مثال ٢ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تحديد خصائص القطع المكافئ

المفاهيم الأساسية

الأشكال المتماثلة: أشكال يكون نصفاها متطابقين تماماً.

القطع المكافئ: شكل متماثل له محور تماثل.

الرأس: يمثل إما نقطة عظمى (إذا كان القطع مفتوحاً لأسفل) أو نقطة صغرى (إذا كان مفتوحاً لأعلى).

المقطع الصادي: هو الحد الثابت (جـ) للدالة التربيعية في الصورة القياسية، وهو النقطة التي يتقاطع فيها القطع مع محور الصادات (٠، جـ).

خريطة المفاهيم

```markmap

تمثيل الدوال التربيعية بيانياً

مقدمة (لماذا؟)

مثال واقعي: نافورة الملك فهد

حركة المياه تمثل بمعادلات تربيعية

ما سبق دراسته

تمثيل الدوال الخطية بيانياً

أهداف الدرس (والآن)

تحليل التمثيلات البيانية للدوال التربيعية

تمثيل الدوال التربيعية بيانياً

المفاهيم الأساسية

الدالة التربيعية

#### الصورة القياسية: د(س)=أس²+ب س+جـ (أ≠٠)

#### الدالة المولدة: د(س)=س²

شكل التمثيل البياني

#### قطع مكافئ

##### مفتوح لأعلى (أ>٠)

###### له قيمة صغرى (الرأس)

##### مفتوح لأسفل (أ<٠)

###### له قيمة عظمى (الرأس)

#### رأس القطع

#### محور التماثل: س = -ب/(٢أ)

#### متماثل حول محور التماثل

التمثيل البياني (مثال ١)

الدالة: ص = س² + ٢س + ٦

طريقة التمثيل: استعمال جدول القيم

تحديد المجال والمدى

مراجعة مفردات سابقة

المجال: قيم س الممكنة

المدى: قيم ص الممكنة

تحديد الخصائص من التمثيل البياني

الرأس (نقطة عظمى أو صغرى)

معادلة محور التماثل (س = قيمة س الرأس)

المقطع الصادي (نقطة التقاطع مع محور الصادات)

تحديد الخصائص من قاعدة الدالة

معادلة محور التماثل: س = -\frac{ب}{٢أ}

إيجاد الرأس بالتعويض في المعادلة

المقطع الصادي هو الحد الثابت (جـ)

```

نقاط مهمة

• من الأسهل عادة تحديد الرأس أولاً عند إيجاد الخصائص من التمثيل البياني.
• عند تحديد الخصائص من قاعدة الدالة، يكون من الأسهل غالباً إيجاد معادلة محور التماثل أولاً.
• محور التماثل هو المستقيم الذي يمر بالرأس ويقسم القطع إلى نصفين متطابقين.

---

حل مثال (مثال ٢)

المثال: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني للدالة: ص = -س² + ٢س + ٣ (الموضح في الشكل).

الحل:

* الخطوة ١: إيجاد الرأس

* القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل، لذا فالرأس يمثل النقطة العظمى.

* من التمثيل البياني، الرأس هو: (٢، ٣).

* الخطوة ٢: إيجاد محور التماثل

* محور التماثل هو المستقيم الرأسي الذي يمر بالرأس.

* معادلته هي: س = ٢.

* الخطوة ٣: إيجاد المقطع الصادي

* هو نقطة تقاطع القطع مع محور الصادات.

* من التمثيل البياني، النقطة هي (٠، -١).

* المقطع الصادي هو: -١.

---

حل مثال (مثال ٣)

المثال: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للقطع المكافئ الذي معادلته: ص = ٢س² + ٤س - ٣.

الحل:

* الخطوة ١: إيجاد معادلة محور التماثل

* الصيغة: س = -\frac{ب}{٢أ}

* أ = ٢، ب = ٤.

* س = -\frac{٤}{(٢ × ٢)} = -\frac{٤}{٤} = -١

* معادلة محور التماثل هي: س = -١

* الخطوة ٢: إيجاد الرأس

* قيمة (س) الرأس هي نفس قيمة محور التماثل: س = -١.

* نعوض س = -١ في المعادلة الأصلية لإيجاد ص:

* ص = ٢(-١)² + ٤(-١) - ٣

* ص = ٢(١) - ٤ - ٣

* ص = ٢ - ٤ - ٣ = -٥

* الرأس هو: (-١، -٥)

* الخطوة ٣: إيجاد المقطع الصادي

* المقطع الصادي هو الحد الثابت (جـ) في الصورة القياسية.

* من المعادلة ص = ٢س² + ٤س -٣، نجد أن جـ = -٣.

* المقطع الصادي هو: -٣ (أي النقطة (٠، -٣)).

---

تحقق من فهمك

السؤال: حدد خصائص القطع المكافئ من تمثيله البياني.

الحل:

* أ) للدالة ص = س² - ٤ (قطع مفتوح لأعلى):

* الرأس: (٠، -٤) - وهي نقطة صغرى.

* محور التماثل: س = ٠.

* المقطع الصادي: -٤.

* ب) للدالة ص = -س² + ٤ (قطع مفتوح لأسفل):

* الرأس: (٠، ٤) - وهي نقطة عظمى.

* محور التماثل: س = ٠.

* المقطع الصادي: ٤.

الأشكال المتماثلة

الأشكال المتماثلة هي تلك الأشكال التي يكون نصفاها متطابقين تمامًا. فالقطع المكافئ هو شكل متماثل وله محور تماثل، وكل نقطة في نصف القطع إلى يسار محور التماثل تقابلها نقطة في النصف الآخر له. ومن الأسهل عادة تحديد الرأس أولاً عند إيجاد الخصائص من التمثيل البياني، والذي يمثل إما نقطة عظمى أو نقطة صغرى للقطع.

تحديد خصائص القطع المكافئ من تمثيله البياني أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني الآتي: الخطوة ١: أوجد الرأس. بما أن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل فالرأس يمثل النقطة العظمى له وهي (٢، ٣). الخطوة ٢: أوجد محور التماثل. بما أن محور التماثل هو المستقيم الذي يمر بالرأس، ويقسم القطع إلى نصفين متطابقين؛ لذا تكون معادلة محور التماثل هي س = ٢. الخطوة ٣: أوجد المقطع الصادي. بما أن المقطع الصادي هو النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع محور الصادات، وهي النقطة (٠، -١)؛ لذا يكون المقطع الصادي هو -١.

أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل من التمثيلين البيانيين الآتيين:

عند تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة الدالة يكون من الأسهل غالبًا إيجاد معادلة محور التماثل أولاً.

تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة دالته أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة: ص = ٢ س² + ٤ س - ٣ س = -ب / ٢أ (صيغة معادلة محور التماثل) س = -٤ / ٢ × ٢ = -١ (أ = ٢، ب = ٤، بسط) معادلة محور التماثل هي س = -١. ولإيجاد إحداثي الرأس، خذ القيمة الناتجة من معادلة محور التماثل، واعتبرها إحداثيًا سينيًا لرأس القطع المكافئ، ثم عوضها في معادلة القطع المكافئ لإيجاد الإحداثي الصادي. ص = ٢ س² + ٤ س - ٣ (المعادلة الأصلية) ص = ٢(-١)² + ٤(-١) - ٣ = -٥ (س = -١، بسط) الرأس هو (-١، -٥)، وبما أن المقطع الصادي هو عند النقطة (٠، جـ) دائمًا؛ لذا فالمقطع الصادي هو -٣.

المقطع الصادي: المقطع الصادي هو الحد الثابت (جـ) للدالة التربيعية في الصورة القياسية.

الدرس ٨-١: تمثيل الدوال التربيعية بيانيا ١٠٩

الأشكال المتماثلة الأشكال المتماثلة هي تلك الأشكال التي يكون نصفاها متطابقين تمامًا. فالقطع المكافئ هو شكل متماثل وله محور تماثل، وكل نقطة في نصف القطع إلى يسار محور التماثل تقابلها نقطة في النصف الآخر له. ومن الأسهل عادة تحديد الرأس أولاً عند إيجاد الخصائص من التمثيل البياني، والذي يمثل إما نقطة عظمى أو نقطة صغرى للقطع. --- SECTION: مثال ٢ --- تحديد خصائص القطع المكافئ من تمثيله البياني أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني الآتي: الخطوة ١: أوجد الرأس. بما أن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل فالرأس يمثل النقطة العظمى له وهي (٢، ٣). الخطوة ٢: أوجد محور التماثل. بما أن محور التماثل هو المستقيم الذي يمر بالرأس، ويقسم القطع إلى نصفين متطابقين؛ لذا تكون معادلة محور التماثل هي س = ٢. الخطوة ٣: أوجد المقطع الصادي. بما أن المقطع الصادي هو النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع محور الصادات، وهي النقطة (٠، -١)؛ لذا يكون المقطع الصادي هو -١. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل من التمثيلين البيانيين الآتيين: ٢أ. أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني الموضح في الشكل ٢أ. ٢ب. أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني الموضح في الشكل ٢ب. عند تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة الدالة يكون من الأسهل غالبًا إيجاد معادلة محور التماثل أولاً. --- SECTION: مثال ٣ --- تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة دالته أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة: ص = ٢ س² + ٤ س - ٣ س = -ب / ٢أ (صيغة معادلة محور التماثل) س = -٤ / ٢ × ٢ = -١ (أ = ٢، ب = ٤، بسط) معادلة محور التماثل هي س = -١. ولإيجاد إحداثي الرأس، خذ القيمة الناتجة من معادلة محور التماثل، واعتبرها إحداثيًا سينيًا لرأس القطع المكافئ، ثم عوضها في معادلة القطع المكافئ لإيجاد الإحداثي الصادي. ص = ٢ س² + ٤ س - ٣ (المعادلة الأصلية) ص = ٢(-١)² + ٤(-١) - ٣ = -٥ (س = -١، بسط) الرأس هو (-١، -٥)، وبما أن المقطع الصادي هو عند النقطة (٠، جـ) دائمًا؛ لذا فالمقطع الصادي هو -٣. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- المقطع الصادي: المقطع الصادي هو الحد الثابت (جـ) للدالة التربيعية في الصورة القياسية. الدرس ٨-١: تمثيل الدوال التربيعية بيانيا ١٠٩ --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: No description Context: Introductory figure showing the parts of a parabola: vertex, axis of symmetry, and y-intercept. **GRAPH**: Untitled Description: No description Context: Graph used in Example 2 to identify vertex, axis of symmetry, and y-intercept visually. **GRAPH**: Untitled Description: No description Context: Graph for practice problem 2a to find parabola properties. **GRAPH**: Untitled Description: No description Context: Graph for practice problem 2b to find parabola properties.