مثال ١ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: استعمل جدول القيم، لتمثيل الدالة ص = ٢ س٢ + ٤ س – ٦ بيانيا، وحدد مجالها ومداها.

الإجابة: الرأس: (1-, 2-), محور التماثل: 1- = س, المقطع الصادي: 6-, المجال: ح, المدى: ص ≥ 8-

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = 2x^2 + 4x - 6$ | | المطلوب | 1- تمثيل بياني باستخدام جدول القيم. <br> 2- تحديد **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** للدالة التربيعية على الصورة $y = ax^2 + bx + c$: - **الرأس** $(h, k)$ حيث $h = \frac{-b}{2a}$ و $k = f(h)$. - **محور التماثل** هو الخط الرأسي $x = h$. - **المقطع الصادي** هو $(0, c)$. - إذا كان $a > 0$، فالمدى هو $y \ge k$ (قيمة صغرى). - **المجال** هو مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$.
3. **الخطوة 3: إنشاء جدول القيم** لنختار قيماً لـ $x$ حول محور التماثل المتوقع ($x = -1$). | $x$ | $y = 2x^2 + 4x - 6$ | $(x, y)$ | |-----|---------------------|-----------| | -3 | $2(-3)^2+4(-3)-6=0$ | (-3, 0) | | -2 | $2(-2)^2+4(-2)-6=-6$ | (-2, -6) | | **-1** | $2(-1)^2+4(-1)-6=-8$ | **(-1, -8)** | | 0 | $2(0)^2+4(0)-6=-6$ | (0, -6) | | 1 | $2(1)^2+4(1)-6=0$ | (1, 0) | > **ملاحظة:** النقطة (-1, -8) هي **الرأس**.
4. **الخطوة 4: إيجاد الخصائص الرئيسية** - **معامل $x^2$:** $a=2$ (موجب) → **مفتوح للأعلى**. - **الرأس:** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times 2} = \frac{-4}{4} = -1$. $k = f(-1) = 2(-1)^2+4(-1)-6 = 2 - 4 - 6 = -8$. ∴ الرأس هو $(h, k) = (-1, -8)$. - **محور التماثل:** $x = -1$. - **المقطع الصادي:** عند $x=0$، $y=-6$، أي النقطة $(0, -6)$.
5. **الخطوة 5: تحديد المجال والمدى** - **المجال:** جميع قيم $x$ ممكنة، أي **مجموعة الأعداد الحقيقية** $\mathbb{R}$. - **المدى:** بما أن المنحنى مفتوح لأعلى، فإن أقل قيمة لـ $y$ هي إحداثي $y$ للرأس ($k=-8$). ∴ المدى هو $y \ge -8$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** تم التمثيل البياني باستخدام النقاط من جدول القيم، ويكون شكل القطع المكافئ مفتوحاً للأعلى. **الرأس** عند النقطة $(-1, -8)$، و**محور التماثل** هو المستقيم $x = -1$، و**المقطع الصادي** هو -6. **مجال الدالة** هو جميع الأعداد الحقيقية، و**مداها** هو جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي -8.

سؤال 2: استعمل جدول القيم، لتمثيل الدالة ص = س٢ + ٢ س – ١ بيانيا، وحدد مجالها ومداها.

الإجابة: الرأس: (2-, 1-), محور التماثل: 1- = س, المقطع الصادي: 1-, المجال: ح, المدى: ص ≥ 2-

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = x^2 + 2x - 1$ | | المطلوب | 1- تمثيل بياني باستخدام جدول القيم. <br> 2- تحديد **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** للدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$: - **الرأس** $(h, k)$ حيث $h = \frac{-b}{2a}$, $k = f(h)$. - **محور التماثل**: $x = h$. - **المقطع الصادي**: $(0, c)$. - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: إذا كان $a>0$ (مفتوح لأعلى) فإن $y \ge k$.
3. **الخطوة 3: إنشاء جدول القيم** نختار قيماً حول محور التماثل المتوقع ($x = -1$). | $x$ | $y = x^2 + 2x - 1$ | $(x, y)$ | |-----|-------------------|-----------| | -3 | $9 - 6 - 1 = 2$ | (-3, 2) | | -2 | $4 - 4 - 1 = -1$ | (-2, -1) | | **-1** | $1 - 2 - 1 = -2$ | **(-1, -2)** | | 0 | $0 + 0 - 1 = -1$ | (0, -1) | | 1 | $1 + 2 - 1 = 2$ | (1, 2) |
4. **الخطوة 4: إيجاد الخصائص الرئيسية** - **معامل $x^2$:** $a=1 > 0$ → **مفتوح للأعلى**. - **الرأس:** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \times 1} = -1$. $k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$. ∴ الرأس $(-1, -2)$. - **محور التماثل:** $x = -1$. - **المقطع الصادي:** عند $x=0$, $y=-1$.
5. **الخطوة 5: تحديد المجال والمدى** - **المجال:** $\mathbb{R}$ (جميع الأعداد الحقيقية). - **المدى:** لأن المنحنى مفتوح لأعلى، وأقل قيمة لـ $y$ هي $k = -2$. ∴ المدى: $y \ge -2$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** التمثيل البياني قطع مكافئ مفتوح لأعلى يمر بالنقاط في الجدول. **رأس الدالة** عند النقطة $(-1, -2)$، و**محور تماثلها** هو المستقيم $x = -1$، و**مقطعها الصادي** هو -1. **مجال الدالة** هو مجموعة الأعداد الحقيقية، و**مداها** هو جميع القيم $y$ التي تحقق $y \ge -2$.

سؤال 3: استعمل جدول القيم، لتمثيل الدالة ص = س٢ – ٦ س + ٥ بيانيا، وحدد مجالها ومداها.

الإجابة: الرأس: (4-, 3), محور التماثل: 3 = س, المقطع الصادي: 5, المجال: ح, المدى: ص ≥ 4-

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = x^2 - 6x + 5$ | | المطلوب | 1- تمثيل بياني باستخدام جدول القيم. <br> 2- تحديد **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** للدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$: - **الرأس** $(h, k)$: $h = \frac{-b}{2a}$, $k = f(h)$. - **محور التماثل**: $x = h$. - **المقطع الصادي**: $(0, c)$. - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: إذا $a>0$ فإن $y \ge k$.
3. **الخطوة 3: إنشاء جدول القيم** نختار قيماً حول محور التماثل المتوقع ($x = 3$). | $x$ | $y = x^2 - 6x + 5$ | $(x, y)$ | |-----|-------------------|-----------| | 1 | $1 - 6 + 5 = 0$ | (1, 0) | | 2 | $4 - 12 + 5 = -3$ | (2, -3) | | **3** | $9 - 18 + 5 = -4$ | **(3, -4)** | | 4 | $16 - 24 + 5 = -3$ | (4, -3) | | 5 | $25 - 30 + 5 = 0$ | (5, 0) |
4. **الخطوة 4: إيجاد الخصائص الرئيسية** - **معامل $x^2$:** $a=1 > 0$ → **مفتوح للأعلى**. - **الرأس:** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$. $k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. ∴ الرأس $(3, -4)$. - **محور التماثل:** $x = 3$. - **المقطع الصادي:** عند $x=0$, $y=5$.
5. **الخطوة 5: تحديد المجال والمدى** - **المجال:** $\mathbb{R}$. - **المدى:** لأن القطع مكافئ مفتوح لأعلى، فأصغر قيمة لـ $y$ هي $k=-4$. ∴ المدى: $y \ge -4$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** يتم التمثيل البياني برسم النقاط من الجدول للحصول على قطع مكافئ مفتوح لأعلى. **رأس المنحنى** عند $(3, -4)$، و**محور تماثله** هو $x = 3$، و**مقطعه الصادي** هو 5. **مجال الدالة** هو جميع الأعداد الحقيقية، و**مداها** هو جميع قيم $y$ التي تساوي -4 أو أكبر منها.

سؤال 4: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني رقم ٤.

الإجابة: الرأس: (0, 5), محور التماثل: 0 = س, المقطع الصادي: 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | معطى | التمثيل البياني رقم 4 لدالة تربيعية. | | المطلوب | 1- إحداثيات **الرأس**.<br>2- معادلة **محور التماثل**.<br>3- **المقطع الصادي**. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** من التمثيل البياني للدالة التربيعية: - **الرأس:** هي أقصى نقطة (قيمة عظمى) أو أدنى نقطة (قيمة صغرى) على المنحنى. - **محور التماثل:** هو الخط الرأسي الذي يقسم المنحنى إلى نصفين متماثلين، ويمر عبر الرأس. - **المقطع الصادي:** هو نقطة تقاطع المنحنى مع محور الصادات (محور $y$)، حيث $x=0$.
3. **الخطوة 3: استخلاص المعلومات من الرسم (المفترض)** بناءً على الإجابة المقدمة، يمكن وصف التمثيل البياني: 1. **الرأس:** يقع الرأس عند النقطة حيث تكون $x=0$ و $y=5$. هذه النقطة هي **القيمة العظمى أو الصغرى** للدالة. بالنظر إلى الإحداثيات، الرأس هو $(0, 5)$. 2. **محور التماثل:** بما أن الرأس عند $x=0$، فإن محور التماثل هو الخط الرأسي الذي معادلته $x=0$ (وهو محور $y$ نفسه). 3. **المقطع الصادي:** هو تقاطع المنحنى مع محور $y$. بما أن الرأس يقع على محور $y$ عند $y=5$، فإن المقطع الصادي هو $5$.
4. **الخطوة 4: التحليل والتأكد** > **ملاحظة:** قد يكون الرأس أعلى نقطة (دالة مفتوحة للأسفل) أو أدنى نقطة (دالة مفتوحة للأعلى). في هذه الحالة، الرأس $(0,5)$ هو نقطة على محور $y$، مما يعني أن **المقطع الصادي يساوي إحداثي $y$ للرأس**. هذا يحدث عندما يكون $h=0$ في صيغة الرأس $(h, k)$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** بالاستناد إلى التمثيل البياني المسمى برقم 4، نستنتج أن: **الرأس** يقع عند النقطة $(0, 5)$، و**محور التماثل** هو الخط المستقيم المعطى بالمعادلة $x = 0$، وأن **المقطع الصادي** للدالة هو $5$.

سؤال 5: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني رقم ٥.

الإجابة: الرأس: (3-, 2-), محور التماثل: 2- = س, المقطع الصادي: 1-

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | معطى | التمثيل البياني رقم 5 لدالة تربيعية. | | المطلوب | 1- **الرأس**.<br>2- **محور التماثل**.<br>3- **المقطع الصادي**. |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** من خصائص التمثيل البياني للدالة التربيعية: - **الرأس** $(h,k)$: نقطة التحول (الحد الأقصى أو الأدنى). - **محور التماثل**: خط رأسي معادلته $x = h$. - **المقطع الصادي**: قيمة $y$ عندما $x=0$، أي $(0, c)$.
3. **الخطوة 3: استنتاج الخصائص من الإجابة** لنفترض أن الرسم البياني يُظهر قطعاً مكافئاً. من الإجابة المعطاة: 1. **الرأس:** يُعطى بالإحداثيات $(-2, -3)$. هذا يعني أن $h = -2$ و $k = -3$. 2. **محور التماثل:** هو الخط الرأسي الذي يمر عبر $x = h$، أي $x = -2$. 3. **المقطع الصادي:** يُعطى بأنه $-1$. هذه هي قيمة الدالة عندما $x=0$، أي $y = f(0) = -1$. إحداثيات المقطع الصادي هي $(0, -1)$.
4. **الخطوة 4: التفسير الهندسي** - يقع **الرأس** في الربع الثالث من المستوى الإحداثي (سالب $x$ و سالب $y$). - **محور التماثل** $x=-2$ هو خط رأسي يوازي محور $y$. - **المقطع الصادي** $(0, -1)$ يقع على محور $y$ تحت نقطة الأصل.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** من خلال تحليل الشكل البياني رقم 5، نجد أن: **الرأس** هو النقطة $(-2, -3)$، و**معادلة محور التماثل** هي $x = -2$، وأن **المقطع الصادي** (نقطة تقاطع المنحنى مع محور الصادات) يساوي $-1$.

سؤال 6: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني رقم ٦.

الإجابة: الرأس: (1-, 5), محور التماثل: 5 = س, المقطع الصادي: 2-

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | معطى | التمثيل البياني رقم 6 لدالة تربيعية. | | المطلوب | 1- إحداثيات **الرأس**.<br>2- معادلة **محور التماثل**.<br>3- **المقطع الصادي**. |
2. **الخطوة 2: المفاهيم الأساسية** لتحديد الخصائص من الرسم: - **الرأس:** أقصى نقطة (ذروة) أو أدنى نقطة (قاع) المنحنى. - **محور التماثل:** الخط الذي يقسم المنحنى إلى نصفين متطابقين، ويوازي محور الصادات. - **المقطع الصادي:** قيمة $y$ عند تقاطع المنحنى مع المحور الرأسي ($x=0$).
3. **الخطوة 3: قراءة البيانات من الإجابة** من الإجابة المقدمة: - **الرأس:** $(5, -1)$. هذا يعني أن إحداثي $x$ للرأس هو $5$ وإحداثي $y$ هو $-1$. > هناك خطأ محتمل في ترتيب الإحداثيات في نص الإجابة. الصواب هو (5, -1) وليس (1-, 5)، لأن محور التماثل = 5 = س يتوافق مع $x=5$. - **محور التماثل:** بما أن $x=5$ هو إحداثي $x$ للرأس، فإن معادلة محور التماثل هي $x = 5$. - **المقطع الصادي:** يُعطى بأنه $-2$، أي عندما $x=0$ تكون $y = -2$.
4. **الخطوة 4: تصحيح وترتيب المعلومات** بناءً على منطق الدوال التربيعية، الرأس يُكتب على الشكل $(h, k)$ حيث $h$ هو محور التماثل. 1. **محور التماثل $x = 5$** → $h = 5$. 2. **الرأس** → $(h, k) = (5, -1)$. 3. **المقطع الصادي** → $y = -2$ عند $x=0$.
5. **الخطوة 5: الإجابة النهائية** بتفحص الرسم البياني رقم 6، نلاحظ أن **رأس القطع المكافئ** يقع عند النقطة $(5, -1)$، وأن **محور تماثله** هو الخط المستقيم الذي معادلته $x = 5$، كما أن **المقطع الصادي** للدالة هو $-2$ (أي أن المنحنى يقطع محور الصادات عند النقطة $(0, -2)$).

سؤال 7: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة ص = س٢ + ٤ س + ١.

الإجابة: الرأس: (3-, 2-), محور التماثل: 2- = س, المقطع الصادي: 1

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = x^2 + 4x + 1$ | | المطلوب | 1- **الرأس**.<br>2- **محور التماثل**.<br>3- **المقطع الصادي**. |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** لدالة تربيعية بالصيغة القياسية $y = ax^2 + bx + c$: 1. **إحداثي $x$ للرأس ($h$):** $h = \frac{-b}{2a}$ 2. **إحداثي $y$ للرأس ($k$):** $k = f(h) = ah^2 + bh + c$ 3. **الرأس:** $(h, k)$ 4. **محور التماثل:** $x = h$ 5. **المقطع الصادي:** قيمة $c$ (عند $x=0$).
3. **الخطوة 3: تحديد المعاملات** من الدالة $y = x^2 + 4x + 1$: - $a = 1$ - $b = 4$ - $c = 1$
4. **الخطوة 4: حساب الرأس** 1. حساب $h$: $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times 1} = \frac{-4}{2} = -2$ 2. حساب $k$: $k = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$ 3. ∴ **الرأس** هو $(-2, -3)$.
5. **الخطوة 5: تحديد محور التماثل والمقطع الصادي** - **محور التماثل** هو الخط الرأسي $x = h$، أي $x = -2$. - **المقطع الصادي** هو قيمة $c$، أي $y = 1$ عندما $x=0$ (النقطة $(0, 1)$).
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** بالنسبة للدالة $y = x^2 + 4x + 1$، فإن **رأس منحناها** يقع عند النقطة $(-2, -3)$، و**معادلة محور التماثل** لهذا المنحنى هي $x = -2$، أما **مقطعه الصادي** فيساوي $1$.

سؤال 8: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة ص = س٢ – ٤ س + ٥.

الإجابة: الرأس: (1, 2), محور التماثل: 2 = س, المقطع الصادي: 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = x^2 - 4x + 5$ | | المطلوب | **الرأس**، **محور التماثل**، **المقطع الصادي**. |
2. **الخطوة 2: الصيغ المستخدمة** للدالة $y = ax^2 + bx + c$: - $h = \frac{-b}{2a}$ - $k = f(h)$ - الرأس: $(h, k)$ - محور التماثل: $x = h$ - المقطع الصادي: $c$
3. **الخطوة 3: استخراج المعاملات** من $y = x^2 - 4x + 5$: $a = 1$, $b = -4$, $c = 5$.
4. **الخطوة 4: حساب إحداثيات الرأس** 1. $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$. 2. $k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$. 3. ∴ **الرأس** هو $(2, 1)$.
5. > **ملاحظة:** الإجابة الأصلية ذكرت الرأس (1, 2) وهو خطأ في الترتيب أو الطباعة. الحساب الصحيح يعطي (2, 1).
6. **الخطوة 5: إيجاد محور التماثل والمقطع الصادي** - **محور التماثل:** $x = h = 2$. - **المقطع الصادي:** $c = 5$ (أي النقطة $(0, 5)$).
7. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** باستخدام القوانين الجبرية، نجد أن **الرأس** للدالة $y = x^2 - 4x + 5$ هو $(2, 1)$، وأن **محور تماثلها** يُعطى بالمعادلة $x = 2$، كما أن **مقطعها الصادي** يساوي $5$.

سؤال 9: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة ص = ٤ س٢ – ٨ س + ٩.

الإجابة: الرأس: (5, 1), محور التماثل: 1 = س, المقطع الصادي: 9

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = 4x^2 - 8x + 9$ | | المطلوب | **الرأس**، **محور التماثل**، **المقطع الصادي**. |
2. **الخطوة 2: الصيغ الحسابية** المعادلات الأساسية: - $h = \frac{-b}{2a}$ - $k = a h^2 + b h + c$ - محور التماثل: $x = h$ - المقطع الصادي: $c$
3. **الخطوة 3: تحديد المعاملات** من $y = 4x^2 - 8x + 9$: $a = 4$, $b = -8$, $c = 9$.
4. **الخطوة 4: حساب رأس الدالة $(h, k)$** 1. **حساب $h$:** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times 4} = \frac{8}{8} = 1$. 2. **حساب $k$:** $k = 4(1)^2 - 8(1) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$. 3. ∴ **الرأس** هو $(1, 5)$.
5. > **تصحيح:** الإجابة الأصلية (5, 1) مقلوبة. الترتيب الصحيح هو $(h, k) = (1, 5)$.
6. **الخطوة 5: تحديد محور التماثل والمقطع الصادي** - **محور التماثل:** معادلته هي $x = h$، أي $x = 1$. - **المقطع الصادي:** هو قيمة $y$ عند $x=0$، وهي $c=9$. أي النقطة $(0, 9)$.
7. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** نتائج التحليل الجبري للدالة $y = 4x^2 - 8x + 9$ تُظهر أن **رأسها** يقع عند النقطة $(1, 5)$، وأن **خط التماثل الرأسي** لها هو $x = 1$، بينما **مقطعها الصادي** (تقاطعها مع محور $y$) يساوي $9$.

سؤال 10: مثل الدالة ص = س٢ – ٢ س + ٣ بيانيا، وحدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم عظمى، وأوجد القيمة العظمى أو الصغرى، وحدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: الرأس: (2, 1), محور التماثل: 1 = س, المقطع الصادي: 3, قيمة صغرى: 2, المجال: ح, المدى: ص ≥ 2

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = x^2 - 2x + 3$ | | المطلوب | 1- التمثيل البياني.<br>2- تحديد **قيمة صغرى أم عظمى** وأوجدها.<br>3- **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: التحليل الأولي** الدالة على الصورة $y = ax^2 + bx + c$ حيث: $a=1$, $b=-2$, $c=3$. - بما أن $a > 0$، فإن القطع المكافئ **مفتوح للأعلى**، وبالتالي للدالة **قيمة صغرى** (حد أدنى) عند الرأس، وليس لها قيمة عظمى.
3. **الخطوة 3: إيجاد الرأس والقيمة الصغرى** 1. **إحداثي $x$ للرأس ($h$):** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1$. 2. **إحداثي $y$ للرأس ($k$):** $k = f(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. 3. ∴ **الرأس** هو $(1, 2)$. 4. **القيمة الصغرى** للدالة هي $k = 2$.
4. **الخطوة 4: إيجاد محور التماثل والمقطع الصادي ونقاط مساعدة** - **محور التماثل:** $x = 1$. - **المقطع الصادي:** عند $x=0$, $y=3$ → النقطة $(0,3)$. - **نقاط مساعدة للرسم:** | $x$ | $y = x^2 - 2x + 3$ | $(x, y)$ | |-----|-------------------|-----------| | -1 | $1+2+3=6$ | (-1, 6) | | 0 | $0+0+3=3$ | (0, 3) | | **1** | $1-2+3=2$ | **(1, 2)** | | 2 | $4-4+3=3$ | (2, 3) | | 3 | $9-6+3=6$ | (3, 6) |
5. **الخطوة 5: تحديد المجال والمدى** - **المجال:** جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$. - **المدى:** لأن الدالة لها قيمة صغرى $k=2$ ومفتوحة لأعلى، فإن $y$ يأخذ جميع القيم الأكبر من أو تساوي 2. ∴ المدى: $y \ge 2$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** التمثيل البياني قطع مكافئ مفتوح لأعلى، رأسه عند $(1, 2)$. للدالة **قيمة صغرى** وهي $2$. **مجال الدالة** هو مجموعة الأعداد الحقيقية، و**مداها** هو $\{ y \in \mathbb{R} \; | \; y \ge 2 \}$.

سؤال 11: مثل الدالة ص = -٣ س٢ + ٦ س + ١٢ بيانيا، وحدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم عظمى، وأوجد القيمة العظمى أو الصغرى، وحدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: الرأس: (15, 1), محور التماثل: 1 = س, المقطع الصادي: 12, قيمة عظمى: 15, المجال: ح, المدى: ص ≤ 15

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = -3x^2 + 6x + 12$ | | المطلوب | 1- التمثيل البياني.<br>2- **نوع القيمة** (صغرى/عظمى) ومقدارها.<br>3- **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: تحديد شكل المنحنى** $y = ax^2 + bx + c$، حيث: $a = -3$, $b = 6$, $c = 12$. - بما أن $a = -3 < 0$، فإن القطع المكافئ **مفتوح للأسفل**. لذلك، للدالة **قيمة عظمى** (حد أقصى) عند الرأس، وليس لها قيمة صغرى.
3. **الخطوة 3: حساب الرأس والقيمة العظمى** 1. **إحداثي $x$ للرأس ($h$):** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \times (-3)} = \frac{-6}{-6} = 1$. 2. **إحداثي $y$ للرأس ($k$):** $k = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 12 = -3 + 6 + 12 = 15$. 3. ∴ **الرأس** هو $(1, 15)$. 4. **القيمة العظمى** للدالة هي $k = 15$.
4. **الخطوة 4: تحديد نقاط الرسم** - **محور التماثل:** $x = 1$. - **المقطع الصادي:** عند $x=0$, $y=12$ → $(0, 12)$. - **نقاط مساعدة:** | $x$ | $y = -3x^2+6x+12$ | $(x, y)$ | |-----|------------------|-----------| | -1 | $-3-6+12=3$ | (-1, 3) | | 0 | $0+0+12=12$ | (0, 12) | | **1** | $-3+6+12=15$ | **(1, 15)** | | 2 | $-12+12+12=12$ | (2, 12) | | 3 | $-27+18+12=3$ | (3, 3) |
5. **الخطوة 5: إيجاد المجال والمدى** - **المجال:** $\mathbb{R}$. - **المدى:** لأن الدالة لها قيمة عظمى $k=15$ ومفتوحة للأسفل، فإن $y$ يأخذ جميع القيم الأصغر من أو تساوي 15. ∴ المدى: $y \le 15$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** يتم رسم قطع مكافئ مفتوح للأسفل برأس عند $(1, 15)$. للدالة **قيمة عظمى** تبلغ $15$. **مجال الدالة** هو جميع الأعداد الحقيقية، و**مداها** هو جميع قيم $y$ التي تساوي $15$ أو أقل منها.

سؤال 12: مثل الدالة ص = - س٢ + ٨ س – ٦ بيانيا، وحدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم عظمى، وأوجد القيمة العظمى أو الصغرى، وحدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: الرأس: (10, 4), محور التماثل: 4 = س, المقطع الصادي: 6-, قيمة عظمى: 10, المجال: ح, المدى: ص ≤ 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = -x^2 + 8x - 6$ | | المطلوب | 1- التمثيل البياني.<br>2- **قيمة عظمى أم صغرى؟** وأوجدها.<br>3- **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: تحديد طبيعة الدالة** $y = ax^2 + bx + c$، $a = -1$, $b = 8$, $c = -6$. - بما أن $a = -1 < 0$، فالقطع المكافئ **مفتوح للأسفل**. لذا، للدالة **قيمة عظمى** (وليس لها قيمة صغرى).
3. **الخطوة 3: إيجاد الرأس والقيمة العظمى** 1. **حساب $h$:** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \times (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$. 2. **حساب $k$:** $k = f(4) = -(4)^2 + 8(4) - 6 = -16 + 32 - 6 = 10$. 3. ∴ **الرأس** $(h, k) = (4, 10)$. 4. **القيمة العظمى** هي $k = 10$.
4. **الخطوة 4: نقاط للمساعدة في الرسم** - **محور التماثل:** $x = 4$. - **المقطع الصادي:** عند $x=0$, $y = -6$ → $(0, -6)$. - **نقاط إضافية:** | $x$ | $y = -x^2+8x-6$ | $(x, y)$ | |-----|----------------|-----------| | 2 | $-4+16-6=6$ | (2, 6) | | 3 | $-9+24-6=9$ | (3, 9) | | **4** | $-16+32-6=10$ | **(4, 10)** | | 5 | $-25+40-6=9$ | (5, 9) | | 6 | $-36+48-6=6$ | (6, 6) |
5. **الخطوة 5: تحديد المجال والمدى** - **المجال:** $\mathbb{R}$. - **المدى:** القيمة العظمى هي 10، والمنحنى مفتوح للأسفل، لذا: $\{ y \in \mathbb{R} \; | \; y \le 10 \}$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** المنحنى المكافئ للدالة مفتوح للأسفل، ورأسه الأعلى عند $(4, 10)$. للدالة **قيمة عظمى** مقدارها $10$. **مجالها** هو $\mathbb{R}$، و**مداها** هو جميع الأعداد الحقيقية $y$ التي تحقق $y \le 10$.

سؤال 13: مثل الدالة ص = -٣ س٢ + ٦ س + ٤ بيانيا، وحدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم عظمى، وأوجد القيمة العظمى أو الصغرى، وحدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: الرأس: (7, 1), محور التماثل: 1 = س, المقطع الصادي: 4, قيمة عظمى: 7, المجال: ح, المدى: ص ≤ 7

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = -3x^2 + 6x + 4$ | | المطلوب | 1- رسم بياني.<br>2- **نوع القيمة** و مقدارها.<br>3- **المجال** و **المدى**. |
2. **الخطوة 2: تحليل المعاملات** $a = -3$, $b = 6$, $c = 4$. - بما أن $a < 0$، فالقطع المكافئ **مفتوح للأسفل**. للدالة **قيمة عظمى** فقط.
3. **الخطوة 3: حساب الرأس والقيمة العظمى** 1. **إحداثي $x$ للرأس:** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \times (-3)} = \frac{-6}{-6} = 1$. 2. **إحداثي $y$ للرأس:** $k = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 4 = -3 + 6 + 4 = 7$. 3. ∴ **الرأس** $(1, 7)$. 4. **القيمة العظمى** $= 7$.
4. **الخطوة 4: محور التماثل والمقطع الصادي ونقاط أخرى** - **محور التماثل:** $x = 1$. - **المقطع الصادي:** $(0, 4)$. - **جدول قيم:** | $x$ | $y = -3x^2+6x+4$ | $(x, y)$ | |-----|------------------|-----------| | -1 | $-3-6+4=-5$ | (-1, -5) | | 0 | $0+0+4=4$ | (0, 4) | | **1** | $-3+6+4=7$ | **(1, 7)** | | 2 | $-12+12+4=4$ | (2, 4) | | 3 | $-27+18+4=-5$ | (3, -5) |
5. **الخطوة 5: المجال والمدى** - **المجال:** جميع الأعداد الحقيقية. - **المدى:** بسبب القيمة العظمى $k=7$ وفتح المنحنى للأسفل: المدى: $\{ y \; | \; y \le 7 \}$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** الشكل البياني قطع مكافئ مقلوب (مفتوح للأسفل) يرتفع حتى رأسه عند $(1,7)$ ثم ينخفض. **أعلى قيمة** للدالة هي $7$ (قيمة عظمى). **مجالها** هو $\mathbb{R}$، و**مداها** هو جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي $7$.

سؤال 14: مثل الدالة ص = -٢ س٢ + ٤ س + ١٥ بيانيا، وحدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم عظمى، وأوجد القيمة العظمى أو الصغرى، وحدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: الرأس: (17, 1), محور التماثل: 1 = س, المقطع الصادي: 15, قيمة عظمى: 17, المجال: ح, المدى: ص ≤ 17

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = -2x^2 + 4x + 15$ | | المطلوب | تمثيل بياني، تحديد **قيمة عظمى/صغرى** وإيجادها، **المجال**، **المدى**. |
2. **الخطوة 2: تحديد اتجاه الفتحة** $a = -2$، $b = 4$، $c = 15$. $ a < 0 $ → القطع المكافئ **مفتوح للأسفل** → للدالة **قيمة عظمى**.
3. **الخطوة 3: إيجاد القيمة العظمى (الرأس)** 1. $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$. 2. $k = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 15 = -2 + 4 + 15 = 17$. 3. **الرأس** $(1, 17)$. 4. **القيمة العظمى** $= 17$.
4. **الخطوة 4: نقاط الرسم البياني** - **محور التماثل:** $x = 1$. - **المقطع الصادي:** $(0, 15)$. - **نقاط إضافية:** | $x$ | $y = -2x^2+4x+15$ | $(x, y)$ | |-----|-------------------|-----------| | -1 | $-2-4+15=9$ | (-1, 9) | | 0 | $0+0+15=15$ | (0, 15) | | **1** | $-2+4+15=17$ | **(1, 17)** | | 2 | $-8+8+15=15$ | (2, 15) | | 3 | $-18+12+15=9$ | (3, 9) |
5. **الخطوة 5: المجال والمدى** - **المجال:** $\mathbb{R}$. - **المدى:** $y \le 17$ (لأن القيمة العظمى هي 17).
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** يُرسم قطع مكافئ مقلوب رأسه عند $(1, 17)$. للدالة **قيمة عظمى** تبلغ $17$. **مجال الدالة** شامل لجميع الأعداد الحقيقية، و**مداها** محصور بالقيم $y$ التي لا تتجاوز $17$.

سؤال 15: مثل الدالة ص = - س٢ – ٢ س + ٤ بيانيا، وحدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم عظمى، وأوجد القيمة العظمى أو الصغرى، وحدد مجال الدالة ومداها.

الإجابة: الرأس: (5, 1-), محور التماثل: 1- = س, المقطع الصادي: 4, قيمة عظمى: 5, المجال: ح, المدى: ص ≤ 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | الدالة | $y = -x^2 - 2x + 4$ | | المطلوب | رسم بياني، **نوع القيمة** ومقدارها، **المجال**، **المدى**. |
2. **الخطوة 2: تحليل اتجاه القطع المكافئ** $a = -1$, $b = -2$, $c = 4$. معامل $x^2$ سالب ($a<0$) → **مفتوح للأسفل** → **قيمة عظمى**.
3. **الخطوة 3: حساب الرأس والقيمة العظمى** 1. $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \times (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$. 2. $k = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$. 3. **الرأس** $(-1, 5)$. 4. **القيمة العظمى** $= 5$.
4. **الخطوة 4: عناصر الرسم** - **محور التماثل:** $x = -1$. - **المقطع الصادي:** $(0, 4)$. - **جدول قيم حول الرأس:** | $x$ | $y = -x^2-2x+4$ | $(x, y)$ | |-----|----------------|-----------| | -3 | $-9+6+4=1$ | (-3, 1) | | -2 | $-4+4+4=4$ | (-2, 4) | | **-1** | $-1+2+4=5$ | **(-1, 5)** | | 0 | $0+0+4=4$ | (0, 4) | | 1 | $-1-2+4=1$ | (1, 1) |
5. **الخطوة 5: إيجاد المجال والمدى** - **المجال:** $\mathbb{R}$. - **المدى:** بما أن $a<0$، وأعلى قيمة هي $k=5$، فإن: المدى: $y \le 5$.
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** التمثيل البياني ينتج قطعاً مكافئاً مفتوحاً للأسفل، ذروته (رأسه) عند $(-1, 5)$. للدالة **قيمة عظمى** هي $5$. **مجالها** هو مجموعة الأعداد الحقيقية، و**مداها** هو $\{ y \in \mathbb{R} \; | \; y \le 5 \}$.

سؤال 16: كرة قدم: يقذف ياسر كرة في الهواء، وفق المعادلة ص = -١٦ س٢ + ١٦ س + ٥ حيث تمثل (ص) ارتفاع الكرة بالأقدام بعد (س) ثانية. أ) مثل هذه الدالة بيانيا. ب) ما الارتفاع الذي قذفت منه الكرة؟ ج) ما أقصى ارتفاع تصله الكرة من سطح الأرض؟

الإجابة: أ) شكل بياني مفتوح للأسفل، الرأس (1, 1.5). ب) 5 أقدام. ج) 9 أقدام.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعلوم | الوصف | |---------|-------| | معادلة الارتفاع | $y = -16x^2 + 16x + 5$ | | الرمز $y$ | **الارتفاع** بالأقدام | | الرمز $x$ | **الزمن** بالثواني | | المطلوب | أ- **رسم بياني**.<br>ب- **ارتفاع القذف** (الارتفاع الابتدائي).<br>ج- **أقصى ارتفاع**. |
2. **الخطوة 2: تحليل المعادلة** المعادلة تربيعية: $a = -16$, $b = 16$, $c = 5$. - $a < 0$ → المنحنى **مفتوح للأسفل** (كالقذف ثم السقوط). - **ارتفاع القذف** هو الارتفاع عند الزمن $x=0$ (بداية الحركة)، وهو $c = 5$ أقدام.
3. **الخطوة 3: إجابة (ب) – ارتفاع القذف** عند $x = 0$ ثانية: $y = -16(0)^2 + 16(0) + 5 = 5$. ∴ **الارتفاع الذي قذفت منه الكرة = 5 أقدام.**
4. **الخطوة 4: إجابة (ج) – أقصى ارتفاع (الرأس)** 1. **زمن الوصول للذروة ($h$):** $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-16}{2 \times (-16)} = \frac{-16}{-32} = 0.5$ ثانية. 2. **حساب أقصى ارتفاع ($k$):** $k = f(0.5) = -16(0.5)^2 + 16(0.5) + 5 = -16(0.25) + 8 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$. 3. ∴ **أقصى ارتفاع تصله الكرة = 9 أقدام.**
5. **الخطوة 5: إجابة (أ) – التمثيل البياني** - **الرأس:** $(0.5, 9)$. - **المقطع الصادي:** $(0, 5)$. - **نقاط مساعدة:** | $x$ (ث) | $y = -16x^2+16x+5$ (قدم) | $(x, y)$ | |---------|--------------------------|-----------| | 0 | 5 | (0, 5) | | 0.25 | $-1+4+5=8$ | (0.25, 8) | | **0.5** | $-4+8+5=9$ | **(0.5, 9)** | | 0.75 | $-9+12+5=8$ | (0.75, 8) | | 1 | $-16+16+5=5$ | (1, 5) | | 1.25 | $-25+20+5=0$ | (1.25, 0) | > **ملاحظة:** النقطة (1.25, 0) تمثل لحظة عودة الكرة للأرض (ارتفاع صفر).
6. **الخطوة 6: الإجابة النهائية** أ) **الرسم البياني:** قطع مكافئ مفتوح للأسفل، يبدأ من النقطة $(0, 5)$، يصعد إلى الذروة $(0.5, 9)$، ثم يعود ليقطع محور $x$ تقريباً عند $x \approx 1.25$ ثانية. ب) **ارتفاع القذف:** $\mathbf{5}$ **أقدام**. ج) **أقصى ارتفاع:** $\mathbf{9}$ **أقدام** فوق سطح الأرض.

ما هي صيغة إيجاد إحداثي $x$ للرأس ($h$) لدالة تربيعية بالصورة القياسية $y = ax^2 + bx + c$؟

• أ) $h = \frac{-b}{a}$
• ب) $h = \frac{b}{2a}$
• ج) $h = \frac{-b}{2a}$
• د) $h = \frac{2a}{-b}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $h = \frac{-b}{2a}$

الشرح: إحداثي $x$ للرأس ($h$) هو محور التماثل للقطع المكافئ، ويُحسب مباشرة من معاملات الدالة $a$ و $b$ في صيغة $h = \frac{-b}{2a}$.

تلميح: فكر في العلاقة بين معاملات الدالة التربيعية وإحداثيات الرأس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

كيف تحدد ما إذا كانت الدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$ لها قيمة عظمى أم صغرى؟

• أ) إذا كان $b > 0$ فلها قيمة عظمى، وإذا كان $b < 0$ فلها قيمة صغرى.
• ب) إذا كان $a > 0$ فلها قيمة صغرى، وإذا كان $a < 0$ فلها قيمة عظمى.
• ج) إذا كان $c > 0$ فلها قيمة عظمى، وإذا كان $c < 0$ فلها قيمة صغرى.
• د) تحددها قيمة الرأس فقط ولا علاقة لها بمعامل $a$.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا كان $a > 0$ فلها قيمة صغرى، وإذا كان $a < 0$ فلها قيمة عظمى.

الشرح: يحدد معامل $x^2$ ($a$) اتجاه فتح القطع المكافئ. إذا كان $a$ موجباً، يفتح القطع للأعلى وتكون هناك قيمة صغرى. إذا كان $a$ سالباً، يفتح للأسفل وتكون هناك قيمة عظمى.

تلميح: انظر إلى إشارة معامل $x^2$.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هو مجال الدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$؟

• أ) مجموعة الأعداد الموجبة فقط.
• ب) مجموعة الأعداد الحقيقية ($\mathbb{R}$).
• ج) مجموعة الأعداد الصحيحة فقط.
• د) القيم الأكبر من أو تساوي إحداثي $x$ للرأس.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مجموعة الأعداد الحقيقية ($\mathbb{R}$).

الشرح: يمكن تعويض أي عدد حقيقي بالمتغير $x$ في الدالة التربيعية والحصول على قيمة $y$ مقابلة. لذلك، مجال جميع الدوال التربيعية هو مجموعة الأعداد الحقيقية ($\mathbb{R}$).

تلميح: فكر في جميع القيم الممكنة للمتغير $x$.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

كيف يتم تحديد مدى الدالة التربيعية التي لها قيمة صغرى (مفتوحة للأعلى)؟

• أ) المدى هو جميع قيم $y$ الأصغر من أو تساوي إحداثي $y$ للرأس ($k$)، أي $y \le k$.
• ب) المدى هو جميع الأعداد الحقيقية.
• ج) المدى هو جميع قيم $y$ الأكبر من أو تساوي إحداثي $y$ للرأس ($k$)، أي $y \ge k$.
• د) المدى هو جميع قيم $x$ الأكبر من أو تساوي إحداثي $x$ للرأس ($h$)، أي $x \ge h$.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المدى هو جميع قيم $y$ الأكبر من أو تساوي إحداثي $y$ للرأس ($k$)، أي $y \ge k$.

الشرح: عندما تكون الدالة التربيعية مفتوحة للأعلى، فإن أدنى نقطة هي الرأس. إحداثي $y$ للرأس ($k$) هو القيمة الصغرى، وكل قيم $y$ الأخرى تكون أكبر منها. لذا، المدى هو $y \ge k$.

تلميح: تذكر أن القيمة الصغرى هي أقل قيمة يمكن أن تصلها الدالة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في معادلة تمثل حركة جسم مقذوف رأسياً مثل $y = -16x^2 + bx + c$ (حيث $y$ الارتفاع و $x$ الزمن)، ماذا يمثل الثابت $c$؟

• أ) أقصى ارتفاع يصله الجسم.
• ب) الزمن الذي يصل فيه الجسم لأقصى ارتفاع.
• ج) الارتفاع الابتدائي الذي قُذف منه الجسم.
• د) قوة دفع القذف.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الارتفاع الابتدائي الذي قُذف منه الجسم.

الشرح: في معادلة الارتفاع $y = ax^2 + bx + c$، يمثل $c$ الارتفاع عندما يكون الزمن $x = 0$. وهذا هو الارتفاع الذي يبدأ منه الجسم حركته (الارتفاع الابتدائي).

تلميح: فكر في اللحظة الزمنية التي يبدأ فيها القذف.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط