: أعلن محل للملابس الرجالية عن إمكانية الحصول على جوارب مجانية عند شراء الزبون لإحدى القطع من الجدول المجاور. ١) ما احتمال شراء ثوب؟ وما احتمال الحصول على جوارب زرقاء؟

الإجابة: س1: 1/6 = ح(شراء ثوب) ، 1/3 = ح(جوارب زرقاء)

خطوات الحل:

1. | المطلوب | الرمز | الشرح | |----------|-------|--------| | احتمال شراء ثوب | ح(ثوب) | احتمال اختيار ثوب من القطع المعروضة | | احتمال الحصول على جوارب زرقاء | ح(جوارب زرقاء) | احتمال أن تكون الجوارب المجانية زرقاء |
2. **المبدأ المستخدم:** احتمال وقوع حدث = (عدد النتائج المفضلة) / (عدد جميع النتائج الممكنة)
3. 1. **تحديد احتمال شراء ثوب:** - نفرض أن الجدول المجاور يحتوي على 6 قطع ملابس مختلفة (كما هو مستنتج من الإجابة). - إذا كان هناك ثوب واحد فقط بين هذه القطع، فإن: $ح(ثوب) = \frac{1}{6}$
4. 2. **تحديد احتمال الحصول على جوارب زرقاء:** - نفرض أن الجوارب المجانية تأتي بألوان مختلفة، وأن الزرقاء واحدة منها. - إذا كانت الجوارب توزع بالتساوي وكان هناك 3 ألوان (مثلاً)، فإن: $ح(جوارب زرقاء) = \frac{1}{3}$
5. > **ملاحظة:** الأرقام 1/6 و 1/3 مأخوذة من الإجابة المقدمة، ونفترض أنها مستندة إلى معطيات الجدول المرفق بالسؤال الأصلي.
6. ∴ **احتمال شراء ثوب** هو $\frac{1}{6}$، و **احتمال الحصول على جوارب زرقاء** هو $\frac{1}{3}$.

سؤال 2: ٢) ما ناتج ضرب الاحتمالين في السؤال الأول؟

الإجابة: س2: 1/6 × 1/3 = 1/18

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |-----------|--------| | احتمال شراء ثوب (ح(أ)) | $\frac{1}{6}$ | | احتمال الحصول على جوارب زرقاء (ح(ب)) | $\frac{1}{3}$ | | **المطلوب** | ناتج ضرب الاحتمالين: ح(أ) × ح(ب) |
2. **القانون المستخدم:** ضرب الاحتمالات لحوادث مستقلة (إذا كانا مستقلين).
3. **خطوات الحل:** 1. نكتب الاحتمالين: $ح(ثوب) = \frac{1}{6}$ $ح(جوارب\;زرقاء) = \frac{1}{3}$ 2. نضرب الاحتمالين: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{6 \times 3}$ 3. نبسط الناتج: $\frac{1}{18}$
4. > **افتراض:** هنا نعتبر أن الحدثين مستقلين (أي شراء ثوب لا يؤثر على لون الجوارب المجانية)، لذا يمكن ضرب الاحتمالات.
5. ∴ **ناتج ضرب الاحتمالين** هو $\frac{1}{18}$.

سؤال 3: ٣) استعمل الرسم الشجري لتحديد احتمال أن يشتري الشخص ثوبًا ويحصل على جوارب زرقاء.

الإجابة: س3: ح(ثوب وجوارب زرقاء) = 1/18

خطوات الحل:

1. | المعطيات | القيمة | |-----------|--------| | احتمال شراء ثوب | $\frac{1}{6}$ | | احتمال الحصول على جوارب زرقاء | $\frac{1}{3}$ | | **المطلوب** | احتمال أن يشتري ثوبًا ويحصل على جوارب زرقاء: ح(ثوب ∩ جوارب زرقاء) |
2. **المبدأ المستخدم:** الرسم الشجري يوضح جميع النتائج الممكنة، واحتمال مسار معين يساوي حاصل ضرب احتمالات فروعه.
3. **خطوات بناء الرسم الشجري واستخدامه:** 1. **الفرع الأول:** نوع القطعة المشتراة. لنفرض 6 قطع (مثلاً: ثوب، قميص، بنطال، ...). - احتمال اختيار ثوب = 1/6. - احتمال اختيار أي قطعة أخرى = 5/6. 2. **الفرع الثاني:** لون الجوارب المجانية. لنفرض 3 ألوان (أزرق، أحمر، أخضر). - احتمال الحصول على جوارب زرقاء = 1/3. - احتمال الحصول على لون آخر = 2/3. 3. **الرسم الشجري (جزء منه):** - ثوب (1/6) → جوارب زرقاء (1/3) → الناتج: (ثوب، أزرق) باحتمال $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$. - ثوب (1/6) → جوارب غير زرقاء (2/3) → ... - قطع أخرى (5/6) → ... 4. **احتمال المسار المطلوب:** - المسار الوحيد الذي يؤدي لشراء ثوب والحصول على جوارب زرقاء هو الفرع الأول من الفرع الأول. - حسب قاعدة الضرب: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$.
4. ∴ **احتمال أن يشتري ثوبًا ويحصل على جوارب زرقاء** هو $\frac{1}{18}$.

سؤال أ: تحقق من فهمك: استعمل بطاقات الأحرف ومؤشر القرص الدوار في إيجاد احتمال كل مما يأتي: أ) ح(كلا الحرفين أ). ب) ح(الحرفان متماثلان).

الإجابة: س: تحقق من فهمك - ص 69: أ) ح(بطاقة أ) = 1/7 ، ح(مؤشر أ) = 1/6 -> ح(كلاهما أ) = 1/7 × 1/6 = 1/42

خطوات الحل:

1. | المكونات | الوصف | |-----------|--------| | بطاقات الأحرف | تحتوي على أحرف (مثلاً: أ، ب، ج، ...) وعددها 7 بطاقات مختلفة | | مؤشر القرص الدوار | قرص مقسم إلى 6 قطاعات متساوية، كل قطاع يحرفًا (قد يكون هناك تكرار) | | **المطلوب أ** | احتمال أن يكون الحرف المختار من البطاقات هو 'أ' والحرف الذي يشير إليه المؤشر هو 'أ' أيضًا | | **المطلوب ب** | احتمال أن يكون الحرفان متماثلان (أي نفس الحرف من البطاقة والمؤشر) |
2. **المبدأ المستخدم:** احتمال حدثين مستقلين = حاصل ضرب احتمالهما.
3. **أ) احتمال كلا الحرفين 'أ':** 1. **احتمال اختيار بطاقة 'أ':** - عدد البطاقات = 7، إذا كان هناك بطاقة واحدة تحرف 'أ'، فإن: $ح(بطاقة\;أ) = \frac{1}{7}$ 2. **احتمال توقف المؤشر على 'أ':** - القرص الدوار مقسم إلى 6 قطاعات. إذا كان هناك قطاع واحد فقط يحرف 'أ'، فإن: $ح(مؤشر\;أ) = \frac{1}{6}$ 3. **بما أن الحدثين مستقلين:** $ح(كلاهما\;أ) = \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{42}$
4. **ب) احتمال أن يكون الحرفان متماثلان:** 1. **المنهج:** نوجد احتمال التماثل لكل حرف ممكن ثم نجمع. 2. **لنفرض أن الأحرف الممكنة هي: أ، ب، ج، د، هـ، و، ز (7 أحرف مختلفة).** - القرص الدوار به 6 قطاعات، وقد تكون الأحرف مكررة. لكن حسب السياق، نفترض أن كل حرف يظهر مرة واحدة في القرص، لذا هناك 6 أحرف مختلفة من أصل 7. - **لاحظ:** إذا كان الحرف غير موجود في القرص، فلا يمكن أن يكون متماثلاً. 3. **نفترض أن القرص يحتوي على الأحرف: أ، ب، ج، د، هـ، و (6 أحرف).** - احتمال التماثل للحرف 'أ': ح(بطاقة أ) × ح(مؤشر أ) = $\frac{1}{7} \times \frac{1}{6}$ - نفس الحساب للأحرف ب، ج، د، هـ، و: لكل حرف من هذه الأحرف الستة، الاحتمال = $\frac{1}{7} \times \frac{1}{6}$ - الحرف 'ز' غير موجود في القرص، لذا احتمال التماثل له = 0. 4. **نجمع احتمالات التماثل لكل الأحرف:** $6 \times \left( \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} \right) = 6 \times \frac{1}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$
5. > **ملاحظة:** الإجابة المقدمة في النص تغطي الجزء أ فقط. لكن الجزء ب يحتاج إلى افتراضات حول توزيع الأحرف في القرص. هنا افترضنا أن القرص يحتوي على 6 أحرف مختلفة من أصل 7، وأن كل حرف يظهر مرة واحدة.
6. ∴ **أ)** احتمال أن يكون كلا الحرفين 'أ' هو $\frac{1}{42}$. **ب)** احتمال أن يكون الحرفان متماثلين هو $\frac{1}{7}$ (بناءً على الافتراضات المذكورة).

ما تعريف الحوادث المستقلة في علم الاحتمالات؟

• أ) هي الحوادث التي يجب أن تحدث معًا دائمًا.
• ب) هي الحوادث التي لا يؤثر ناتج إحداها في نواتج الحوادث الأخرى.
• ج) هي الحوادث التي يتغير فيها احتمال الحادثة الثانية بناءً على الأولى.
• د) هي الحوادث التي تكون نتائجها متطابقة في كل مرة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هي الحوادث التي لا يؤثر ناتج إحداها في نواتج الحوادث الأخرى.

الشرح: الحوادث المستقلة هي تلك التي يكون فيها وقوع حادثة معينة لا يؤثر على احتمال وقوع حادثة أخرى، سواء كانت قبلها أو بعدها.

تلميح: تذكر العلاقة بين وقوع حادثة وحدوث الأخرى.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الصيغة الرياضية المستخدمة لإيجاد احتمال وقوع حادثتين مستقلتين (أ و ب) معًا؟

• أ) ح (أ و ب) = ح (أ) + ح (ب)
• ب) ح (أ و ب) = ح (أ) ÷ ح (ب)
• ج) ح (أ و ب) = ح (أ) × ح (ب)
• د) ح (أ و ب) = ح (أ) - ح (ب)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ح (أ و ب) = ح (أ) × ح (ب)

الشرح: القانون الأساسي لحساب احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معًا هو ضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية.

تلميح: تذكر العملية الحسابية الأساسية لدمج احتمالات الحوادث المستقلة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في مثال اختيار بطاقة حرف علة وتدوير مؤشر قرص دوار للحصول على حرف علة، كيف يتم إيجاد الاحتمال المركب لكون كلا الحرفين علة، مع العلم أنهما حدثان مستقلان؟

• أ) يتم جمع احتمال اختيار بطاقة حرف علة مع احتمال توقف المؤشر على حرف علة.
• ب) يتم طرح احتمال توقف المؤشر على حرف علة من احتمال اختيار بطاقة حرف علة.
• ج) يتم ضرب احتمال اختيار بطاقة تحمل حرف علة في احتمال توقف المؤشر على حرف علة.
• د) يتم قسمة احتمال اختيار بطاقة حرف علة على احتمال توقف المؤشر على حرف علة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يتم ضرب احتمال اختيار بطاقة تحمل حرف علة في احتمال توقف المؤشر على حرف علة.

الشرح: بما أن الحدثين مستقلان، فإن الاحتمال المركب لوقوعهما معًا يُحسب بضرب احتمال وقوع الحدث الأول (اختيار بطاقة حرف علة) في احتمال وقوع الحدث الثاني (توقف المؤشر على حرف علة).

تلميح: طبق قاعدة الاحتمالات للحوادث المستقلة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في حالة شراء ثوب (احتمال 1/6) والحصول على جوارب زرقاء (احتمال 1/3)، واعتبر الحدثان مستقلين، ما هي الخطوة الأساسية لحساب احتمال شراء ثوب والحصول على جوارب زرقاء معًا؟

• أ) جمع احتمال شراء الثوب (1/6) مع احتمال الحصول على جوارب زرقاء (1/3).
• ب) طرح احتمال الحصول على جوارب زرقاء (1/3) من احتمال شراء الثوب (1/6).
• ج) قسمة احتمال شراء الثوب (1/6) على احتمال الحصول على جوارب زرقاء (1/3).
• د) ضرب احتمال شراء الثوب (1/6) في احتمال الحصول على جوارب زرقاء (1/3).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ضرب احتمال شراء الثوب (1/6) في احتمال الحصول على جوارب زرقاء (1/3).

الشرح: بما أن شراء الثوب والحصول على الجوارب الزرقاء حدثان مستقلان، فإن الاحتمال المركب لهما يُحسب بضرب الاحتمالين الفرديين معًا: P(شراء ثوب وجوارب زرقاء) = P(شراء ثوب) × P(جوارب زرقاء) = (1/6) × (1/3).

تلميح: تذكر كيف تُحسب الاحتمالات المركبة للحوادث المستقلة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط