الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال نشاط: نشاط: اسحب كرة من صندوق يحوي ١٠ كرات من ألوان مختلفة، ثم سجّل اللون وأعد الكرة إلى الصندوق، وكرّر العملية ٥٠ مرة. ١) أوجد النسبة (عدد مرات السحب لكل لون / عدد مرات السحب الكلي). ٢) هل يمكن ألا تُسحب كرة ذات لون محدد من الصندوق على الرغم من تكرار السحب؟ ٣) افتح الصندوق وعدّ الكرات وأوجد النسبة (عدد الكرات من كل لون / عدد الكرات الكلي) لكل لون من الكرات. ٤) هل النسبة في السؤال الأول تساوي النسبة في السؤال الثالث؟ وضّح ذلك.

الإجابة: ١) س ١: النسبة (الاحتمال التجريبي) لكل لون = عدد مرات سحب ذلك اللون / ٥٠. ٢) س ٢: نعم، يمكن ذلك؛ لأن النتائج التجريبية قد لا يظهر فيها لون معين في عدد محدود من المحاولات. ٣) س ٣: النسبة (الاحتمال النظري) لكل لون = عدد كرات ذلك اللون / ١٠. ٤) س ٤: ليس بالضرورة متساوية؛ لأن النسبة في (١) تجريبية وقد تختلف من تجربة لأخرى، لكنها تقترب من النسبة النظرية في (٣) كلما زاد عدد مرات السحب.

خطوات الحل:

1. | المطلوب | الوصف | |----------|--------| | س١ | حساب النسبة (الاحتمال التجريبي) لكل لون بعد 50 محاولة. | | س٢ | التحقق من إمكانية عدم سحب لون معين رغم التكرار. | | س٣ | حساب النسبة (الاحتمال النظري) لكل لون بناءً على محتويات الصندوق. | | س٤ | مقارنة الاحتمال التجريبي بالنظري وتفسير الفرق. |
2. **المفاهيم المستخدمة:** 1. **الاحتمال التجريبي (أو التكراري):** $P(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد مرات حدوث الحدث}}{\text{عدد مرات التجربة الكلية}}$ 2. **الاحتمال النظري (أو القبلي):** $P(\text{حدث}) = \frac{\text{عدد النتائج المفضلة للحدث}}{\text{عدد النتائج الممكنة الكلية}}$
3. **الحل التفصيلي:** **الجزء الأول (س١):** 1. بعد إجراء التجربة (سحب وإرجاع 50 مرة)، نحصل على جدول ببيانات مثل: | اللون | عدد مرات الظهور | |---|---| | أحمر | 6 | | أزرق | 9 | | ... | ... | 2. لحساب النسبة (الاحتمال التجريبي) للون الأحمر: $$P_{\text{تجريبي}}(\text{أحمر}) = \frac{6}{50} = 0.12 \text{ أو } 12\%$$ 3. تُكرر هذه العملية لكل لون ظهر في السجلات. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة توضح الصيغة العامة: **الاحتمال التجريبي لكل لون = (عدد مرات سحب ذلك اللون) ÷ 50**.
4. **الجزء الثاني (س٢):** 1. نعم، من الممكن **ألا تُسحب** كرة بلون محدد مطلقاً خلال الـ 50 محاولة. 2. السبب: التجربة عملية **عشوائية**. الاحتمال التجريبي يُحسب من نتائج فعلية قد لا تعكس كل الاحتمالات النظرية، خاصة إذا كان **عدد المحاولات محدوداً**. 3. مثال: احتمال عدم سحب لون معين (رغم وجوده) في 50 محاولة ليس صفراً، ولكنه احتمال ضئيل قد يحدث. > **تذكير:** السحب **مع الإرجاع** يحافظ على ثبات عدد الكرات (10) في كل محاولة، ولكن لا يضمن ظهور كل الألوان.
5. **الجزء الثالث (س٣):** 1. نفتح الصندوق و**نعد الكرات فعلياً**. لنفرض أن العدّ أعطى النتيجة التالية: | اللون | عدد الكرات في الصندوق | |---|---| | أحمر | 3 | | أزرق | 2 | | أخضر | 5 | 2. الاحتمال النظري لسحب كرة حمراء (بدون تجربة) هو: $$P_{\text{نظري}}(\text{أحمر}) = \frac{\text{عدد الكرات الحمراء}}{\text{العدد الكلي للكرات}} = \frac{3}{10} = 0.3$$ 3. تُكرر هذه العملية لكل لون موجود في الصندوق. > **ملاحظة:** الإجابة المعطاة توضح الصيغة: **الاحتمال النظري لكل لون = (عدد كرات ذلك اللون) ÷ 10**.
6. **الجزء الرابع (س٤):** 1. **ليس بالضرورة أن تتساوى** النسبتان (الاحتمال التجريبي من س١ والاحتمال النظري من س٣). 2. **السبب:** - **الاحتمال النظري** ثابت ويعتمد على تركيزة الصندوق الأصلية (مثال: 3/10 للأحمر). - **الاحتمال التجريبي** متغير ويعتمد على **الصدفة** في التجربة العملية المحددة (مثال: 6/50 للأحمر). 3. **قانون الأعداد الكبيرة:** كلما **زاد عدد مرات السحب** (مثلاً 5000 بدلاً من 50)، فإن الاحتمال التجريبي **يقترب أكثر فأكثر** من الاحتمال النظري. **الإجابة النهائية بصياغة تعليمية:** 1. **الاحتمال التجريبي** لكل لون هو ناتج قسمة عدد مرات ظهوره خلال 50 تجربة على العدد 50. 2. **نعم، يمكن** ألا يظهر لون معين في سلسلة تجارب محدودة، لأن العشوائية لا تضمن توزيعاً مثالياً في عدد قليل من المحاولات. 3. **الاحتمال النظري** لكل لون هو ناتج قسمة عدد كرات هذا اللون داخل الصندوق على العدد الكلي للكرات (10). 4. **النتيجتان غير متساويتين بالضرورة**؛ فالاحتمال التجريبي تقدير عملي قابل للتغير، بينما النظري قيمة ثابتة وحقيقية، وعادة ما تتقارب القيمة التجريبية من النظرية عند تكرار التجربة مرات عديدة جداً.

سؤال تحقق من فهمك: تحقق من فهمك: أ) بالرجوع إلى الرسم أعلاه واعتمادًا على الاحتمال التجريبي، ما المجموع الذي له فرصة حدوث كبيرة؟ ب) ما الاحتمال التجريبي لاستعمال ساعة اليد لمعرفة الوقت؟ ج) دراسة إحصائية: أُجريت دراسة حديثة على ١٥٠ شخصًا، فأجاب ١٨ شخصًا منهم بأنهم يستعملون اليد اليسرى، فإذا أُجريت هذه الدراسة على ٢٥٠٠ شخص، فكم تتوقع عدد الأشخاص الذين يستعملون اليد اليسرى منهم؟

الإجابة: أ) ج: المجموع ٨. ب) ٥٧/٣٠٠ = ١٩/١٠٠ = ٠,١٩ ≈ ١٩٪. ج) ١٨/١٥٠ = س/٢٥٠٠ => س = ٣٠٠ شخصاً.

خطوات الحل:

1. | الجزء | المعطيات | المطلوب | |--------|----------|----------| | أ | رسم بياني (أو جدول) لتكرارات مجاميع نواتج رمي مكعبين. | تحديد المجموع ذي **أعلى تكرار (احتمال تجريبي أكبر)**. | | ب | من دراسة: من بين 300 شخص، كان **57 شخصاً** يستعملون ساعة اليد لمعرفة الوقت. | حساب **الاحتمال التجريبي** لهذه الحالة. | | ج | عينة: 150 شخص → 18 أعسر. | **توقع** عدد العسران في مجتمع أكبر (2500 شخص) بنفس النسبة. |
2. **القوانين والمبادئ المستخدمة:** 1. **الاحتمال التجريبي:** $P = \frac{\text{عدد مرات حدوث الحدث}}{\text{عدد مرات إجراء التجربة (أو حجم العينة)}}$ 2. **التناسب الطردي:** إذا كانت النسبة ثابتة، فإن $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ، ومنها يمكن إيجاد المجهول.
3. **الحل التفصيلي للجزء (أ):** 1. نفترض أن الرسم البياني المذكور (غير موجود هنا، ولكن الإجابة المعطاة تشير إليه) يوضح **عدد مرات ظهور** كل مجموع عند رمي مكعبين. 2. **الفرصة الكبيرة للحدوث** تعني **أعلى قيمة للتكرار** (أعلى احتمال تجريبي). 3. حسب الإجابة المعطاة، المجموع الذي له فرصة حدوث كبيرة هو **المجموع 8**. 4. تفسير ذلك: المجموع 8 ظهر **أكثر عدد من المرات** في التجربة العملية المسجلة في الرسم، مما يعني أن احتماله التجريبي هو الأعلى. > **ملاحظة:** في التجارب العملية لرمي مكعبين، المجموع 7 هو الأكثر احتمالاً نظرياً (6 طرق من أصل 36)، ولكن السؤال يعتمد على **الرسم المعطى (بيانات تجريبية)** وليس الاحتمال النظري.
4. **الحل التفصيلي للجزء (ب):** 1. **المعطى:** من الدراسة، عدد الأشخاص الذين يستعملون ساعة اليد = **57** شخصاً من أصل **300** شخص. 2. **المطلوب:** الاحتمال التجريبي لاستعمال ساعة اليد. 3. **الحل:** $$P = \frac{57}{300}$$ 4. نبسط الكسر: - نقسم البسط والمقام على 3: $\frac{57 \div 3}{300 \div 3} = \frac{19}{100}$ 5. **التحويل إلى نسبة مئوية:** $$\frac{19}{100} = 0.19 = 19\%$$ > **النتيجة:** الاحتمال التجريبي هو **19٪**، أي من بين كل 100 شخص في هذه العينة، يُتوقع أن 19 شخصاً يستخدمون ساعة اليد لمعرفة الوقت.
5. **الحل التفصيلي للجزء (ج):** 1. **المعطى:** - حجم العينة الأولى: $n_1 = 150$ شخصاً. - عدد العسران في العينة الأولى: $x_1 = 18$ شخصاً. - حجم المجتمع/العينة الجديدة: $n_2 = 2500$ شخصاً. 2. **المطلوب:** العدد المتوقع للعسران في المجتمع الجديد، فلنسميه $x_2$. 3. **المبدأ:** نفترض أن **النسبة (الاحتمال التجريبي) ثابتة** وتُمثل المجتمع. أي: $$\frac{x_1}{n_1} = \frac{x_2}{n_2}$$ 4. **نطبق التناسب:** $$\frac{18}{150} = \frac{x_2}{2500}$$ 5. **نحل المعادلة لإيجاد $x_2$:** - نجد قيمة الطرف الأيسر أولاً: $\frac{18}{150} = \frac{3}{25}$ (بالقسمة على 6). - إذن: $\frac{3}{25} = \frac{x_2}{2500}$ - نضرب طرفي المعادلة في 2500: $$x_2 = \frac{3}{25} \times 2500 = 3 \times 100 = 300$$ **الإجابات النهائية بصياغة تعليمية:** - **أ)** بناءً على البيانات التجريبية في الرسم، فإن **المجموع 8** هو الذي لديه أعلى تكرار، وبالتالي له **فرصة حدوث كبيرة** مقارنة بغيره من المجاميع في تلك التجربة. - **ب)** الاحتمال التجريبي لاستعمال ساعة اليد لمعرفة الوقت، بناءً على العينة المكونة من 300 شخص، هو **%19** (أو بالكسر 19/100). - **ج)** عند افتراض أن النسبة المأخوذة من العينة الصغيرة (150 شخصاً) تمثل المجتمع الأكبر، فإنه **من المتوقع** أن يكون عدد مستخدمي اليد اليسرى بين 2500 شخص هو **300 شخص**.

ما تعريف الاحتمال التجريبي؟

• أ) الاحتمال المبني على الإمكانيات المتساوية لحدث ما.
• ب) الاحتمال الذي يعتمد على حقائق وخصائص التجربة بعد إجرائها.
• ج) الاحتمال الذي يتنبأ بالنتائج المستقبلية دون الحاجة لتجربة.
• د) الاحتمال الذي يمثل نسبة النجاح في جميع التجارب الممكنة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الاحتمال الذي يعتمد على حقائق وخصائص التجربة بعد إجرائها.

الشرح: الاحتمال التجريبي يعتمد بشكل مباشر على تكرار حدث معين خلال تجربة حقيقية أو دراسة إحصائية، وليس على الإمكانيات النظرية للحدث.

تلميح: فكر فيما يميز هذا النوع من الاحتمال من حيث مصدر البيانات.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما تعريف الاحتمال النظري؟

• أ) الاحتمال المبني على ملاحظات متكررة من تجربة فعلية.
• ب) الاحتمال الذي يُحسب بعد تجميع البيانات من عدة محاولات.
• ج) الاحتمال القائم على حقائق التجربة ويمكن حسابه دون الحاجة لإجرائها.
• د) الاحتمال الذي يتنبأ بالنتائج العشوائية فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الاحتمال القائم على حقائق التجربة ويمكن حسابه دون الحاجة لإجرائها.

الشرح: الاحتمال النظري يتم حسابه بناءً على التحليل المنطقي لجميع النتائج الممكنة لحدث ما، مع افتراض أن جميع النتائج متساوية في فرص الحدوث، ولا يتطلب إجراء تجربة فعلية.

تلميح: فكر فيما يميز الاحتمال النظري عن التجريبي، خاصة فيما يتعلق بإجراء التجربة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الفرق الجوهري بين الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي؟

• أ) النظري يعتمد على التجربة الفعلية، بينما التجريبي يعتمد على الإمكانات المنطقية.
• ب) التجريبي يعتمد على نتائج فعلية من تجربة، بينما النظري يعتمد على تحليل الإمكانيات المنطقية.
• ج) النظري يهتم بالأحداث النادرة، والتجريبي بالأحداث الشائعة.
• د) لا يوجد فرق جوهري بينهما، فقط طريقة الحساب تختلف قليلاً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: التجريبي يعتمد على نتائج فعلية من تجربة، بينما النظري يعتمد على تحليل الإمكانيات المنطقية.

الشرح: الفرق الرئيسي يكمن في مصدر البيانات؛ التجريبي يعتمد على ما حدث فعلاً في تجربة، بينما النظري يعتمد على التحليل المنطقي لإمكانيات الحدث قبل وقوعه.

تلميح: ركز على مصدر البيانات وكيفية الحصول عليها لكل نوع من الاحتمال.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط

ما هي صيغة حساب الاحتمال التجريبي لحدث ما؟

• أ) عدد النواتج الممكنة مقسومًا على عدد النواتج المرغوبة.
• ب) (عدد مرات حدوث الحدث) ÷ (العدد الكلي لمرات إجراء التجربة).
• ج) عدد النواتج المرغوبة × العدد الكلي لمرات التجربة.
• د) العدد الكلي لمرات إجراء التجربة مقسومًا على عدد مرات حدوث الحدث.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (عدد مرات حدوث الحدث) ÷ (العدد الكلي لمرات إجراء التجربة).

الشرح: لحساب الاحتمال التجريبي، نقسم عدد المرات التي حدث فيها الحدث المطلوب على العدد الإجمالي للمرات التي أجريت فيها التجربة.

تلميح: تذكر أن الاحتمال التجريبي هو نسبة تكرار الحدث إلى العدد الكلي للمحاولات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط