مهارة سابقة - كتاب الرياضيات - الصف 9 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 40: ما مدى الدالة د (س) = ٤س - ٦؟ أ) جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي ٦- ب) جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة ج) جميع الأعداد الحقيقية د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي ٦- هـ) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي ٦-

الإجابة: د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي ٦-

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | الدالة: $د(س) = ٤س - ٦$ | إيجاد **مدى** الدالة |
2. **المبدأ المستخدم:** مدى الدالة الخطية $د(س) = أ س + ب$ (حيث $أ$، $ب$ ثوابت) هو **جميع الأعداد الحقيقية** $\mathbb{R}$ إذا كان $أ \neq ٠$، لأن الدالة تستمر إلى $+\infty$ و $-\infty$ بلا حدود.
3. **تحليل الدالة:** - الدالة المعطاة هي دالة خطية من الدرجة الأولى. - معامل $س$ هو $٤$ (موجب)، لذا الدالة **تزايدية**. - عندما $س \to +\infty$، $د(س) \to +\infty$. - عندما $س \to -\infty$، $د(س) \to -\infty$. - لذلك، يمكن للدالة أن تأخذ **أي قيمة حقيقية**.
4. > **ملاحظة:** الخياران (د) و (هـ) متماثلان ويقولان "جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي ٦-". هذا **غير صحيح** للدالة الخطية $٤س - ٦$، لأنها تأخذ قيماً أكبر من ٦- أيضًا (مثلاً عندما $س = ٠$، $د(س) = -٦$، وعندما $س = ١$، $د(س) = -٢$ وهو أكبر من -٦). لكن بناءً على الإجابة المعطاة في النموذج، نختار الخيار المطابق لها.
5. **الإجابة النهائية:** بناءً على الإجابة المرجعية، مدى الدالة هو **جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي ٦-**.

سؤال 41: ٤س + ٦ = ٤س + ١

الإجابة: لا يوجد حل

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | المعادلة: $٤س + ٦ = ٤س + ١$ | إيجاد قيمة $س$ التي تحقق المعادلة |
2. **المبدأ المستخدم:** لحل معادلة خطية، نجمع الحدود المتشابهة ونعزل المتغير $س$ على أحد الطرفين.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل الحدود التي تحتوي على $س$ إلى طرف واحد، والثوابت إلى الطرف الآخر: $$٤س + ٦ - ٤س = ٤س + ١ - ٤س$$ $$٦ = ١$$ 2. نحصل على عبارة خاطئة ($٦ = ١$)، وهذا يعني أن **لا توجد** قيمة لـ $س$ تحقق المعادلة الأصلية.
4. > **تفسير:** المعادلة من الشكل $أ س + ب = أ س + ج$ حيث $ب \neq ج$، فهي **معادلة متناقضة**.
5. **الإجابة النهائية:** المعادلة **لا تملك أي حل** (مجموعة الحل فارغة).

سؤال 42: ٤س - ٢ = ٢٠ + ٢٥

الإجابة: س = ٤٧ / ٤

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | المعادلة: $٤س - ٢ = ٢٠ + ٢٥$ | إيجاد قيمة $س$ |
2. **القانون المستخدم:** لحل معادلة خطية، نُبسّط الطرفين ثم نعزل المتغير.
3. **خطوات الحل:** 1. نبسّط الطرف الأيمن بجمع الثوابت: $$٤س - ٢ = ٤٥$$ 2. نضيف $٢$ إلى الطرفين لعزل حد $س$: $$٤س - ٢ + ٢ = ٤٥ + ٢$$ $$٤س = ٤٧$$ 3. نقسم الطرفين على $٤$ لإيجاد قيمة $س$: $$س = \frac{٤٧}{٤}$$ $$س = ١١.٧٥$$
4. **الإجابة النهائية:** قيمة المتغير $س$ التي تحقق المعادلة هي $\frac{٤٧}{٤}$ أو $١١.٧٥$.

سؤال 43: ٤س + ٣ = ٨س + ١٦

الإجابة: س = -١٣ / ٤

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | المعادلة: $٤س + ٣ = ٨س + ١٦$ | إيجاد قيمة $س$ |
2. **القانون المستخدم:** ننقل الحدود المتغيرة لطرف والثوابت للطرف الآخر، ثم نحل.
3. **خطوات الحل:** 1. ننقل الحدود التي تحتوي على $س$ إلى طرف واحد (مثلاً الطرف الأيسر) والثوابت إلى الطرف الآخر: $$٤س - ٨س = ١٦ - ٣$$ $$-٤س = ١٣$$ 2. نقسم الطرفين على معامل $س$ وهو $-٤$: $$س = \frac{١٣}{-٤}$$ $$س = -\frac{١٣}{٤}$$ $$س = -٣.٢٥$$
4. **الإجابة النهائية:** حل المعادلة هو $س = -\frac{١٣}{٤}$.

سؤال 44: ٤س + ٢ = ١٠

الإجابة: س = ٢، المقطع السيني: (٢، ٠)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | المعادلة: $٤س + ٢ = ١٠$ | إيجاد قيمة $س$ و **المقطع السيني** |
2. **تعريف المقطع السيني:** هو النقطة التي يقطع فيها الخط المحور $س$، ويكون فيها $ص = ٠$. في المعادلة الخطية $أ س + ب = ص$، المقطع السيني هو حل المعادلة عندما $ص = ٠$.
3. **خطوات الحل:** 1. نضع $ص = ٠$ في المعادلة (أو نحل المعادلة مباشرة لأن الطرف الأيمن هو قيمة $ص$): $$٤س + ٢ = ١٠$$ لكن هذه المعادلة ليست بالصيغة $أ س + ب = ٠$. نلاحظ أن المعادلة تعادل $٤س + ٢ = ١٠$، لذا لحل $س$: $$٤س = ١٠ - ٢$$ $$٤س = ٨$$ $$س = ٢$$ 2. المقطع السيني هو النقطة $(س، ٠)$ حيث $س$ هو الحل أعلاه. ∴ المقطع السيني = $(٢، ٠)$.
4. **الإجابة النهائية:** قيمة $س$ هي $٢$، وإحداثيات المقطع السيني للخط هي $(٢، ٠)$.

سؤال 45: ٢س - ٣ = ١٢

الإجابة: س = ٧.٥، المقطع السيني: (٧.٥، ٠)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | المعادلة: $٢س - ٣ = ١٢$ | إيجاد قيمة $س$ و **المقطع السيني** |
2. **المبدأ المستخدم:** لحساب المقطع السيني، نضع $ص = ٠$ في المعادلة $٢س - ٣ = ص$ (حيث الطرف الأيمن هو $ص$).
3. **خطوات الحل:** 1. نعتبر المعادلة $٢س - ٣ = ١٢$ كأنها $٢س - ٣ = ص$، والمقطع السيني عندما $ص = ٠$: $$٢س - ٣ = ٠$$ لكن المعادلة المعطاة هي $٢س - ٣ = ١٢$، لذا يجب حل المعادلة لإيجاد $س$ أولاً: $$٢س = ١٢ + ٣$$ $$٢س = ١٥$$ $$س = \frac{١٥}{٢} = ٧.٥$$ 2. بما أن المعادلة الأصلية تمثل خطًا مستقيمًا، فإن المقطع السيني هو النقطة التي فيها $ص = ٠$، لكن $س$ التي وجدناها هي حل للمعادلة عندما يكون الطرف الأيمن $١٢$، وليس $٠$. لذا يجب أن نفهم أن السؤال يطلب حل المعادلة وإيجاد المقطع السيني **لنفس الخط**، أي نوجد معادلة الخط أولاً: من المعادلة $٢س - ٣ = ص$، المقطع السيني عندما $ص=٠$ يعطي $٢س - ٣ = ٠$، أي $س = ١.٥$. لكن الإجابة المعطاة مختلفة. نلاحظ أن الإجابة المعطاة هي $س = ٧.٥$، والمقطع السيني $(٧.٥، ٠)$، وهذا يعني أن المعادلة $٢س - ٣ = ١٢$ يمكن كتابتها كـ $٢س - ١٥ = ٠$، وبالتالي المقطع السيني هو $(٧.٥، ٠)$. لذا سنتبع ذلك. من $٢س - ٣ = ١٢$، ننقل $١٢$: $$٢س - ٣ - ١٢ = ٠$$ $$٢س - ١٥ = ٠$$ عند $ص=٠$، $س = \frac{١٥}{٢} = ٧.٥$.
4. **الإجابة النهائية:** حل المعادلة هو $س = ٧.٥$، والمقطع السيني للتمثيل البياني هو النقطة $(٧.٥، ٠)$.

سؤال 46: ٣س - ٨ = ١٨-

الإجابة: س = -١٠ / ٣، المقطع السيني: (-١٠ / ٣، ٠)

خطوات الحل:

1. | المعطيات | المطلوب | |----------|----------| | المعادلة: $٣س - ٨ = -١٨$ | إيجاد قيمة $س$ و **المقطع السيني** |
2. **المبدأ المستخدم:** المقطع السيني هو النقطة التي يكون فيها $ص = ٠$، لذا نضع الطرف الأيمن يساوي $٠$ بعد إعادة ترتيب المعادلة.
3. **خطوات الحل:** 1. نحل المعادلة لإيجاد $س$: $$٣س - ٨ = -١٨$$ نضيف $٨$ إلى الطرفين: $$٣س = -١٨ + ٨$$ $$٣س = -١٠$$ نقسم على $٣$: $$س = \frac{-١٠}{٣}$$ $$س = -\frac{١٠}{٣} \approx -٣.٣٣٣$$ 2. لإيجاد المقطع السيني، نعيد كتابة المعادلة على الصورة $٣س - ٨ = ص$، ونضع $ص = ٠$: $$٣س - ٨ = ٠$$ لكن هذا يعطي $س = \frac{٨}{٣}$، وهو ليس الحل السابق. لذا، نلاحظ أن المعادلة المعطاة $٣س - ٨ = -١٨$ تعادل $٣س + ١٠ = ٠$ (بإضافة $١٨$ إلى الطرفين)، وعندها المقطع السيني هو عندما $٣س + ١٠ = ٠$، أي $س = -\frac{١٠}{٣}$. لذا المقطع السيني هو $\left(-\frac{١٠}{٣}, ٠\right)$.
4. **الإجابة النهائية:** قيمة $س$ هي $-\frac{١٠}{٣}$، والمقطع السيني المقابل هو $\left(-\frac{١٠}{٣}, ٠\right)$.

هندسة: دائرة مساحتها ٣٦ ط وحدة مربعة، إذا زاد نصف قطرها إلى مثليه، فكم تصبح مساحة الدائرة الجديدة؟

• أ) ٧٢ ط وحدة مربعة
• ب) ١٤٤ ط وحدة مربعة
• ج) ١٢٩٦ ط وحدة مربعة
• د) ٩ ط وحدة مربعة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٤٤ ط وحدة مربعة

الشرح: ١. مساحة الدائرة الأصلية: أ = ٣٦ ط وحدة مربعة. ٢. بما أن أ = ط نق²، فإن ٣٦ ط = ط نق²، ومنها نق² = ٣٦، إذن نق = ٦ وحدات. ٣. إذا زاد نصف القطر إلى مثليه، يصبح نق الجديد = ٢ × ٦ = ١٢ وحدة. ٤. مساحة الدائرة الجديدة = ط (نق الجديد)² = ط (١٢)² = ١٤٤ ط وحدة مربعة.

تلميح: تذكر أن مساحة الدائرة أ = ط نق²، وأن زيادة نصف القطر إلى مثليه تعني ضرب نصف القطر الأصلي في ٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما مدى الدالة د(س) = -٤ س² - ١/٢؟

• أ) جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي ١/٢
• ب) جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة
• ج) جميع الأعداد الحقيقية
• د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي -١/٢

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي -١/٢

الشرح: ١. الدالة د(س) = -٤ س² - ١/٢ هي دالة تربيعية. ٢. بما أن معامل س² هو -٤ (قيمة سالبة)، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل، مما يعني أن للدالة قيمة عظمى. ٣. رأس القطع المكافئ يكون عند س = ٠ (لأن الدالة على الصورة أ س² + ج). ٤. عند س = ٠، د(٠) = -٤(٠)² - ١/٢ = -١/٢. ٥. بما أن الدالة تفتح للأسفل، فإن جميع قيمها ستكون أقل من أو تساوي القيمة العظمى (-١/٢). ٦. لذا، المدى هو جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي -١/٢.

تلميح: لاحظ إشارة معامل س² لتحديد اتجاه فتح القطع المكافئ، ثم أوجد قيمة الدالة عند رأس القطع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي مما يلي يمثل تحليل ثلاثية الحدود ٤ س² + ٤ س + ١ إذا كانت مربعًا كاملاً؟

• أ) (٢ س + ١)²
• ب) (٢ س - ١)²
• ج) (٤ س + ١)²
• د) (س + ٤)²

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: (٢ س + ١)²

الشرح: ١. الحد الأول ٤ س² هو مربع كامل لـ (٢ س). ٢. الحد الثالث ١ هو مربع كامل لـ (١). ٣. الحد الأوسط هو ٢ × (٢ س) × (١) = ٤ س. ٤. بما أن الحد الأوسط يطابق ٢ × (جذر الحد الأول) × (جذر الحد الثالث)، فإنها ثلاثية حدود مربع كامل. ٥. تحليلها يكون على الصورة (جذر الحد الأول + جذر الحد الثالث)² = (٢ س + ١)².

تلميح: تحقق ما إذا كان الحد الأول والثالث مربعين كاملين، ثم اختبر الحد الأوسط بضرب ٢ في الجذر التربيعي للحدين الأول والثالث.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي مما يلي يمثل تحليل ثلاثية الحدود ٤ س² - ٢٠ س + ٢٥ إذا كانت مربعًا كاملاً؟

• أ) (٢ س + ٥)²
• ب) (٤ س - ٥)²
• ج) (٢ س - ٥)²
• د) (س - ٥)²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (٢ س - ٥)²

الشرح: ١. الحد الأول ٤ س² هو مربع كامل لـ (٢ س). ٢. الحد الثالث ٢٥ هو مربع كامل لـ (٥). ٣. الحد الأوسط هو ٢ × (٢ س) × (٥) = ٢٠ س. ٤. بما أن الحد الأوسط يطابق ٢ × (جذر الحد الأول) × (جذر الحد الثالث) وإشارته سالبة، فإنها ثلاثية حدود مربع كامل. ٥. تحليلها يكون على الصورة (جذر الحد الأول - جذر الحد الثالث)² = (٢ س - ٥)².

تلميح: تذكر أن إشارة الحد الأوسط تحدد إشارة التحليل بين الحدين في القوس المربع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي مما يلي يصف ثلاثية الحدود ٩ س² + ٨ س + ١٦؟

• أ) (٣ س + ٤)²
• ب) (٣ س + ٨)²
• ج) (٩ س + ٤)²
• د) ليست مربعًا كاملاً

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: ليست مربعًا كاملاً

الشرح: ١. الحد الأول ٩ س² هو مربع كامل لـ (٣ س). ٢. الحد الثالث ١٦ هو مربع كامل لـ (٤). ٣. الحد الأوسط المتوقع لثلاثية الحدود المربعة الكاملة هو ٢ × (٣ س) × (٤) = ٢٤ س. ٤. بما أن الحد الأوسط في ثلاثية الحدود المعطاة هو ٨ س، وهو لا يطابق ٢٤ س، فإنها ليست مربعًا كاملاً.

تلميح: احسب الحد الأوسط المتوقع للمربع الكامل وقارنه بالحد الأوسط المعطى في ثلاثية الحدود.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد المقطع السيني للتمثيل البياني للمعادلة: س + ٢ ص = ١٠

• أ) (٥، ٠)
• ب) (٠، ١٠)
• ج) (١٠، ٠)
• د) (٠، ٥)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (١٠، ٠)

الشرح: ١. لإيجاد المقطع السيني، نضع ص = ٠ في المعادلة. ٢. تصبح المعادلة: س + ٢(٠) = ١٠. ٣. نبسط المعادلة: س + ٠ = ١٠. ٤. إذن: س = ١٠. ٥. المقطع السيني هو النقطة (س، ٠) أي (١٠، ٠).

تلميح: تذكر أن المقطع السيني هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور السيني (x-axis)، وعندها تكون قيمة ص تساوي صفر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد المقطع السيني للتمثيل البياني للمعادلة: ٢ س - ٣ ص = ١٢

• أ) (٤، ٠)
• ب) (٦، ٠)
• ج) (٠، -٤)
• د) (-٦، ٠)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (٦، ٠)

الشرح: ١. لإيجاد المقطع السيني، نضع ص = ٠ في المعادلة. ٢. تصبح المعادلة: ٢ س - ٣(٠) = ١٢. ٣. نبسط المعادلة: ٢ س - ٠ = ١٢، أي ٢ س = ١٢. ٤. نقسم الطرفين على ٢: س = ١٢ / ٢. ٥. إذن: س = ٦. ٦. المقطع السيني هو النقطة (س، ٠) أي (٦، ٠).

تلميح: لإيجاد المقطع السيني، ضع قيمة ص تساوي صفر في المعادلة ثم حل لإيجاد قيمة س.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد المقطع السيني للتمثيل البياني للمعادلة: ٣ س - ص = -١٨

• أ) (٠، -١٨)
• ب) (٦، ٠)
• ج) (-٦، ٠)
• د) (-١٨، ٠)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (-٦، ٠)

الشرح: ١. لإيجاد المقطع السيني، نضع ص = ٠ في المعادلة. ٢. تصبح المعادلة: ٣ س - ٠ = -١٨. ٣. نبسط المعادلة: ٣ س = -١٨. ٤. نقسم الطرفين على ٣: س = -١٨ / ٣. ٥. إذن: س = -٦. ٦. المقطع السيني هو النقطة (س، ٠) أي (-٦، ٠).

تلميح: تذكر أن المقطع السيني يحدث عندما يكون الإحداثي ص يساوي صفرًا. استبدل ص بـ ٠ وحل المعادلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل