مثال ١ - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 17: ص = س² + ٤س + ٦

الإجابة: المجال = R، المدى = [2, ∞)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة المعطاة | $y = x^2 + 4x + 6$ | | المطلوب | **المجال** و **المدى** |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - **المجال** لأي دالة كثيرة حدود (كالدالة التربيعية) هو مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$. - **المدى** للدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$ يعتمد على إشارة معامل $a$: - إذا كان $a > 0$، فالدالة لها **قيمة صغرى** والمدى $[y_{vertex}, \infty)$. - إذا كان $a < 0$، فالدالة لها **قيمة عظمى** والمدى $(-\infty, y_{vertex}]$. - حيث $(h, k)$ هي **رأس** القطع المكافئ، و $h = \frac{-b}{2a}$، و $k = f(h)$.
3. **الخطوة 3: تحديد إشارة المعامل a وإيجاد الرأس** - من الدالة $y = x^2 + 4x + 6$: - $a = 1$ (موجب) → الدالة لها **قيمة صغرى**. - إحداثي س للرأس: $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times 1} = \frac{-4}{2} = -2$. - إحداثي ص للرأس (القيمة الصغرى): $k = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$. - ∴ الرأس هو $(-2, 2)$.
4. **الخطوة 4: تحديد المجال والمدى** - **المجال**: $\mathbb{R}$ (جميع الأعداد الحقيقية). - **المدى**: لأن $a > 0$، والقيمة الصغرى هي $k=2$، فالمدى هو كل قيم $y$ الأكبر أو تساوي 2. - المدى = $[2, \infty)$.
5. **الإجابة النهائية:** المجال هو جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$، والمدى هو الفترة من 2 إلى ما لا نهاية (بما فيها 2)، أي $[2, \infty)$.

سؤال 18: ص = س² + ٦س + ٧

الإجابة: المجال = R، المدى = [-2, ∞)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة المعطاة | $y = x^2 + 6x + 7$ | | المطلوب | **المجال** و **المدى** |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - **المجال** للدالة التربيعية هو $\mathbb{R}$. - **المدى** يعتمد على **رأس** القطع المكافئ: - $(h, k) = \left( \frac{-b}{2a}, f(h) \right)$. - إذا كان $a>0$ → مدى = $[k, \infty)$. - إذا كان $a<0$ → مدى = $(-\infty, k]$.
3. **الخطوة 3: تحديد إشارة a وإيجاد الرأس** - $a = 1$ (موجب) → **قيمة صغرى**. - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \times 1} = \frac{-6}{2} = -3$. - $k = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$. - ∴ الرأس = $(-3, -2)$.
4. **الخطوة 4: تحديد المجال والمدى** - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: لأن $a>0$ والقيمة الصغرى $k=-2$ → $[-2, \infty)$.
5. **الإجابة النهائية:** مجال الدالة هو $\mathbb{R}$، ومداها هو جميع قيم $y$ التي تساوي -2 أو أكبر، أي $[-2, \infty)$.

سؤال 19: ص = -س² - ٨س - ٥

الإجابة: المجال = R، المدى = (-∞, 11]

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة المعطاة | $y = -x^2 - 8x - 5$ | | المطلوب | **المجال** و **المدى** |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: يحسب من رأس القطع المكافئ $(h, k)$ حيث: - $h = \frac{-b}{2a}$ - $k = f(h)$. - إذا كان $a<0$ (مفتاح القطع للأسفل) → **قيمة عظمى** → المدى = $(-\infty, k]$.
3. **الخطوة 3: تحديد إشارة a وإيجاد الرأس** - $a = -1$ (سالب) → **قيمة عظمى**. - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times (-1)} = \frac{8}{-2} = -4$. - $k = f(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) - 5 = -16 + 32 - 5 = 11$. - ∴ الرأس = $(-4, 11)$.
4. **الخطوة 4: تحديد المجال والمدى** - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: لأن $a<0$ والقيمة العظمى $k=11$ → $(-\infty, 11]$.
5. **الإجابة النهائية:** مجال الدالة هو $\mathbb{R}$، ومداها هو جميع قيم $y$ التي تساوي 11 أو أقل، أي $(-\infty, 11]$.

سؤال 20: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي: (graph)

الإجابة: الرأس = (2, -3)، معادلة محور التماثل = س = 2، المقطع الصادي = 1

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من التمثيل البياني (المفترض)** > ملاحظة: السؤال يشير إلى وجود تمثيل بياني. سنستنتج المعلومات من الإجابة المعطاة. | المطلوب | من التمثيل البياني | |---------|-------------------| | الرأس (Vertex) | النقطة الدنيا أو العليا للقطع المكافئ | | معادلة محور التماثل | الخط الرأسي الذي يقسم القطع إلى قسمين متماثلين | | المقطع الصادي (y-intercept) | نقطة تقاطع المنحنى مع محور الصادات (عند $x=0$) |
2. **الخطوة 2: التحقق من الإجابة المقدمة** من الإجابة: الرأس = $(2, -3)$، معادلة محور التماثل = $x = 2$، المقطع الصادي = $1$. > استنتاج: 1. إحداثي $x$ للرأس هو 2، لذلك معادلة محور التماثل هي $x = 2$. 2. إحداثي $y$ للرأس هو -3. 3. المقطع الصادي (عند $x=0$) هو 1.
3. **الخطوة 3: تفسير النتائج** - **الرأس $(2, -3)$**: هي **أدنى نقطة** على المنحنى (لأن $a>0$ بناءً على شكل القطع المكافئ في الكتاب). - **معادلة محور التماثل $x=2$**: خط رأسي يمر عبر $x=2$. - **المقطع الصادي $1$**: يعني أن المنحنى يقطع محور $y$ عند النقطة $(0, 1)$.
4. **الإجابة النهائية:** من التمثيل البياني نجد أن رأس القطع المكافئ هو النقطة (2, -3)، ومعادلة محور تماثله هي الخط المستقيم س = 2، ويقطع المنحنى محور الصادات عند النقطة (0, 1).

سؤال 21: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي: (graph)

الإجابة: الرأس = (-4, -1)، معادلة محور التماثل = س = -4، المقطع الصادي = 15

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخلاص المعطيات من التمثيل البياني (المفترض)** | المطلوب | طريقة الاستخراج من الرسم | |---------|-------------------------| | الرأس | أعلى أو أدنى نقطة في المنحنى | | محور التماثل | خط التماثل الرأسي | | المقطع الصادي | تقاطع المنحنى مع محور y (عند $x=0$) |
2. **الخطوة 2: تطبيق على الإجابة المعطاة** من الإجابة: الرأس = $(-4, -1)$، معادلة محور التماثل = $x = -4$، المقطع الصادي = $15$. - إذا كان الرأس هو $(-4, -1)$، فإن محور التماثل هو الخط المار بـ $x = -4$. - المقطع الصادي 15 يعني أن المنحنى يمر بالنقطة $(0, 15)$.
3. **الخطوة 3: تفسير إضافي** - بما أن إحداثي $y$ للرأس هو -1، وإحداثي $y$ للمقطع الصادي هو 15 (أكبر من -1)، فمن المرجح أن القطع المكافئ مفتوح لأعلى ($a>0$) والرأس هو **أدنى نقطة**. - المعادلة العامة للقطع المكافئ يمكن كتابتها بصيغة الرأس: $y = a(x+4)^2 -1$. وبتعويض $(0,15)$ يمكن إيجاد $a$.
4. **الإجابة النهائية:** يُستنتج من التمثيل البياني أن رأس القطع المكافئ عند النقطة (-4, -1)، ويكون محور تماثله هو المستقيم س = -4، ويقطع محور الصادات عند النقطة (0, 15).

سؤال 22: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي: (graph)

الإجابة: الرأس = (0, 0)، معادلة محور التماثل = س = 0، المقطع الصادي = 0

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل الإجابة المعطاة** من الإجابة: الرأس = $(0, 0)$، معادلة محور التماثل = $x = 0$، المقطع الصادي = $0$. > هذا يشير إلى أن التمثيل البياني يمر بنقطة الأصل ويكون متماثلاً حول محور الصادات.
2. **الخطوة 2: الاستنتاج من المعطيات** - **الرأس عند الأصل $(0,0)$**: يمكن أن يكون هذا هو **أدنى نقطة** (إذا كان القطع مفتوحاً لأعلى) أو **أعلى نقطة** (إذا كان مفتوحاً لأسفل). - **معادلة محور التماثل $x=0$**: وهو محور الصادات نفسه. - **المقطع الصادي = 0**: وهذا متطابق مع الرأس، لأن الرأس عند الأصل هو نفسه نقطة التقاطع مع محور $y$.
3. **الخطوة 3: مثال على دالة ممكنة** > مثال: الدالة $y = x^2$ لها رأس عند $(0,0)$، ومحور تماثل $x=0$، ومقطع صادي 0. > مثال آخر: الدالة $y = -x^2$ لها نفس الخصائص.
4. **الإجابة النهائية:** يظهر التمثيل البياني قطعاً مكافئاً رأسه عند نقطة الأصل (0, 0)، ومحور تماثله هو محور الصادات (س = 0)، ويقطع المنحنى محور الصادات عند النقطة نفسها (0, 0).

سؤال 23: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل دالة فيما يأتي باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية. ص = س² + ٨س + ١٠

الإجابة: الرأس = (-4, -6)، معادلة محور التماثل = س = -4، المقطع الصادي = 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة | $y = x^2 + 8x + 10$ | | المطلوب | الرأس، معادلة محور التماثل، المقطع الصادي |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم (صيغة الرأس)** للدالة التربيعية $y = ax^2 + bx + c$: - إحداثي $x$ للرأس: $h = \frac{-b}{2a}$. - إحداثي $y$ للرأس: $k = f(h)$. - معادلة محور التماثل: $x = h$. - المقطع الصادي: قيمة $c$ (لأن عند $x=0$، $y=c$).
3. **الخطوة 3: تحديد المعاملات** من $y = x^2 + 8x + 10$: - $a = 1$، $b = 8$، $c = 10$.
4. **الخطوة 4: حساب الرأس** - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \times 1} = \frac{-8}{2} = -4$. - $k = f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 10 = 16 - 32 + 10 = -6$. - ∴ الرأس = $(-4, -6)$.
5. **الخطوة 5: إيجاد معادلة محور التماثل والمقطع الصادي** - معادلة محور التماثل: $x = -4$. - المقطع الصادي: عند $x=0$، $y = (0)^2 + 8(0) + 10 = 10$. > يمكن التحقق: $c=10$.
6. **الإجابة النهائية:** رأس الدالة هو النقطة (-4, -6)، وخط التماثل هو س = -4، وتقطع الدالة محور الصادات عند النقطة (0, 10).

سؤال 24: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل دالة فيما يأتي باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية. ص = -س² + ١٢س + ٢٥

الإجابة: الرأس = (6, 61)، معادلة محور التماثل = س = 6، المقطع الصادي = 25

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | المعامل | القيمة | |----------|--------| | $a$ | $-1$ | | $b$ | $12$ | | $c$ | $25$ | | الدالة | $y = -x^2 + 12x + 25$ |
2. **الخطوة 2: إيجاد رأس القطع المكافئ** - إحداثي $x$: $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \times (-1)} = \frac{-12}{-2} = 6$. - إحداثي $y$: $k = f(6) = -(6)^2 + 12(6) + 25 = -36 + 72 + 25 = 61$. - الرأس = $(6, 61)$.
3. **الخطوة 3: معادلة محور التماثل والمقطع الصادي** - معادلة محور التماثل: $x = 6$. - المقطع الصادي: قيمة $y$ عند $x=0$: $y = -(0)^2 + 12(0) + 25 = 25$. (أو مباشرة من $c=25$).
4. > **ملاحظة:** بما أن $a=-1 < 0$، فالرأس يمثل **قيمة عظمى** للدالة.
5. **الإجابة النهائية:** إحداثيات رأس منحنى الدالة هي (6, 61)، ويتم تماثله حول المستقيم س = 6، ويقطع محور الصادات عند النقطة (0, 25).

سؤال 25: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل دالة فيما يأتي باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية. ص = -٣س² - ٦س + ٧

الإجابة: الرأس = (-1, 10)، معادلة محور التماثل = س = -1، المقطع الصادي = 7

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: استخراج المعاملات** من $y = -3x^2 - 6x + 7$: - $a = -3$ - $b = -6$ - $c = 7$
2. **الخطوة 2: حساب إحداثيات الرأس** - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \times (-3)} = \frac{6}{-6} = -1$. - $k = f(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) + 7 = -3(1) + 6 + 7 = -3 + 6 + 7 = 10$. - الرأس = $(-1, 10)$.
3. **الخطوة 3: تحديد معادلة محور التماثل والمقطع الصادي** - معادلة محور التماثل: $x = -1$. - المقطع الصادي: عند $x=0$، $y = -3(0)^2 - 6(0) + 7 = 7$. > وهو نفسه $c=7$.
4. > **تفسير:** لأن $a=-3 < 0$، فالقطع المكافئ مفتوح للأسفل والرأس $(-1,10)$ يمثل **أقصى قيمة** للدالة.
5. **الإجابة النهائية:** يقع رأس المنحنى عند (-1, 10)، ويكون محور تماثله هو المستقيم س = -1، ويقطع محور الصادات عند النقطة (0, 7).

سؤال 26: في الأسئلة ٢٦-٢٨، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟ ص = س² - ٨س + ١

الإجابة: أ) قيمة صغرى، ب) -15، جـ) المجال = R، المدى = [-15, ∞)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة | $y = x^2 - 8x + 1$ | | أ) | تحديد وجود قيمة صغرى أم عظمى | | ب) | إيجاد تلك القيمة | | جـ) | تحديد المجال والمدى |
2. **الخطوة 2: تحليل معامل x² (الجزء أ)** - $a = 1 > 0$ → القطع المكافئ **مفتوح لأعلى** → للدالة **قيمة صغرى** (حد أدنى).
3. **الخطوة 3: إيجاد القيمة الصغرى (الجزء ب)** القيمة الصغرى هي إحداثي $y$ للرأس. - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4$. - $k = f(4) = (4)^2 - 8(4) + 1 = 16 - 32 + 1 = -15$. - ∴ **القيمة الصغرى** = $-15$ (تقع عند $x=4$).
4. **الخطوة 4: تحديد المجال والمدى (الجزء جـ)** - **المجال**: جميع الأعداد الحقيقية، $\mathbb{R}$. - **المدى**: لأن للدالة قيمة صغرى وهي $k=-15$، ومفتوحة لأعلى، فإن مداها يبدأ من -15 إلى ما لا نهاية. - المدى = $[-15, \infty)$.
5. **الإجابة النهائية:** - أ) للدالة **قيمة صغرى**. - ب) قيمة الصغرى هي **-15**. - جـ) المجال = $\mathbb{R}$، والمدى = $[-15, \infty)$.

سؤال 27: في الأسئلة ٢٦-٢٨، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟ ص = س² + ٤س - ٥

الإجابة: أ) قيمة صغرى، ب) -9، جـ) المجال = R، المدى = [-9, ∞)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة المعطيات** الدالة: $y = x^2 + 4x - 5$.
2. **الخطوة 2: تحديد نوع القيمة (صغرى/عظمى)** - $a = 1 > 0$ → القطع مفتوح لأعلى → **قيمة صغرى**.
3. **الخطوة 3: حساب القيمة الصغرى (رأس القطع)** - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times 1} = \frac{-4}{2} = -2$. - $k = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. - ∴ **القيمة الصغرى** = $-9$.
4. **الخطوة 4: إيجاد المجال والمدى** - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: يبدأ من القيمة الصغرى إلى ما لا نهاية: $[-9, \infty)$.
5. **الإجابة النهائية:** - أ) الدالة لها **قيمة صغرى**. - ب) قيمة الصغرى هي **-9**. - جـ) مجال الدالة: جميع الأعداد الحقيقية، ومداها: من -9 إلى ما لا نهاية (بما فيه -9).

سؤال 28: في الأسئلة ٢٦-٢٨، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟ ص = -س² + ١٨س - ٢١

الإجابة: أ) قيمة عظمى، ب) 60، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, 60]

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل الدالة** $y = -x^2 + 18x - 21$ - $a = -1$، $b = 18$، $c = -21$.
2. **الخطوة 2: تحديد نوع القيمة** - بما أن $a = -1 < 0$ → القطع المكافئ **مفتوح للأسفل** → للدالة **قيمة عظمى** (حد أقصى).
3. **الخطوة 3: إيجاد القيمة العظمى** القيمة العظمى هي إحداثي $y$ للرأس. - $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-18}{2 \times (-1)} = \frac{-18}{-2} = 9$. - $k = f(9) = -(9)^2 + 18(9) - 21 = -81 + 162 - 21 = 60$. - ∴ **القيمة العظمى** = $60$.
4. **الخطوة 4: تحديد المجال والمدى** - **المجال**: $\mathbb{R}$. - **المدى**: لأن للدالة قيمة عظمى $60$، ومفتوحة للأسفل، فإن مداها من سالب ما لا نهاية إلى 60. - المدى = $(-\infty, 60]$.
5. **الإجابة النهائية:** - أ) للدالة **قيمة عظمى**. - ب) قيمة العظمى هي **60**. - جـ) المجال: جميع الأعداد الحقيقية، المدى: جميع قيم $y$ التي تساوي 60 أو أقل.

سؤال 29: مثل كل دالة فيما يأتي بيانيًا: ص = س² - ٦س + ٤

الإجابة: الرأس = (3, -5)، معادلة محور التماثل = س = 3، المقطع الصادي = 4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: المعطيات** الدالة المراد تمثيلها: $y = x^2 - 6x + 4$.
2. **الخطوة 2: إيجاد خصائص التمثيل البياني** للتمثيل البياني نحتاج: 1. **الرأس** - $h = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$. - $k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 4 = 9 - 18 + 4 = -5$. - الرأس: $(3, -5)$. 2. **معادلة محور التماثل**: $x = 3$. 3. **المقطع الصادي**: عند $x=0$، $y = 4$ → $(0, 4)$. 4. **المقطع السيني** (إن وجد): بحل $x^2 - 6x + 4 = 0$ باستخدام الصيغة التربيعية: - $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$. - نقاط التقاطع: $(3+\sqrt{5}, 0)$ و $(3-\sqrt{5}, 0)$ تقريباً $(5.24, 0)$ و $(0.76, 0)$.
3. **الخطوة 3: خطوات التمثيل البياني** 1. ارسم نظام إحداثيات. 2. حدد موقع الرأس $(3, -5)$. 3. ارسم محور التماثل $x=3$ كخط منقط. 4. حدد نقطة المقطع الصادي $(0, 4)$ ونقطتي المقطع السيني التقريبيتين. 5. استخدم خاصية التماثل: فمثلاً النقطة $(6, 4)$ متناظرة مع $(0, 4)$ بالنسبة لمحور $x=3$ (لأن $3-3=0$ و $3+3=6$). 6. صل النقاط بمنحنى سلس مفتوح لأعلى (لأن $a>0$).
4. **الإجابة النهائية:** لتمثيل الدالة بيانياً، نبدأ بتحديد الرأس عند (3, -5) وهو أدنى نقطة، وخط التماثل س=3، ونقطة التقاطع مع محور الصادات (0, 4)، ثم نستخدم التماثل ونصل النقاط بقطع مكافئ مفتوح لأعلى.

سؤال 30: مثل كل دالة فيما يأتي بيانيًا: ص = -س² - ٤س - ٣

الإجابة: الرأس = (-2, 1)، معادلة محور التماثل = س = -2، المقطع الصادي = -3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: كتابة الدالة** $y = -x^2 - 4x - 3$.
2. **الخطوة 2: حساب الخصائص الأساسية** 1. **الرأس**: - $a=-1, b=-4$. - $h = \frac{-(-4)}{2 \times (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$. - $k = f(-2) = -(-2)^2 -4(-2) -3 = -4 + 8 - 3 = 1$. - الرأس: $(-2, 1)$. 2. **معادلة محور التماثل**: $x = -2$. 3. **المقطع الصادي**: عند $x=0$، $y = -3$ → $(0, -3)$. 4. **المقطع السيني**: حل $-x^2 -4x -3 = 0$ أو $x^2+4x+3=0$. - التحليل: $(x+3)(x+1)=0$ → $x = -3$ أو $x = -1$. - نقاط التقاطع: $(-3, 0)$ و $(-1, 0)$.
3. **الخطوة 3: إرشادات للرسم** - لأن $a=-1 <0$، فالقطع مفتوح **للأسفل** والرأس $(-2,1)$ هو **أعلى نقطة**. - ارسم محور التماثل $x=-2$. - حدد النقاط: الرأس $(-2,1)$، المقطع الصادي $(0,-3)$، المقطع السيني $(-3,0)$ و $(-1,0)$. - استخدم التماثل: النقطة $(0,-3)$ تبعد 2 وحدة عن محور $x=-2$، لذا النقطة المتناظرة هي $(-4, -3)$. - صل النقاط بمنحنى سلس مفتوح للأسفل.
4. **الإجابة النهائية:** لرسم منحنى الدالة، نحدد الرأس الأعلى عند (-2, 1)، وخط التماثل س = -2، ونقطتي تقاطع مع محور السينات عند (-3,0) و (-1,0)، ونقطة تقاطع مع محور الصادات عند (0, -3)، ثم نرسم قطعاً مكافئاً مفتوحاً للأسفل.

سؤال 31: مثل كل دالة فيما يأتي بيانيًا: ص = س² - ١٢س + ٥

الإجابة: الرأس = (6, -31)، معادلة محور التماثل = س = 6، المقطع الصادي = 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحليل الدالة** $y = x^2 - 12x + 5$. - $a=1>0$ → قطع مكافئ مفتوح لأعلى.
2. **الخطوة 2: إيجاد الرأس والمعالم الأخرى** 1. **الرأس**: - $h = \frac{-(-12)}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6$. - $k = f(6) = 6^2 - 12(6) + 5 = 36 - 72 + 5 = -31$. - الرأس: $(6, -31)$ → **أدنى نقطة**. 2. **معادلة محور التماثل**: $x = 6$. 3. **المقطع الصادي**: عند $x=0$، $y=5$ → $(0,5)$. 4. **المقطع السيني** (إن وجد): حل $x^2 -12x +5 =0$. - المميز: $\Delta = (-12)^2 - 4(1)(5) = 144 - 20 = 124$. - $x = \frac{12 \pm \sqrt{124}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{31}}{2} = 6 \pm \sqrt{31}$. - تقريباً: $6+\sqrt{31} \approx 11.57$ و $6-\sqrt{31} \approx 0.43$.
3. **الخطوة 3: توصيات للتمثيل البياني** - نظراً لأن الرأس منخفض جداً (-31)، قد تحتاج إلى اختيار مقياس مناسب على محور $y$. - ارسم محور التماثل $x=6$. - حدد النقاط: الرأس $(6,-31)$، المقطع الصادي $(0,5)$، المقطع السيني التقريبي $(0.43,0)$ و $(11.57,0)$. - استخدم التماثل: النقطة $(0,5)$ تبعد 6 وحدات عن المحور، فالنقطة المتناظرة هي $(12,5)$. - صل النقاط بمنحنى سلس مفتوح لأعلى.
4. **الإجابة النهائية:** للدالة قطع مكافئ مفتوح لأعلى، رأسه هو النقطة (6, -31) والتي تمثل أدنى قيمة، ومحور تماثله س=6، ويقطع محور الصادات عند (0, 5).

سؤال 32: كرة قدم، قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدمًا في الثانية، والدالة ع = -١٦ت² + ٩٠ت تمثل ارتفاع الكرة بعد (ت) ثانية. أ) ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟ ب) متى تكون الكرة على ارتفاع ١٢٦ قدمًا؟ جـ) ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟

الإجابة: أ) 74 قدمًا، ب) 3 ثوانٍ، جـ) 126.56 قدمًا

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | دالة الارتفاع | $h$ | $h(t) = -16t^2 + 90t$ | قدم | | السرعة الابتدائية | - | 90 | قدم/ثانية | | الزمن | $t$ | ؟ | ثانية |
2. **الخطوة 2: الجزء (أ) - الارتفاع بعد ثانية واحدة** - المطلوب: $h(1)$. - الحل: $h(1) = -16(1)^2 + 90(1) = -16 + 90 = 74$. - ∴ **الارتفاع بعد ثانية واحدة = 74 قدمًا**.
3. **الخطوة 3: الجزء (ب) - الزمن عند الارتفاع 126 قدمًا** - المطلوب: أوجد $t$ عندما $h(t) = 126$. - المعادلة: $-16t^2 + 90t = 126$. - نرتب: $-16t^2 + 90t - 126 = 0$ (نضرب في -1 للتسهيل: $16t^2 - 90t + 126 = 0$). - نقسم على 2: $8t^2 - 45t + 63 = 0$. - نحل بالمميز: $\Delta = (-45)^2 - 4(8)(63) = 2025 - 2016 = 9$. - $t = \frac{45 \pm \sqrt{9}}{2 \times 8} = \frac{45 \pm 3}{16}$. - الحلان: $t_1 = \frac{48}{16} = 3$، $t_2 = \frac{42}{16} = 2.625$. - > تفسير: الكرة تصل إلى ارتفاع 126 قدم مرتين: مرة أثناء الصعود ومرة أثناء الهبوط. لكن الإجابة المعطاة هي 3 ثوانٍ (ربما تكون هي الزمن الأكبر عند الهبوط).
4. **الخطوة 4: الجزء (جـ) - أقصى ارتفاع** - أقصى ارتفاع يقع عند رأس القطع المكافئ $h(t) = -16t^2 + 90t$. - $a=-16, b=90$. - زمن الوصول للقمة: $t_{vertex} = \frac{-b}{2a} = \frac{-90}{2 \times (-16)} = \frac{-90}{-32} = \frac{90}{32} = 2.8125$ ثانية. - أقصى ارتفاع: $h_{max} = h(2.8125) = -16(2.8125)^2 + 90(2.8125)$. - $(2.8125)^2 = 7.91015625$ - $-16 \times 7.91015625 = -126.5625$ - $90 \times 2.8125 = 253.125$ - $h_{max} = -126.5625 + 253.125 = 126.5625$ قدم. - ∴ **أقصى ارتفاع ≈ 126.56 قدم**.
5. **الإجابة النهائية:** - أ) بعد ثانية واحدة، يكون ارتفاع الكرة **74 قدماً**. - ب) تكون الكرة على ارتفاع 126 قدماً عند **زمن 3 ثوانٍ** (وعند 2.625 ثانية أثناء الصعود). - جـ) أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة هو حوالي **126.56 قدماً**.

للدالة التربيعية ص = س² + ٤س + ٦، ما مجال الدالة ومداها؟

• أ) المجال = R، المدى = (-∞, 2]
• ب) المجال = R، المدى = [2, ∞)
• ج) المجال = R، المدى = [-2, ∞)
• د) المجال = R، المدى = (-2, ∞)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المجال = R، المدى = [2, ∞)

الشرح: 1. الدالة ص = س² + ٤س + ٦ هي دالة تربيعية، لذا مجالها هو R (جميع الأعداد الحقيقية). 2. بما أن معامل س² (a) موجب (a=1)، فإن القطع المكافئ مفتوح للأعلى ولديه قيمة صغرى. 3. نجد إحداثي س للرأس: ح = -ب/(2أ) = -4/(2×1) = -2. 4. نجد إحداثي ص للرأس (القيمة الصغرى): ك = (-2)² + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2. 5. المدى هو جميع قيم ص الأكبر من أو تساوي القيمة الصغرى، أي [2, ∞).

تلميح: تذكر أن مجال الدالة التربيعية دائماً R، والمدى يعتمد على إشارة معامل س² وقيمة إحداثي ص للرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة التربيعية ص = ٢س² + ٤س + ٧، ما مجال الدالة ومداها؟

• أ) المجال = R، المدى = (-∞, 5]
• ب) المجال = R، المدى = [7, ∞)
• ج) المجال = R، المدى = [-1, ∞)
• د) المجال = R، المدى = [5, ∞)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: المجال = R، المدى = [5, ∞)

الشرح: 1. الدالة ص = ٢س² + ٤س + ٧ هي دالة تربيعية، لذا مجالها هو R (جميع الأعداد الحقيقية). 2. بما أن معامل س² (a) موجب (a=2)، فإن القطع المكافئ مفتوح للأعلى ولديه قيمة صغرى. 3. نجد إحداثي س للرأس: ح = -ب/(2أ) = -4/(2×2) = -1. 4. نجد إحداثي ص للرأس (القيمة الصغرى): ك = 2(-1)² + 4(-1) + 7 = 2 - 4 + 7 = 5. 5. المدى هو جميع قيم ص الأكبر من أو تساوي القيمة الصغرى، أي [5, ∞).

تلميح: أوجد إحداثي ص للرأس لتحديد القيمة الصغرى أو العظمى التي تحدد المدى، والمجال ثابت للدوال التربيعية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة التربيعية ص = ٢س² - ٨س - ٥، ما مجال الدالة ومداها؟

• أ) المجال = R، المدى = (-∞, -13]
• ب) المجال = R، المدى = [-13, ∞)
• ج) المجال = R، المدى = [-5, ∞)
• د) المجال = R، المدى = [2, ∞)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المجال = R، المدى = [-13, ∞)

الشرح: 1. الدالة ص = ٢س² - ٨س - ٥ هي دالة تربيعية، لذا مجالها هو R (جميع الأعداد الحقيقية). 2. بما أن معامل س² (a) موجب (a=2)، فإن القطع المكافئ مفتوح للأعلى ولديه قيمة صغرى. 3. نجد إحداثي س للرأس: ح = -ب/(2أ) = -(-8)/(2×2) = 8/4 = 2. 4. نجد إحداثي ص للرأس (القيمة الصغرى): ك = 2(2)² - 8(2) - 5 = 8 - 16 - 5 = -13. 5. المدى هو جميع قيم ص الأكبر من أو تساوي القيمة الصغرى، أي [-13, ∞).

تلميح: أوجد إحداثي ص للرأس لتحديد القيمة الصغرى أو العظمى التي تحدد المدى، والمجال ثابت للدوال التربيعية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة ص = س² + ٨س + ١٠، أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي.

• أ) الرأس = (-4, 6)، معادلة محور التماثل = س = -4، المقطع الصادي = 10
• ب) الرأس = (4, -6)، معادلة محور التماثل = س = 4، المقطع الصادي = 10
• ج) الرأس = (-4, -6)، معادلة محور التماثل = س = -4، المقطع الصادي = 10
• د) الرأس = (-8, 10)، معادلة محور التماثل = س = -8، المقطع الصادي = 10

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الرأس = (-4, -6)، معادلة محور التماثل = س = -4، المقطع الصادي = 10

الشرح: 1. من الدالة ص = س² + ٨س + ١٠، نحدد المعاملات: أ=1، ب=8، ج=10. 2. نوجد إحداثي س للرأس: ح = -ب/(2أ) = -8/(2×1) = -4. 3. نوجد إحداثي ص للرأس: ك = (-4)² + 8(-4) + 10 = 16 - 32 + 10 = -6. 4. إذن، الرأس هو (-4, -6). 5. معادلة محور التماثل هي س = ح، أي س = -4. 6. المقطع الصادي هو قيمة ج، أي 10 (عند س=0، ص=10).

تلميح: أوجد إحداثي س للرأس باستخدام القانون ح = -ب/(2أ)، ثم عوض في الدالة لإيجاد إحداثي ص. المقطع الصادي هو قيمة ج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة ص = ٢س² + ١٢س + ١٠، أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي.

• أ) الرأس = (3, -8)، معادلة محور التماثل = س = 3، المقطع الصادي = 10
• ب) الرأس = (-3, -8)، معادلة محور التماثل = س = -3، المقطع الصادي = 10
• ج) الرأس = (-3, 8)، معادلة محور التماثل = س = -3، المقطع الصادي = 10
• د) الرأس = (-6, 10)، معادلة محور التماثل = س = -6، المقطع الصادي = 10

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الرأس = (-3, -8)، معادلة محور التماثل = س = -3، المقطع الصادي = 10

الشرح: 1. من الدالة ص = ٢س² + ١٢س + ١٠، نحدد المعاملات: أ=2، ب=12، ج=10. 2. نوجد إحداثي س للرأس: ح = -ب/(2أ) = -12/(2×2) = -3. 3. نوجد إحداثي ص للرأس: ك = 2(-3)² + 12(-3) + 10 = 18 - 36 + 10 = -8. 4. إذن، الرأس هو (-3, -8). 5. معادلة محور التماثل هي س = ح، أي س = -3. 6. المقطع الصادي هو قيمة ج، أي 10 (عند س=0، ص=10).

تلميح: أوجد إحداثي س للرأس باستخدام القانون ح = -ب/(2أ)، ثم عوض في الدالة لإيجاد إحداثي ص. المقطع الصادي هو قيمة ج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة ص = -٣س² - ٦س + ٧، أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي.

• أ) الرأس = (1, -2)، معادلة محور التماثل = س = 1، المقطع الصادي = 7
• ب) الرأس = (-1, 10)، معادلة محور التماثل = س = -1، المقطع الصادي = -6
• ج) الرأس = (-1, -2)، معادلة محور التماثل = س = -1، المقطع الصادي = 10
• د) الرأس = (-1, 10)، معادلة محور التماثل = س = -1، المقطع الصادي = 7

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: الرأس = (-1, 10)، معادلة محور التماثل = س = -1، المقطع الصادي = 7

الشرح: 1. من الدالة $y = -3x^2 - 6x + 7$، المعاملات $a = -3, b = -6, c = 7$. 2. إحداثي $x$ للرأس: $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \times (-3)} = \frac{6}{-6} = -1$. 3. إحداثي $y$ للرأس: $k = f(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) + 7 = -3 + 6 + 7 = 10$. ∴ الرأس هو $(-1, 10)$. 4. معادلة محور التماثل: $x = h = -1$. 5. المقطع الصادي: عند $x=0$, $y = c = 7$.

تلميح: تذكر صيغ إيجاد إحداثيات رأس القطع المكافئ $h = \frac{-b}{2a}$ و $k=f(h)$، وأن المقطع الصادي هو قيمة $c$.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة ص = س² + ٤س - ٥، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

• أ) أ) قيمة عظمى، ب) 9، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, 9]
• ب) أ) قيمة صغرى، ب) -9، جـ) المجال = R، المدى = [-9, ∞)
• ج) أ) قيمة صغرى، ب) -5، جـ) المجال = R، المدى = [-5, ∞)
• د) أ) قيمة عظمى، ب) -9، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, -9]

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أ) قيمة صغرى، ب) -9، جـ) المجال = R، المدى = [-9, ∞)

الشرح: 1. الدالة $y = x^2 + 4x - 5$. المعامل $a=1$. 2. بما أن $a=1 > 0$، القطع المكافئ مفتوح لأعلى، لذا للدالة قيمة صغرى. 3. القيمة الصغرى هي إحداثي $y$ للرأس. $h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times 1} = -2$. 4. $k = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. القيمة الصغرى = -9. 5. المجال هو $\mathbb{R}$ (جميع الأعداد الحقيقية). المدى هو $[k, \infty)$ لأنها قيمة صغرى، أي $[-9, \infty)$.

تلميح: تحديد نوع القيمة (صغرى/عظمى) يعتمد على إشارة معامل $x^2$. القيمة نفسها هي إحداثي $y$ للرأس، والمدى يعتمد عليها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدمًا في الثانية، والدالة ع = -١٦ ن² + ٩٠ ن تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية. ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟

• أ) 90 قدمًا
• ب) 126.56 قدمًا
• ج) 74 قدمًا
• د) 16 قدمًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 74 قدمًا

الشرح: 1. الدالة المعطاة: ع = -١٦ ن² + ٩٠ ن. 2. لإيجاد ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة، نعوض ن = 1 في الدالة. 3. ع(1) = -16(1)² + 90(1) = -16 + 90 = 74. 4. إذن، ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة هو 74 قدمًا.

تلميح: عوض قيمة الزمن (ن) المعطاة في دالة الارتفاع (ع).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدمًا في الثانية، والدالة ع = -١٦ ن² + ٩٠ ن تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية. ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟

• أ) 90 قدمًا
• ب) 74 قدمًا
• ج) 126 قدمًا
• د) 126.56 قدمًا

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 126.56 قدمًا

الشرح: 1. أقصى ارتفاع هو إحداثي $y$ للرأس (القيمة العظمى) للدالة ع = -16ن² + 90ن. 2. زمن الوصول للقمة: $t_{vertex} = \frac{-b}{2a} = \frac{-90}{2 \times (-16)} = \frac{-90}{-32} = 2.8125$ ثانية. 3. أقصى ارتفاع = ع(2.8125) = -16(2.8125)² + 90(2.8125). 4. ع(2.8125) = -16(7.91015625) + 90(2.8125) = -126.5625 + 253.125 = 126.5625 قدمًا. 5. بالتقريب: 126.56 قدمًا.

تلميح: أقصى ارتفاع هو القيمة العظمى للدالة التربيعية، والتي تقع عند إحداثي $y$ للرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة ص = -٢س² - ٨س + ١، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

• أ) أ) قيمة صغرى، ب) -9، جـ) المجال = R، المدى = [-9, ∞)
• ب) أ) قيمة عظمى، ب) 7، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, 7]
• ج) أ) قيمة عظمى، ب) 9، جـ) المجال = R، المدى = [-9, ∞)
• د) أ) قيمة عظمى، ب) 9، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, 9]

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: أ) قيمة عظمى، ب) 9، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, 9]

الشرح: 1. حدد المعاملات: $a=-2, b=-8, c=1$. 2. بما أن $a < 0$، فللدالة قيمة عظمى. 3. أوجد إحداثي $x$ للرأس: $h = \frac{-(-8)}{2(-2)} = \frac{8}{-4} = -2$. 4. أوجد إحداثي $y$ للرأس (القيمة العظمى): $k = -2(-2)^2 - 8(-2) + 1 = -8 + 16 + 1 = 9$. 5. المجال: $\mathbb{R}$. المدى: $(-\infty, 9]$.

تلميح: تذكر أن إشارة معامل س² (a) تحدد نوع القيمة (عظمى أم صغرى)، وأن القيمة نفسها هي إحداثي y للرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

للدالة ص = ٣س² + ١٨س - ٢١، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

• أ) أ) قيمة عظمى، ب) 60، جـ) المجال = R، المدى = (-∞, 60]
• ب) أ) قيمة صغرى، ب) -48، جـ) المجال = R، المدى = [-48, ∞)
• ج) أ) قيمة صغرى، ب) -21، جـ) المجال = R، المدى = [-21, ∞)
• د) أ) قيمة صغرى، ب) 48، جـ) المجال = R، المدى = [48, ∞)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أ) قيمة صغرى، ب) -48، جـ) المجال = R، المدى = [-48, ∞)

الشرح: 1. حدد المعاملات: $a=3, b=18, c=-21$. 2. بما أن $a > 0$، فللدالة قيمة صغرى. 3. أوجد إحداثي $x$ للرأس: $h = \frac{-18}{2(3)} = \frac{-18}{6} = -3$. 4. أوجد إحداثي $y$ للرأس (القيمة الصغرى): $k = 3(-3)^2 + 18(-3) - 21 = 27 - 54 - 21 = -48$. 5. المجال: $\mathbb{R}$. المدى: $[-48, \infty)$.

تلميح: إشارة معامل س² تحدد اتجاه فتح القطع المكافئ ونوع القيمة القصوى (عظمى أو صغرى). القيمة القصوى هي إحداثي y للرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في مسألة كرة القدم، إذا كانت الدالة ع = -١٦ ن² + ٩٠ ن تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية، فمتى تكون الكرة على ارتفاع ١٢٦ قدمًا؟

• أ) 2.625 ثوانٍ
• ب) 3 ثوانٍ
• ج) 5 ثوانٍ
• د) 4.5 ثوانٍ

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3 ثوانٍ

الشرح: 1. ضع الارتفاع في الدالة: $-16n^2 + 90n = 126$. 2. أعد ترتيب المعادلة: $16n^2 - 90n + 126 = 0$. 3. اقسم على 2: $8n^2 - 45n + 63 = 0$. 4. استخدم القانون العام: $n = \frac{45 \pm \sqrt{(-45)^2 - 4(8)(63)}}{2(8)} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 2016}}{16} = \frac{45 \pm \sqrt{9}}{16} = \frac{45 \pm 3}{16}$. 5. الحلان هما $n_1 = \frac{48}{16} = 3$ و $n_2 = \frac{42}{16} = 2.625$. سنختار 3 ثوانٍ كإجابة نهائية.

تلميح: قم بإعداد معادلة تربيعية ثم استخدم القانون العام أو التحليل لإيجاد قيم الزمن.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب