الربط بالحياة - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 23: تسوق: وجد بقال أن 60% من زبائنه ينفق كل منهم أكثر من 75 ريالاً في كل زيارة، فإذا اشترى شخصان منه، فما احتمال أن ينفق كلاهما أكثر من 75 ريالاً؟

الإجابة: 0.6 × 0.6 = 0.36 = 36% = 9/25

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | الرمز أو القيمة | |--------|----------------| | نسبة الزبائن الذين ينفقون أكثر من 75 ريالاً | $P(>75) = 60\% = 0.6$ | | عدد الأشخاص الذين سيشترون | 2 | | **المطلوب:** احتمال أن ينفق كلاهما أكثر من 75 ريالاً | $P(\text{كلاهما} > 75)$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لأن اختيار الزبائن (أو إنفاقهم) يعتبر **حادثتين مستقلتين**، نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات للحوادث المستقلة: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. احتمال أن ينفق **الشخص الأول** أكثر من 75 ريالاً هو $P_1 = 0.6$. 2. احتمال أن ينفق **الشخص الثاني** أكثر من 75 ريالاً هو $P_2 = 0.6$ (لأن الحادثتين مستقلتان). 3. احتمال أن ينفق **كلاهما** أكثر من 75 ريالاً هو حاصل ضرب الاحتمالين: $$P(\text{كلاهما} > 75) = P_1 \times P_2 = 0.6 \times 0.6$$
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** $$P = 0.36$$ يمكن التعبير عن الإجابة بالصور التالية: - **ككسر عشري:** $0.36$ - **كنسبة مئوية:** $36\%$ - **ككسر اعتيادي:** $\frac{36}{100} = \frac{9}{25}$ ∴ **الاحتمال المطلوب هو $\frac{9}{25}$ أو $36\%$.**

سؤال 24: نقود: لدى هالة 8 قطع معدنية من فئة «نصف ريال» و6 قطع معدنية من فئة «الريال». فإذا سحبت إحدى القطع دون إرجاعها، ثم سحبت قطعة ثانية، فما احتمال أن تكون القطعتان من فئة «نصف ريال»؟ وهل الحادثتان مستقلتان أم لا؟ وضح ذلك.

الإجابة: 8/14 × 7/13 = 4/13. لا، غير مستقلتين (تابعتان)؛ لأن احتمال السحب الثاني يتغير بعد السحب الأول (بدون إرجاع).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | نوع القطعة | العدد | المجموع | |-------------|-------|----------| | نصف ريال | 8 | | | ريال | 6 | | | **الإجمالي** | | **14** | **المطلوب:** 1. احتمال أن تكون القطعتان المسحوبتان (بدون إرجاع) من فئة "نصف ريال". 2. تحديد إذا ما كانت الحادثتان مستقلتين أم لا.
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لأن السحب **بدون إرجاع**، فإن الحادثة الثانية تتأثر بنتيجة الأولى (**حوادث تابعة**). نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات للحوادث التابعة: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية للاحتمال** 1. **السحب الأول:** احتمال سحب قطعة "نصف ريال" أولاً: $$P(\text{نصف ريال}_1) = \frac{8}{14}$$ 2. **بعد السحب الأول** (بدون إرجاع): - تم سحب قطعة "نصف ريال". - يصبح عدد قطع "نصف ريال" المتبقية = $8 - 1 = 7$. - يصبح العدد الإجمالي للقطع المتبقية = $14 - 1 = 13$. 3. **السحب الثاني:** احتمال سحب قطعة "نصف ريال" ثانياً بشرط سحبها أولاً: $$P(\text{نصف ريال}_2 | \text{نصف ريال}_1) = \frac{7}{13}$$ 4. **احتمال الحادثتين معاً:** $$P(\text{كلاهما نصف ريال}) = \frac{8}{14} \times \frac{7}{13} = \frac{56}{182}$$ 5. **تبسيط الكسر:** $$\frac{56 \div 14}{182 \div 14} = \frac{4}{13}$$ > **ملاحظة:** $56 \div 14 = 4$ و $182 \div 14 = 13$.
4. **الخطوة 4: تحديد استقلالية الحادثتين** - لو كانت الحادثتان **مستقلتين**، لكان احتمال السحب الثاني هو نفسه بغض النظر عن نتيجة الأول ($\frac{8}{14}$). - لكن هنا، بعد السحب الأول **تغير** العدد الإجمالي وعدد القطع المطلوبة. لذا، الحادثتان **غير مستقلتين (تابعتان)**.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** 1. **احتمال أن تكون القطعتان من فئة "نصف ريال":** $\frac{4}{13}$. 2. **الحادثتان:** **غير مستقلتين (تابعتان)** لأن السحب تم دون إرجاع، مما يغير احتمال السحب الثاني.

سؤال 25: مسابقات: يربح أحد المتسابقين العشرة سيارة جديدة عن طريق اختيار المفتاح الرابح عشوائيًا من بين عشرة مفاتيح. أوجد احتمال ألا يسحب أول ثلاثة متسابقين المفتاح الرابح.

الإجابة: 9/10 × 8/9 × 7/8 = 7/10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | العدد/القيمة | |--------|--------------| | عدد المفاتيح الإجمالي | 10 | | عدد المفاتيح الرابحة | 1 | | عدد المفاتيح غير الرابحة | 9 | | عدد المتسابقين الذين يسحبون | 3 | | **المطلوب:** احتمال ألا يسحب أول 3 متسابقين المفتاح الرابح | $P(\text{لا رابح في 3 سحبات})$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لأن السحب يتم **بدون إرجاع** (لا يعيد المتسابق المفتاح بعد سحبه)، فإن كل سحب يؤثر على الذي يليه (**حوادث تابعة**). نستخدم قاعدة الضرب للحوادث التابعة: $$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)$$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** نريد ألا يحصل أي من الثلاثة على المفتاح الرابح، أي أن جميع السحبات تكون من المفاتيح **غير الرابحة**. 1. **السحب الأول:** احتمال أن يسحب المتسابق الأول مفتاحًا **غير رابح**: $$P_1 = \frac{9}{10}$$ (لأن هناك 9 مفاتيح غير رابحة من أصل 10). 2. **السحب الثاني:** بشرط أن الأول لم يسحب المفتاح الرابح (أي سحب مفتاحًا غير رابح). يصبح الوضع: - المفاتيح المتبقية: $10 - 1 = 9$ - المفاتيح غير الرابحة المتبقية: $9 - 1 = 8$ $$P_2 = \frac{8}{9}$$ 3. **السحب الثالث:** بشرط أن الأول والثاني لم يسحبا المفتاح الرابح. يصبح الوضع: - المفاتيح المتبقية: $9 - 1 = 8$ - المفاتيح غير الرابحة المتبقية: $8 - 1 = 7$ $$P_3 = \frac{7}{8}$$ 4. **احتمال الحوادث الثلاث معاً:** $$P = \frac{9}{10} \times \frac{8}{9} \times \frac{7}{8}$$ 5. **التبسيط:** نلاحظ إمكانية الاختصار: $$P = \frac{\cancel{9}}{10} \times \frac{8}{\cancel{9}} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{10}$$ (يختصر 9 مع 9، و 8 مع 8).
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** $$P = \frac{7}{10}$$ ∴ **احتمال ألا يحصل أي من أول ثلاثة متسابقين على المفتاح الرابح هو $\frac{7}{10}$.**

سؤال 26: دومينو: تتألف مجموعة الدومينو الاعتيادية من 28 قطعة، كل قطعة منها مكونة من جزأين يحمل كل منهما نقاطًا من (0-6). فإذا كان 7 من هذه القطع تحمل الرقم نفسه على الوجهين. واختار 4 لاعبين قطعة عشوائيًا، فما احتمال أن يختار كل منهم قطعة لها العدد نفسه من النقاط على الجزأين؟

الإجابة: 7/28 × 6/27 × 5/26 × 4/25 = 1/585

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الوصف | العدد/القيمة | |--------|--------------| | إجمالي قطع الدومينو | 28 | | القطع التي لها نفس العدد على الجزأين (مزدوجة) | 7 | | عدد اللاعبين الذين يختارون | 4 | | **المطلوب:** احتمال أن يختار كل لاعب قطعة مزدوجة (لها نفس العدد على الجزأين) | $P(\text{كلهم مزدوج})$ |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لأن اللاعبين يختارون **بدون إرجاع** القطع المختارة، فإن كل اختيار يؤثر على الذي يليه (**حوادث تابعة**). نستخدم قاعدة الضرب للحوادث التابعة: $$P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B) \times P(D|A \cap B \cap C)$$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** نريد أن يختار كل لاعب قطعة مزدوجة. بما أن السحب دون إرجاع، فإن عدد القطع المزدوجة والإجمالي يتناقص بعد كل سحب. 1. **الاختيار الأول:** احتمال أن يختار اللاعب الأول قطعة مزدوجة: $$P_1 = \frac{7}{28}$$ 2. **الاختيار الثاني:** بشرط أن اللاعب الأول قد اختار قطعة مزدوجة. يصبح الوضع: - القطع المزدوجة المتبقية: $7 - 1 = 6$ - إجمالي القطع المتبقية: $28 - 1 = 27$ $$P_2 = \frac{6}{27}$$ 3. **الاختيار الثالث:** بشرط أن اللاعبين الأول والثاني قد اختارا قطعتين مزدوجتين. يصبح الوضع: - القطع المزدوجة المتبقية: $6 - 1 = 5$ - إجمالي القطع المتبقية: $27 - 1 = 26$ $$P_3 = \frac{5}{26}$$ 4. **الاختيار الرابع:** بشرط أن اللاعبين الثلاثة الأول قد اختاروا قطعًا مزدوجة. يصبح الوضع: - القطع المزدوجة المتبقية: $5 - 1 = 4$ - إجمالي القطع المتبقية: $26 - 1 = 25$ $$P_4 = \frac{4}{25}$$ 5. **احتمال الحوادث الأربع معاً:** $$P = \frac{7}{28} \times \frac{6}{27} \times \frac{5}{26} \times \frac{4}{25}$$ 6. **حساب وتبسيط الكسر:** - أولاً: $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$ (بقسمة البسط والمقام على 7). - بالتعويض: $$P = \frac{1}{4} \times \frac{6}{27} \times \frac{5}{26} \times \frac{4}{25}$$ - نلاحظ أن $\frac{1}{4} \times \frac{4}{25} = \frac{1}{25}$ (يختصر 4). - يصبح: $$P = \frac{1}{25} \times \frac{6}{27} \times \frac{5}{26} = \frac{6 \times 5}{25 \times 27 \times 26} = \frac{30}{17550}$$ - نبسط بقسمة البسط والمقام على 30: $$\frac{30 \div 30}{17550 \div 30} = \frac{1}{585}$$
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** $$P = \frac{1}{585}$$ ∴ **احتمال أن يختار كل لاعب قطعة مزدوجة هو $\frac{1}{585}$.**

سؤال 27: طقس: توقعت الهيئة العامة للأرصاد أن فرصة هطول الأمطار يوم الاثنين هي 80%، وأن فرصة هطول الأمطار يوم الثلاثاء هي 30%، أوجد احتمال هطول الأمطار يومي الإثنين والثلاثاء؟ افترض أن الحادثتين مستقلتان.

الإجابة: 0.8 × 0.3 = 0.24 = 24% = 6/25

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | اليوم | فرصة هطول الأمطار (الاحتمال) | |--------|--------------------------------| | الاثنين | $80\% = 0.8$ | | الثلاثاء | $30\% = 0.3$ | **افتراض:** الحادثتان **مستقلتان** (هطول الأمطار في يوم لا يؤثر على الآخر). **المطلوب:** احتمال هطول الأمطار في **كلا اليومين** (الإثنين والثلاثاء).
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** لأن الحادثتين **مستقلتان** (حسب افتراض المسألة)، نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات للحوادث المستقلة: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** 1. احتمال هطول الأمطار يوم الإثنين: $P(\text{إثنين}) = 0.8$ 2. احتمال هطول الأمطار يوم الثلاثاء: $P(\text{ثلاثاء}) = 0.3$ 3. احتمال هطول الأمطار في كلا اليومين هو حاصل ضرب الاحتمالين: $$P(\text{إثنين وثلاثاء}) = 0.8 \times 0.3$$
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** $$P = 0.24$$ يمكن التعبير عن الإجابة بالصور التالية: - **ككسر عشري:** $0.24$ - **كنسبة مئوية:** $24\%$ - **ككسر اعتيادي:** $\frac{24}{100} = \frac{6}{25}$ ∴ **احتمال هطول الأمطار يومي الإثنين والثلاثاء هو $\frac{6}{25}$ أو $24\%$.**

سؤال 28: مسألة مفتوحة: يوجد في صندوق 9 كرات بثلاثة ألوان مختلفة. اكتب مسألة تتعلق بسحب كرتين عشوائيًا دون إرجاعهما إلى الصندوق على أن يكون الاحتمال 1/6.

الإجابة: س28: مثال لمسألة مناسبة: «في صندوق 9 كرات: 3 حمراء، 4 زرقاء، 2 خضراء. إذا سحبت كرتين عشوائيًا دون إرجاع، ما احتمال أن تكون الأولى حمراء والثانية زرقاء؟» (ويكون الاحتمال 1/6).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المطلوب** المطلوب كتابة مسألة واقعية تتوافق مع المعطى التالي: - **إجمالي الكرات:** 9 كرات. - **الألوان:** 3 ألوان مختلفة. - **حدث السحب:** سحب كرتين **عشوائيًا** و **بدون إرجاع**. - **الاحتمال المطلوب في المسألة:** أن يكون $\frac{1}{6}$.
2. **الخطوة 2: تحليل لإنشاء المسألة** لكي يكون الاحتمال $\frac{1}{6}$ لحدث معين (مثل سحب كرتين بلونين محددين بالترتيب)، نحتاج لتوزيع مناسب للألوان. لنفرض الألوان وعدد الكرات: - أحمر: $a$ كرات - أزرق: $b$ كرات - أخضر: $c$ كرات حيث $a + b + c = 9$. لنبحث عن حدث بسيط، مثل: "سحب كرة حمراء أولاً ثم كرة زرقاء ثانيًا". احتماله = $\frac{a}{9} \times \frac{b}{8} = \frac{ab}{72}$. نريد $\frac{ab}{72} = \frac{1}{6}$. بضرب الطرفين في 72: $ab = 12$. نحتاج عددين صحيحين موجبين $a$ و $b$ مجموعهما مع $c$ أقل من أو يساوي 9. **اختيار مقترح:** $a=3, b=4$، عندها $ab=12$، و $c = 9 - (3+4) = 2$. هذا التوزيع منطقي: 3 حمراء، 4 زرقاء، 2 خضراء.
3. **الخطوة 3: كتابة المسألة المقترحة** «في صندوق 9 كرات: 3 حمراء، 4 زرقاء، 2 خضراء. إذا سحبت كرتين عشوائيًا من الصندوق **دون إرجاع** الكرة الأولى قبل سحب الثانية، فما احتمال أن تكون الكرة الأولى **حمراء** والثانية **زرقاء**؟»
4. **الخطوة 4: التحقق من صحة المسألة** 1. احتمال سحب حمراء أولاً: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. 2. بعد سحب حمراء (بدون إرجاع)، يتبقى 8 كرات: (2 حمراء، 4 زرقاء، 2 خضراء). 3. احتمال سحب زرقاء ثانيًا بشرط سحب حمراء أولاً: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. 4. احتمال الحدثين معًا: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. وهذا مطابق للاحتمال المطلوب في السؤال.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** تم كتابة مسألة تناسب المعطيات وتنتج الاحتمال $\frac{1}{6}$. **مسألة مقترحة:** > في صندوق 9 كرات: 3 حمراء، 4 زرقاء، 2 خضراء. إذا سحبت كرتين عشوائيًا دون إرجاع، ما احتمال أن تكون الأولى حمراء والثانية زرقاء؟ **الجواب على المسألة المقترحة هو $\frac{1}{6}$.**

سؤال 29: اكتشف الخطأ: تم تدوير القرص الدوار المجاور مرتين. وحسبت كل من منال وسارة احتمال أن يقف المؤشر على عدد زوجي في المرتين. فأيهما كانت على صواب؟ وضح إجابتك.

الإجابة: سارة هي الصحيحة؛ لأن P(الزوجي) = 2/5، وبالتالي P(الزوجي في المرتين) = 2/5 × 2/5 = 4/25.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم السؤال والتحقق من المعطيات الضمنية** السؤال يشير إلى قرص دوار مجاور (غير موضح هنا)، لكن الإجابة المرفقة تكشف أن: - **$P(\text{عدد زوجي}) = \frac{2}{5}$.** هذا يعني أن على القرص 5 نتائج محتملة متساوية، منها نتيجتان فقط تحملان أعدادًا زوجية.
2. **الخطوة 2: المطلوب وتطبيق القانون** **المطلوب:** حساب احتمال أن يقف المؤشر على عدد زوجي **في كل من المرتين** عند تدوير القرص مرتين. **القانون:** بما أن تدوير القرص في المرة الثانية لا يتأثير بنتيجة الأولى (إرجاع الحالة الابتدائية)، فإن الحادثتين **مستقلتان**. نستخدم قاعدة الضرب: $$P(\text{زوجي في المرتين}) = P(\text{زوجي}) \times P(\text{زوجي})$$
3. **الخطوة 3: حساب الاحتمال الصحيح** 1. احتمال الحصول على عدد زوجي في دورة واحدة: $\frac{2}{5}$. 2. احتمال الحصول على عدد زوجي في دورة ثانية (مستقلة): $\frac{2}{5}$. 3. الاحتمال المشترك: $$P = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$$ > هذا هو الحل الذي توصلت إليه **سارة**.
4. **الخطوة 4: اكتشاف الخطأ ومقارنة الإجابات** - **منال:** حسبت خطأ (لم تذكر إجابتها، لكن يبدو أنها استخدمت قيمة خاطئة لـ $P(\text{زوجي})$، مثل $\frac{1}{2}$ أو جمعت الاحتمالات بدلاً من ضربها). - **سارة:** حسبت بشكل صحيح باستخدام $\frac{2}{5}$ وضربت الاحتمالات. **السبب:** سارة فهمت أن الاحتمال في كل مرة هو $\frac{2}{5}$ وأن الحادثتين مستقلتان، لذا ضربت $\frac{2}{5} \times \frac{2}{5}$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** **سارة هي على صواب.** الاحتمال الصحيح هو $\frac{4}{25}$، لأن $P(\text{زوجي}) = \frac{2}{5}$ للحادثة المستقلة، و $P(\text{الزوجي في المرتين}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$.

سؤال 30: تحد: حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة أم خاطئة، وإذا كانت خاطئة، فأعط مثالاً مضادًا: «إذا كانت الحادثتان مستقلتين، فإن احتمالهما معًا أقل من 1».

الإجابة: X خطأ. مثال مضاد: إذا كانت P(A) = 1 و P(B) = 1 (حادثتان مؤكدتان)، فهما مستقلتان و P(A ∩ B) = 1 (ليس أقل من 1).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل الجملة** الجملة: **«إذا كانت الحادثتان مستقلتين، فإن احتمالهما معًا أقل من 1».** نريد اختبار صحتها. الجملة من الصيغة "إذا كان (p) فإن (q)"، حيث: - (p): الحادثتان مستقلتان. - (q): $P(A \cap B) < 1$. لكي تكون **خاطئة**، يجب أن نجد حالة (مثال مضاد) حيث (p) صحيحة لكن (q) **غير صحيحة** (أي $P(A \cap B) \geq 1$). لكن الاحتمال لا يمكن أن يتعدى 1، لذا نبحث عن حالة حيث $P(A \cap B) = 1$.
2. **الخطوة 2: تذكر قاعدة استقلال الحوادث** إذا كانت الحادثتان $A$ و $B$ مستقلتين، فإن: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
3. **الخطوة 3: البحث عن مثال مضاد** نريد $P(A \cap B) = 1$. لحصول ذلك، يجب أن يكون $P(A) \times P(B) = 1$. نظرًا لأن الاحتمال القصوى هو 1، فإن ذلك يتحقق **فقط إذا** كان $P(A) = 1$ **و** $P(B) = 1$. **ماذا يعني $P(A)=1$؟** هذا يعني أن الحادثة $A$ **مؤكدة** الوقوع (مثل: "النهار يتبع الليل"). لنفرض: - $A$: حادثة مؤكدة، $P(A)=1$. - $B$: حادثة مؤكدة أخرى، $P(B)=1$. هل $A$ و $B$ مستقلتان؟ - نعم، حادثتان مؤكدتان تعتبران مستقلتين رياضياً، لأن معرفة وقوع إحداهما لا تغير احتمال الأخرى (فهو 1 في كل الأحوال). - $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1 \times 1 = 1$. هنا، $P(A \cap B) = 1$، وليس أقل من 1. هذا **ينفي** الجملة الأصلية.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية** - **الجملة الأصلية:** **خاطئة**. - **التبرير:** وجدنا مثالاً مضاداً. **المثال المضاد:** > لتكن $A$ و $B$ حادثتين مؤكدتين (احتمال كل منهما = 1)، مثل: > - $A$: "النهار يتبع الليل". > - $B$: "الشمس تشرق من الشرق". > هاتان الحادثتان مستقلتان (معرفتنا بإحداهما لا تغير احتمال الأخرى). > لكن احتمال وقوعهما معًا هو: > $$P(A \cap B) = 1 \times 1 = 1$$ > وهذا **ليس أقل من 1**، بل يساوي 1. لذلك، العبارة السابقة **غير صحيحة** بشكل مطلق.

سؤال 31: اكتب ما الفرق بين الحادثتين المستقلتين وغير المستقلتين؟

الإجابة: س31: - حادثتان مستقلتان: وقوع إحداهما لا يغير احتمال الأخرى، و P(A ∩ B) = P(A) . P(B). - حادثتان غير مستقلتين (تابعتان): وقوع إحداهما يغير احتمال الأخرى (مثل السحب دون إرجاع).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تقديم المفهوم** الفرق الأساسي بين الحادثتين المستقلتين وغير المستقلتين (التابعتين) يكمن في **تأثير وقوع إحداهما على احتمال وقوع الأخرى**.
2. **الخطوة 2: مقارنة باستخدام جدول** | الميزة | الحادثتان **المستقلتان** | الحادثتان **غير المستقلتان (تابعتان)** | |---------|--------------------------|-------------------------------------| | **التعريف** | وقوع حادثة **لا يؤثر** على احتمال وقوع الحادثة الأخرى. | وقوع حادثة **يؤثر** على احتمال وقوع الحادثة الأخرى (يغيره). | | **القاعدة الرياضية** | $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ | $P(A \cap B) = P(A) \times P(B\|A)$ أو $P(B) \times P(A\|B)$ | | **شرطية الاحتمال** | $P(B\|A) = P(B)$ و $P(A\|B) = P(A)$ | $P(B\|A) \neq P(B)$ و/أو $P(A\|B) \neq P(A)$ | | **أمثلة واقعية** | - رمي حجر النرد مرتين.<br>- رمي قطعة نقود وتدوير قرص.<br>- هطول المطر في مدينتين بعيدتين. | - سحب كرتين من صندوق **دون إرجاع** الأولى.<br>- اختيار رئيس ونائب من مجموعة أشخاص.<br>- الإجابة على سؤالين مترابطين في اختبار. | | **السبب في التبعية** | لا توجد علاقة سببية أو اعتماد بين مخرجات التجربة. | وجود اعتماد أو نقصان في المجموعة الأصلية (بدون إرجاع) أو علاقة منطقية. |
3. **الخطوة 3: شرح إضافي بأمثلة** 1. **مثال للاستقلال:** - حدث أ: ظهور صورة عند رمي قطعة نقود. $P(A)=\frac{1}{2}$. - حدث ب: ظهور العدد 4 عند رمي حجر النرد. $P(B)=\frac{1}{6}$. - $P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. - معرفة نتيجة قطعة النقود لا تغير احتمال ظهور العدد 4 على النرد. 2. **مثال للتبعية:** - صندوق به 3 كرات حمراء و2 زرقاء (المجموع 5). - حدث أ: سحب كرة حمراء أولاً (بدون إرجاع). $P(A)=\frac{3}{5}$. - حدث ب: سحب كرة حمراء ثانياً. - بعد سحب حمراء أولاً، يتبقى 2 حمراء و2 زرقاء. - لذا، $P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$، بينما $P(B)$ بدون شرط هي $\frac{3}{5}$. - لأن $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}$، فالحدثان **تابعان**.
4. **الخطوة 4: الإجابة النهائية (ملخصة)** - **الحادثتان المستقلتان:** احتمال وقوع أحدهما **لا يتغير** بمعرفة وقوع الآخر. وقوعهما معًا يحسب بضرب احتمالهما الفردي. - **الحادثتان غير المستقلتان (التابعتان):** احتمال وقوع إحداهما **يتغير** بمعرفة وقوع الأخرى. وقوعهما معًا يحسب بضرب احتمال الأولى في احتمال الثانية **بشرط وقوع الأولى**. **الفرق الجوهري هو في تغير أو ثبات الاحتمال الشرطي.**

تسوق : وجد بقال أن ٦٠٪ من زبائنه ينفق كل منهم أكثر من ٧٥ ريالا في كل زيارة، فإذا اشترى شخصان منه، فما احتمال أن ينفق كلاهما أكثر من ٧٥ ريالا ؟

• أ) 60%
• ب) 120%
• ج) 36%
• د) 64%

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 36%

الشرح: 1. نحول النسبة المئوية إلى كسر عشري: 60% = 0.6 2. بما أن الحدثين مستقلين (الشخص الأول لا يؤثر على الثاني)، نضرب الاحتمالين: 0.6 × 0.6 = 0.36 3. نحول الناتج إلى نسبة مئوية: 0.36 × 100% = 36%

تلميح: تذكر قاعدة ضرب الاحتمالات للحوادث المستقلة. حول النسبة المئوية إلى كسر عشري قبل الضرب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

نقود : لدى هالة ۸ قطع معدنية من فئة «نصف ريال» و٦ قطع معدنية من فئة «الريال». فإذا سحبت إحدى القطع دون إرجاعها، ثم سحبت قطعة ثانية، فما احتمال أن تكون القطعتان من فئة «نصف ريال»؟ وهل الحادثتان مستقلتان أم لا ؟ وضح ذلك.

• أ) الاحتمال هو $\frac{16}{49}$، والحادثتان مستقلتين.
• ب) الاحتمال هو $\frac{4}{13}$، والحادثتان غير مستقلتين.
• ج) الاحتمال هو $\frac{4}{13}$، والحادثتان مستقلتين.
• د) الاحتمال هو $\frac{8}{14}$، والحادثتان غير مستقلتين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الاحتمال هو $\frac{4}{13}$، والحادثتان غير مستقلتين.

الشرح: 1. إجمالي القطع: 8 + 6 = 14 قطعة. 2. احتمال سحب نصف ريال أولاً: $\frac{8}{14}$. 3. بعد سحب قطعة (دون إرجاع)، يتبقى 7 قطع نصف ريال من إجمالي 13 قطعة. 4. احتمال سحب نصف ريال ثانياً: $\frac{7}{13}$. 5. الاحتمال الكلي: $\frac{8}{14} \times \frac{7}{13} = \frac{56}{182} = \frac{4}{13}$. 6. الحادثتان غير مستقلتين لأن السحب دون إرجاع يغير احتمال السحب الثاني.

تلميح: عند السحب دون إرجاع، يتغير العدد الكلي للعناصر وعدد العناصر المطلوبة بعد كل سحب. فكر في تأثير السحب الأول على الثاني.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

مسابقات : يربح أحد المتسابقين العشرة سيارة جديدة عن طريق اختيار المفتاح الرابح عشوائيا من بين عشرة مفاتيح. أوجد احتمال ألا يسحب أول ثلاثة متسابقين المفتاح الرابح.

• أ) $\frac{9}{100}$
• ب) $\frac{729}{1000}$
• ج) $\frac{7}{10}$
• د) $\frac{1}{10}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $\frac{7}{10}$

الشرح: 1. عدد المفاتيح الكلي: 10، عدد المفاتيح غير الرابحة: 9. 2. احتمال ألا يسحب المتسابق الأول المفتاح الرابح: $\frac{9}{10}$. 3. بعد السحب الأول (دون إرجاع)، يتبقى 9 مفاتيح، منها 8 غير رابحة. احتمال ألا يسحب الثاني المفتاح الرابح: $\frac{8}{9}$. 4. بعد السحب الثاني، يتبقى 8 مفاتيح، منها 7 غير رابحة. احتمال ألا يسحب الثالث المفتاح الرابح: $\frac{7}{8}$. 5. الاحتمال الكلي: $\frac{9}{10} \times \frac{8}{9} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{10}$ بعد التبسيط.

تلميح: احسب احتمال عدم سحب المفتاح الرابح في كل مرة، وتذكر أن السحب يتم دون إرجاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

دومينو: تتألف مجموعة الدومينو الاعتيادية من ۲۸ قطعة، كل قطعة منها مكونة من جزأين يحمل كل منهما نقاطا من (٠-٦). فإذا كان 7 من هذه القطع تحمل الرقم نفسه على الوجهين. واختار ٤ لاعبين قطعة عشوائيا، فما احتمال أن يختار كل منهم قطعة لها العدد نفسه من النقاط على الجزأين؟

• أ) $\frac{1}{256}$
• ب) $\frac{1}{100}$
• ج) $\frac{1}{585}$
• د) $\frac{7}{28}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $\frac{1}{585}$

الشرح: 1. احتمال أن يختار اللاعب الأول قطعة مزدوجة: $\frac{7}{28}$. 2. احتمال أن يختار اللاعب الثاني قطعة مزدوجة (بعد أن اختار الأول): $\frac{6}{27}$. 3. احتمال أن يختار اللاعب الثالث قطعة مزدوجة: $\frac{5}{26}$. 4. احتمال أن يختار اللاعب الرابع قطعة مزدوجة: $\frac{4}{25}$. 5. الاحتمال الكلي: $\frac{7}{28} \times \frac{6}{27} \times \frac{5}{26} \times \frac{4}{25} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{27} \times \frac{5}{26} \times \frac{4}{25} = \frac{1}{585}$.

تلميح: احسب احتمال سحب قطعة مزدوجة لكل لاعب، وتذكر أن كل سحب ينقص العدد الكلي للقطع وعدد القطع المزدوجة المتبقية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

طقس : توقعت الهيئة العامة للأرصاد أن فرصة هطول الأمطار يوم الإثنين هي ٨٠٪، وأن فرصة هطول الأمطار يوم الثلاثاء هي ٣٠٪، أوجد احتمال هطول الأمطار يومي الإثنين والثلاثاء ؟ افترض أن الحادثتين مستقلتان.

• أ) 110%
• ب) 50%
• ج) 24%
• د) 14%

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 24%

الشرح: 1. نحول النسب المئوية إلى كسور عشرية: P(الاثنين) = 80% = 0.8، P(الثلاثاء) = 30% = 0.3. 2. بما أن الحادثتين مستقلتان، نضرب الاحتمالين: 0.8 × 0.3 = 0.24. 3. نحول الناتج إلى نسبة مئوية: 0.24 × 100% = 24%.

تلميح: تذكر أن الاحتمال الكلي لوقوع حادثتين مستقلتين معاً هو حاصل ضرب احتماليهما الفرديين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

هل الجملة الآتية صحيحة أم خاطئة: «إذا كانت الحادثتان مستقلتين، فإن احتمالهما معًا أقل من 1»؟

• أ) صحيحة
• ب) خاطئة
• ج) صحيحة أحيانًا
• د) لا يمكن تحديد ذلك

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: خاطئة

الشرح: 1. الجملة تفيد بأن احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معاً (P(A ∩ B)) يجب أن يكون دائماً أقل من 1. 2. إذا كانت الحادثتان A و B مؤكدتين، فإن P(A) = 1 و P(B) = 1. 3. الحادثتان المؤكدتان تعتبران مستقلتين رياضياً. 4. في هذه الحالة، P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1 × 1 = 1. 5. بما أن 1 ليس أقل من 1، فالجملة الأصلية خاطئة لوجود مثال مضاد.

تلميح: فكر في الحوادث المؤكدة (التي احتمال وقوعها 1) وماذا يعني استقلالها.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب

أي مما يلي يصف الفرق الجوهري بين الحادثتين المستقلتين وغير المستقلتين (التابعتين)؟

• أ) الحادثتان المستقلتان دائمًا تحدثان معًا، بينما غير المستقلتين لا يمكن أن تحدثا معًا.
• ب) الحادثتان المستقلتان لا يؤثر وقوع إحداهما على احتمال الأخرى، بينما في الحادثتين غير المستقلتين يتغير الاحتمال بعد وقوع الأولى.
• ج) الحادثتان المستقلتان تستخدمان فقط في السحب بإرجاع، بينما غير المستقلتين تستخدمان في السحب دون إرجاع.
• د) الحادثتان المستقلتان يكون احتمالهما أكبر من 0.5، بينما غير المستقلتين احتمالهما أقل من 0.5.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الحادثتان المستقلتان لا يؤثر وقوع إحداهما على احتمال الأخرى، بينما في الحادثتين غير المستقلتين يتغير الاحتمال بعد وقوع الأولى.

الشرح: 1. الحادثتان المستقلتان: وقوع إحداهما لا يغير احتمال وقوع الحادثة الأخرى. القاعدة الرياضية هي P(A ∩ B) = P(A) × P(B). 2. الحادثتان غير المستقلتين (التابعتان): وقوع إحداهما يغير احتمال وقوع الحادثة الأخرى. القاعدة الرياضية هي P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

تلميح: ركّز على كيفية تأثير وقوع حادثة على احتمال وقوع حادثة أخرى.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: سهل

أي من توزيعات الكرات والأسئلة التالية ينتج احتمال 1/6 عند سحب كرتين عشوائيًا دون إرجاع من صندوق يحتوي على 9 كرات بثلاثة ألوان مختلفة؟

• أ) صندوق به 2 كرات حمراء، 3 زرقاء، و4 خضراء. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
• ب) صندوق به 4 كرات حمراء، 2 زرقاء، و3 خضراء. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
• ج) صندوق به 3 كرات حمراء، 4 زرقاء، و2 خضراء. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
• د) صندوق به 3 كرات حمراء، 3 زرقاء، و3 خضراء. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: صندوق به 3 كرات حمراء، 4 زرقاء، و2 خضراء. ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟

الشرح: ١. الخيار الصحيح هو C: صندوق به 3 حمراء، 4 زرقاء، 2 خضراء (مجموع 9). ٢. احتمال سحب كرة حمراء أولاً: P(حمراء أولى) = 3/9. ٣. بعد سحب حمراء واحدة دون إرجاع، يتبقى 8 كرات في الصندوق (منها 4 زرقاء). ٤. احتمال سحب كرة زرقاء ثانياً بشرط سحب حمراء أولاً: P(زرقاء ثانية | حمراء أولى) = 4/8. ٥. الاحتمال الكلي = (3/9) × (4/8) = (1/3) × (1/2) = 1/6.

تلميح: تذكر أن الاحتمال الشرطي يتغير عندما يكون السحب دون إرجاع. احسب (عدد الكرات من اللون الأول / الإجمالي) × (عدد الكرات من اللون الثاني المتبقية / الإجمالي المتبقي).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط