مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال ١٤: ليكن د(س) = ٣ س٢ - ٤ س - ١. أ) جد قيمة إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. ج) جد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: أ) صغرى. ب) القيمة الصغرى = -٧/٣. ج) المجال: ح، المدى: {ص | ص ≥ -٧/٣}.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تنظيم المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|-------| | **الدالة المعطاة** | $f(x) = 3x^2 - 4x - 1$ | | **المطلوب (أ)** | تحديد إذا كان للدالة **قيمة عظمى** أم **قيمة صغرى**. | | **المطلوب (ب)** | حساب قيمة هذه القيمة (العظمى أو الصغرى). | | **المطلوب (ج)** | تحديد **مجال** الدالة و **مداها**. |
2. **الخطوة 2: المبدأ أو القانون المستخدم** للدالة التربيعية على الصورة $f(x) = ax^2 + bx + c$: 1. إذا كان **$a > 0$**، فإن منحنى الدالة **مفتوح لأعلى** وله **قيمة صغرى**. 2. إذا كان **$a < 0$**، فإن منحنى الدالة **مفتوح لأسفل** وله **قيمة عظمى**. 3. تحسب القيمة الصغرى أو العظمى عند: $x = \frac{-b}{2a}$. 4. ثم تُعوض قيمة $x$ في الدالة $f(x)$ للحصول على القيمة الصغرى أو العظمى. 5. **مجال** أي دالة كثيرة حدود هو **جميع الأعداد الحقيقية** ($\mathbb{R}$). 6. **مدى** الدالة التربيعية يعتمد على القيمة الصغرى أو العظمى.
3. **الخطوة 3: تحديد نوع القيمة (عظمى أم صغرى) - الجزء (أ)** من الدالة $f(x) = 3x^2 - 4x - 1$، نحدد المعاملات: - $a = 3$ - $b = -4$ - $c = -1$ بما أن $a = 3$ و **$3 > 0$**، فإن الدالة **مفتوحة لأعلى** ولها **قيمة صغرى**. > **النتيجة للجزء (أ):** للدالة **قيمة صغرى**.
4. **الخطوة 4: حساب القيمة الصغرى - الجزء (ب)** 1. نوجد إحداثي **س** للرأس (النقطة التي عندها القيمة الصغرى): $$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ 2. نعوض $x = \frac{2}{3}$ في الدالة لإيجاد القيمة الصغرى ($y$ أو $f(x)$): $$\begin{aligned} f\left(\frac{2}{3}\right) &= 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) - 1 \\ &= 3\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{8}{3} - 1 \\ &= \frac{12}{9} - \frac{8}{3} - 1 \\ &= \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - \frac{3}{3} \\ &= \frac{4 - 8 - 3}{3} \\ &= \frac{-7}{3} \end{aligned}$$ > **النتيجة للجزء (ب):** القيمة الصغرى للدالة هي $f(x) = \frac{-7}{3}$.
5. **الخطوة 5: تحديد المجال والمدى - الجزء (ج)** 1. **المجال:** بما أن $f(x)$ دالة كثيرة حدود (تربيعية)، فإنها معرفة لكل عدد حقيقي. ∴ **المجال** هو $\mathbb{R}$ أو جميع الأعداد الحقيقية. 2. **المدى:** بما أن للدالة **قيمة صغرى** هي $\frac{-7}{3}$، وأن منحنى الدالة مفتوح لأعلى، فإن قيم $f(x)$ تبدأ من هذه القيمة وتزداد إلى ما لا نهاية. ∴ **المدى** هو جميع قيم $y$ (أو $f(x)$) التي تكون أكبر من أو تساوي $\frac{-7}{3}$. نكتب: $\{ y \, | \, y \ge \frac{-7}{3} \}$. > **النتيجة للجزء (ج):** المجال = $\mathbb{R}$، المدى = $\{ y \in \mathbb{R} \, | \, y \ge -\frac{7}{3} \}$.
6. **الإجابة النهائية المرتبة:** - **أ)** نوع القيمة: **قيمة صغرى**. - **ب)** قيمة الصغرى: **$\frac{-7}{3}$**. - **ج)** مجال الدالة: **جميع الأعداد الحقيقية ($\mathbb{R}$)**. \ مدى الدالة: **جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي $\frac{-7}{3}$**.

ما هي الخطوة الأولى عند تمثيل دالة تربيعية بيانياً؟

• أ) أوجد الرأس وحدد إذا كان يمثل نقطة صغرى أم نقطة عظمى.
• ب) أوجد المقطع الصادي.
• ج) أوجد معادلة محور التماثل.
• د) صل بين النقاط بمنحنى.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أوجد معادلة محور التماثل.

الشرح: تمثيل الدوال التربيعية بيانياً يبدأ دائماً بتحديد الخط الذي تتناظر حوله الدالة (محور التماثل) لتسهيل تحديد الرأس والنقاط الأخرى.

تلميح: تبدأ العملية بتحديد الخط الذي تتناظر حوله الدالة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في دالة تربيعية على الصورة $f(x) = ax^2 + bx + c$, ماذا يعني أن يكون معامل $a$ سالباً (< 0)؟

• أ) يكون منحنى الدالة مفتوحاً لأعلى وله قيمة صغرى.
• ب) يكون منحنى الدالة مفتوحاً لأسفل وله قيمة عظمى.
• ج) يكون منحنى الدالة مفتوحاً لأسفل وله قيمة صغرى.
• د) يكون منحنى الدالة مفتوحاً لأعلى وله قيمة عظمى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يكون منحنى الدالة مفتوحاً لأسفل وله قيمة عظمى.

الشرح: عندما يكون معامل $a$ سالباً ($a < 0$) في الدالة التربيعية، فإن منحنى الدالة (القطع المكافئ) يفتح نحو الأسفل، مما يعني أن نقطة الرأس تمثل أعلى نقطة على المنحنى، أي قيمة عظمى.

تلميح: تذكر اتجاه فتح المنحنى وعلاقته بنوع القيمة القصوى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي صيغة إيجاد معادلة محور التماثل لدالة تربيعية على الصورة $f(x) = ax^2 + bx + c$؟

• أ) $س = ب / 2أ$
• ب) $س = -ب / أ$
• ج) $س = -ب / 2أ$
• د) $س = -ج / أ$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $س = -ب / 2أ$

الشرح: صيغة إيجاد معادلة محور التماثل للقطع المكافئ هي $س = \frac{-b}{2a}$, حيث $a$ هو معامل $س^2$ و $b$ هو معامل $س$ في الدالة التربيعية.

تلميح: المعادلة تربط بين معامل $b$ ومعامل $a$ في الدالة التربيعية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما هو مجال الدالة التربيعية؟

• أ) الأعداد الحقيقية الموجبة فقط.
• ب) جميع الأعداد الحقيقية ($\mathbb{R}$)
• ج) الأعداد الصحيحة فقط.
• د) مجموعة قيم $y$ التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جميع الأعداد الحقيقية ($\mathbb{R}$)

الشرح: الدالة التربيعية هي دالة كثيرة حدود، وجميع الدوال كثيرة الحدود معرفة على جميع الأعداد الحقيقية، أي أن المجال هو $\mathbb{R}$ (جميع الأعداد الحقيقية).

تلميح: تذكر أن الدوال التربيعية هي نوع من الدوال كثيرة الحدود.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

للدالة د(س) = -2س^2 - 4س - 1، هل للدالة قيمة عظمى أم صغرى؟

• أ) قيمة صغرى.
• ب) قيمة عظمى.
• ج) لا يوجد قيمة عظمى ولا صغرى.
• د) تعتمد على قيمة س.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: قيمة عظمى.

الشرح: في الدالة $د(س) = -2س^2 - 4س - 1$, معامل $a$ هو $-2$. بما أن $a < 0$, فإن القطع المكافئ يفتح لأسفل، وبالتالي تكون للدالة قيمة عظمى عند الرأس.

تلميح: انظر إلى إشارة معامل $س^2$ (المعامل $a$).

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: متوسط