سؤال Physics Problem: فيزياء: عرضت الجمعية السعودية للمعلوميات فيلماً وثائقياً لإنطلاق نموذج صاروخ، حيث يمكن تمثيل ارتفاع الصاروخ عن الأرض بالأقدام بعد (س) ثانية بالدالة ف(س) = -١٣ س٢ + ١٣٠ س + ٣١٢. أ) مثل الدالة بيانياً. ب) ما الارتفاع الذي أطلق منه الصاروخ؟ جـ) ما أقصى ارتفاع يصله الصاروخ؟
الإجابة: أ) محور التماثل س = ٥. الرأس = (٥، ٦٣٧). تم إيجاد نقاط إضافية مثل (٠، ٣١٢) و (٢، ٥٢٠) ونقاطها المقابلة (٢١٢، ٠) و (٨، ٥٠) لرسم المنحنى البياني للدالة، وهو قطع مكافئ مفتوح للأسفل. ب) أطلق الصاروخ عندما كان الزمن صفرًا، أو عند المقطع الصادي للدالة، أي من ارتفاع ٣١٢ قدمًا من الأرض. جـ) القيمة العظمى للارتفاع تقع عند الرأس؛ لذا يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له ٦٣٧ قدمًا عند خمسي ثوان من بدء الانطلاق.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الوصف | |--------|--------| | **الدالة** | $f(x) = -13x^2 + 130x + 312$، حيث $x$ الزمن بالثواني و $f(x)$ الارتفاع بالأقدام. | | **المطلوب (أ)** | تمثيل الدالة بيانياً. | | **المطلوب (ب)** | الارتفاع الذي أُطلق منه الصاروخ (عند الزمن صفر). | | **المطلوب (ج)** | أقصى ارتفاع يصله الصاروخ. | > ملاحظة: الدالة تمثل **قطعاً مكافئاً** مفتوحاً للأسفل لأن معامل $x^2$ سالب.
- **الخطوة 2: المبادئ والقوانين المستخدمة** 1. **ارتفاع الإطلاق**: هو قيمة الدالة عند $x = 0$، أي **المقطع الصادي**. 2. **أقصى ارتفاع (القيمة العظمى)**: يقع عند **رأس القطع المكافئ**. إحداثيات الرأس $(h, k)$ تُحسب كما يلي: - $h = \frac{-b}{2a}$ حيث الدالة بالصيغة $ax^2 + bx + c$. - $k = f(h)$. 3. **التمثيل البياني**: يتطلب تحديد: - **محور التماثل**: الخط الرأسي $x = h$. - **الرأس**: النقطة $(h, k)$. - **نقاط إضافية**: مثل المقطع الصادي ونقاط أخرى لرسم المنحنى.
- **الخطوة 3: حل الجزء (ب) - ارتفاع الإطلاق** - نعوّض $x = 0$ في الدالة: $$f(0) = -13(0)^2 + 130(0) + 312 = 312$$ - **النتيجة**: أُطلق الصاروخ من ارتفاع **312 قدمًا** فوق الأرض.
- **الخطوة 4: حل الجزء (ج) - أقصى ارتفاع** 1. نحدد معاملات الدالة: $a = -13$, $b = 130$, $c = 312$. 2. نحسب إحداثي $x$ للرأس (محور التماثل): $$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-130}{2 \times (-13)} = \frac{-130}{-26} = 5$$ 3. نحسب إحداثي $y$ للرأس (الارتفاع الأقصى) بتعويض $x = 5$: $$k = f(5) = -13(5)^2 + 130(5) + 312 = -13(25) + 650 + 312 = -325 + 650 + 312 = 637$$ - **النتيجة**: يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له وهو **637 قدمًا** بعد **5 ثوان** من الانطلاق.
- **الخطوة 5: حل الجزء (أ) - التمثيل البياني** لرسم الدالة $f(x) = -13x^2 + 130x + 312$، نحدد النقاط الرئيسية: 1. **المقطع الصادي**: $(0, 312)$ (ارتفاع الإطلاق). 2. **الرأس**: $(5, 637)$ (أقصى ارتفاع). 3. **نقاط إضافية** (للتأكد من شكل المنحنى): - عند $x = 2$: $f(2) = -13(4) + 130(2) + 312 = -52 + 260 + 312 = 520$ → النقطة $(2, 520)$. - عند $x = 8$: $f(8) = -13(64) + 130(8) + 312 = -832 + 1040 + 312 = 520$ → النقطة $(8, 520)$. > ملاحظة: النقطتان $(2, 520)$ و $(8, 520)$ متماثلتان حول محور التماثل $x=5$. 4. **تقاطعات مع المحور $x$** (إن وجدت): نحل $f(x)=0$ باستخدام القانون العام أو التحليل، لكن الإجابة الأصلية أشارت إلى نقاط تقريبية. يمكن إيجاد جذرين حقيقيين لأن المميز موجب: - المميز: $\Delta = b^2 - 4ac = 130^2 - 4(-13)(312) = 16900 + 16224 = 33124$. - الجذور: $x = \frac{-130 \pm \sqrt{33124}}{2(-13)}$، لكن ليس ضرورياً للرسم الدقيق هنا. **رسم المنحنى**: - ارسم **محورين** (الزمن $x$، الارتفاع $f(x)$). - حدد النقاط $(0,312)$، $(5,637)$، $(2,520)$، $(8,520)$. - ارسم **محور التماثل** الخط المتقطع $x=5$. - صل النقاط بمنحنى سلس على شكل **قطع مكافئ مفتوح للأسفل** يمر بهذه النقاط.
- **الخطوة 6: الإجابة النهائية** - **ارتفاع الإطلاق**: 312 قدمًا. - **أقصى ارتفاع**: 637 قدمًا، ويُحقق بعد 5 ثوانٍ من الانطلاق. - **التمثيل البياني**: قطع مكافئ مفتوح للأسفل برأس عند (5, 637)، ومقطع صادي عند (0, 312)، ويمر بنقاط مثل (2, 520) و (8, 520). > يمكن للطالب استخدام برمجيات أو حاسبات بيانية لرسم المنحنى بدقة بناءً على النقاط المحسوبة.