مفهوم أساسي: القيم العظمى والقيم الصغرى - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مفهوم أساسي: القيم العظمى والقيم الصغرى

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 9 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 القيم العظمى والقيم الصغرى للدوال التربيعية

المفاهيم الأساسية

القيمة العظمى والقيمة الصغرى: القيمة العظمى هي أعلى قيمة للدالة، والقيمة الصغرى هي أدنى قيمة لها. في الدالة التربيعية، تمثل هذه القيم الإحداثي الصادي لنقطة رأس القطع المكافئ.

خريطة المفاهيم

```markmap

تمثيل الدوال التربيعية بيانياً

مقدمة (لماذا؟)

مثال واقعي: نافورة الملك فهد

حركة المياه تمثل بمعادلات تربيعية

ما سبق دراسته

تمثيل الدوال الخطية بيانياً

أهداف الدرس (والآن)

تحليل التمثيلات البيانية للدوال التربيعية

تمثيل الدوال التربيعية بيانياً

المفاهيم الأساسية

الدالة التربيعية

#### الصورة القياسية: د(س)=أس²+ب س+جـ (أ≠٠)

#### الدالة المولدة: د(س)=س²

شكل التمثيل البياني

#### قطع مكافئ

##### مفتوح لأعلى (أ>٠)

###### له قيمة صغرى (الرأس)

##### مفتوح لأسفل (أ<٠)

###### له قيمة عظمى (الرأس)

#### رأس القطع

#### محور التماثل: س = -ب/(٢أ)

#### متماثل حول محور التماثل

التمثيل البياني (مثال ١)

الدالة: ص = س² + ٢س + ٦

طريقة التمثيل: استعمال جدول القيم

تحديد المجال والمدى

مراجعة مفردات سابقة

المجال: قيم س الممكنة

المدى: قيم ص الممكنة

تحديد الخصائص من التمثيل البياني

الرأس (نقطة عظمى أو صغرى)

معادلة محور التماثل (س = قيمة س الرأس)

المقطع الصادي (نقطة التقاطع مع محور الصادات)

تحديد الخصائص من قاعدة الدالة

معادلة محور التماثل: س = -\frac{ب}{٢أ}

إيجاد الرأس بالتعويض في المعادلة

المقطع الصادي هو الحد الثابت (جـ)

مقارنة الدوال الخطية والتربيعية

جدول المقارنة

القيم العظمى والقيم الصغرى

تحديد الاتجاه والقيمة

#### أ > ٠: قطع مفتوح لأعلى → قيمة صغرى

#### أ < ٠: قطع مفتوح لأسفل → قيمة عظمى

إيجاد القيمة العظمى/الصغرى

#### ١. إيجاد س الرأس: س = -\frac{ب}{٢أ}

#### ٢. التعويض لإيجاد ص الرأس (القيمة)

مدى الدالة

#### أ > ٠: جميع الأعداد الحقيقية ≥ القيمة الصغرى

#### أ < ٠: جميع الأعداد الحقيقية ≤ القيمة العظمى

```

نقاط مهمة

  • اتجاه فتحة القطع المكافئ (لأعلى أو لأسفل) يحدد إذا كان له قيمة صغرى أم عظمى.
  • القيمة العظمى أو الصغرى هي الإحداثي الصادي للرأس، وليس السيني.
  • لإيجاد القيمة: أولاً أوجد س = -\frac{ب}{٢أ}، ثم عوّض في الدالة الأصلية لإيجاد ص.

جدول المقارنة

| الخاصية | الدوال الخطية | الدوال التربيعية |

| :--- | :--- | :--- |

| الصورة القياسية | ص = أس + ب | ص = أس² + بس + ج ؛ أ ≠ 0 |

| الدرجة | ١ | ٢ |

| التمثيل البياني | خط مستقيم | قطع مكافئ |

---

تحقق من فهمك

السؤال 3أ: ص = -3س² + 6س - 5

* الخطوة ١: تحديد نوع القيمة (عظمى أم صغرى)

معامل س² (أ) = -3 (سالب).

النتيجة: القطع مفتوح لأسفل، إذن للدالة قيمة عظمى.

* الخطوة ٢: إيجاد القيمة العظمى

1. إحداثي س الرأس = س = -\frac{ب}{٢أ} = -\frac{6}{٢ \times (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1

2. التعويض في الدالة لإيجاد ص (القيمة العظمى):

ص = -3(1)² + 6(1) - 5 = -3 + 6 - 5 = -2

النتيجة: القيمة العظمى للدالة هي -2.

السؤال 3ب: ص = 2س² + 2س + 2

* الخطوة ١: تحديد نوع القيمة (عظمى أم صغرى)

معامل س² (أ) = 2 (موجب).

النتيجة: القطع مفتوح لأعلى، إذن للدالة قيمة صغرى.

* الخطوة ٢: إيجاد القيمة الصغرى

1. إحداثي س الرأس = س = -\frac{ب}{٢أ} = -\frac{2}{٢ \times 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}

2. التعويض في الدالة لإيجاد ص (القيمة الصغرى):

ص = 2(-½)² + 2(-½) + 2 = 2(¼) - 1 + 2 = ½ - 1 + 2 = 1.5

النتيجة: القيمة الصغرى للدالة هي 1.5.

---

حل مثال

مثال 4: لتكن د(س) = -2س² - 4س + 6

* أ) تحديد نوع القيمة

أ = -2 (سالب).

النتيجة: التمثيل البياني مفتوح إلى أسفل، وللدالة قيمة عظمى.

* ب) إيجاد القيمة العظمى

1. إحداثي س الرأس = س = -\frac{ب}{٢أ} = -\frac{(-4)}{٢ \times (-2)} = \frac{4}{-4} = -1

2. التعويض لإيجاد القيمة العظمى (د(-1)):

د(-1) = -2(-1)² - 4(-1) + 6 = -2(1) + 4 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8

النتيجة: القيمة العظمى للدالة تساوي 8.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

3أ

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3أ) ص = -3س² + 6س - 5

3ب

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3ب) ص = 2س² + 2س + 2

نوع: محتوى تعليمي

هناك فروق عامة بين الدوال الخطية والدوال التربيعية تظهر في الجدول الآتي:

نوع: محتوى تعليمي

كيف تحدد إن كان القطع المكافئ مفتوحاً إلى الأعلى أم إلى أسفل، وإذا كان الرأس يمثل له نقطة صغرى أم نقطة عظمى؟

مفهوم أساسي: القيم العظمى والقيم الصغرى

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: يكون التمثيل البياني للدالة: د(س) = أس² + بس + جـ ، حيث أ ≠ 0 : • مفتوحاً إلى أعلى وله قيمة صغرى عندما أ > 0 . • مفتوحاً إلى أسفل وله قيمة عظمى عندما أ < 0 . • مدى الدالة التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على أو تساوي القيمة الصغرى إذا كانت أ > 0 ، أو جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى إذا كانت أ < 0 .

مثال 4

نوع: محتوى تعليمي

القيم العظمى والقيم الصغرى لتكن د(س) = -2س² - 4س + 6 . أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. في الدالة د(س) = -2س² - 4س + 6 ، أ = -2 ، ب = -4 ، جـ = 6 . بما أن أ عدد سالب فالتمثيل البياني يكون مفتوحاً إلى أسفل، ويكون للدالة قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. القيمة العظمى هي الإحداثي الصادي للرأس. الإحداثي السيني للرأس = -ب / 2أ = -(-4) / 2(-2) = 4 / -4 = -1 . د(س) = -2س² - 4س + 6 (الدالة الأصلية) د(-1) = -2(-1)² - 4(-1) + 6 (س = -1) د(-1) = 8 (بسط) إذن، القيمة العظمى تساوي 8

تنبيه!

نوع: محتوى تعليمي

القيم الصغرى والقيم العظمى لا تنس إيجاد كلا الإحداثيين السيني والصادي للرأس (س، ص)، حيث إن القيمة الصغرى أو القيمة العظمى تمثل الإحداثي الصادي له.

🔍 عناصر مرئية

جدول يقارن بين الدوال الخطية والدوال التربيعية من حيث الصورة القياسية، الدرجة، مثال، والتمثيل البياني.

تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأعلى، يوضح النقطة الصغرى عند الرأس.

تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأسفل، يوضح النقطة العظمى عند الرأس.

📄 النص الكامل للصفحة

تحقق من فهمك --- SECTION: 3أ --- 3أ) ص = -3س² + 6س - 5 --- SECTION: 3ب --- 3ب) ص = 2س² + 2س + 2 هناك فروق عامة بين الدوال الخطية والدوال التربيعية تظهر في الجدول الآتي: كيف تحدد إن كان القطع المكافئ مفتوحاً إلى الأعلى أم إلى أسفل، وإذا كان الرأس يمثل له نقطة صغرى أم نقطة عظمى؟ --- SECTION: مفهوم أساسي: القيم العظمى والقيم الصغرى --- التعبير اللفظي: يكون التمثيل البياني للدالة: د(س) = أس² + بس + جـ ، حيث أ ≠ 0 : • مفتوحاً إلى أعلى وله قيمة صغرى عندما أ > 0 . • مفتوحاً إلى أسفل وله قيمة عظمى عندما أ < 0 . • مدى الدالة التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على أو تساوي القيمة الصغرى إذا كانت أ > 0 ، أو جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى إذا كانت أ < 0 . --- SECTION: مثال 4 --- القيم العظمى والقيم الصغرى لتكن د(س) = -2س² - 4س + 6 . أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. في الدالة د(س) = -2س² - 4س + 6 ، أ = -2 ، ب = -4 ، جـ = 6 . بما أن أ عدد سالب فالتمثيل البياني يكون مفتوحاً إلى أسفل، ويكون للدالة قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. القيمة العظمى هي الإحداثي الصادي للرأس. الإحداثي السيني للرأس = -ب / 2أ = -(-4) / 2(-2) = 4 / -4 = -1 . د(س) = -2س² - 4س + 6 (الدالة الأصلية) د(-1) = -2(-1)² - 4(-1) + 6 (س = -1) د(-1) = 8 (بسط) إذن، القيمة العظمى تساوي 8 أ. حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ب. أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. --- SECTION: تنبيه! --- القيم الصغرى والقيم العظمى لا تنس إيجاد كلا الإحداثيين السيني والصادي للرأس (س، ص)، حيث إن القيمة الصغرى أو القيمة العظمى تمثل الإحداثي الصادي له. --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: جدول يقارن بين الدوال الخطية والدوال التربيعية من حيث الصورة القياسية، الدرجة، مثال، والتمثيل البياني. Table Structure: Headers: الخاصية | الدوال الخطية | الدوال التربيعية Rows: Row 1: الصورة القياسية | ص = أس + ب | ص = أس² + بس + جـ ؛ أ ≠ 0 Row 2: الدرجة | 1، لاحظ أن جميع المتغيرات من الدرجة الأولى. | 2، لاحظ أن المتغير المستقل س في الحد الأول هو من الدرجة الثانية، ومعامله أ لا يمكن أن يساوي صفراً، وإلا أصبحت الدالة خطية. Row 3: مثال | ص = 2س + 6 | ص = 3س² + 5س - 4 Row 4: التمثيل البياني | خط مستقيم | قطع مكافئ **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأعلى، يوضح النقطة الصغرى عند الرأس. X-axis: س Y-axis: د(س) **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لقطع مكافئ مفتوح للأسفل، يوضح النقطة العظمى عند الرأس. X-axis: س Y-axis: د(س)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 4

سؤال 13: ص = س٢ + ٦ س - ٥. أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: أ) قيمة صغرى. ب) القيمة الصغرى = -14. جـ) المجال: ح، المدى: {ص | ص ≥ -14}

سؤال 14: ص = ٢ س٢ - ٤ س + ٢. أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: أ) قيمة صغرى. ب) القيمة الصغرى = 0. جـ) المجال: ح، المدى: {ص | ص ≥ 0}

سؤال 15: ص = - س٢ + ٧ س - ٤. أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: أ) قيمة عظمى. ب) القيمة العظمى = 8.25. جـ) المجال: ح، المدى: {ص | ص ≤ 8.25}

سؤال 16: ص = - س٢ + ٤ س - ١. أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: أ) قيمة عظمى. ب) القيمة العظمى = 3. جـ) المجال: ح، المدى: {ص | ص ≤ 3}

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

كيف تحدد ما إذا كان للدالة التربيعية على الصورة د(س) = أس² + بس + جـ قيمة عظمى أم قيمة صغرى؟

  • أ) قيمة عظمى إذا كانت أ > 0، وقيمة صغرى إذا كانت أ < 0.
  • ب) قيمة عظمى إذا كانت أ < 0، وقيمة صغرى إذا كانت أ > 0.
  • ج) قيمة عظمى فقط إذا كان أ = 0.
  • د) قيمة صغرى فقط إذا كان أ = 0.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: قيمة عظمى إذا كانت أ < 0، وقيمة صغرى إذا كانت أ > 0.

الشرح: يكون للدالة التربيعية قيمة عظمى عندما يكون معامل س² (أ) سالباً (أ < 0)، مما يعني أن القطع المكافئ مفتوح للأسفل. ويكون للدالة قيمة صغرى عندما يكون معامل س² (أ) موجباً (أ > 0)، مما يعني أن القطع المكافئ مفتوح للأعلى.

تلميح: ركز على إشارة معامل س² (أ).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما خطوات إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة تربيعية على الصورة د(س) = أس² + بس + جـ؟

  • أ) إيجاد الإحداثي السيني للرأس فقط.
  • ب) تعويض قيمة الإحداثي الصادي في الدالة.
  • ج) إيجاد الإحداثي السيني للرأس ثم تعويضه في الدالة الأصلية.
  • د) إيجاد الإحداثي الصادي للرأس مباشرة دون حساب الإحداثي السيني.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إيجاد الإحداثي السيني للرأس ثم تعويضه في الدالة الأصلية.

الشرح: 1. نوجد الإحداثي السيني للرأس باستخدام القانون س = -ب / 2أ. 2. نعوض قيمة الإحداثي السيني التي تم الحصول عليها في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي الصادي، وهو يمثل القيمة العظمى أو الصغرى للدالة.

تلميح: تذكر أن القيمة العظمى أو الصغرى هي الإحداثي الصادي للرأس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

للدالة ص = س² + ٦ س - ٥، حدد نوع القيمة القصوى وأوجد قيمتها.

  • أ) قيمة عظمى، والقيمة العظمى = 9.
  • ب) قيمة صغرى، والقيمة الصغرى = 14.
  • ج) قيمة صغرى، والقيمة الصغرى = -14.
  • د) قيمة عظمى، والقيمة العظمى = -5.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قيمة صغرى، والقيمة الصغرى = -14.

الشرح: 1. بما أن معامل س² هو 1 (موجب)، فإن الدالة لها قيمة صغرى. 2. الإحداثي السيني للرأس = -ب / 2أ = -6 / (2 * 1) = -3. 3. نعوض س = -3 في الدالة: ص = (-3)² + 6(-3) - 5 = 9 - 18 - 5 = -14. إذن، القيمة الصغرى هي -14.

تلميح: حدد إشارة معامل س² ثم استخدم صيغة إيجاد إحداثيات الرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما مدى الدالة التربيعية على الصورة د(س) = أس² + بس + جـ إذا كانت أ < 0؟

  • أ) جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على أو تساوي القيمة العظمى.
  • ب) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى.
  • ج) جميع الأعداد الحقيقية بدون قيود.
  • د) جميع الأعداد الحقيقية ما عدا صفر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى.

الشرح: عندما تكون أ < 0، يكون القطع المكافئ مفتوحًا للأسفل، مما يعني أن للدالة قيمة عظمى. وبالتالي، فإن مدى الدالة يشمل جميع القيم الصادية التي تكون أصغر من أو تساوي هذه القيمة العظمى.

تلميح: تذكر أن أ < 0 يعني أن القطع المكافئ مفتوح للأسفل وله قيمة عظمى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخاصية التي تميز الدالة التربيعية ص = أس² + بس + جـ عن الدالة الخطية ص = أس + ب؟

  • أ) تحتوي على حد ثابت فقط.
  • ب) درجتها 1 لجميع المتغيرات.
  • ج) المتغير المستقل س من الدرجة الثانية، ومعامل الحد س² لا يساوي صفراً.
  • د) تمثيلها البياني خط مستقيم.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المتغير المستقل س من الدرجة الثانية، ومعامل الحد س² لا يساوي صفراً.

الشرح: الدالة التربيعية تتميز بأن أعلى قوة للمتغير س فيها هي 2 (الدرجة الثانية)، ويجب أن لا يكون معامل هذا الحد (أ) مساوياً للصفر. أما الدالة الخطية، فأعلى قوة للمتغير س فيها هي 1 (الدرجة الأولى).

تلميح: انظر إلى أعلى درجة للأس في كلتا الدالتين.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: سهل